专题02 二次根式期末常考知识点中的难点与压轴题（高效培优期末专项训练）数学新教材人教版八年级下册

专题02 二次根式常考点中的难点与压轴题 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 题型01 二次根式有意义的条件（多个二次根式） 题型02 二次根式的性质（还原形化简） 题型03 二次根式的性质（结合完全平方公式化简） 题型04 二次根式的性质（结合三角形的边化简） 题型05 二次根式的性质（双重二次根式的化简） 题型06 二次根式的化简求值（高次幂求值） 题型07 二次根式的分母有理化 题型08 二次根式中的压轴题 题型01 二次根式有意义的条件（多个二次根式） 1．要使代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x≤1 C．x＝1 D．全体实数 【答案】C 【解答】解：∵有意义， ∴， 解得x＝1． 故选：C． 2．若，则代数式xy的值为（　　） A．4 B． C．﹣4 D． 【答案】A 【解答】解：根据题意，得 ， 解得x， ∴y＝﹣2； ∴xy4． 故选：A． 3．已知，则a+b＝　6　 ． 【答案】6． 【解答】解：根据题意得， 解得a＝1， ∴b＝5， ∴a+b＝1+5＝6， 故答案为：6． 4．若，则xy的值为　81　 ． 【答案】81． 【解答】解：∵， ∴， 解得x＝3， ∴y＝4， ∴xy＝34＝81， 故答案为：81． 5．已知，则（x﹣y）2025＝　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：根据题意得，， 解得x＝5， ∴y＝6， ∴（x﹣y）2025＝（5﹣6）2025＝（﹣1）2025＝﹣1， 故答案为：﹣1． 6．已知，则a2026﹣b2026的值是　0　 ． 【答案】0． 【解答】解：由题意得：a﹣1≥0，1﹣a≥0， 则a＝1， ∴b＝﹣1， ∴a2026﹣b2026＝12026﹣（﹣1）2026＝0， 故答案为：0． 题型02 二次根式的性质（还原形化简） 7．把化简后，正确结果（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据题意，得a﹣b＞0， ∴ ， 故选：B． 8．化简二次根式a的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵a2＞0， ∴﹣（a+2）≥0，得a≤﹣2， ∴a ＝a ． 故选：B． 题型03 二次根式的性质（结合完全平方公式化简） 9．已知实数a，b在数轴上的对应点如图，化简：的结果为（　　） A．a B．﹣3a﹣2b C．﹣a D．a+b 【答案】C 【解答】解：观察数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|， ∴a+b＜0， ∴原式 ＝﹣a﹣b﹣a﹣（﹣a﹣b） ＝﹣a﹣b﹣a+a+b ＝﹣a 故选：C． 10．已知1≤a≤2，化简　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：由条件可知a﹣1≥0，a﹣2≤0， ∴原式＝|a﹣1|+|a﹣2| ＝a﹣1﹣（a﹣2）＝a﹣1﹣a+2＝1． 故答案为：1． 11．阅读下面的文字后，回答问题： 对题目“化简并求值：m，其中m＝5”，甲、乙两人的解答不同： 甲的解答：原式＝mm+1﹣3m＝1﹣2m＝1﹣2×5＝﹣9 乙的解答：原式＝mm+3m﹣1＝4m﹣1＝4×5﹣1＝19 （1）你认为 　甲　 的解答是错误的，原因是未能正确运用二次根式的性质：　|a|　 ； （2）模仿上面正确的解答，化简并求值：，其中m． 【答案】（1）甲，|a|； （2）2． 【解答】解：（1）当m＝5时，1﹣3m＜0， ∴|1﹣3m|＝3m﹣1， ∴我认为甲的解答是错误的，原因是未能正确运用二次根式的性质：|a|， 故答案为：甲，|a|； （2） ＝|m﹣5|+|3﹣m| 当m时，m﹣5＜0，3﹣m＜0， ∴原式＝5﹣m+m﹣3 ＝2． 题型04 二次根式的性质（结合三角形的边化简） 12．若2、5、n为三角形的三边长，则化简的结果为（　　） A．5 B．2n﹣11 C．11﹣2n D．﹣5 【答案】A 【解答】解：由三角形三边关系可知：3＜n＜7， ∴3﹣n＜0，8﹣n＞1， 原式＝|3﹣n|+|8﹣n| ＝﹣（3﹣n）+（8﹣n） ＝﹣3+n+8﹣n ＝5， 故选：A． 13．已知：2、3、y是一个三角形的三条边，则|y﹣1|的化简结果　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：∵2，3，y是一个三角形的三条边， ∴1＜y＜5， ∴原式＝y﹣1 ＝y﹣1+|y﹣5| ＝y﹣1+5﹣y ＝4． 故答案为：4． 14．已知a，b，c为三角形的三边，则a+b+c ． 【答案】a+b+c 【解答】解：∵a，b，c为三角形的三边， ∴a+b＞c，c+a＞b，b+c＞a， ∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，b+c﹣a＞0， ∴|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|b+c﹣a|＝a+b﹣c+a+c﹣b+b+c﹣a＝a+b+c． 故答案为：a+b+c． 题型05 二次根式的性质（双重二次根式的化简） 15．材料：如何将双重二次根式（a＞0，b＞0，）化简呢？如能找到两个数m，n（m＞0，n＞0），使得m+n＝a，即，且使m•n＝b，即，那么，∴，双重二次根式得以化简． 例如：化简，∵3＝1+2，且2＝1×2，∴，∵，∴． 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到m，n（m＞0，n＞0）使得m+n＝a，且m•n＝b，那么这个双重二次根式一定化简． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： （1）填空：　　 ，　　 ； （2）化简：； （3）计算：． 【答案】（1），； （2）； （3）． 【解答】解：（1）∵5＝3+2且6＝3×2， ∴， ∴， 故答案为：； ∵12＝7+5且35＝7×5， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵9＝6+3且18＝6×3， ∴， ∴， ∴； （3）解： ， ∵，， ∴ 题型06 二次根式的化简求值（高次幂求值） 16．计算：　4　 （其中a＞0） 【答案】4 【解答】解：第一项与最后一项相加得： ， ， ， ＝1， 同理可得：第二项与倒数第二项的和也是1；第三项与倒数第三项的和也是1； 所以原式＝1+1+1+1＝4． 故应填：4． 17．若，则2a4﹣12a3﹣24a+7＝　15　 ． 【答案】15． 【解答】解：a3， ∴a﹣3， ∴（a﹣3）2＝11， ∴a2﹣6a+9＝11，即a2﹣6a＝2， 则2a4﹣12a3﹣24a+7 ＝2a2（a2﹣6a）﹣24a+7 ＝4a2﹣24a+7 ＝4（a2﹣6a）+7 ＝8+7 ＝15， 故答案为：15． 18．已知，则x3+2x2+x+3的值为（　　） A． B．3 C． D． 【答案】C 【解答】解：∵x1， ∴x2＝（1）2＝3+1﹣24﹣2， ∴x3+2x2+x+3 ＝x2（x+2）+x+3 ＝（4﹣2）（1+2）1+3 ＝（4﹣2）（1）2 ＝44﹣6﹣22 ＝3． 故选：C． 19．若，ab＝3，则a3b﹣2a2b2+ab3＝　6　 ． 【答案】6． 【解答】解：∵，ab＝3， ∴a3b﹣2a2b2+ab3 ＝ab（a2﹣2ab+b2） ＝ab（a﹣b）2 ＝3×（）2 ＝3×2 ＝6． 故答案为：6． 题型07 二次根式的分母有理化 20．下列各选项中，的有理化因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：的有理化因式是， 故选：B． 21．的一个有理化因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：的一个有理化因式是， 故选：A． 22．已知，，则a与b的关系是（　　） A．a+b＝0 B．a＝b C．a•b＝1 D．a•b＝﹣1 【答案】A 【解答】解：∵ ， 又∵， ∴a+b＝0， 故选：A． 23．阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 比如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，． 因为，所以，． 再例如，求y的最大值、做法如下： 解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y． 当x＝2时，分母有最小值2．所以y的最大值是2． 利用上面的方法，完成下述两题： （1）比较和的大小； （2）求y3的最大值． 【答案】（1）； （2）y有最大值是3． 【解答】解：（1）， ， 而， ∴， ∴； （2）∵x+1≥0，x﹣1≥0， ∴x≥1， ∵y， 当x＝1时，分母有最小值， ∴y有最大值是3． 24．阅读下列解题过程：2； 22； 请解答下列问题： （1）观察上面解题过程，计算； （2）请直接写出的结果．（n≥1） （3）利用上面的解法，请化简：． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式； （2）归纳总结得：（n≥1）； （3）原式110﹣1＝9． 题型08 二次根式中的压轴题 25．阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： ； ． 【类比归纳】 （1）填空： ①　①　 　1　 ； ②　　 ±　　 ）2（a≥0，b≥0）． （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形ABCD中裁去两个小正方形DHFM和BEFG，若两小正方形的面积分别为5cm2和，求剩余部分的面积． 【答案】（1）①；1；②；； （2）； （3）． 【解答】解：（1）结合题目给的例子，利用完全平方公式可得： ①； ②； 故答案为：①；1；②；； （2）； （3）设小正方形的边长为xcm，大正方形的边长为ycm， 根据题意得：x2＝5，， ∴，， 则． 26．问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）． 材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S． （1）利用材料1解决下面的问题： 当a＝3，b＝5，c＝6时，求这个三角形的面积； （2）利用材料2解决下面的问题： 已知△ABC三条边的长度分别是，记△ABC的周长为C△ABC． ①当x＝2时，请直接写出△ABC中最长边的长度　3　 ； ②若x是满足0＜x≤4的整数，当C△ABC取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积． 【答案】（1）； （2）①3；②． 【解答】解：（1）∵a＝3，b＝5，c＝6， ∴， ∴； （2）①当x＝2时， ，，， ∴△ABC中最长边的长度为3． ②∵0＜x≤4， ∴，， ∴ ， ∵，0＜x≤4，x为整数， ∴当x＝4时，三边为，1，4， ∵， ∴x＝4不合题意，舍去， 当x＝3时，三边为2，2，3，符合题意，此时C△ABC取最大值， ∴a＝2，b＝2，c＝3， ∴ ． 27．数学老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是数学老师选出的两道题和她自己编写的一道题，先阅读，再回答问题． （1）小青编的题： 观察下列等式： ； ． 直接写出以下算式的结果：　　 ． （2）小明编的题： 由二次根式的乘法可知： ．．； 再根据平方根的定义可知．．． 直接写出以下算式的结果：　　 ． （3）数学老师编的题：根据你的发现，完成以下计算：（）． 【答案】（1）； （2）； （3）10． 【解答】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）原式 ＝11﹣1 ＝10． 28．在探究二次根式时发现了下列有趣的变形：一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： 爱思考的小名在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解答的： ∵， ∴． ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1． ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请根据小名的分析过程，解决如下问题： （1）计算：　1　 ； （2）计算：　9　 ； （3）若，求3a2﹣12a﹣2的值． 【答案】（1）1； （2）9； （3）1． 【解答】解：（1）1， 故答案为：1； （2）原式1... 1 ＝10﹣1 ＝9， 故答案为：9； （3）∵2， ∴3a2﹣12a﹣2 ＝3a（a﹣4）﹣2 ＝3×（2）（2﹣4）﹣2 ＝3×（2）（2）﹣2 ＝3×（5﹣4）﹣2 ＝3﹣2 ＝1． 29．阅读材料：像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如与1与与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： （1）21与　　 互为有理化因式，将分母有理化得　　 ； （2）①比较大小：　＜　 （填＞，＜，＝，≥或≤中的一种）． ②计算以下式子的值：． （3）已知整数a，b满足，求a，b的值． 【答案】（1），； （2）①＜；②34； （3）a的值是﹣5，b的值为﹣9． 【解答】解：（1）∵， ， ∴与互为有理化因式，将分母有理化得． 故答案为：，； （2）①∵， ， 而， ∴， ∴； 故答案为：＜； ② ＝35﹣1 ＝34． （3）∵， ∴， 即， ∴，﹣a﹣5＝0 解得a＝﹣5，b＝﹣9 即a的值是﹣5，b的值为﹣9． $专题02 二次根式常考点中的难点与压轴题 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 题型01 二次根式有意义的条件（多个二次根式） 题型02 二次根式的性质（还原形化简） 题型03 二次根式的性质（结合完全平方公式化简） 题型04 二次根式的性质（结合三角形的边化简） 题型05 二次根式的性质（双重二次根式的化简） 题型06 二次根式的化简求值（高次幂求值） 题型07 二次根式的分母有理化 题型08 二次根式中的压轴题 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 题型01 二次根式有意义的条件（多个二次根式） 1．要使代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x≤1 C．x＝1 D．全体实数 2．若，则代数式xy的值为（　　） A．4 B． C．﹣4 D． 3．已知，则a+b＝　 　 ． 4．若，则xy的值为　 　 ． 5．已知，则（x﹣y）2025＝　 　 ． 6．已知，则a2026﹣b2026的值是　 　 ． 题型02 二次根式的性质（还原形化简） 7．把化简后，正确结果（　　） A． B． C． D． 8．化简二次根式a的结果是（　　） A． B． C． D． 题型03 二次根式的性质（结合完全平方公式化简） 9．已知实数a，b在数轴上的对应点如图，化简：的结果为（　　） A．a B．﹣3a﹣2b C．﹣a D．a+b 10．已知1≤a≤2，化简　 　 ． 11．阅读下面的文字后，回答问题： 对题目“化简并求值：m，其中m＝5”，甲、乙两人的解答不同： 甲的解答：原式＝mm+1﹣3m＝1﹣2m＝1﹣2×5＝﹣9 乙的解答：原式＝mm+3m﹣1＝4m﹣1＝4×5﹣1＝19 （1）你认为 　 　 的解答是错误的，原因是未能正确运用二次根式的性质： 　 ； （2）模仿上面正确的解答，化简并求值：，其中m． 题型04 二次根式的性质（结合三角形的边化简） 12．若2、5、n为三角形的三边长，则化简的结果为（　　） A．5 B．2n﹣11 C．11﹣2n D．﹣5 13．已知：2、3、y是一个三角形的三条边，则|y﹣1|的化简结果　 　 ． 14．已知a，b，c为三角形的三边，则 ． 题型05 二次根式的性质（双重二次根式的化简） 15．材料：如何将双重二次根式（a＞0，b＞0，）化简呢？如能找到两个数m，n（m＞0，n＞0），使得m+n＝a，即，且使m•n＝b，即，那么，∴，双重二次根式得以化简． 例如：化简，∵3＝1+2，且2＝1×2，∴，∵，∴． 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到m，n（m＞0，n＞0）使得m+n＝a，且m•n＝b，那么这个双重二次根式一定化简． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： （1）填空： 　 ， 　 ； （2）化简：； （3）计算：． 题型06 二次根式的化简求值（高次幂求值） 16．计算：　 　 （其中a＞0） 17．若，则2a4﹣12a3﹣24a+7＝　 　 ． 18．已知，则x3+2x2+x+3的值为（　　） A． B．3 C． D． 19．若，ab＝3，则a3b﹣2a2b2+ab3＝　 　 ． 题型07 二次根式的分母有理化 20．下列各选项中，的有理化因式是（　　） A． B． C． D． 21．的一个有理化因式是（　　） A． B． C． D． 22．已知，，则a与b的关系是（　　） A．a+b＝0 B．a＝b C．a•b＝1 D．a•b＝﹣1 23．阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 比如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，． 因为，所以，． 再例如，求y的最大值、做法如下： 解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y． 当x＝2时，分母有最小值2．所以y的最大值是2． 利用上面的方法，完成下述两题： （1）比较和的大小； （2）求y3的最大值． 24．阅读下列解题过程：2； 22； 请解答下列问题： （1）观察上面解题过程，计算； （2）请直接写出的结果．（n≥1） （3）利用上面的解法，请化简：． 题型08 二次根式中的压轴题 25．阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： ； ． 【类比归纳】 （1）填空： ①　 　 　 　 ； ② 　 ±　 　 ）2（a≥0，b≥0）． （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形ABCD中裁去两个小正方形DHFM和BEFG，若两小正方形的面积分别为5cm2和，求剩余部分的面积． 26．问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）． 材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S． （1）利用材料1解决下面的问题： 当a＝3，b＝5，c＝6时，求这个三角形的面积； （2）利用材料2解决下面的问题： 已知△ABC三条边的长度分别是，记△ABC的周长为C△ABC． ①当x＝2时，请直接写出△ABC中最长边的长度　 　 ； ②若x是满足0＜x≤4的整数，当C△ABC取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积． 27．数学老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是数学老师选出的两道题和她自己编写的一道题，先阅读，再回答问题． （1）小青编的题： 观察下列等式： ； ． 直接写出以下算式的结果： 　 ． （2）小明编的题： 由二次根式的乘法可知： ．．； 再根据平方根的定义可知．．． 直接写出以下算式的结果： ． （3）数学老师编的题：根据你的发现，完成以下计算：（）． 28．在探究二次根式时发现了下列有趣的变形：一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： 爱思考的小名在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解答的： ∵， ∴． ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1． ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请根据小名的分析过程，解决如下问题： （1）计算： 　 ； （2）计算：； （3）若，求3a2﹣12a﹣2的值． 29．阅读材料：像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如与1与与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： （1）21与 　 互为有理化因式，将分母有理化得 ； （2）①比较大小：　 　 （填＞，＜，＝，≥或≤中的一种）． ②计算以下式子的值：． （3）已知整数a，b满足，求a，b的值． $