专题07（特殊）平行四边形中的压轴题（高效培优期末专项训练）数学新教材人教版八年级下册

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形压轴题，通过多结论判断、最值问题、解答题综合三大题型，系统整合性质应用与动态几何，强化推理意识与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |多结论判断|8题|结合性质判断结论正误，考查性质综合应用|以平行四边形、菱形、正方形性质为基础，关联全等、等边三角形等知识，形成性质推导链| |最值问题|9题|动点背景下求线段、面积等最值，涉及动态几何|融合中点模型、垂线段最短等方法，构建“性质-模型-计算”逻辑，培养空间观念| |解答题综合|8题|综合证明与计算，含新定义、探究性问题|整合特殊平行四边形判定与性质，渗透转化思想，提升应用意识与创新意识|

专题07 （特殊）平行四边形中压轴题 题型01 多结论的判断 题型02 最值问题 题型03 解答题综合 题型01 多结论的判断 1．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD＝60°，，连接OE．下列结论：①S▱ABCD＝AD•BD；②DB平分∠CDE；③AO＝DE；④OE垂直平分BD．其中正确的个数有（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝60°， ∴∠ADC＝120°， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴， ∴E是AB的中点， ∴DE＝BE， ∴， ∴∠ADB＝60°+30°＝90°， 即AD⊥BD， ∴S▱ABCD＝AD•BD， 故①正确，符合题意； ∵∠CDE＝120°﹣60°＝60°，∠BDE＝30°， ∴∠CDB＝30°＝∠BDE， ∴DB平分∠CDE， 故②正确，符合题意； 在Rt△ADO中，AO为斜边，AD为直角边， ∴AO＞AD， ∵△ADE是等边三角形， ∴DE＝AD， ∴AO＞DE， 故③错误，不符合题意； ∵O是BD的中点，E是AB的中点， ∴OE是△ABD的中位线， ∴OE∥AD， ∵∠ADB＝90°， ∴∠EOB＝90°， ∴EO⊥DB， ∴OE垂直平分BD， 故④正确，符合题意， 综上，正确的有①②④， 故选：D． 2．如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，结论①△AMC是等腰三角形；②BN﹣CM＝1；③∠MAN＝35°；④AP＝AQ．其中不正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【解答】解：∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠ACP＝∠MCP， ∵AM⊥CE， ∴∠APC＝∠MPC＝∠APE＝∠EPM＝90°， 在△APC和△MPC中， ， ∴△APC≌△MPC（ASA）， ∴AC＝MC＝5， ∴△AMC是等腰三角形， 故①结论正确； 同理可证：△AQB≌△NQB（ASA）， ∴AB＝NB＝6， ∴BN﹣CM＝1， 故②结论正确； ∵AC＝MC＝5，AB＝NB＝6， ∴∠AMC＝∠MAC，∠BAN＝∠BNA， 在△AMN中，∠CMA+∠BNA＝180°﹣∠MAN＝∠BAN+∠MAC， ∵∠BAC＝110°＝∠BAN+∠MAC﹣∠MAN， ∴110°+∠MAN＝∠BAN+∠MAC， ∴110°+∠MAN＝180°﹣∠MAN， ∴∠MAN＝35°， 故③结论正确； ∵AC＝MC＝5，AB＝NB＝6，PC⊥AM，BQ⊥AN， ∴，， ∵AB＝6≠AC＝5， ∴∠ABC≠∠ACB， ∴∠AMN≠∠ANM， ∴AM≠AN， ∴AP≠AQ， 故④结论错误； 故选：D． 3．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝120°，BC＝2AB，DE平分∠ADC，对角线AC、BD相交于点O，连接OE，下列结论中正确的有（　　） ①∠ADB＝30°； ②AB＝2OE； ③DE＝AB； ④OD＝CD； ⑤S平行四边形ABCD＝AB•BD． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解答】解：在▱ABCD中，∠ABC＝120°， ∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝60°，AB＝CD，∠ADC＝120°，BO＝OD， ∵DE平分∠ADC， ∴∠EDC＝∠ADE＝60° ∴△EDC是等边三角形， ∴CD＝CE，EDC＝60°， ∵BC＝2AB， ∴BC＝2CD＝2CE， ∴E是BC的中点， ∴BE＝CE， 又∵DE＝EC， ∴BE＝DE， ∴， ∴∠BDC＝∠BDE+∠EDC＝90°， ∴∠ADB＝30°；故①正确； ∵BE＝EC，BO＝DO， ∴OEDCAB，即AB＝2OE，故②正确； ∵DE＝DC＝AB， ∴DE＝AB；故③正确， ∵ODBD，CDBC，≠BC ∴OD≠CD，故④不正确， ∴∠ABD＝∠BDC＝90° ∴S平行四边形ABCD＝AB•BD，故⑤正确， 故选：C． 4．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝5，P为边BC上一动点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，动点P从点B出发，沿着BC以每秒1个单位长度的速度匀速向终点C运动，设运动时间为t秒．下列说法正确的有（　　） ①线段EF的长度先减小后增大； ②当时，EF的值最小； ③当t＝6时，EF＝5． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解答】解：①如图，连接AP， ∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，∠A＝90°， ∴四边形AEPF是矩形， ∴EF＝AP， ∴在点P的运动过程中，线段AP的值先减小，后增大， ∴在点P的运动过程中，线段EF的值先减小，后增大，故①符合题意； ②当AP⊥BC时，线段AP的值最小， ∴线段EF的值最小， ∵∠A＝90°，∠C＝30°， ∴∠B＝60°， ∵∠APB＝90°， ∴∠BAP＝30°， ∴BP， ∴， ∴当时，EF的值最小，故②符合题意； ③∵t＝6， ∴BP＝6， 如图，连接EF，或A作AH⊥BC于H， 则BH，AH， ∴PH＝BP﹣BH， ∴EF＝AP.故③不符合题意； 故选：C． 5．如图，已知在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，E、F分别是射线AB和BC上的两个点，∠EDF＝60°，以下结论：①BE＝CF；②△DEF是等边三角形；③BE+DF＝AD；④AB＝4，AE＝m，若0≤m≤4，则△BEF面积的最大值为．其中正确的个数有（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解答】解：如图，四边形ABCD为菱形，∠ADC＝120°，连接BD． ∴AB＝AD，∠BDA＝∠DBC＝60°， ∴△ADB是等边三角形， ∴∠ADE+∠EDB＝60°， ∵∠EDF＝60°， ∴∠EDB+∠FDB＝60°， ∴∠ADE＝∠FDB， 在△ADE和△BDF中， ， ∴△ADE≌△BDF（ASA）， ∴AE＝BF， ∵AB﹣AE＝BC﹣BF， ∴BE＝FC， ∴结论①正确，符合题意； ∴DE＝DF，△DEF为等边三角形， ∴结论②正确，符合题意； ∴BE+DF＝FC+DF＞CD，则BE+DF＞AD， ∴结论③不正确，不符合题意； ∵S△ADB＝S△ADE+S△EDB， ∴S△ADB＝S△BDF+S△EDB＝S△DEF+S△BEF， 可知当S△DEF取得最小值，S△BEF取得最大值， 设等边三角形边长为a，可知其高为，面积为， ∵△DEF为等边三角形，其面积会随边长变化而变化， ∴当DE⊥AB，DE取得最小值，则S△DEF取得最小值， ∵AB＝4， ∴此时，，， ∴， ∴结论④正确，符合题意， 综上，正确的结论是①②④，共3个． 故选：B． 6．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，P是对角线BD上的一动点，且PM⊥AB于点M，PN⊥AD于点N．有以下结论：①△ABC为等边三角形；②OBOA；③∠MPN＝60°； ④PM+PNBD．其中正确的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝BC， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC为等边三角形，故①正确； ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∠ABO＝∠CBO＝30°， ∴OBOA，故②正确； ∵PM⊥AB，PN⊥AD， ∴∠AMP＝∠ANP＝90°， ∵AD∥BC，∠ABC＝60°， ∴∠BAD＝120°， ∴∠MPN＝60°，故③正确； 如图，延长NP交BC于点G， ∵AD∥BC，PN⊥AD， ∴PG⊥BC， ∵PM⊥AB，BP平分∠ABC， ∴PM＝PG， ∴PM+PN＝PG+PN＝NG， ∵∠PBG＝∠PDN＝30°， ∴PB＝2PG，PD＝2PN， ∴PM+PN＝PG+PNPBPD（PB+PD）BD， ∴PM+PNBD，故④正确， 综上所述：正确的有4个． 故选：D． 7．如图，正方形ABCD的边长为1，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连接EF，给出四种情况：①若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；②点G在运动过程中，始终满足∠GAD＝∠GFE；③点G在运动过程中，GE+GF的值为定值1；④点G在运动过程中，线段EF的最小值为．其中正确的有（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【解答】解：∵正方形ABCD的边长为1，G是对角线BD上一动点， ∴∠C＝90°，∠CBG＝∠CDG＝∠ADG＝45°，AD＝DC， ∵GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F， ∴∠GEC＝∠GED＝∠GFC＝∠GFB＝90°， ∴四边形GFCE是矩形，∠EGD＝∠EDG＝45°，∠FGB＝∠CBG＝45°， ∴，， ∵G为BD的中点， ∴DG＝BG， ∴GE＝GF， ∴四边形GFCE是正方形， 故①正确； 如图，四边形GFCE是矩形，连接GC， ∴EF＝GC， 在△ADG与△CDG中， ， ∴△ADG≌△CDG（SAS）， ∴∠DAG＝∠DCG， ∵四边形CFGE是矩形， ∴CE＝FG，CG＝EF， 在△EFG和△GCE中， ， ∴△EFG≌△GCE（SSS）， ∴∠EFG＝∠ECG， ∴∠GAD＝∠GFE， 故②正确； ∵∠EGD＝∠EDG＝45°， ∴GE＝ED， ∵四边形GFCE是矩形， ∴GF＝CE， ∴GE+GF＝ED+CE＝CD＝1，即GE+GF的值为定值1， 故③正确； ∵EF＝GC， ∴当CG最小时，EF最小， ∴当CG⊥BD时，CG最小，在Rt△BCD中，， ∵， ∴， ∴， ∴线段EF的最小值为， 故④正确； ∴正确的有①②③④， 故选：D． 8．如图，菱形ABCD的边长为4，E，F分别是AB，AD边上的动点，BE＝AF，∠BAD＝120°，则下列结论：①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③若AF＝1，则；④∠AGE＝∠AFC．其中正确的有　①②④　 ．（填序号） 【答案】①②④． 【解答】解：①∵四边形ABCD为菱形，且∠BAD＝120°， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAC＝∠CAD＝60°， ∴△ABC和△ACD是等边三角形， ∴∠B＝∠CAF＝60°，BC＝AC， 在△BEC和△AFC中， ， ∴△BEC≌△AFC（SAS）， 所以结论①正确； ②由①得△BEC≌△AFC， ∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∴∠ACE+∠BCE＝∠ACE+∠ACF＝∠ECF＝60°， ∴△ECF为等边三角形， 所以结论②正确； ③如图所示，过点G作GM⊥AB于点M，过点G作GN⊥AD于点N， ∵四边形ABCD为菱形，且边长为4， ∴AC平分∠BAD，AB＝AD＝4， ∴GM＝GN，AE＝AB﹣BE＝AB﹣AF＝4﹣1＝3， ∴， ∴， 所以结论③错误，不符合题意； ④由①得△BEC≌△AFC， ∴∠BCE＝∠ACF， 又∵∠ACB＝∠ACD， ∴∠ACE＝∠DCF， ∵△ECF和△ACD为等边三角形， ∴∠GEC＝∠D＝60°， ∴∠AGE＝∠GEC+∠ACE，∠AFC＝∠D+∠DCF， ∴∠AGE＝∠AFC， 所以结论④正确，符合题意； 综上所述，正确的选项为①②④， 故答案为：①②④． 题型02 最值问题 9．如图，在▱ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，AD＞AB，H、G分别是CD、BC上的动点，连接AH、GH，E、F分别为AH、GH的中点，则EF的最小值是（　　） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【解答】解：连接AG， ∵E、F分别为AH、GH的中点， ∴EFAG， ∴当AG最小时，EF最小，当AG⊥BC时，AG最小， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， ∵∠C＝120°， ∴∠B＝60°， ∴当AG⊥BC时，∠AGB＝90°， ∴sinB＝sin60°， ∴AG＝4， ∴EF的最小值42． 故选：D． 10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（　　） A．2.5 B．2.4 C．1.2 D．1.3 【答案】C 【解答】解：如图，连接AP， ∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴BC5， ∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴∠AEP＝∠AFP＝90°， ∴四边形AFPE是矩形， ∴EF＝AP， ∵M是EF的中点， ∴PMEFAP， 根据垂线段最短可知，当AP⊥BC时，AP最短， 则PM也最短， 此时，S△ABCBC•APAB•AC， ∴AP2.4， 即AP最短时，AP＝2.4， ∴PM的最小值AP＝1.2， 故选：C． 11．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝10，BD＝24．点P是边BC上的动点，过点P作PM⊥BO，垂足为点M，PN⊥CO，垂足为点N，连结MN，则MN的最小值为（　　） A． B． C． D．13 【答案】A 【解答】解：如图，连接OP， ∵四边形ABCD为菱形，AC＝6，BD＝8， ∴BD⊥AC，OBBD＝12，OCAC＝5， ∴∠BOC＝90°， ∴BC， ∵PM⊥BO，PN⊥CO， ∴∠PMO＝∠PNO＝∠BOC＝90°， ∴四边形PMON为矩形， ∴MN＝PO， ∴当PO最小时，MN的值最小， 由垂线段最短可得，当OP⊥BC时，此时OP的值最小，MN的值最小， ∵， ∴OP， ∴MN的最小值为， 故选：A． 12．如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，点E，F分别是AB，CD边上的动点，且AE＝CF，连接EF，过点B作BG⊥EF于点G，连接AG，则AG长度的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图，四边形ABCD是菱形，连接AC交EF于点O， ∴AB∥CD， ∴∠OAE＝∠OCF， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴OA＝OC， ∴点O为菱形对角线的交点； 连接BD，则BD过点O，取OB中点M，连接MA，MG， ∵菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°， ∴AB＝BC＝4，AC⊥BD，， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝4， ∴， 在直角三角形AOB中，由勾股定理得：， ∵M是OB的中点， ∴， 在Rt△AOM中，由勾股定理得：， 在Rt△BOG中，， ∵， 当A，M，G三点共线时，AG有最小值，最小值为， 故选：B． 13．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的动点且EF＝CD，O为EF的中点，OQ⊥AD于点Q，OP⊥AB于点P，连接PQ．若AB＝4，AD＝6，则PQ的最小值为（　　） A． B．33 C．5 D．22 【答案】D 【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，连接OA，OC，AC， ∴∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CD＝4，AD＝BC＝6， 由勾股定理得：， ∵EF＝CD，O为EF的中点，∠BCD＝90°， ∴EF＝CD＝4，， ∴， ∵OQ⊥AD，OP⊥AB， ∴四边形APOQ是矩形， ∴OA＝PQ， ∴当点O在AC上时，最小，即最小， 故选：D． 14．如图，已知P是线段AB上的动点（P不与点A，B重合），AB＝6，分别以AP，PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；连接PG，当动点P从点A运动到点B时，则PG的最小值是　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，分别延长AE、BF交于点H， ∵∠A＝∠FPB＝60°， ∴AH∥PF， ∵∠B＝∠EPA＝60°， ∴BH∥PE， ∴四边形EPFH为平行四边形， ∴EF与HP互相平分， ∵G为EF的中点， ∴G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为△HAB的中位线MN， ∴MN∥AB，PG＜AM， ∵当P在AB中点时，PH⊥AB， ∴当P在AB中点时，PG的值最小， ∵△AEP和△PFB是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝60°， ∴△AHB是等边三角形， ∴AH＝AB＝6， ∴当P在AB中点时，PH＝3， ∴PGPH， ∴PG的最小值是， 故答案为：． 15．如图，▱ABCD中，，BC＝8，∠ABC＝45°，点M为▱ABCD内一动点，连接BM、DM，BM＝8，点H为BM的中点，连接CH，则DM+CH的最小值为 　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：取BC的中点N，连接MN，过D作DL⊥BC交BC的延长线于L， ∴BNBC， ∵H是BM的中点， ∴BHBM， ∵BC＝BM＝8， ∴BN＝BH， ∵∠MBN＝∠CBH， ∴△BMN≌△BCH（SAS）， ∴MN＝CH． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，CD＝AB＝6， ∴∠DCL＝∠ABC＝45°， ∴△DCL是等腰直角三角形， ∴CL＝DLDC＝6， ∵CNBC＝4， ∴NL＝CN+CL＝10， ∴DN2， ∵DM+MN≥DN， ∴DM+CH≥2， ∴DM+CH的最小值为2． 故答案为：2． 16．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边AD、BC上的动点，且AE＝CF，BM⊥EF于点M，连接CM．若正方形ABCD的面积为8，则CM的最小值为　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：如图，连接AC交EF于点O．连接OB，取O不到中点J，连接JM，JC，过点J作JH⊥BC于点H． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO， ∵AE＝CF，∠AOE＝∠COF， ∴△AEO≡△CFO（AAS）， ∴OA＝OC， ∵正方形ABC端点面积为8， ∴AB＝BC＝2， ∵∠ABC＝90°， ∴ACAB＝4， ∵AO＝OC， ∴BO平分∠ABC，BOAC＝2， ∴∠ABO＝∠OBC＝45°， ∵BM⊥EF， ∴∠BMO＝90°， ∴JMOB＝1， ∵JH⊥BC， ∴JH＝BHBJ， ∴CH＝2， ∴CJ， ∵CM≥CJ﹣JM1， ∴CM的最小值为1． 故答案为：1． 17．如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，M是CD的中点，连接GM．若正方形ABCD的边长为4，则GM的最小值为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：过点C，G作直线l，过点M作MH⊥直线l，如图所示： ∴∠MHC＝90°， ∵四边形ABCD是正方形，且边长为4， ∴CD＝AD＝4，∠CDA＝90°，∠DAC＝∠DCA＝45°， ∵点M是CD的中点， ∴CM＝DMCD＝2， ∵四边形DEFG是正方形， ∴DG＝DE，∠GDE＝90°， ∴∠GDE＝∠CDA＝90°， ∴∠GDE﹣∠CDE＝∠CDA﹣∠CDE， ∴∠GDC＝∠EDA， 在△GDC和△EDA中， ， ∴△GDC≌△EDA（SAS）， ∴∠DCG＝∠DAC＝45°， ∴∠ACG＝∠DCG+∠DCA＝90°， ∴直线l⊥AC， ∴当点D在对角线AC运动时，点G在直线l上运动， 根据“垂线段最短”得：当点G与点H重合时，GM为最小，最小值为HM的长， 在△MHC中，∠MHC＝90°，∠DCG＝45°， ∴△MHC是等腰直角三角形， ∴HM＝HC， 由勾股定理得：CMHM， ∴HMCM， ∴GM的最小值为， 故答案为：． 题型03 解答题综合 18．在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2． ①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长； ②求证：CD＝CH． 【答案】（1）证明见解析；（2）①4；②证明见解析． 【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点， ∴AD∥BC，BO＝DO， ∴∠ADB＝∠CBD， 在△BOE与△DOF中， ， ∴△BOE≌△DOF（ASA）， ∴DF＝BE且DF∥BE， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）①解：如图，过点D作DN⊥EC于点N， ∵DE＝DC＝6，DN⊥EC，CE＝4， ∴EN＝CN＝2， ∴DN4， ∵∠DBC＝45°，DN⊥BC， ∴∠DBC＝∠BDN＝45°， ∴DN＝BN＝4， ∴BE＝BN﹣EN＝4， ②证明：∵DN⊥EC，CG⊥DE， ∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°， ∴∠EDN＝∠ECG， ∵DE＝DC，DN⊥EC， ∴∠EDN＝∠CDN， ∴∠ECG＝∠CDN， ∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN， ∴∠CDB＝∠DHC， ∴CD＝CH． 19．我们学习了整式的几种乘除运算，学会了研究运算的方法，现定义了一种新运算“⊗”，对于任意实数a、b、c、d．规定（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc． 例如：（1，3）⊗（2，4）＝1×4﹣2×3＝﹣2，请解答下列问题： （1）填空：（﹣3，5）⊗（6，2）＝ 　﹣36　 ； （2）若（x+1，nx+2）⊗（4，x+1）的代数式中不含x的一次项时，求n的值； （3）如图1，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G，当四边形ABGF和四边形CDE时设正方形ABGF和正方形CDEG的边长分别为a、b，若BE＝9，（a+1，b2+1）⊗（﹣1，a﹣1）＝40，求阴影部分的面积； （4）如图2，小长方形长为a，用5张图2中的小长方形按照图3方式不重叠地放在大长方形ABCD内，其中AB＝5，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为S1，右上角长方形的面积为S2，当2S1﹣3S2＝5时，求（2a+b，b）⊗（﹣4b+3，2a﹣4b）的值． 【答案】（1）﹣36； （2）； （3）； （4）1． 【解答】解：（1）∵新运算“⊗”的运算法则是：（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc，∴（﹣3，5）⊗（6，2）＝﹣3×2﹣5×6＝﹣6﹣30＝﹣36， 故答案为：﹣36； （2）∵（x+1，nx+2）⊗（4，x+1） ＝（x+1）（x+1）﹣4（nx+2） ＝x2+（2﹣4n）x﹣7， ∵（x+1，nx+2）⊗（4，x+1）中不含x的一次项， ∴代数式x2+（2﹣4n）x﹣7中不含x的一次项， ∴一次项系数2﹣4n＝0， 解得：n； （3）∵正方形ABGF和正方形CDEG的边长分别为a、b， ∴BG＝FG＝a，CG＝EG＝b，∠BGF＝∠CGE＝90°， ∴∠BGC＝∠FGE＝90°， ∴S△BGCBG•CG，S△FGEFG•EG， ∴S阴影＝S△BGC+S△FGEab， ∵（a+1，b2+1）⊗（﹣1，a﹣1）＝40， ∴（a+1）（a﹣1）﹣（﹣1）（b2+1）＝40， ∴a2﹣1+b2+1＝40， ∴a2+b2＝40， ∵BE＝BG+EG＝a+b＝9， ∴（a+b）2＝81， ∴a2+2ab+b2＝81， ∴40+2ab＝81， ∴ab， ∴S阴影＝ab； （4）如图所示： ∵图3中的四边形ABCD是长方形，且AB＝5， ∴CD＝AB＝5，AD＝BC， ∵图2中长方形的长为a，宽为b，且图3是由图2拼成， ∴AD＝BC＝a+b，AK＝a，BE＝3b，CF＝b，DH＝2a， ∴AE＝AB﹣BE＝5﹣3b，CH＝CD﹣DH＝5﹣2a， ∴S1＝AK•AE＝a（5﹣3b），S2＝CF•CH＝b（5﹣2a）， ∵2S1﹣3S2＝5， ∴2a（5﹣3b）﹣3b（5﹣2a）＝5， 整理得：2a＝3b+1， ∴2a+b＝4b+1，2a﹣4b＝﹣b+1， ∴（2a+b，b）⊗（﹣4b+3，2a﹣4b） ＝（4b+1，b）⊗（﹣4b+3，﹣b+1） ＝（4b+1）（﹣b+1）﹣b（﹣4b+3） ＝﹣4b2+3b+1﹣（﹣4b2+3b） ＝﹣4b2+3b+1+4b2﹣3b ＝1． 20．【自主探究】 （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab ； （2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形ABCDE中，AC⊥BD，垂足为N，AC＝BD＝2，CN＝a，BN＝b，△BCN周长为2，四边形AEDN为长方形，求四边形AEDN的面积． 【答案】（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； （2）a2+b2＝c2．理由见解析； （3）2． 【解答】解：（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， 故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； （2）发现：a2+b2＝c2， 理由：∵图2中图形的面积＝2abc2（a+b）（a+b）， ∴abc2（a+b）2， ∴2ab+c2＝（a+b）2， ∴a2+b2＝c2； （3）∵CN＝a，BN＝b，△BCN周长为2， ∴BC＝2﹣CN﹣BN＝2﹣a﹣b， ∵在Rt△BNC 中，BC2＝CN2+BN2， ∴（2﹣a﹣b）2＝a2+b2， ∴4+a2+b2+2ab﹣4a﹣4b＝a2+b2， ∴4+2ab﹣4a﹣4b＝0， ∴ab﹣2（a+b）＝﹣2， ∵AC＝BD＝2，CN＝a，BN＝b， ∴AN＝AC﹣CN＝2﹣a，DN＝BD﹣BN＝2﹣b， ∴长方形AEDN的面积为：AN•DN＝（2﹣a）（2﹣b）＝4+ab﹣2（a+b）＝4﹣2＝2． 21．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG，如图1所示． （1）证明平行四边形ECFG是菱形； （2）若∠ABC＝120°，连接BG、CG、DG，如图2所示， ①求证：△DGC≌△BGE； ②求∠BDG的度数． （3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，如图3所示，求DM的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）证明： ∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF＝∠DAF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE， ∴∠CEF＝∠CFE， ∴CE＝CF， 又∵四边形ECFG是平行四边形， ∴四边形ECFG为菱形； （2）①∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC， ∵∠ABC＝120°， ∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120° 由（1）知，四边形CEGF是菱形， ∴CE＝GE，∠BCG∠BCF＝60°， ∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°， ∵EG∥DF， ∴∠BEG＝120°＝∠DCG， ∵AE是∠BAD的平分线， ∴∠DAE＝∠BAE， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE， ∴BE＝CD， ∴△DGC≌△BGE（SAS）； ②∵△DGC≌△BGE， ∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC， ∴∠BGD＝∠CGE， ∵CG＝GE＝CE， ∴△CEG是等边三角形， ∴∠CGE＝60°， ∴∠BGD＝60°， ∵BG＝DG， ∴△BDG是等边三角形， ∴∠BDG＝60°； （3）过M作MH⊥DF于H， ∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形， 又由（1）可知四边形ECFG为菱形， ∠ECF＝90°， ∴四边形ECFG为正方形， ∴∠CEF＝45°， ∴∠AEB＝∠CEF＝45°， ∴BE＝AB＝8， ∴CE＝CF＝14﹣8＝6， ∵MH∥CE，EM＝FM， ∴CH＝FHCF＝3， ∴MHCE＝3， ∴DH＝11， ∴DM． 22．综合与实践 问题情境： 如图，四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上的一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交直线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． 猜想证明： （1）求证：四边形DEFG是正方形． 解决问题： （2）求∠DCG的度数． （3）已知BC＝4，CF＝2，请直接写出CG的长． 【答案】（1）见解析； （2）∠DCG＝45° （3）或3． 【解答】（1）证明：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点， ∵正方形ABCD， ∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°， ∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC， ∴四边形EMCN为正方形， ∵四边形DEFG是矩形， ∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90° ∴∠DEN＝∠MEF， 又∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED＝EF， ∴矩形DEFG为正方形， （2）解：∵矩形DEFG为正方形， ∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90° ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴∠DAE＝∠DCG＝45°， （3）解：①当F在BC上时， ∵正方形EMCN，正方形ABCD， ∴BC＝DC，MC＝NC， ∴BC﹣MC＝DC﹣NC，即：BM＝DN， ∵△DEN≌△FEM， ∴FM＝DN， ∴， ∴MC＝MF+FC＝1+2＝3， ∴，， ∵△ADE≌△CDG， ∴； ②当F在BC延长线上时，如图： 同理可得，△EFM≌△EDN，CM＝CN＝EM＝EN，AE＝CG， ∴BM＝FM（BC+CF）＝3， ∴CM＝1， ∴CE， ∴AE＝43， ∴CG＝3； 综上所述，AE或3． 23．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．在线段AO上任取一点P（端点除外），连接PD、PB．点Q在BA的延长线上且PQ＝PD． （1）如图1，若四边形ABCD是正方形． ①求∠DPQ的度数； ②探究AQ与OP的数量关系并说明理由． （2）如图2，若四边形ABCD是菱形且∠ABC＝60°．探究AQ与CP的数量关系并说明理由． 【答案】（1）①∠DPQ＝90°； ②AQOP，理由见解答； （2）AQ＝CP，理由见解答． 【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC＝45°，∠DAB＝90°， ∴∠DAQ＝90°， ∵AP＝AP， ∴△DAP≌△BAP（SAS）， ∴PD＝PB，∠ADP＝∠ABP， ∵PQ＝PD， ∴PQ＝PB， ∴∠PQA＝∠PBA＝∠ADP， ∵∠AMQ＝∠DMP， ∴∠DPQ＝∠DAQ＝90°； ②AQOP，理由如下： 如图2，在OD上取一点N，使DN＝PA，连接PN， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OD＝OA，∠AOD＝90°， ∴ON＝OP， ∴△PON是等腰直角三角形， ∴PNOP， ∵∠DPQ＝90°， ∴∠APQ+∠OPD＝90°， ∵∠OPD+∠ODP＝90°， ∴∠APQ＝∠ODP， ∵PD＝PQ， ∴△DNP≌△PAQ（SAS）， ∴PN＝AQ， ∴AQOP； （2）AQ＝CP，理由如下： 如图3，过点D作DE⊥BQ于E，连接DQ， ∴∠AED＝∠DEQ＝90°， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，AD∥BC， ∴∠ABD＝30°，AC⊥BD，AD＝AB＝BC，∠DAE＝∠ABC＝60°， ∴∠AOB＝∠BOC＝90°，△ABC是等边三角形， ∴∠BOC＝∠AED，∠AOB＝∠DEQ，∠ACB＝60°， 由（1）同理得：PB＝PD＝PQ，∠DPQ＝∠DAQ＝60°， ∴△PDQ是等边三角形， ∴DQ＝PD＝PB， ∴△ADE≌△CBO（AAS）， ∴DE＝OB，OC＝AE， ∴Rt△DEQ≌Rt△BOP（HL）， ∴EQ＝OP， ∴EQ+AE＝OP+OC， 即AQ＝CP． 24．如图1，在正方形ABCD中，，点E在边BC上，连接AE，且∠BAE＝30°，点F是AE的中点． （1）求AE的长； （2）如图2，过点F作直线GH，分别交AB，CD于点G，H，且GH＝AE，求AG的长； （3）如图3，过点F作AE的垂线，分别交AB，BD，CD于点M，O，N，连接OE，求OE的长． 【答案】（1）4； （2）； （3）． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，AB， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠B＝∠C＝90°， ∴△ABE是直角三角形， 在Rt△ABE中，∠BAE＝30°， ∴AE＝2BE， 由勾股定理得：ABBE， ∴BEAB2， ∴AE＝2BE＝4； （2）过点G作GP⊥CD于点P，连接EG，如图2所示： ∵∠GPC＝∠GPH＝90°， ∴△GPH是直角三角形，∠GPC＝∠B＝∠C＝90°， ∴四边形GBCP是矩形， ∴GP＝BC，∠PGB＝∠PGA＝90°， ∴GP＝AB， 设AG＝a，则BG＝AB﹣AG， 在Rt△ABE和Rt△GPH中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△GPH（HL）， ∴∠PGH＝∠BAE， ∵∠PGH+∠AGF＝∠PGA＝90°， ∴∠BAE+∠AGF＝90°， 在△AGF中，∠AFG＝180°﹣（∠BAE+∠AGF）＝90°， ∴GH⊥AE， 又∵点F是AE的中点， ∴GH是线段AE的垂直平分线， ∴EG＝AG＝a， 由（1）可知：BE＝2， 在Rt△BGE中，由勾股定理得：EG2＝BG2+BE2， ∴， 解得：a， ∴AG＝a； （3）连接OA，过点O作OQ⊥BC于点Q，OT⊥AB于点T，如图3所示： ∴∠OQB＝∠OTB＝∠ABC＝90°， ∴四边形OQBT是矩形，△OEQ和△OAT都是直角三角形， 在正方形ABCD中，∠ABD＝90°， ∴△BOT是等腰直角三角形， ∴OT＝BT， ∴矩形OQBT是正方形， ∴∠QOT＝90°，OQ＝OT， ∵点F是AE的中点，MN⊥AE， ∴MN是线段AE的垂直平分线， ∴OE＝OA， 在Rt△OEQ和Rt△OAT中， ， ∴Rt△OEQ≌Rt△OAT（HL）， ∴∠QOE＝∠TOA， ∵∠QOE+∠TOE＝∠QOT＝90°， ∴∠TOA+∠TOE＝90°， 即∠AOE＝90°， ∴△AOE是等腰直角三角形， 由勾股定理得：AEOE， ∴OEAE， 由（1）可知：AE＝4， ∴OEAE． 25．如图，已知正方形ABCD中，E为CB延长线上一点，且BE＝AB，M、N分别为AE、BC的中点，连DE交AB于O，MN交，ED于H点． （1）求证：AO＝BO； （2）求证：∠HEB＝∠HNB； （3）过A作AP⊥ED于P点，连BP，则的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，AD∥BC， ∴∠DAB＝∠ABE，∠ADO＝∠BEO， ∵AB＝BE， ∴AD＝BE， ∴△ADO≌△BEO（ASA）， ∴AO＝BO； （2） 证明：延长BC至F，且使CF＝BC，连接AF，如图1所示： 则BF＝CE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝DC，AD∥BC，∠BAD＝∠ABC＝∠DCB＝90°， 在△ABF和△DCE中，， ∴△ABF≌△DCE（SAS）， ∴∠DEC＝∠AFB， ∵EB＝CF，BN＝CN， ∴N为EF的中点， ∴MN为△AEF的中位线， ∴MN∥AF， ∴∠HNB＝∠AFB＝∠HEB； （3） 解：过点B作BQ⊥BP交DE于Q，如图2所示： 则∠PBQ＝90°， ∵∠ABE＝180°﹣∠ABC＝90°， ∴∠EBQ＝∠ABP， ∵AD∥BC， ∴∠ADP＝∠BEQ， ∵AP⊥DE，∠BAD＝90°， 由角的互余关系得：∠BAP＝∠ADP， ∴∠BEQ＝∠BAP， 在△BEQ和△BAP中，， ∴△BEQ≌△BAP（ASA）， ∴PA＝QE，QB＝PB， ∴△PBQ是等腰直角三角形， ∴PQPB， ∴． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 （特殊）平行四边形中压轴题 题型01 多结论的判断 题型02 最值问题 题型03 解答题综合 题型01 多结论的判断 1．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD＝60°，，连接OE．下列结论：①S▱ABCD＝AD•BD；②DB平分∠CDE；③AO＝DE；④OE垂直平分BD．其中正确的个数有（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 2．如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，结论①△AMC是等腰三角形；②BN﹣CM＝1；③∠MAN＝35°；④AP＝AQ．其中不正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝120°，BC＝2AB，DE平分∠ADC，对角线AC、BD相交于点O，连接OE，下列结论中正确的有（　　） ①∠ADB＝30°； ②AB＝2OE； ③DE＝AB； ④OD＝CD； ⑤S平行四边形ABCD＝AB•BD． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝5，P为边BC上一动点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，动点P从点B出发，沿着BC以每秒1个单位长度的速度匀速向终点C运动，设运动时间为t秒．下列说法正确的有（　　） ①线段EF的长度先减小后增大； ②当时，EF的值最小； ③当t＝6时，EF＝5． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．如图，已知在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，E、F分别是射线AB和BC上的两个点，∠EDF＝60°，以下结论：①BE＝CF；②△DEF是等边三角形；③BE+DF＝AD；④AB＝4，AE＝m，若0≤m≤4，则△BEF面积的最大值为．其中正确的个数有（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 6．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，P是对角线BD上的一动点，且PM⊥AB于点M，PN⊥AD于点N．有以下结论：①△ABC为等边三角形；②OBOA；③∠MPN＝60°； ④PM+PNBD．其中正确的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，正方形ABCD的边长为1，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连接EF，给出四种情况：①若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；②点G在运动过程中，始终满足∠GAD＝∠GFE；③点G在运动过程中，GE+GF的值为定值1；④点G在运动过程中，线段EF的最小值为．其中正确的有（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 8．如图，菱形ABCD的边长为4，E，F分别是AB，AD边上的动点，BE＝AF，∠BAD＝120°，则下列结论：①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③若AF＝1，则；④∠AGE＝∠AFC．其中正确的有　 　 ．（填序号） 题型02 最值问题 9．如图，在▱ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，AD＞AB，H、G分别是CD、BC上的动点，连接AH、GH，E、F分别为AH、GH的中点，则EF的最小值是（　　） A．4 B．5 C． D． 10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（　　） A．2.5 B．2.4 C．1.2 D．1.3 11．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝10，BD＝24．点P是边BC上的动点，过点P作PM⊥BO，垂足为点M，PN⊥CO，垂足为点N，连结MN，则MN的最小值为（　　） A． B． C． D．13 12．如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，点E，F分别是AB，CD边上的动点，且AE＝CF，连接EF，过点B作BG⊥EF于点G，连接AG，则AG长度的最小值是（　　） A． B． C． D． 13．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的动点且EF＝CD，O为EF的中点，OQ⊥AD于点Q，OP⊥AB于点P，连接PQ．若AB＝4，AD＝6，则PQ的最小值为（　　） A． B．33 C．5 D．22 14．如图，已知P是线段AB上的动点（P不与点A，B重合），AB＝6，分别以AP，PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；连接PG，当动点P从点A运动到点B时，则PG的最小值是　 　 ． 15．如图，▱ABCD中，，BC＝8，∠ABC＝45°，点M为▱ABCD内一动点，连接BM、DM，BM＝8，点H为BM的中点，连接CH，则DM+CH的最小值为 　 　 ． 16．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边AD、BC上的动点，且AE＝CF，BM⊥EF于点M，连接CM．若正方形ABCD的面积为8，则CM的最小值为　 　 ． 17．如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，M是CD的中点，连接GM．若正方形ABCD的边长为4，则GM的最小值为 　 　 ． 题型03 解答题综合 48．在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2． ①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长； ②求证：CD＝CH． 49．我们学习了整式的几种乘除运算，学会了研究运算的方法，现定义了一种新运算“⊗”，对于任意实数a、b、c、d．规定（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc． 例如：（1，3）⊗（2，4）＝1×4﹣2×3＝﹣2，请解答下列问题： （1）填空：（﹣3，5）⊗（6，2）＝ 　 　 ； （2）若（x+1，nx+2）⊗（4，x+1）的代数式中不含x的一次项时，求n的值； （3）如图1，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G，当四边形ABGF和四边形CDE时设正方形ABGF和正方形CDEG的边长分别为a、b，若BE＝9，（a+1，b2+1）⊗（﹣1，a﹣1）＝40，求阴影部分的面积； （4）如图2，小长方形长为a，用5张图2中的小长方形按照图3方式不重叠地放在大长方形ABCD内，其中AB＝5，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为S1，右上角长方形的面积为S2，当2S1﹣3S2＝5时，求（2a+b，b）⊗（﹣4b+3，2a﹣4b）的值． 50．【自主探究】 （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：　 　 ； （2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形ABCDE中，AC⊥BD，垂足为N，AC＝BD＝2，CN＝a，BN＝b，△BCN周长为2，四边形AEDN为长方形，求四边形AEDN的面积． 51．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG，如图1所示． （1）证明平行四边形ECFG是菱形； （2）若∠ABC＝120°，连接BG、CG、DG，如图2所示， ①求证：△DGC≌△BGE； ②求∠BDG的度数． （3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，如图3所示，求DM的长． 52．综合与实践 问题情境： 如图，四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上的一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交直线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． 猜想证明： （1）求证：四边形DEFG是正方形． 解决问题： （2）求∠DCG的度数． （3）已知BC＝4，CF＝2，请直接写出CG的长． 53．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．在线段AO上任取一点P（端点除外），连接PD、PB．点Q在BA的延长线上且PQ＝PD． （1）如图1，若四边形ABCD是正方形． ①求∠DPQ的度数； ②探究AQ与OP的数量关系并说明理由． （2）如图2，若四边形ABCD是菱形且∠ABC＝60°．探究AQ与CP的数量关系并说明理由． 54．如图1，在正方形ABCD中，，点E在边BC上，连接AE，且∠BAE＝30°，点F是AE的中点． （1）求AE的长； （2）如图2，过点F作直线GH，分别交AB，CD于点G，H，且GH＝AE，求AG的长； （3）如图3，过点F作AE的垂线，分别交AB，BD，CD于点M，O，N，连接OE，求OE的长． 55．如图，已知正方形ABCD中，E为CB延长线上一点，且BE＝AB，M、N分别为AE、BC的中点，连DE交AB于O，MN交，ED于H点． （1）求证：AO＝BO； （2）求证：∠HEB＝∠HNB； （3）过A作AP⊥ED于P点，连BP，则的值． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $