专题06 （特殊）平行四边形的判定与性质、中位线与直角三角形斜边中线解答综合练（高效培优期末专项训练）数学新教材人教版八年级下册

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形判定性质及三角形中位线、斜边中线综合应用，按图形从一般到特殊逻辑编排，突出几何推理与性质应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行四边形判定与性质|6题|边/角/对角线关系证明与计算|从平行四边形基础性质延伸，构建判定与性质互推逻辑| |矩形判定与性质|6题|含直角条件的特殊平行四边形证明与计算|在平行四边形基础上强化直角性质，结合勾股定理应用| |菱形判定与性质|5题|含邻边相等条件的特殊平行四边形证明与计算|突出菱形四边相等及对角线垂直特性，渗透转化思想| |正方形判定与性质|3题|兼具矩形和菱形特性的综合证明与计算|整合矩形与菱形性质，考查特殊图形的多维度应用| |三角形中位线|5题|中点连线性质的证明与长度计算|基于三角形中点关系，建立线段平行与数量关系推理| |直角三角形斜边中线|4题|斜边中线性质的证明与角度计算|结合直角三角形特性，强化斜边中线等于斜边一半的应用|

专题06 （特殊）平行四边形的判定与性质、中位线及直角三角形斜边中线解答综合 题型01 平行四边形的判定与性质 题型02 矩形的判定与性质 题型03 菱形的判定与性质 题型04 正方形的判定与性质 题型05 三角形的中位线 题型06 直角三角形斜边的中线 题型01 平行四边形的判定与性质 1．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BA，DC的延长线上，且BE＝DF，连接AF，交BC于点H，连接EC． （1）求证：四边形EAFC是平行四边形； （2）若∠E＝∠D＝65°，求∠AHB的度数． 【答案】（1）见解答． （2）50°． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵点E，F分别在BA，DC的延长线上，且BE＝DF， ∴AE∥CF，BE﹣AB＝DF﹣CD， ∴AE＝CF， ∴四边形EAFC是平行四边形． （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠BCF＝∠D＝65°， ∵四边形EAFC是平行四边形， ∴∠E＝∠F＝65°， ∴∠AHB＝∠CHF＝180°﹣∠F﹣∠BCF＝50°． 2．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，AE＝CF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）当BE⊥EF时，BE＝8，BF＝10，AC＝12，求AE的长． 【答案】（1）见解答； （2）3． 【解答】（1）证明：如图，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，交AC于点O， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵AE＝CF， ∴OA﹣AE＝OC﹣CF， ∴OE＝OF， ∴BD，EF互相平分， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）解：∵BE⊥EF， ∴△BEF是直角三角形， ∵BE＝8，BF＝10， 由勾股定理得：， ∵AC＝12， ∴AE+CF＝AC﹣EF＝6， ∵AE＝CF， ∴． 3．某款折叠便携钓鱼椅抽象出来的几何图形如图所示，测得GD＝CE＝DF＝50cm，AB＝20cm，EF＝80cm，∠GBA+∠FEC＝180°，∠GFE＝90°，已知AB∥CD∥EF． （1）求证：四边形ACDB是平行四边形； （2）求椅子最高点G到地面EF的距离． 【答案】（1）见解答； （2）80cm． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD∥EF，∠GBA+∠FEC＝180°， ∴∠ABG＝∠CDG，∠ACD＝∠FEC， 则∠ACD+∠GBA＝180°， ∴AC∥BD， ∴四边形ACDB是平行四边形； （2）解：∵四边形ACDB是平行四边形， ∴CD＝AB＝20cm， 延长GD交EF于H， 由（1）可知，DH∥AE，CD∥EH， ∴四边形CEHD是平行四边形， ∴DH＝CE＝50cm，EH＝CD＝20cm， 则GH＝GD+DH＝100cm，HF＝EF﹣EH＝60cm． ∵∠GFH＝90°， ∴GF（cm）， 即：椅子最高点G到地面EF的距离为80cm． 4．如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC． （1）求证：四边形AFCD为平行四边形； （2）若∠EFB＝90°，BF＝3，EF＝1，求BC的长． 【答案】（1）证明见解答； （2）BC的长是． 【解答】（1）证明：∵DB，CE交于点F，DF＝FB， ∴F是DB的中点， ∵E是AB的中点， ∴EF∥AD， ∴CF∥AD， ∵AF∥CD， ∴四边形AFCD是平行四边形． （2）解：∵F是DB的中点，E是AB的中点，EF＝1， ∴AD＝2EF＝2， ∵四边形AFCD是平行四边形， ∴CF＝AD＝2， ∵∠CFB＝∠EFB＝90°，BF＝3， ∴BC， ∴BC的长是． 5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，点E在BC上，过A点作BC的平行线交ED的延长线于点F，连接AE，CF． （1）求证：四边形AECF为平行四边形； （2）若，AB＝2，且EF⊥AC，求CE的长． 【答案】（1）见解答； （2）． 【解答】（1）证明：∵D为AC的中点， ∴AD＝CD， ∵AF∥BC， ∴∠DAF＝∠DCE，∠DFA＝∠DEC， 在△ADF和△CDE中， ， ∴△ADF≌△CDE（AAS）， ∴AF＝CE， 又∵AF∥CE， ∴四边形AECF为平行四边形； （2）解：∵∠ABC＝90°，， ∴， ∵四边形AECF为平行四边形，EF⊥AC， ∴平行四边形AECF为菱形， ∴AE＝CE， 设AE＝CE＝x（x＞0），则BE＝BC﹣CE＝4﹣x， 在Rt△ABE 中，AB2+BE2＝AE2，即22+（4﹣x）2＝x2， 解得， ∴． 题型02 矩形的判定与性质 6．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，连接DN，BN，BM，DM． （1）求证：△ABM≌△CDN； （2）求证：四边形BNDM是平行四边形． 【答案】见解答； 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC， ∴∠BAM＝∠DCN， ∵点M，N分别为OA、OC的中点， ∴， ∴AM＝CN， 在△ABM与△CDN中， ， ∴△ABM≌△CDN（SAS）； （2）∵△ABM≌△CDN， ∴BM＝DN，∠AMB＝∠CND， ∴180°﹣∠AMB＝180°﹣∠CND， ∴∠BMO＝∠DNO， ∴BM∥DN， ∵BM＝DN， ∴四边形BNDM是平行四边形． 7．如图，已知▱ABCD，延长AB到E，使BE＝AB，连接BD，ED，EC，若ED＝AD． （1）求证：四边形BECD是矩形； （2）连接AC，若AD＝6，CD＝3，求AC的长． 【答案】（1）证明见解答； （2）3． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵BE＝AB， ∴BE＝CD， ∴四边形BECD是平行四边形， ∵AD＝BC，AD＝DE， ∴BC＝DE， ∴▱BECD是矩形； （2）如图， ∵CD＝3， ∴AB＝BE＝3． ∵AD＝6，∠ABD＝90°， ∴BD3， ∴CE＝3， ∴AC3． 8．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC交BC边于点E，点F在边AD上，且DF＝BE． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）若BF平分∠ABC，且BE＝3，AB＝7，求线段BF的长． 【答案】（1）见解答； （2）BF的长是． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵BE＝DF， ∴AF＝EC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴四边形AECF是矩形； （2）解：∵BF平分∠ABC，AD∥BC， ∴∠ABF＝∠CBF＝∠AFB， ∴AB＝AF＝7， ∵AD＝BC，AF＝CE， ∴DF＝BE＝3， ∴AD＝BC＝AF+DF＝10， ∴． 在Rt△BFC中，，即BF的长是． 9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CB到点E，使得BE＝BC．连接AE．过点B作BF∥AC，交AE于点F，连接OF． （1）求证：四边形AFBO是矩形； （2）若∠E＝30°，OF＝2，求菱形ABCD的面积． 【答案】见解答 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AC⊥BD，AD＝BC， ∵BE＝BC， ∴AD＝BE， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∴AE∥BD． ∵BF∥AC， ∴四边形AFBO是平行四边形． ∵AC⊥BD，AE∥BD， ∴AE⊥AC， ∴∠OAF＝90°， ∴平行四边形AFBO是矩形． （2）解：由（1）知四边形AFBO是矩形， ∴∠AFB＝90°，OF＝AB， ∴∠BFE＝∠FBO＝90°． 又∵∠E＝∠BOF＝30°，OF＝2， ∴BF＝1， ∴BE＝2BF＝2． 在Rt△AEC中，BE＝BC， ∴AB＝BE＝BC＝2， ∴△ABC为等边三角形， ∴S菱形ABCD＝2S△ABC＝22． 10．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形ADFE是矩形； （2）连接OF，若AD＝8，EC＝6，∠BAE＝30°，求OF的长度． 【答案】（1）见解析； （2）2． 【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中， ∴AB∥DC且AB＝DC， ∴∠ABE＝∠DCF， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC＝90°， ∴AE∥DF， ∴四边形ADFE是矩形； （2）解：由（1）知：四边形ADFE是矩形， ∴EF＝AD＝8， ∵EC＝6， ∴BE＝CF＝2， ∴BF＝10， 在Rt△ABE中，∠BAE＝30°，BE＝2， ∴AB＝2BE＝4， ∴DF＝AE2， 在Rt△BDF中， ∴BD4， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∴OFBD＝2． 11．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，分别过点B、点C作CO，BO的平行线交于点E，连接AE交BD于点H，交BC于点F． （1）求证：四边形OCEB是矩形； （2）若BF＝1，求菱形ABCD的周长． 【答案】见解答 【解答】（1）证明：∵BE∥OC，CE∥OB， ∴四边形OCEB是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， ∴平行四边形OCEB是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，OA＝OC， 由（1）得，四边形OCEB是矩形， ∴BE＝OC＝OA， ∴， ∵BE∥AC， ∴△BEF∽△CAF， ∴， ∵BF＝1， ∴CF＝2， ∴BC＝3， ∴菱形ABCD的周长＝4BC＝4×3＝12． 12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接OE，若BD＝8，AC＝4， ①求OE的长； ②求CE的长． 【答案】（1）见解答； （2）①2； ②． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵CF＝BE， ∴CF+CE＝BE+CE， ∴EF＝BC＝AD， ∴四边形AEFD是平行四边形． ∵AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°， ∴平行四边形AEFD是矩形； （2）解：①∵四边形ABCD是菱形， ∴． 在Rt△ACE中，AC＝4， ∴； ②∵四边形ABCD是菱形，且AC＝4，BD＝8， ∴AC⊥BD，． 在Rt△BOC中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 解得：． 在直角三角形ACE中，由勾股定理得：AC2＝AE2+CE2， ∴， 解得：． 题型03 菱形的判定与性质 13．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF与AD相交于点E，与BC相交于点F，连接AF，CE． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）若四边形AFCE的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形AFCE的面积． 【答案】（1）见解答； （2）96． 【解答】（1）证明：∵EF是AC的垂直平分线， ∴AO＝CO，∠AOE＝∠COF＝90°； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴EO＝FO， ∴四边形AFCE是菱形； （2）解：∵四边形AFCE是菱形， ∴AF＝FC＝CE＝AE， ∵四边形AFCE的周长是40， ∴AF＝FC＝CE＝AE＝10， 设AC＝2a、EF＝2b， 则有2a+2b＝28，OA＝OC＝a，OE＝OF＝b， ∴a+b＝14， 在Rt△AOE中，由勾股定理得：OA2+OE2＝AE2， ∴a2+b2＝102， ∵（a+b）2＝a2+b2+2ab， ∴102+2ab＝142， 整理可得：ab＝48， ∴． 14．如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，F为AD边上的点，且AB＝AF，连接BF、EF． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）连接CF，若CE＝1，，AB＝2，求BF的长． 【答案】（1）证明见解答； （2）BF的长是2． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵AE平分∠BAD交BC于点E，F为AD边上的点，AB＝AF， ∴∠FAE＝∠BAE，∠FAE＝∠BEA， ∴∠BAE＝∠BEA， ∴AB＝EB， ∴AF＝EB， ∵AF∥BE， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AB＝AF， ∴四边形ABEF是菱形． （2）解：连接CF， ∵四边形ABEF是菱形， ∴EF＝AB＝BE＝2， ∵CE＝1，CF， ∴CE2+CF2＝EF2＝4，BC＝BE+CE＝3， ∴△CEF是直角三角形，且∠ECF＝90°， ∴BF2， ∴BF的长是2． 15．如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AB＝2，∠ABC＝60°，求AE的长． 【答案】见解答 【解答】（1）证明：∵DE∥AC，DE＝OC， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵OE＝CD， ∴平行四边形OCED是矩形， ∴∠COD＝90°， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，CD＝AB＝BC＝2，AC⊥BD， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝2， ∴OA＝OC＝1， 在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD， 由（1）可知，四边形OCED是矩形， ∴CE＝OD，∠OCE＝90°， ∴AE， 即AE的长为． 16．如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，过点D分别作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，连接AD，AD平分∠BAC． （1）求证：四边形AEDF是菱形； （2）连接EF交AD于点O，若∠BAC＝60°，AE＝5，求AD的长． 【答案】（1）见解答； （2）． 【解答】（1）证明：∵DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F， ∴∠ADE＝∠FAD，四边形AEDF是平行四边形， ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠FAD， ∴∠EAD＝∠ADE， ∴AE＝DE， ∴平行四边形AEDF是菱形； （2）解：∵四边形AEDF是菱形，连接EF交AD于点O，∠BAC＝60°，AE＝5， ∴AD⊥EF，AO＝DO，EO＝FO，AE＝AF＝5， ∴△AEF是等边三角形， ∴EF＝AE＝5， ∴， 在Rt△AEO中，由勾股定理得：， ∴． 17．如图1，在平行四边形ABCD中，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，且E，F分别在边AD，BC上，BE＝BF． （1）求证：四边形BFDE是菱形； （2）如图2，线段BD与线段EF交于点O，若DE＝10，BD＝16，求菱形BFDE的面积． 【答案】（1）见解答； （2）96． 【解答】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC， ∴∠AEB＝∠EBF， ∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线， ∴∠EBF∠ABC，∠ADF∠ADC， ∴∠AEB＝∠EBF＝∠ADF， ∴BE∥DF， 又∵AD∥BC， ∴四边形BFDE是平行四边形， 又∵BE＝BF， ∴四边形BFDE是菱形； （2）解：∵四边形BFDE是菱形，BD＝16， ∴BD⊥EF，OEEF，ODBD＝8，菱形BFDE的面积EF•BD， 在Rt△ODE中，DE＝10， ∴OE6， ∴EF＝12， ∴菱形BFDE的面积＝96． 题型04 正方形的判定与性质 19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，∠A＝90°，点E在CD边上，点F是AD边的中点，且AB∥CF，FE⊥CD于点E，延长FE交BC的延长线于点G，连接BF． （1）求证：四边形ABCF是正方形； （2）若BF＝4，求BG的长． 【答案】（1）见解答； （2）4． 【解答】（1）证明：∵AB∥CF，AD∥BC， ∴四边形ABCF是平行四边形，∵∠A＝90°， ∴四边形ABCF是矩形， ∵AB＝BC， ∴四边形ABCF是正方形； （2）解：∵四边形ABC分式正方形， ∴BC＝AF，∠FBC＝45°， ∵点F是AD的中点， ∴AF＝DF＝BC， ∵BC∥DF， ∴四边形BCDF是平行四边形， ∴BF∥CD， ∵EF⊥CD， ∴BF⊥EF， ∴△BFC是等腰直角三角形， ∴BGBF＝4． 20．【问题情境】如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C），延长AE交CE'于点F． 【猜想证明】 （1）试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由； （2）如图②，若AD＝DE，请猜想线段CF与FE′的数量关系并加以证明． 【答案】（1）见解答； （2）CF＝E'F，理由见解答： 【解答】解：（1）四边形BE′FE是正方形，理由如下： ∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°， ∴∠AEB＝∠CE′B＝∠EBE′＝90°，BE＝BE′． 又∵∠BEF＝90°， ∴四边形BE′FE是矩形． 又∵BE＝BE′， ∴四边形BE′FE是正方形． （2）CF＝E'F；理由如下： 如图，过点D作DH⊥AE于H， ∵DA＝DE，DH⊥AE， ∵∠ADH+∠DAH＝90°，， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB＝90°，AD＝AB， ∴∠DAH+∠EAB＝90°， ∴∠ADH＝∠EAB． 又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°， ∴△ADH≌△BAE（AAS）， ∴． ∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°， ∴AE＝CE′， ∵四边形BE′FE是正方形， ∴BE＝E′F， ∴， ∴CF＝E'F． 21．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N， ∴∠MEN＝90°， ∵点E是正方形ABCD对角线上的点， ∴EM＝EN， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， ∵∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴EF＝DE， ∵四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形； （2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下： ∵正方形DEFG和正方形ABCD， ∴DE＝DG，AD＝DC， ∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠CDG＝∠ADE， 在∴△ADE和△CDG中，， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG， ∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB36是定值． 题型05 三角形的中位线 22．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使，连结DE，DF，DE交AF于点P． （1）求证：AP＝FP； （2）若BC＝10，求DF的长． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）5． 【解答】（1）证明：连接EF，AE． ∵点E，F分别为BC，AC的中点， ∴EF∥AB，EFAB． 又∵ADAB， ∴EF＝AD． 又∵EF∥AD， ∴四边形AEFD是平行四边形． ∴AF与DE互相平分， ∴AP＝FP； （2）解：在Rt△ABC中， ∵E为BC的中点，BC＝10， ∴AEBC＝5． 又∵四边形AEFD是平行四边形， ∴DF＝AE＝5． 23．已知，如图，△ABC的中线BE，CF相交于点G，P，Q分别是BG，CG的中点．求证： （1）四边形EFPQ是平行四边形； （2）BG＝2GE，CG＝2GF． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵BE，CF是△ABC的中线， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥BC且EFBC， ∵P，Q分别是BG，CG的中点， ∴PQ是△BCG的中位线，BG＝2GP，CG＝2GQ， ∴PQ∥BC且PQBC， ∴EF∥PQ且EF＝PQ， ∴四边形EFPQ是平行四边形． （2）由（1）得：四边形EFPQ是平行四边形， ∴GE＝GP，GF＝GQ， ∵BG＝2GP，CG＝2GQ， ∴BG＝2GE，CG＝2GF． 24．如图等边三角形ABC的边长为2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至F，使CFBC，连接CD和EF． （1）求证：DE＝CF （2）求EF的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）证明：∵DE分别是AB、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴， 又∵， ∴DE＝CF； （2）∵△ABC是等边三角形，D是AB的中点， ∴，CD⊥AB， 在Rt△BDC中，BD2+CD2＝BC2， 即， ∴CD＝3， 又∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥CF， ∵DE＝CF， ∴四边形DCFE是平行四边形， ∴EF＝CD＝3． 25．如图，点M、N是Rt△ABC两直角边AB、AC上的两点，连接BN，已知点D、E、F分别是MN、BN、BC的中点． （1）求∠DEF度数； （2）连MC，取MC中点G，连接EG，若BM＝10，CN＝8，求EG的长． 【答案】（1）90度； （2）． 【解答】（1）证明：∵D、E、F分别是MN、BN、BC的中点， ∴EF∥NC，DE∥MB， ∴∠NEF＝∠ANE，∠MBE＝∠DEN， ∴∠DEF＝∠DEN+∠NEF＝∠ABN+∠BNA＝180°﹣∠A＝180°﹣90°＝90°， （2）解：连接FG，DG， ∵G、F分别是MC和BC的中点， ∴． 同理：． ∴DE∥FG，DE＝FG， ∴四边形DEFG为平行四边形． ∵∠DEF＝90°， ∴四边形DEFG为矩形． ∴∠EFG＝90°，DE＝FG， ∵BM＝10，CN＝8，E、F、G，D分别是BN、BC、MC、MN的中点， ∴，， ∴． 26．如图，AD是△ABC的中线，AB＞AC，DE、DF分别是△ACD的高与角平分线． （1）若△ABD与△ACD的周长差为2，AB＝7，求AC的长； （2）若∠ACB＝62°，∠DAC＝40°，求∠EDF的度数． 【答案】（1）AC的长是5． （2）∠EDF的度数是11°． 【解答】解：（1）∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵AB＞AC，且△ABD与△ACD的周长差为2，AB＝7， ∴AB+AD+BD﹣（AC+AD+CD）＝7+AD+CD﹣AC﹣AD﹣CD＝7﹣AC＝2， ∴AC＝5， ∴AC的长是5． （2）∵∠ACB＝62°，∠DAC＝40°， ∴∠ADC＝180°﹣∠ACB﹣∠DAC＝78°， ∵DE、DF分别是△ACD的高与角平分线， ∴DE⊥AC，∠ADF＝∠CDE∠ADC＝39°， ∴∠FED＝90°，∠DFE＝∠DAC+∠ADE＝79°， ∴∠EDF＝90°﹣∠DFE＝11°， ∴∠EDF的度数是11°． 题型06 直角三角形斜边的中线 27．已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点． （1）求证：EF⊥BD； （2）若∠BAD＝30°，AC＝8，求BD的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：连接BE、DE， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点， ∴， ∵F是BD的中点， ∴EF⊥BD； （2）解：由（1）可知，， ∴∠EAB＝∠EBA，∠EAD＝∠EDA， ∴2∠EAB＝∠CEB，2∠EAD＝∠CED， ∵∠BAD＝30°， ∴∠BED＝60°， ∵BE＝DE， ∴△BED是等边三角形， ∴BD＝BE＝4． 28．【教材回顾】如图1，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，可以证得△ABD是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． （1）【结论应用】在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，若BC＝2，则AB＝　4　 ； （2）【变式探究】如图2，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，，求证：∠BAC＝30°． 【答案】（1）4； （2）证明见解答． 【解答】（1）解：在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2， ∴AB＝2BC＝4； （2）证明：延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD， ∵∠ACB＝90°，CD＝BC， ∴AC是线段BD的垂直平分线， ∴AB＝AD， ∵，BC＝CDBD， ∴BD＝AB， ∴BD＝AB＝AD， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠BAD＝60°， ∵AC⊥BD， ∴∠BAC＝∠DAC＝30°． 29．在△ABC中，AB＝AC，AE为BC上的中线，CD⊥AB，连结DE． （1）求证：△CDE是等腰三角形． （2）若AC＝6，DE＝1，求BD的长度． 【答案】（1）见解答； （2）． 【解答】（1）证明：∵AE为BC边上的中线， ∴点E为BC的中点， 又∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∴DE为Rt△CDB的斜边BC上的中线， ∴， ∴△CDE是等腰三角形； （2）解：∵AB＝AC，DE＝CE＝BEBC，AC＝6，DE＝1， ∴BC＝2DE＝2×1＝2， 设BD＝x，则AD＝AB﹣BD＝6﹣x， 在Rt△CDB中，根据勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2， 在Rt△CDA中，根据勾股定理得，CD2＝AC2﹣AD2， ∴AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2，即62﹣（6﹣x）2＝22﹣x2， 整理得12x＝4， ∴解得x， ∴BD的长度为． 30．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC中点，点F是BD中点． （1）求证：EF⊥BD； （2）过点D作DH⊥AC于H点，如果BD平分∠HDE，求证：BA＝BC． 【答案】见解答内容． 【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC中点， ∴DEAC，BEAC， ∴DE＝BE， ∵点F是BD中点， ∴EF⊥BD； （2）证明：设AC，BD交于点O， ∵DH⊥AC，EF⊥BD， ∴∠DHO＝∠EFO＝90°， ∵∠DOH＝∠BOE， ∴∠HDF＝∠OEF， ∵DE＝BE， ∴∠EDO＝∠EBO， ∵BD平分∠HDE， ∴∠HDF＝∠BDE， ∴∠OEF＝∠OBE， ∵∠OEF+∠EOF＝90°， ∴∠EOF+∠EBO＝90°， ∴∠BEO＝90°， ∴BE⊥AC， ∴BA＝BC． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 （特殊）平行四边形的判定与性质、中位线及直角三角形斜边中线解答综合 题型01 平行四边形的判定与性质 题型02 矩形的判定与性质 题型03 菱形的判定与性质 题型04 正方形的判定与性质 题型05 三角形的中位线 题型06 直角三角形斜边的中线 题型01 平行四边形的判定与性质 1．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BA，DC的延长线上，且BE＝DF，连接AF，交BC于点H，连接EC． （1）求证：四边形EAFC是平行四边形； （2）若∠E＝∠D＝65°，求∠AHB的度数． 2．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，AE＝CF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）当BE⊥EF时，BE＝8，BF＝10，AC＝12，求AE的长． 3．某款折叠便携钓鱼椅抽象出来的几何图形如图所示，测得GD＝CE＝DF＝50cm，AB＝20cm，EF＝80cm，∠GBA+∠FEC＝180°，∠GFE＝90°，已知AB∥CD∥EF． （1）求证：四边形ACDB是平行四边形； （2）求椅子最高点G到地面EF的距离． 4．如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC． （1）求证：四边形AFCD为平行四边形； （2）若∠EFB＝90°，BF＝3，EF＝1，求BC的长． 5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，点E在BC上，过A点作BC的平行线交ED的延长线于点F，连接AE，CF． （1）求证：四边形AECF为平行四边形； （2）若，AB＝2，且EF⊥AC，求CE的长． 6．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，连接DN，BN，BM，DM． （1）求证：△ABM≌△CDN； （2）求证：四边形BNDM是平行四边形． 题型02 矩形的判定与性质 7．如图，已知▱ABCD，延长AB到E，使BE＝AB，连接BD，ED，EC，若ED＝AD． （1）求证：四边形BECD是矩形； （2）连接AC，若AD＝6，CD＝3，求AC的长． 8．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC交BC边于点E，点F在边AD上，且DF＝BE． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）若BF平分∠ABC，且BE＝3，AB＝7，求线段BF的长． 9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CB到点E，使得BE＝BC．连接AE．过点B作BF∥AC，交AE于点F，连接OF． （1）求证：四边形AFBO是矩形； （2）若∠E＝30°，OF＝2，求菱形ABCD的面积． 10．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形ADFE是矩形； （2）连接OF，若AD＝8，EC＝6，∠BAE＝30°，求OF的长度． 11．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，分别过点B、点C作CO，BO的平行线交于点E，连接AE交BD于点H，交BC于点F． （1）求证：四边形OCEB是矩形； （2）若BF＝1，求菱形ABCD的周长． 12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接OE，若BD＝8，AC＝4， ①求OE的长； ②求CE的长． 题型03 菱形的判定与性质 13．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF与AD相交于点E，与BC相交于点F，连接AF，CE． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）若四边形AFCE的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形AFCE的面积． 14．如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，F为AD边上的点，且AB＝AF，连接BF、EF． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）连接CF，若CE＝1，，AB＝2，求BF的长． 15．如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AB＝2，∠ABC＝60°，求AE的长． 16．如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，过点D分别作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，连接AD，AD平分∠BAC． （1）求证：四边形AEDF是菱形； （2）连接EF交AD于点O，若∠BAC＝60°，AE＝5，求AD的长． 17．如图1，在平行四边形ABCD中，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，且E，F分别在边AD，BC上，BE＝BF． （1）求证：四边形BFDE是菱形； （2）如图2，线段BD与线段EF交于点O，若DE＝10，BD＝16，求菱形BFDE的面积． 题型04 正方形的判定与性质 19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，∠A＝90°，点E在CD边上，点F是AD边的中点，且AB∥CF，FE⊥CD于点E，延长FE交BC的延长线于点G，连接BF． （1）求证：四边形ABCF是正方形； （2）若BF＝4，求BG的长． 20．【问题情境】如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C），延长AE交CE'于点F． 【猜想证明】 （1）试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由； （2）如图②，若AD＝DE，请猜想线段CF与FE′的数量关系并加以证明． 21．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 题型05 三角形的中位线 22．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使，连结DE，DF，DE交AF于点P． （1）求证：AP＝FP； （2）若BC＝10，求DF的长． 23．已知，如图，△ABC的中线BE，CF相交于点G，P，Q分别是BG，CG的中点．求证： （1）四边形EFPQ是平行四边形； （2）BG＝2GE，CG＝2GF． 24．如图等边三角形ABC的边长为2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至F，使CFBC，连接CD和EF． （1）求证：DE＝CF （2）求EF的长． 25．如图，点M、N是Rt△ABC两直角边AB、AC上的两点，连接BN，已知点D、E、F分别是MN、BN、BC的中点． （1）求∠DEF度数； （2）连MC，取MC中点G，连接EG，若BM＝10，CN＝8，求EG的长． 26．如图，AD是△ABC的中线，AB＞AC，DE、DF分别是△ACD的高与角平分线． （1）若△ABD与△ACD的周长差为2，AB＝7，求AC的长； （2）若∠ACB＝62°，∠DAC＝40°，求∠EDF的度数． 题型06 直角三角形斜边的中线 27．已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点． （1）求证：EF⊥BD； （2）若∠BAD＝30°，AC＝8，求BD的长． 28．【教材回顾】如图1，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，可以证得△ABD是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． （1）【结论应用】在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，若BC＝2，则AB＝　 　 ； （2）【变式探究】如图2，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，，求证：∠BAC＝30°． 29．在△ABC中，AB＝AC，AE为BC上的中线，CD⊥AB，连结DE． （1）求证：△CDE是等腰三角形． （2）若AC＝6，DE＝1，求BD的长度． 30．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC中点，点F是BD中点． （1）求证：EF⊥BD； （2）过点D作DH⊥AC于H点，如果BD平分∠HDE，求证：BA＝BC． 1 学科网（北京）股份有限公司 $