专题04 勾股定理期末常考知识点中的难点与压轴题（高效培优期末专项训练）数学新教材人教版八年级下册

**基本信息** 聚焦勾股定理期末难点，以7大模块构建从基础应用到综合压轴的递进训练，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |勾股定理与面积|9题|正方形/半圆面积关系及求值|以面积验证勾股定理，渗透数形结合| |两点间距离问题|4题|坐标与折线距离计算|从平面坐标到距离公式，强化应用意识| |最值问题|6题|动点与中点线段最小值|结合几何图形性质，培养空间观念| |数形结合|2题|构造直角三角形求代数式最值|抽象代数问题几何化，提升转化能力| |证明图形求值|7题|赵爽弦图等经典证明模型|溯源定理证明，深化逻辑推理| |实际应用|6题|圆柱、秋千等生活场景|联系现实情境，发展应用意识| |压轴题|6题|动点与等腰三角形综合|整合多考点，提升综合解题能力|

专题04 勾股定理期末常考知识点中的难点与压轴题 题型01 勾股定理与面积（关系与求值） 考点02 勾股定理解决两点间的距离问题 考点03 勾股定理解决最值问题 考点04 勾股定理的数形结合 考点05 勾股定理证明图形中的求值 题型06 勾股定理的实际应用 题型07 勾股定理中的压轴题 题型01 勾股定理与面积（关系与求值） 1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1、S2、S3，若S1+S3﹣S2＝32，则阴影部分面积为（　　） A．8 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【解答】解：由勾股定理结合正方形的面积可得，S1+S2＝S3， 又∵S1+S3﹣S2＝32， ∴2S1＝32， ∴S1＝16， ∴阴影部分面积为8， 故选：A． 2．如图，已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝2，分别以△ABC的三条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积S1+S2+S3＝（　　） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解答】解：设AB的中点为O， 连接OC． ∵Rt△ABC，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝2， ∴AC＝1，BC， 以AC为直径的半圆的面积是π（）2π， 以BC为直径的半圆的面积是：π（）2π． 则S1π+S△AOC﹣S扇形OACπ， 同理，S2， S3AC•BC1， ∴S1+S2+S3， 故选：D． 3．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足4（S1+S2）＝S3，则下列说法正确的是（　　） A．AB＝AC B．2AB＝AC C．2AB＝BC D．2AC＝BC 【答案】A 【解答】解：由勾股定理得：AB2+AC2＝BC2， ∴S1+S2π（AB）2π（AC）2π（BC）2+S△ABCπ（BC2+AC2﹣AB2）+S△ABC＝S△ABCAB•AC， ∵4（S1+S2）＝S3， ∴4AB•AC＝BC2＝AB2+AC2， 即2AB•AC＝AB2+AC2， ∴（AB﹣AC）2＝0， ∴AB＝AC， 故选：A． 4．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树…依此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为（　　） A．1013 B．2027 C．2026 D．2025 【答案】B 【解答】解：如图，第一个正方形面积为1，设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c， 由勾股定理得：a2+b2＝c2＝1， ∴第一代勾股树中所有正方形的面积为：a2+b2+c2＝c2+c2＝2； 同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为：2a2+2b2+c2＝3c2＝3； 第三代勾股树中所有正方形的面积为：4c2＝4； 第n代勾股树中所有正方形的面积为：（n+1）c2＝n+1； ∴第2026代勾股树中所有正方形的面积为2027． 故选：B． 5．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形．若S1+S4＝80，S3＝20，则S2＝（　　） A．50 B．60 C．100 D．110 【答案】B 【解答】解：由题意可知：S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝CD2，S4＝AD2， 连接BD，在直角三角形ABD和BCD中， BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2， 即S1+S4＝S3+S2， 因此S2＝80﹣20＝60， 故选：B． 6．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3+S1﹣S2＝12，则图中阴影部分的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解答】解：如图所示： 设BC＝a，AC＝b，AB＝c， ∴依题意得：S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2， ∵S3+S1﹣S2＝12， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：c2＝a2+b2， ∴S3＝S1+S2， ∴S1+S2+S1﹣S2＝12， ∴S1＝6， ∴S△ABNS1＝3， 即图中阴影部分的面积为3． 故选：A． 7．如图，分别以Rt△ABC的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3+2S2﹣S1＝48，则图中阴影部分的面积为（　　） A．8 B．12 C．6 D．24 【答案】A 【解答】解：由勾股定理结合正方形的面积可知，S3﹣S1＝S2， 又∵S3+2S2﹣S1＝48， ∴3S2＝48， ∴S2＝16， ∴图中阴影部分的面积， 故选：A． 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、BC、AB为边向外作正方形ACDE、正方形CBHP、正方形BAFG，其面积分别为S1、S2，S3，则S1、S2、S3之间的等量关系为 S1+S2＝S3 ；分别以GH、PD、EF为边向外作正方形，其面积分别为S4、S5、S6，则S4、S5、S6之间的等量关系为 S4+S6＝5S5 ． 【答案】S1+S2＝S3；S4+S6＝5S5． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，设BC＝a，AC＝b，AB＝c， 由勾股定理得：AB2＝BC2+AC2， ∴c2＝a2+b2， 由正方形的面积公式得：S1＝b2，S2＝a2，S3＝c2， ∴S1+S2＝S3； 过点E作EM⊥EA，交EA的延长线于点M，过点G作GN⊥HB，交HB的延长线于点N，如图所示： ∴∠M＝∠N＝∠ACB＝90°， 由正方形性质得：∠FAB＝∠MAC＝90°，∠GBA＝∠NBC＝90°，AF＝AB＝BG，AE＝AC＝b，BH＝BC＝a， ∴∠FAB﹣∠MAB＝∠MAC﹣∠MAB， ∴∠FAM＝∠BAC， 在△FAM和△BAC中， ∠M＝∠ACB＝90°，∠FAM＝∠BAC，AF＝AB， ∴△FAM≌△BAC（AAS）， ∴MF＝BC＝a，AM＝AC＝b， ∴EM＝AE+AM＝2a， 在Rt△EFM中，由勾股定理得：EF2＝MF2+EM2＝a2+（2b）2＝a2+4b2， ∴S6＝EF2＝a2+4b2， ∵∠GBA＝∠NBC＝90°， ∠GBA﹣∠NBA＝∠NBC﹣∠NBA， ∠GBN＝∠ABC， 在△GBN和△ABC中， ∠N＝∠ACB＝90°，∠GBN＝∠ABC，BG＝AB， ∴△GBN≌△ABC（AAS）， ∴GN＝AC＝b，BN＝BC＝a， ∴HN＝BH+BN＝2a， 在Rt△HNG中，由勾股定理得：HG2＝GN2+HN2＝b2+（2a）2＝4a2+b2， ∴S4＝HG2＝4a2+b2， ∴S4+S6＝5a2+5b2， 在Rt△PCD中，CD＝AC＝b，PC＝BC＝a， 由勾股定理得：PD2＝PC2+CD2＝a2+b2， ∴S5＝PD2＝a2+b2， ∴S4+S6＝5S5． 故答案为：S1+S2＝S3；S4+S6＝5S5． 9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC，BC和AB为边向上作正方形ACED和正方形BCMI和正方形ABGF，点G落在MI上，若AC+BC＝7，空白部分面积为24，则图中阴影部分的面积是 　15　 ． 【答案】15． 【解答】解：如图， ∵四边形ABGF是正方形， ∴∠FAB＝∠AFG＝∠ACB＝90°， ∴∠FAC+∠BAC＝∠FAC+∠ABC＝90°， ∴∠FAC＝∠ABC， ∴△FAH≌△ABN（ASA）， ∴S△FAH＝S△ABN， ∴S△ABC＝S四边形FNCH， 在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴AC2+BC2＝AB2， ∵AC+BC＝7， ∴（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC•BC＝49， ∴AB2+2AC•BC＝49， ∵AB2﹣S△ABC＝24， ∴AB2AC•BC＝24， ∴BC•AC＝10，AB2＝29， ∴AC2+BC2＝29， ∴阴影部分的面积和＝AC2+BC2+2S△ABC﹣S白＝29+210﹣24＝15． 故答案为：15． 考点02 勾股定理解决两点间的距离问题 10．在平面直角坐标系中，点A（1，3）、B（﹣2，2）、C（0，4），判断△ABC的形状． 【答案】△ABC是直角三角形． 【解答】解：∵点A（1，3）、B（﹣2，2）、C（0，4）， ∴，，， ∵（）2+（）2＝（）2， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形． 11．综合与实践 【问题情境】 在平面直角坐标系中，有不重合的两点A（x1，y1）和点B（x2，y2），若x1＝x2，则AB∥y轴，且线段AB的长度为|y1﹣y2|；若y1＝y2，则AB∥x轴，且线段AB的长度为|x1﹣x2|． 【知识应用】 （1）若点A（﹣1，1），B（2，1），则AB∥x轴，AB的长度为 　3　 ； 【拓展延伸】 我们规定：平面直角坐标系中，任意不重合的两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的折线距离为d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．例如：图1中，点M（﹣1，1）与点N（1，﹣2）之间的折线距离为d（M，N）＝|﹣1﹣1|+|1﹣（﹣2）|＝2+3＝5． 【问题解决】 （2）如图2，已知E（2，0），若F（﹣1，﹣1），则d（E，F）＝ 　4　 ； （3）如图2，已知E（2，0），G（1，t），若d（E，G）＝3，则t的值为 　±2　 ； （4）如图3，已知E（2，0），H（0，2），点P是△EOH的边上一点，若，求点P的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意得：AB的长度为|﹣1﹣2|＝3． 故答案为：3． （2）①d（E，F）＝|2﹣（﹣1）|+|0﹣（﹣1）|＝4． 故答案为：4． （3）∵E（2，0），G（1，t），d（E，G）＝3， ∴|2﹣1|+|0﹣t|＝3， 解得：t＝±2． 故答案为：2或﹣2． （4）①点P在OE边上，可设点P的坐标为（x，0）， ∵． ∴丨x﹣2丨+0， ∴x＝2，或x＝2（都不符合题意）， ②点P在OH边上，可设点P的坐标为（0，y）， ∵． ∴丨2﹣0丨+丨y丨， ∴y2， ∴P（0，2）， ③点P在HE边上，可设点P的坐标为（m，﹣m+2）， ∵． ∴丨m﹣2丨+丨﹣m+2丨， m＝2， ∴P（2，） 所以符合条件的点P坐标为P（0，2），P（2，）． 12．先阅读下列一段文字，再回答问题． 已知平面内两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），这两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|． （1）已知点A（2，4），B（﹣3，﹣8），试求A，B两点间的距离； （2）已知点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为2，A，B两点间的距离为4，求点A的纵坐标； （3）已知△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣2，1），B（1，﹣1），C（3，2），你能判断△ABC的形状吗？说明理由． 【答案】（1）A，B两点间的距离为13； （2）A的纵坐标为6或﹣2； （3）△ABC为等腰直角三角形． 【解答】解：（1）， 即A，B两点间的距离为13． （2）∵点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为2，A，B两点间的距离为4， ∴A的纵坐标为2+4＝6或者2﹣4＝﹣2．即点A的纵坐标为6或﹣2． （3）△ABC为等腰直角三角形．理由如下： ∵， ， ， ∴AB＝BC，且AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC为等腰直角三角形． 13．在“勾股定理”的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法．由得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1． （1）【类比运用】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段．请在图2正方形网格（每个小正方形的边长为1）内： ①画出顶点在格点的△ABC，其中，，； ②求出①中所画△ABC的面积． （2）【拓展运用】 ①在图3中，设A（x1，y1），B（x2，y2），AC∥y轴，BC∥x轴，AC⊥BC于点C，则AC＝ y1﹣y2 ，BC＝ x1﹣x2；　 ，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式：； ②求代数式的最小值为 　　 ． 【答案】（1）①；②2； （1）①y1﹣y2，x1﹣x2；②． 【解答】解：（1）①如图2所示：图中的格点△ABC为所求作的三角形，理由如下： ∵正方形网格中的小正方形的边长为1， ∴由勾股定理得：AC，BC，AB， ∴格点△ABC符合题意，为所求作的三角形； ②∵，，， ∴AC2+BC2＝AB2， 由勾股定理逆定理得：△ABC是直角三角形，且∠C＝90°， ∴△ABC的面积为：AC•BC2； （2）①∵点A（x1，y1），B（x2，y2），AC∥y轴，BC∥x轴， ∴AC＝y1﹣y2，BC＝x1﹣x2， ∵AC⊥BC于点C， ∴△ABC是直角三角形， 由勾股定理得：AB， 故答案为：y1﹣y2，x1﹣x2； ②在平面直角坐标系中取点A（4，1），点B（2，9），在x轴取一点P（x，0），在y轴上取一点Q（0，y），连接PB，QB，PQ，如图4所示： 由两点间的坐标公式得：PA＝（，PQ，QB， ∴PA+PQ+QB， ∴当PA+PQ+QB为最小时，代数式的值为最小， 作点A关于x轴的对称点A'，则点A'（4，﹣1），作点B关于y轴的对称点B'，则点B'（﹣2，9）， ∴PA'＝PA，QB'＝QB， ∴PA+PQ+QB＝PA'+PQ+QB'， ∴当PA'+PQ+QB'为最小时，PA+PQ+QB为最小， 根据“两点间线段最短”得：PA'+PQ+QB'≥A'B'， ∴当点A'，P，Q，B'共线时，PA'+PQ+QB'为最小，最小值为点A'，B'之间的距离， 由两点间的坐标公式得：A'B， 故答案为：． 考点03 勾股定理解决最值问题 14．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，若P是AC上的一个动点，则AP+BP+CP的最小值是（　　） A．14.8 B．15 C．15.2 D．16 【答案】A 【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8， ∴AC10， ∵AP+BP+PC＝BP+AC＝BP+10， 根据垂线段最短可知，当BP⊥AC时，BP的值最小，最小值BP4.8， ∴AP+BP+CP的最小值＝10+4.8＝14.8， 故选：A． 15．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D为AC上的动点，点E，F分别为AB，AD的中点，则EF最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：如图，连接BD， ∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴， ∵点E，F分别为AB，AD的中点， ∴EF是△ABD的中位线， ∴， ∴当BD最小时，EF的值最小， 当BD⊥AC时，BD最小， 此时，， 即， ∴， ∴， 故选：C． 16．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，点D为边AB上一动点，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，点P为EF中点，则PD的最小值为（　　） A．2.4 B．4.8 C．6 D．8 【答案】A 【解答】解：在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， 连接CD， ∵DE⊥AC，DF⊥BC， ∴四边形EDFC是矩形， ∴EF＝CD，∠EDF＝90°， ∵点P是EF的中点， ∴DPEFCD， 当CD最小时，则DP最小， 根据垂线段最短可知当CD⊥AB时，则CD最小， ∴DPEFCD2.4， 故选：A． 17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D，E分别在边AB，BC上，连接DE，点F，G分别是AC，DE的中点，连接FG，若DE＝6，则FG的最小值是（　　） A．1.8 B．2 C． D．2.5 【答案】B 【解答】解：如图，连接BG、BF， 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6， 由勾股定理得：AC10， 在Rt△DBE中，F是AC的中点， 则BFAC＝5， 在Rt△DBE中，G是DE的中点， 则BGDE＝3， 由三角形的三边关系可知：FG≥BF﹣BG＝2， ∴FG的最小值是2， 故选：B． 18．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝2，AD＜BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则∠AFD＝　90°　 ，线段BF的最小值为　1　 ． 【答案】90°，1． 【解答】解：取AD的中点M，连接MF，BM， ∵∠BAD＝90°， ∴∠BAE+∠DAF＝90°， ∵∠ADF＝∠BAE， ∴∠ADF+∠DAF＝90°， ∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°； ∵M是AD的中点， ∴AM＝MFAD2＝1， ∵AB＝4， ∴BM， 由三角形三边关系定理得到：BF≥BM﹣MF1， ∴BF的最小值是1． 故答案为：90°，1． 19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，，点D，E分别是线段BC，AB上的动点（点D不与点C重合），且CD＝AE，连接AD，CE，则AD+CE的最小值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，， ∴AC， 作CF⊥AB交AB于F，作∠BCH＝∠BAC，并使得CH＝AC，过点A作AG⊥HC交HC延长线于点G，连接AH，则∠G＝∠AFC＝90°，∠BAC+∠ACF＝90°， ∵∠ACF+∠BCF＝90°， ∴∠BCH＝∠BAC＝∠BCF， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠ACG+∠BCH＝90°， ∴∠ACF＝∠ACG， ∵AC＝AC， ∴△ACF≌△ACG（AAS）， ∴CG＝CF，AG＝AF， 又∵S△ABCAC•BCAB•CF， ∴CFCG， 则AG＝AF1， GH＝CG+CH2， ∴AH， ∵点D，点E运动速度相同， ∴CD＝AE， 又∵∠BCH＝∠BAC，CH＝AC， ∴△ACE≌△CHD（SAS）， ∴CE＝DH， ∴AD+CE＝AD+DH≥AH， 当点D在AH上时，取等号， ∴AD+CE的最小值为， 故答案为：． 考点04 勾股定理的数形结合 20．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝8，设CD＝x． （1）用含x的代数式表示AC+CE的长； （2）请问点C满足什么条件时AC+CE的值最小；并求出AC+CE的最小值． （3）参照上面构图的思想方法，构图求代数式的最小值． 【答案】（1）； （2）点C满足A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；AC+CE的最小值是； （3）25． 【解答】解：（1）C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC． ∵BD＝8，设CD＝x， ∴BC＝BD﹣CD＝8﹣x， ∵AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝2，DE＝1， ∴AC2＝AB2+BC2＝22+（8﹣x）2＝x2﹣16x+68，CE2＝CD2+DE2＝x2+12， ∴，， ∴； （2）点C满足A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小， 过点E作EF⊥AB的延长线于点F， ∴BF＝DE＝1，EF＝BD＝8， ∴AF＝AB+BF＝3， ∴； （3）如图所示，根据，构造AB＝10，DE＝5，BD＝20，CD＝x， 当A、C、E三点共线时，AC+CE最小，最小值为AE， 延长ED到点F，过点A作AF⊥DF于点F， 则四边形ABDF是长方形， ∴AF＝BD＝20，AB＝DF＝10，EF＝ED+DF＝5+10＝15， ∴， 即的最小值为25． 21．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD；连接AC、CE．已知AB＝3，DE＝2，BD＝12，设CD＝x． （1）①用含x的代数式表示AC+CE的长； ②求出AC+CE的最小值． （2）根据（1）中的规律和结论，重新构图求出代数式的最小值． （3）若正实数a，b，c满足a+b＝5﹣c，请构图求出代数式的最小值． 【答案】（1）①； ②AC+CE的最小值为13； （2）10； （3）13． 【解答】解：（1）①∵BD＝12，CD＝x， ∴BC＝12﹣x， 由勾股定理可得：，， ∴． ②过点D作DF⊥BD，过点A作AF⊥AB，连接AE，如图， ∴当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小， ∴， ∴AC+CE的最小值为13． （2）AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝5，DE＝1，BD＝8，如图： 过点D作DF⊥BD，过点A作AF⊥AB，连接AE，交BD于点C， ∴代数式的最小值为AE的长， 由勾股定理可得：， ∴原式的最小值为10． （3）∵a+b＝5﹣c， ∴a+b+c＝5， 将、、看作直角三角形的斜边， 通过平移可得水平位移的总长为a+b+c＝5，垂直位移总长为3+4+5＝12， ∴的最小值为． 考点05 勾股定理证明图形中的求值 22．“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形ABCD、BEFG、AHIG均为正方形．若S正方形AHIG＝20，AD＝3，则S△GFI＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵S正方形AHIG＝20， ∴， ∵四边形ABCD是正方形，AD＝3， ∴AB＝AD＝3，∠ABC＝90°， ∴， ∵四边形EFGB是正方形， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 23．如图，图1是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．探究学习中，标上字母绘成图2所示，若记朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，已知b﹣a＝2，a2+b2＝28，则图2中的阴影部分面积为（　　） A．20 B．22 C．23 D．24 【答案】B 【解答】解：如图2， ∵△EFG≌△CDG，△EFK≌△GHI， ∴阴影部分面积＝S正方形MFGC﹣S△CDG， ∵朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b， ∴GD＝GH＝a，CD＝BC＝b， ∵青出与青入的三角形全等， ∴△IJC≌△KAM， ∴JC＝AM＝b﹣a， ∴BM＝a， ∴CM＝CG， ∵b﹣a＝3，a2+b2＝28， ∴ab12， ∴阴影部分面积＝S正方形MFGC﹣S△CDG ＝a2+b2ab ＝28﹣6 ＝22， 故选：B． 24．中国古代数学家赵爽创制了一幅“弦图”，创造性地证明了勾股定理．它是由四个全等的直角三角形（△ABG，△BCH，△CDE，△DAF）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．如图，连结AE，BE，若AE＝AB，则△ABE与正方形ABCD的面积之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：过点A作AM⊥BE于点M，如图所示： 设正方形EFGH的边长为a， ∴EF＝FG＝FH＝HE＝a，∠GFE＝∠FEH＝∠EHG＝90°， ∴AF⊥DE，∠DEC＝EHB＝90°， ∴△DEC和△EHB都是直角三角形， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD， ∵AE＝AB， ∴AE＝AD， ∴△ADE是等腰三角形， 又∵AF⊥DE， ∴DF＝EF＝a， ∴DE＝DF+EF＝2a，CE＝DF＝EH＝BH＝a， 在Rt△DEC中，由勾股定理得：CD， ∴S正方形ABCD5a2，AE＝AB＝CD， 在Rt△EHB中，EH＝BH＝a， 由勾股定理得：BE， 在△ABE中，AE＝AB＝√5a，AM⊥BE于点M， ∴BMBE， 在Rt△ABM中，由勾股定理得：AM， ∴S△ABEBE•AM， ∴． 故选：B． 25．大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1），某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC为等边三角形，AD、BE、CF围成的△DEF也是等边三角形．已知点D、E、F分别是BE、CF、AD的中点，若△ABC的面积为14，则△DEF的面积是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：如图，连接BF， ∵点D、E、F分别是BE、CF、AD的中点， ∴S△BDF＝S△DEF，S△BDF＝S△ABF， 由题意可知，S△ABD＝S△AFC＝S△BEC， ∴S△ABD＝S△AFC＝S△BEC＝2S△DEF， ∴S△ABC＝S△ABD+S△BCE+S△AFC+S△EDF＝7S△DEF， ∵S△ABC＝14， ∴S△DEF＝2， 故选：B． 26．第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△ABE，△BFC，△CGD，△DHA）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，延长AH至点M，使得CM⊥AM，记A、C两点的水平距离AM为x，垂直距离CM为y，正方形ABCD的面积为S1，△BFC的面积为S2．若S1＝8S2，则x：y的值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：设AE＝a，BE＝b，AB＝c， 在直角三角形ABE中，由勾股定理得：AB2＝AE2+BE2， ∴c2＝a2+b2， 依题意，CF＝BE＝AH＝b，AE＝BF＝CG＝DH＝a， ∵CM⊥AM，A、C两点的水平距离AM为x，垂直距离CM为y， ∴四边形CFEM为矩形， ∴EM＝CF＝b，CM＝EF＝b﹣a＝y， ∴MA＝b+a＝x， ∵正方形ABCD的面积为S1，△BFC的面积为S2，S1＝8S2， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， 故答案为：． 27．如图，我们运用图1中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4ab，即可得到（a+b）2＝c2+4ab，由此推导出一个重要的结论a2+b2＝c2，这个重要的结论就是著名的“勾股定理”． （1）如图2，它由两个全等的直角三角形与一个小直角梯形组成，恰好拼成一个大直角梯形，请用其中面积的不同表示方法证明勾股定理． （2）观察图3，分解因式p2+q2+s2+2pq+2ps+2qs＝　（p+q+s）2 ；若x、y、z为实数，6x+4y+z＝16，9x2+4y280，利用上述结论求12xy+3xz+2yz的值． 【答案】（1）见解答； （2）（p+q+s）2，﹣16． 【解答】（1）证明：如图，连接EF， ∵△ABE≌△CBF，∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝∠CBF（全等三角形对应角相等）， ∴∠EBF＝∠CBE+∠CBF＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC＝90°， ∴根据三角形的面积公式得，， ∵， ， ， ∵S△BEF＝S梯形ABFD﹣S△ABE﹣S△DEF， ∴， ∴， ∴m2+n2＝t2； （2）解：由图形可知，p2+q2+s2+2pq+2ps+2qs＝（p+q+s）2， ∵6x+4y+z＝16， ∴（6x+4y+z）2＝162， ∴36x2+16y2+z2+48xy+12xz+8yz＝256， ∴， ∵， ∴12xy+3xz+2yz＝64﹣80＝﹣16． 即12xy+3xz+2yz的值为﹣16， 故答案为：（p+q+s）2． 28．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ 【问题拓展】 （3）△ABC中，AC＝10，BC＝17，AB＝21，CH⊥AB，垂足为H，请直接写出CH的值． 【答案】（1）见解答； （2）新路CH比原路CA少千米； （3）CH＝8． 【解答】（1）证明：∵梯形ABCD的面积可表示为， 也可以表示为， ∴， 整理，得a2+b2＝c2； （2）设AB＝AC＝x千米， ∴AH＝AB﹣BH＝（x﹣0.6）千米， 在Rt△ACH中， 由勾股定理，得CA2＝CH2+AH2， 即x2＝0.82+（x﹣0.6）2， 解得， 即千米， ∴（千米）， 答：新路CH比原路CA少千米； （3）CH＝8． 理由：如图，设AH＝y， ∵AB＝21， ∴BH＝21﹣y， ∵CH⊥AB，垂足为H， ∴△ACH，△BCH都是Rt△， 在Rt△ACH中， ∵AC＝10， ∴由勾股定理，得CH2＝AC2﹣AH2＝102﹣y2， 在Rt△BCH中， ∵BC＝17， ∴由勾股定理，得CH2＝BC2﹣BH2＝172﹣（21﹣y）2， ∴102﹣y2＝172﹣（21﹣y）2， 解得y＝6， 在Rt△ACH中， 由勾股定理，得CH8， 题型06 勾股定理的实际应用 29．已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm，则铅笔的长是（　　） A．22cm B．21cm C．20cm D．19cm 【答案】A 【解答】解：设铅笔长度为xcm， 已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm， ∴（x﹣3）2﹣82＝（x﹣1）2﹣122， 解得x＝22， 故铅笔的长为22cm， 故选：A． 30．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分h的取值范围为（　　） A．3＜h＜4 B．3≤h≤4 C．2≤h≤4 D．h＝4 【答案】B 【解答】解：①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16﹣12＝4（cm）； ②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形， 底面对角线直径为5cm，高为12cm， 由勾股定理可得杯里面管长为13cm，则露在杯口外的长度最长为16﹣13＝3cm； 则可得露在杯口外的长度在3cm和4cm范围变化． 故选：B． 31．华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从A点到B点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（　　）米． A． B．20 C．15 D． 【答案】C 【解答】解：展开图： 12÷3＝4（米）， （米）， 5×3＝15（米）， 故选：C． 32．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时（即水平距离CD＝6m），踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　） A． B． C．6m D． 【答案】B 【解答】解：设绳索AC的长是xm，则AB＝xm， ∵DE＝FC＝4m，BE＝1m， ∴AD＝AB+BE﹣DE＝x+1﹣4＝（x﹣3）m， 在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC2＝AD2+CD2， 即x2＝（x﹣3）2+62， 解得：x， 即绳索AC的长是m， 故选：B． 33．风筝，自春秋时期起源，至今已承载两千多年的智慧．为探索其蕴含的数学原理，某综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开实践活动，探索过程如下： 【抽象模型】该小组基于风筝放飞的实际情况，画出了如图1所示的示意图，其中点A为风筝所在的位置，BC为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，AB为风筝线的长度，AD为风筝到地面的垂直距离． 【测量数据】小组成员测量了图1相关数据，测得BC长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离（即CD的长）为1.8米． 【问题解决】根据以上信息，解决下列问题： （1）请根据图1中测得的数据，计算此时风筝离地面的垂直高度AD； （2）如图2，若风筝沿DA方向再上升8米到达点E，且风筝线的长度不变，放风筝的同学沿射线BC方向前进，放风筝的手水平移至点F处，则BF的长度是多少米？ 【答案】（1）风筝离地面的垂直高度AD为8.8米； （2）4米． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，（米）， ∴AD＝AC+CD＝7+1.8＝8.8（米）． 答：此时风筝离地面的垂直高度AD为8.8（米）． （2）CE＝AC+AE＝7+8＝15（米）， 由题意可得：EF＝AB＝25（米）， 在Rt△EFC中，（米）， ∴BF＝BC﹣CF＝24﹣20＝4（米）， 答：他应该朝射线BC方向前进4米． 34．我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，且AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． （1）求证：∠ACB＝90°； （2）海港C受台风影响吗？为什么？ （3）若台风的速度为40km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】（1）见解答； （2）海港C受到台风影响； （3）台风影响该海港持续的时间为3.5h． 【解答】解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km， ∴AC2+BC2＝AB2． ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°； （2）海港C受台风影响． 理由如下：如图，过点C作CD⊥AB于D． ∵S△ABCAC•BCAB•CD， ∴CD240（km）， ∵250＞240， ∴海港C受到台风影响； （3）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口． 在Rt△CED中，由勾股定理得 ED70（km）， ∴EF＝140km， ∵台风的速度为40km/h， ∴140÷40＝3.5（h）． ∴台风影响该海港持续的时间为3.5h． 题型07 勾股定理中的压轴题 35．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）当t＝2秒时，求PQ的长； （2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？ （3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）解：（1）BQ＝2×2＝4cm， BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm， ∵∠B＝90°， PQ2（cm）； （2）解：根据题意得：BQ＝BP， 即2t＝8﹣t， 解得：t； 即出发时间为秒时，△PQB是等腰三角形； （3）解：分三种情况： ①当CQ＝BQ时，如图1所示： 则∠C＝∠CBQ， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBQ+∠ABQ＝90°， ∠A+∠C＝90°， ∴∠A＝∠ABQ ∴BQ＝AQ， ∵∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm， ∴AC10（cm）， ∴CQ＝AQAC＝5（cm）， ∴BC+CQ＝11（cm）， ∴t＝11÷2＝5.5秒． ②当CQ＝BC时，如图2所示： 则BC+CQ＝12（cm）， ∴t＝12÷2＝6秒． ③当BC＝BQ时，如图3所示： 过B点作BE⊥AC于点E， 则BE4.8（cm） ∴CE3.6cm， ∴CQ＝2CE＝7.2cm， ∴BC+CQ＝13.2cm， ∴t＝13.2÷2＝6.6秒． 由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时， △BCQ为等腰三角形． 36．我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为62+82＝4×52＝100，所以这个三角形是常态三角形． （1）若△ABC三边长分别是2，和4，则此三角形 　是　 常态三角形（填“是”或“不是”）； （2）若Rt△ABC是常态三角形，则此三角形的三边长之比为 　：：　 （请按从小到大排列）； （3）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为AB的中点，连接CD，若△BCD是常态三角形，求△ABC的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵22+42＝4×（）2＝20， ∴△ABC三边长分别是2，和4，则此三角形是常态三角形． 故答案为：是； （2）∵Rt△ABC是常态三角形， ∴设两直角边长为：a，b，斜边长为：c， 则a2+b2＝c2，a2+c2＝4b2， 则2a2＝3b2， 故a：b：， ∴设ax，bx， 则cx， ∴此三角形的三边长之比为：：：． 故答案为：：：； （3）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为AB的中点，△BCD是常态三角形， ∴当AD＝BD＝DC，CD2+BD2＝4×62时， 解得：BD＝DC＝6， 则AB＝12， 故AC6， 则△ABC的面积为：6×6． 当AD＝BD＝DC，CD2+BC2＝4×BD2时， 解得：BD＝DC＝2， 则AB＝4， 故AC＝2， 则△ABC的面积为：6×26． 故△ABC的面积为或6． 37．回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，先后给出了各种证明方法，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】晓风对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，不难发现：大正方形面积＝4个小三角形面积+小正方形面积，从而得到等式，化简证得勾股定理a2+b2＝c2． 【图形变式】晓华同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： （1）如图1，若b＝2a，那么小正方形面积：大正方形面积的比值等于　，5：4　 ． （2）如图2，晓华先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果a＝3，b＝5，那么空白部分的面积等于　19　 ． （3）如图3，晓华再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为28，OC＝2，求该风车状图案的面积． 【迁移运用】如图4，用三张含60°角的全等三角形纸片能拼出一个大等边三角形，你能仿照勾股定理的验证过程，发现含60°角的三角形三边a、b、c之间的关系吗？ （4）请直接写出此等量关系式：a2+b2﹣ab＝c2 ．（知识补充：如图5，含60°角的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．） 【答案】（1）5：9； （2）19； （3）； （4）a2+b2﹣ab＝c2． 【解答】解：（1）∵，b＝2a， ∴， ∴，即小正方形面积：大正方形面积＝5：9， 故答案为：5：9； （2）根据题意得， ， ∵空白部分的面积为＝小正方形的面积﹣两个三角形的面积， ∴，即空白部分的面积为19， 故答案为：19； （3）如图， 根据题意得， AB+AC＝28÷4＝7，OB＝OC＝2． 设AC＝x，则OA＝2+x，AB＝7﹣x． 在Rt△ABO中，OA2+OB2＝AB2， 即（x+2）2+22＝（7﹣x）2， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积； （4）a2+b2﹣ab＝c2． 理由：设大正三角形的高为h大，中心小正三角形的高为h小，三个全等三角形的边a上的高为h单． 由图可知大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积， ， ∴大等边三角形的面积， ， ∴小等边三角形的面积， ， ， ∴三个这样的三角形面积之和为， ∴， 即（a+b）2＝c2+3ab， ∴a2+b2﹣ab＝c2， 故答案为：a2+b2﹣ab＝c2． 38．综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角△ABC和△DEA如图2放置，其三边长分别为a，b，c，∠BAC＝∠DEA＝90°，显然BC⊥AD． （1）请用a，b，c，分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2+b2＝c2． （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，则△ABC面积为 　6　 ． （3）如图4，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝5，AC＝6，BC＝7，设BD＝x，求x的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵，，， S四边形ABCD＝S梯形AEDC+S△BED， ∴， ∴， ∴a2+b2＝c2； （2）解：， 故答案为：6； （3）解：在Rt△ABD中，由勾股定理得： AD2＝AB2﹣BD2＝52﹣x2＝25﹣x2 ∵BD+CD＝BC＝7， ∴CD＝BC﹣BD＝7﹣x 在Rt△ACD中，由勾股定理得 AD2＝AC2﹣CD2＝62﹣（7﹣x）2＝﹣13+14x﹣x2 ∴25﹣x2＝﹣13+14x﹣x2， ∴． 39．某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：“锐（钝）角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念：如图（1）△ABC中，M是BC的中点，P是射线MA上的点，设k，若∠BPC＝90°，则称k为勾股比． （1）如图（1），过B、C分别作中线AM的垂线，垂足为E、D．求证：CD＝BE． （2）①如图（2），当k＝1，且AB＝AC时，AB2+AC2＝　2.5　 BC2（填一个恰当的数）． ②如图（1），当k＝1，△ABC为锐角三角形，且AB≠AC时，①中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由； ③对任意锐角或钝角三角形，如图（1）、（3），请用含勾股比k的表达式直接表示AB2+AC2与BC2的关系（写出锐角或钝角三角形中的一个即可）． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵M是BC的中点， ∴BM＝CM， ∵BE⊥AM于E，CD⊥AM于D， ∴∠E＝∠CDM＝90°， 在△BME和△CMD中， ， ∴△BME≌△CMD（AAS）， ∴CD＝BE； （2）①AB2+AC2＝2.5BC2． 理由如下：∵AM是△ABC的中线， ∴PM＝BM＝CMBC， ∵k＝1， ∴AP＝PM， ∴AM＝2PM＝BC， 在Rt△ABM中，AB2＝AM2+BM2＝BC2BC2BC2， 在Rt△ACM中，AC2＝AM2+CM2＝BC2BC2BC2， ∴AB2+AC2BC2BC2＝2.5BC2； 即AB2+AC2＝2.5BC2； ②结论仍然成立． 设EM＝DM＝a，则AE＝AM+a，AD＝AM﹣a， 在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2＝（AM+a）2+BE2＝AM2+2AM•a+a2+BE2， 在Rt△ACD中，AC2＝AD2+CD2＝（AM﹣a）2+CD2＝AM2﹣2AM•a+a2+CD2， ∴AB2+AC2＝2AM2+（a2+BE2）+（a2+CD2）， ∵BE⊥AM于E，CD⊥AM于D， ∴∠E＝∠CDM＝90°， ∴a2+BE2＝BM2BC2，a2+CD2＝CM2BC2， ∴AB2+AC2＝2AM2BC2， ∵1， ∴AP＝PM， ∵∠BPC＝90°，AM是△ABC的中线， ∴PMBC， 若△ABC是锐角三角形，则AM＝AP+PM＝PM+PM＝（1+1）PM＝BC， ∴AB2+AC2＝2×BC2BC2BC2， 即AB2+AC2＝2.5BC2； ③结论：锐角三角形：AB2+AC2BC2， 钝角三角形：AB2+AC2BC2， 理由如下：设EM＝DM＝a，则AE＝AM+a，AD＝AM﹣a， 在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2＝（AM+a）2+BE2＝AM2+2AM•a+a2+BE2， 在Rt△ACD中，AC2＝AD2+CD2＝（AM﹣a）2+CD2＝AM2﹣2AM•a+a2+CD2， ∴AB2+AC2＝2AM2+（a2+BE2）+（a2+CD2）， ∵BE⊥AM于E，CD⊥AM于D， ∴∠E＝∠CDM＝90°， ∴a2+BE2＝BM2BC2，a2+CD2＝CM2BC2， ∴AB2+AC2＝2AM2BC2， ∵k， ∴AP＝kPM， ∵∠BPC＝90°，AM是△ABC的中线， ∴PMBC， 若△ABC是锐角三角形，则AM＝AP+PM＝kPM+PM＝（k+1）PMBC， ∴AB2+AC2＝2×（BC）2BC2BC2， 即AB2+AC2BC2； 若△ABC是钝角三角形，则AM＝PM﹣AP＝PM﹣kPM＝（1﹣k）PMBC， AB2+AC2＝2×（BC）2BC2BC2， 即AB2+AC2BC2． 40．在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【已有知识】由于，由此得到在数轴上表示对应的点的方法，如图1．结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段． 【运用知识】（1）如图2，点O、点A在数轴上，且OA＝2，AB＝1，AB⊥OA于A，以点O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴于点P，则点P表示的数是　　 ．（直接写出答案） （2）请在图3的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）内． ①画出顶点在格点的△ABC，其中，，； ②求出△ABC的面积． 【拓展探究】（3）如图4，结合直角坐标系，我们发现：要求出坐标系中A、B两点的距离，显然是转化为求Rt△ABC的斜边长．下面以求DE为例来说明如何解决： 从坐标系中发现：D（﹣1，﹣4），E（6，﹣2），所以DF＝|6﹣（﹣1）|＝7，EF＝|﹣2﹣（﹣4）|＝2，所以由勾股定理可得，． ①在图5中，设A（x1，y1），B（x2，y2），AC∥y轴，BC∥x轴，AC⊥BC于点C，则AC＝y1﹣y2 ，BC＝x1﹣x2 ，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式，；（直接写出答案） ②图4中，平面直角坐标系中有两点M（﹣3，4），N（﹣6，1），P为x轴上任一点，则PM+PN的最小值为　　 ；（直接写出答案） ③应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值为：　　 ．（直接写出答案） 【答案】（1）； （2）①；②2； （3）①y1﹣y2，x1﹣x2；②；③． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∴数轴中点P表示的数是． 故答案为：； （2）①如图所示，△ABC即为所求； ②AC2+BC2＝2+8＝10＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∴△ABC 的面积； （3）①∵A（x1，y1），B（x2，y2），AC∥y轴，BC∥x轴，AC⊥BC， ∴AC＝y1﹣y2，BC＝x1﹣x2． 故答案为：y1﹣y2，x1﹣x2； ②如图，作点N关于x轴对称的点G，连接MG，直线MG与x轴的交点即为所求的点P． ∵N（﹣6，1）， ∴G（﹣6，﹣1）， ∵M（﹣3，4）， ∴PM+PN＝PM+PG＝MG，即 PM+PN的最小值为． 故答案为：； ③∵把式看成点（x，y）到两点（﹣1，2）和（5，﹣1）的距离之和， ∴两点 （﹣1，2）和 （5，﹣1）的距离是的最小值， ∴最小值为：． 故答案为：． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 勾股定理期末常考知识点中的难点与压轴题 题型01 勾股定理与面积（关系与求值） 考点02 勾股定理解决两点间的距离问题 考点03 勾股定理解决最值问题 考点04 勾股定理的数形结合 考点05 勾股定理证明图形中的求值 题型06 勾股定理的实际应用 题型07 勾股定理中的压轴题 题型01 勾股定理与面积（关系与求值） 1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1、S2、S3，若S1+S3﹣S2＝32，则阴影部分面积为（　　） A．8 B．14 C．16 D．18 2．如图，已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝2，分别以△ABC的三条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积S1+S2+S3＝（　　） A．3 B． C． D． 3．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足4（S1+S2）＝S3，则下列说法正确的是（　　） A．AB＝AC B．2AB＝AC C．2AB＝BC D．2AC＝BC 4．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树…依此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为（　　） A．1013 B．2027 C．2026 D．2025 5．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形．若S1+S4＝80，S3＝20，则S2＝（　　） A．50 B．60 C．100 D．110 6．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3+S1﹣S2＝12，则图中阴影部分的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 7．如图，分别以Rt△ABC的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3+2S2﹣S1＝48，则图中阴影部分的面积为（　　） A．8 B．12 C．6 D．24 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、BC、AB为边向外作正方形ACDE、正方形CBHP、正方形BAFG，其面积分别为S1、S2，S3，则S1、S2、S3之间的等量关系为 　 　 ；分别以GH、PD、EF为边向外作正方形，其面积分别为S4、S5、S6，则S4、S5、S6之间的等量关系为 　 　 ． 9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC，BC和AB为边向上作正方形ACED和正方形BCMI和正方形ABGF，点G落在MI上，若AC+BC＝7，空白部分面积为24，则图中阴影部分的面积是 　 　 ． 考点02 勾股定理解决两点间的距离问题 10．在平面直角坐标系中，点A（1，3）、B（﹣2，2）、C（0，4），判断△ABC的形状． 11．综合与实践 【问题情境】 在平面直角坐标系中，有不重合的两点A（x1，y1）和点B（x2，y2），若x1＝x2，则AB∥y轴，且线段AB的长度为|y1﹣y2|；若y1＝y2，则AB∥x轴，且线段AB的长度为|x1﹣x2|． 【知识应用】 （1）若点A（﹣1，1），B（2，1），则AB∥x轴，AB的长度为 　 　 ； 【拓展延伸】 我们规定：平面直角坐标系中，任意不重合的两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的折线距离为d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．例如：图1中，点M（﹣1，1）与点N（1，﹣2）之间的折线距离为d（M，N）＝|﹣1﹣1|+|1﹣（﹣2）|＝2+3＝5． 【问题解决】 （2）如图2，已知E（2，0），若F（﹣1，﹣1），则d（E，F）＝ 　 　 ； （3）如图2，已知E（2，0），G（1，t），若d（E，G）＝3，则t的值为 　 　 ； （4）如图3，已知E（2，0），H（0，2），点P是△EOH的边上一点，若，求点P的坐标． 12．先阅读下列一段文字，再回答问题． 已知平面内两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），这两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|． （1）已知点A（2，4），B（﹣3，﹣8），试求A，B两点间的距离； （2）已知点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为2，A，B两点间的距离为4，求点A的纵坐标； （3）已知△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣2，1），B（1，﹣1），C（3，2），你能判断△ABC的形状吗？说明理由． 13．在“勾股定理”的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法．由得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1． （1）【类比运用】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段．请在图2正方形网格（每个小正方形的边长为1）内： ①画出顶点在格点的△ABC，其中，，； ②求出①中所画△ABC的面积． （2）【拓展运用】 ①在图3中，设A（x1，y1），B（x2，y2），AC∥y轴，BC∥x轴，AC⊥BC于点C，则AC＝ 　 　 ，BC＝ 　 　 ，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式：； ②求代数式的最小值为 　 　 ． 考点03 勾股定理解决最值问题 14．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，若P是AC上的一个动点，则AP+BP+CP的最小值是（　　） A．14.8 B．15 C．15.2 D．16 15．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D为AC上的动点，点E，F分别为AB，AD的中点，则EF最小值为（　　） A． B． C． D． 16．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，点D为边AB上一动点，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，点P为EF中点，则PD的最小值为（　　） A．2.4 B．4.8 C．6 D．8 17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D，E分别在边AB，BC上，连接DE，点F，G分别是AC，DE的中点，连接FG，若DE＝6，则FG的最小值是（　　） A．1.8 B．2 C． D．2.5 18．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝2，AD＜BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则∠AFD＝　 　 ，线段BF的最小值为　 　 ． 19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，，点D，E分别是线段BC，AB上的动点（点D不与点C重合），且CD＝AE，连接AD，CE，则AD+CE的最小值为　 　 ． 考点04 勾股定理的数形结合 20．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝8，设CD＝x． （1）用含x的代数式表示AC+CE的长； （2）请问点C满足什么条件时AC+CE的值最小；并求出AC+CE的最小值． （3）参照上面构图的思想方法，构图求代数式的最小值． 21．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD；连接AC、CE．已知AB＝3，DE＝2，BD＝12，设CD＝x． （1）①用含x的代数式表示AC+CE的长； ②求出AC+CE的最小值． （2）根据（1）中的规律和结论，重新构图求出代数式的最小值． （3）若正实数a，b，c满足a+b＝5﹣c，请构图求出代数式的最小值． 考点05 勾股定理证明图形中的求值 22．“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形ABCD、BEFG、AHIG均为正方形．若S正方形AHIG＝20，AD＝3，则S△GFI＝（　　） A． B． C． D． 23．如图，图1是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．探究学习中，标上字母绘成图2所示，若记朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，已知b﹣a＝2，a2+b2＝28，则图2中的阴影部分面积为（　　） A．20 B．22 C．23 D．24 24．中国古代数学家赵爽创制了一幅“弦图”，创造性地证明了勾股定理．它是由四个全等的直角三角形（△ABG，△BCH，△CDE，△DAF）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．如图，连结AE，BE，若AE＝AB，则△ABE与正方形ABCD的面积之比为（　　） A． B． C． D． 25．大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1），某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC为等边三角形，AD、BE、CF围成的△DEF也是等边三角形．已知点D、E、F分别是BE、CF、AD的中点，若△ABC的面积为14，则△DEF的面积是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 26．第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△ABE，△BFC，△CGD，△DHA）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，延长AH至点M，使得CM⊥AM，记A、C两点的水平距离AM为x，垂直距离CM为y，正方形ABCD的面积为S1，△BFC的面积为S2．若S1＝8S2，则x：y的值为　 　 ． 27．如图，我们运用图1中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4ab，即可得到（a+b）2＝c2+4ab，由此推导出一个重要的结论a2+b2＝c2，这个重要的结论就是著名的“勾股定理”． （1）如图2，它由两个全等的直角三角形与一个小直角梯形组成，恰好拼成一个大直角梯形，请用其中面积的不同表示方法证明勾股定理． （2）观察图3，分解因式p2+q2+s2+2pq+2ps+2qs＝　 　 ；若x、y、z为实数，6x+4y+z＝16，9x2+4y280，利用上述结论求12xy+3xz+2yz的值． 28．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ 【问题拓展】 （3）△ABC中，AC＝10，BC＝17，AB＝21，CH⊥AB，垂足为H，请直接写出CH的值． 题型06 勾股定理的实际应用 29．已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm，则铅笔的长是（　　） A．22cm B．21cm C．20cm D．19cm 30．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分h的取值范围为（　　） A．3＜h＜4 B．3≤h≤4 C．2≤h≤4 D．h＝4 31．华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从A点到B点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（　　）米． A． B．20 C．15 D． 32．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时（即水平距离CD＝6m），踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　） A． B． C．6m D． 33．风筝，自春秋时期起源，至今已承载两千多年的智慧．为探索其蕴含的数学原理，某综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开实践活动，探索过程如下： 【抽象模型】该小组基于风筝放飞的实际情况，画出了如图1所示的示意图，其中点A为风筝所在的位置，BC为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，AB为风筝线的长度，AD为风筝到地面的垂直距离． 【测量数据】小组成员测量了图1相关数据，测得BC长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离（即CD的长）为1.8米． 【问题解决】根据以上信息，解决下列问题： （1）请根据图1中测得的数据，计算此时风筝离地面的垂直高度AD； （2）如图2，若风筝沿DA方向再上升8米到达点E，且风筝线的长度不变，放风筝的同学沿射线BC方向前进，放风筝的手水平移至点F处，则BF的长度是多少米？ 34．我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，且AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． （1）求证：∠ACB＝90°； （2）海港C受台风影响吗？为什么？ （3）若台风的速度为40km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 题型07 勾股定理中的压轴题 35．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）当t＝2秒时，求PQ的长； （2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？ （3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间． 36．我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为62+82＝4×52＝100，所以这个三角形是常态三角形． （1）若△ABC三边长分别是2，和4，则此三角形 　 　 常态三角形（填“是”或“不是”）； （2）若Rt△ABC是常态三角形，则此三角形的三边长之比为 　 　 （请按从小到大排列）； （3）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为AB的中点，连接CD，若△BCD是常态三角形，求△ABC的面积． 37．回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，先后给出了各种证明方法，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】晓风对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，不难发现：大正方形面积＝4个小三角形面积+小正方形面积，从而得到等式，化简证得勾股定理a2+b2＝c2． 【图形变式】晓华同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： （1）如图1，若b＝2a，那么小正方形面积：大正方形面积的比值等于　 　 ． （2）如图2，晓华先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果a＝3，b＝5，那么空白部分的面积等于　 　 ． （3）如图3，晓华再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为28，OC＝2，求该风车状图案的面积． 【迁移运用】如图4，用三张含60°角的全等三角形纸片能拼出一个大等边三角形，你能仿照勾股定理的验证过程，发现含60°角的三角形三边a、b、c之间的关系吗？ （4）请直接写出此等量关系式：　 　 ．（知识补充：如图5，含60°角的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．） 38．综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角△ABC和△DEA如图2放置，其三边长分别为a，b，c，∠BAC＝∠DEA＝90°，显然BC⊥AD． （1）请用a，b，c，分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2+b2＝c2． （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，则△ABC面积为 　 　 ． （3）如图4，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝5，AC＝6，BC＝7，设BD＝x，求x的值． 39．某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：“锐（钝）角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念：如图（1）△ABC中，M是BC的中点，P是射线MA上的点，设k，若∠BPC＝90°，则称k为勾股比． （1）如图（1），过B、C分别作中线AM的垂线，垂足为E、D．求证：CD＝BE． （2）①如图（2），当k＝1，且AB＝AC时，AB2+AC2＝　 　 BC2（填一个恰当的数）． ②如图（1），当k＝1，△ABC为锐角三角形，且AB≠AC时，①中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由； ③对任意锐角或钝角三角形，如图（1）、（3），请用含勾股比k的表达式直接表示AB2+AC2与BC2的关系（写出锐角或钝角三角形中的一个即可）． 40．在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【已有知识】由于，由此得到在数轴上表示对应的点的方法，如图1．结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段． 【运用知识】（1）如图2，点O、点A在数轴上，且OA＝2，AB＝1，AB⊥OA于A，以点O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴于点P，则点P表示的数是　 　 ．（直接写出答案） （2）请在图3的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）内． ①画出顶点在格点的△ABC，其中，，； ②求出△ABC的面积． 【拓展探究】（3）如图4，结合直角坐标系，我们发现：要求出坐标系中A、B两点的距离，显然是转化为求Rt△ABC的斜边长．下面以求DE为例来说明如何解决： 从坐标系中发现：D（﹣1，﹣4），E（6，﹣2），所以DF＝|6﹣（﹣1）|＝7，EF＝|﹣2﹣（﹣4）|＝2，所以由勾股定理可得，． ①在图5中，设A（x1，y1），B（x2，y2），AC∥y轴，BC∥x轴，AC⊥BC于点C，则AC＝　 　 ，BC＝　 　 ，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式，；（直接写出答案） ②图4中，平面直角坐标系中有两点M（﹣3，4），N（﹣6，1），P为x轴上任一点，则PM+PN的最小值为　 　 ；（直接写出答案） ③应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值为：　 　 ．（直接写出答案） 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $