上海交通大学附属中学2026届高三第二学期考前自测数学试题

交大附中高三三模数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知为正整数且，则的值为___________ 2. 已知，若，则的最小值为___________ 3. 已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 4. 已知均为正数，且，则的最小值为___________ 5. 函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点，若，则的值为______ 6. 在中，的面积为___________ 7. 某校将学生分为5个队伍进行研学活动，这5个队伍的人数分别为：50、、55、45、，已知本次研学活动的总人数为250人，且各队人数的第40百分位数不小于48，则各队人数的第70百分位数的最大值是___________ 8. 已知为坐标原点，双曲线 的左焦点为，离心率为 过且斜率为的直线交的左支于两点， 为线段的中点，，则____. 9. 已知函数，若存在实数，使得方程无解，则实数的取值范围是_____________. 10. 如图，为圆锥底面圆的直径，为的中点，点是圆上的动点（点在直径同侧），当的面积最大时，点到平面距离为______． 11. 已知样本数据的平均数为a，设，当函数取最小值时，_______． 12. 将数列中随机剔除两项（其中）然后在原数列中添加一项叫做数列的一次变换，那么数列经过次变换后数列中还剩下的一项为______. 二、选择题（本大题共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑） 13. “”是“”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 14. 已知圆台的上、下底面圆半径分别为2，，高为3，若该圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 15. 已知，则等比数列的公比为（ ） A. B. C. D. 16. 定义在的函数满足，其中常数、、均为正数，是的导函数，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤） 17. 已知平面直角坐标系中，向量，. （1）求在上的投影向量； （2）若，且，求向量的坐标； （3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 18. 人工智能中的文生视频模型Sora(以下简称Sora)，能够根据用户的文本提示创建最长60秒的逼真视频.某公司视频部现有员工100人，公司拟开展Sora培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到优秀”的概率分别为.每轮相互独立，有两轮及以上获得“优秀”的员工才能应用Sora. （1）求员工经过培训能应用Sora的概率 （2）已知开展Sora培训前员工每人每年平均为公司创造利润6万元：开展Sora培训后，能应用Sora的员工每人每年平均为公司创造利润10万元：Sora培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后对剩余员工开展Sora培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门? 19. 如图，和都垂直于平面，且，，是的中点． （1）证明：// 平面； （2）若四棱锥的体积为3，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值的最大值． 20. 已知过点的椭圆：的离心率为，直线过椭圆C的右焦点F，且与椭圆C交于A，B两点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线的斜率存在，点A关于x轴的对称点是，求证：直线过x轴上的定点M，并求其坐标； （3）在（2）的条件下，过点M作x轴的垂线与交于点Q，记线段的中点为，的面积为，的面积为，求的取值范围. 21. 设是定义在上的函数，若对任何实数以及中的任意两个实数，恒有，则称为函数． （1）判断函数是否为函数，说明理由； （2）已知是实数，函数是函数，求的最大值； （3）若是定义域为的函数，求证：“存在实数，使得恒成立”是“存在非零实数，使得恒成立”的充要条件． 交大附中高三三模数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 【1题答案】 【答案】10 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】2 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】54 【8题答案】 【答案】3 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】1 【12题答案】 【答案】2026 二、选择题（本大题共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑） 【13题答案】 【答案】A 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】B 【16题答案】 【答案】D 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤） 【17题答案】 【答案】（1）； （2）或； （3）且. 【18题答案】 【答案】（1） （2）23 【19题答案】 【答案】（1）取的中点，连接，， 因为分别是和的中点，所以，且. 因为和都垂直于平面，且，所以，且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面平面，所以// 平面． （2） 【20题答案】 【答案】（1） （2） 设，，， 当直线与轴不重合时，设直线的方程为， 联立化简得， 且，，① 又，直线的方程为， 令，解得， 将①代入可得，所以定点为， 当直线与轴重合时，即直线为轴，也过点， 所以直线过轴上的定点. （3）. 【21题答案】 【答案】（1）不是函数， 说明如下（举反例）：记，取， 则 即， 所以不是函数； （2）1 （3）先证充分性，若“存在实数，使得恒成立”， 则有，则恒成立． 充分性得证． 再证必要性，若“存在非零实数，使得恒成立”， 不妨设，记，则有 ， 因为， ， 故对于任意整数， 有 ，假设存在实数，使得， 显然 ，则存在整数，使得 ， 一方面，取，则 ， ， 即， 另一方面，取，则， 所以，即，所以， 与矛盾，假设不成立， 所以恒成立，必要性得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $