专题01 四边形（5常考3易错4压轴）（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材沪教版五四制

**基本信息** 以“常考-易错-压轴”三维架构系统覆盖四边形核心知识，通过基础巩固、难点突破到综合应用的递进设计，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考基础|5题型（24题）|多边形性质、特殊四边形判定与性质|从多边形内角和等基础概念到平行四边形、矩形等特殊四边形性质的递进| |易错突破|3题型（17题）|判定辨析、面积公式应用、中位线与重心概念|针对判定条件混淆、公式误用等易错点，强化概念辨析与应用| |压轴综合|4题型（19题）|动态几何、存在性问题、综合模型|整合图形变换与代数运算，培养空间观念与综合解题能力|

专题01 四边形（5常考3易错4压轴） 题型1 多边形（常考） 题型7 面积公式（易错） 题型2 平行四边形的性质与判定（常考） 题型8三角形中位线与重心概念（易错） 题型3 矩形的性质与判定（常考） 题型9 特殊四边形综合模型（压轴） 题型4 菱形的性质与判定（常考） 题型10 中位线与重心综合应用（压轴） 题型5 正方形的性质与判定（常考） 题型11 坐标系四边形存在性（压轴） 题型6判定辨析（易错） 题型12 动态几何问题（压轴） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 多边形（共6小题） 1．（25-26八年级下·上海·期中）已知一个多边形的外角和等于内角和的一半，那么这个多边形的对角线条数为（　　）． A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 【答案】D 【详解】解：设多边形边数为，根据题意得， ， 解得， 即该多边形为六边形， ∴该多边形对角线条数为（条）． 2．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）某学生在计算四个多边形的内角和时，得到下列四个答案，其中一定错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项 ，结果是正整数，符合要求； B选项 ，结果是正整数，符合要求； C选项，结果不是整数，不符合要求； D选项 ，结果是正整数，符合要求． 3．（25-26八年级下·上海闵行·期中）一个多边形，它的每一个外角都是，则该多边形的边数是（   ） A．六 B．七 C．八 D．九 【答案】C 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该多边形每一个外角都是， ∴该多边形的边数． 4．（25-26八年级下·上海闵行·期中）如果一个边形的内角和为，那么______． 【答案】5 【详解】解：依题意得： ， 解得：． 5．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如果每个内角都相等的多边形的内角和等于，那么该多边形的一个外角等于_______． 【答案】 【详解】解：设该多边形的边数为，则， 解得， ∴该多边形的一个外角为． 6．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）从某个多边形的一个顶点出发的所有对角线，将其分成6个三角形，则这是________边形． 【答案】八 【详解】解：设这个多边形为边形，根据题意得 ， 移项得 ， ∴． 题型二 平行四边形的性质与判定（共6小题） 7．（25-26八年级下·上海青浦·期中）在平行四边形中，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是平行四边形，平行四边形邻角互补， ∴， 又∵平行四边形对角相等， ∴． ∵， 设，， ∴， 解得， ∴， ∴． 8．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在平行四边形中，对角线、交于点，且，为中点，连接交于点，则下列结论中不一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，为中点， ∴在中，， ∴，故A成立； ∵， ∴， ∵为中点， ∴， ∴，故B成立； ∵，为中点， ∴、是的中线， ∴点是的重心， ∴， ∵， ∴，故D成立； 只有当时，才成立，题目未给出此条件，故C不一定成立． 9．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知平行四边形的一边长为，一条对角线长为，则另一条对角线的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：如图所示： 假设，， ∴， 由三角形三边关系， 可得， ∴， 故答案为：． 10．（25-26八年级下·上海·期中）如图，点，分别为平行四边形边，的中点，连接，交于点，连接，交于点，那么四边形的面积与平行四边形的面积之比是__________． 【答案】 【详解】解：连接，如图所示， 点，分别为平行四边形边，的中点， ，，，，， ，，，， 四边形和都是平行四边形， 是和的中点，是和的中点 ，，和等底等高，，，和等底等高， ，． ， ． ， 四边形的面积与平行四边形的面积之比是． 故答案为：． 11．（25-26八年级下·上海金山·期中）如图，已知：在平行四边形中，．求证：四边形是一个平行四边形． 【详解】证明：连接与交于点O． ∵ 四边形 是平行四边形， ∴，（平行四边形的对角线互相平分）． ∵， ∴， 即 ． 又 ∵， ∴ 四边形 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 12．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）【阅读材料】 老师提出的问题∶ 同学们的方案∶ 如图，在平行四边形中，，为锐角．在对角线上如何确定点、 方案1∶分别作平分平分，交于点、． 的位置，使四边形为平行四边形？ 方案2∶取的两个三等分点、． 方案3∶在上任意取一点，连接，再以为圆心，长为半径画弧，交于点． 【解决问题】 (1)写出以上三种方案中正确方案，并选择一种正确的方案，在图1中画出图形，并说明理由； (2)除了这些同学们已经研究的方案之外，你还有其他方案吗？请写出方案，画出图形，并说明理由． 【详解】（1）解：方案1和2正确； 选择方案1证明： 如图所示：   四边形是平行四边形， 平分平分， ∵ ∴， 在和中， ∴，， ∴ ∴ 所以四边形为平行四边形． 方案2证明： 如图：    根据题意得：， 四边形是平行四边形， ∴ ∴， 在和中， ∴，， ∴ ∴ 所以四边形为平行四边形． 方案3证明： 如图：    根据题意得：， 四边形是平行四边形， ∴ ∴， 根据已知得：，，， 无法根据边边角证出和全等， ∴无法得到四边形为平行四边形． （2）解：方案：在   上取点E 、F 使得  ， 如图所示：在上取点使得，    在和中， ∴， 所以四边形为平行四边形． 题型三 矩形的性质与判定（共4小题） 13．（25-26八年级下·上海虹口·期中）如图，矩形中，、交于点，平分交于点，，那么__________． 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴； ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，则的长为_____． 【答案】2 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴． 15．（25-26八年级下·上海·期中）矩形纸片中，，，点在边所在的直线上，且，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕与射线、分别交于点、，则线段的长度为______． 【答案】或 【详解】解：如图，点在线段上时，连接、， ∵四边形是矩形， ，，，．， ∴， 在中， ． 由折叠的性质得：垂直平分，，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，即菱形边长． 菱形面积，即， 解得． 情况2：如图，点在的延长线上，连接、， ∵四边形是矩形， ，，，．， ∴， 在中，． 由折叠的性质得：垂直平分，，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 设，则， 在中，由勾股定理得， ， ，即菱形边长． 菱形面积， 即， 解得． 综上，线段的长度为或． 16．（25-26八年级下·上海金山·期中）已知：在直角梯形中，，，将沿直线翻折，点恰好落在腰上的点处． (1)如图，当点是腰的中点时，求证：是等边三角形； (2)延长交线段的延长线于点，连接，如果，请画出符合题意的图形，并证明：四边形是矩形． 【详解】（1）证明：将沿直线翻折，点落在腰上的点处， ，，即， 是腰的中点， 垂直平分， ， ，， ， 由翻折性质，， ， （三线合一）， ， 又， ∴， ∴， 又， 是等边三角形． （2）证明：过点作，垂足为，则． ，， 四边形是矩形， ，， 由翻折性质，，， ，且， 在和中：， ， ，， ， ， 又∵， ∴，即， ，即， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是矩形． 题型四 菱形的性质与判定（共4小题） 17．（25-26八年级下·上海·期中）如图，菱形的两条对角线相交于O，若，，则菱形的周长是（   ） A．24 B．26 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， 由勾股定理可得，， ∴菱形的周长为． 18．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在菱形中，点P是对角线上一点，Q是中点，若菱形周长是16，，则的最小值为______． 【答案】2 【详解】解：如图，由菱形的对称轴可知，点和点关于对称，连接， ∴， ∴即为所求的最小值． 连接， ，四边形是菱形， ∴，，， 是等边三角形， 点为的中点， ， 菱形的周长为16， ， ∵在中，， ， ， ， ∴的最小值为． 19．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在菱形中，是对角线上一点，连接、． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，交于点O， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中，， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 20．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如图，在平行四边形中，点分别在边上，，与相交于点． (1)求证：． (2)如果．求证：四边形是一个菱形． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵ ， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形 是平行四边形， ∴四边形 是菱形． 题型五 正方形的性质与判定（共4小题） 21．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在正方形纸片中，对角线相交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤，其中结论正确的是（   ） A．①④ B．②③④ C．①④⑤ D．①②④⑤ 【答案】C 【详解】解：四边形是正方形， ， 由折叠的性质可得： 故，故①正确． 由折叠的性质可得：，， ， ， ， ，故②错误． ， ，与同高， ，故③错误． ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是菱形， 故四边形是菱形，故④正确． 四边形是菱形， ， ， ， ， 同理可得．故⑤正确． 综上，正确的结论有①④⑤． 22．（25-26八年级下·上海金山·期中）如图，以正方形的边为一边向外作等边三角形，则的大小为__________． 【答案】 【详解】解：四边形是正方形，是等边三角形， ，，， ，， ， 23．（25-26八年级下·上海·期中）如图，正方形的边长为，是对角线上一点，是边的中点，那么的最小值为________． 【答案】 【详解】解：如图，连接， 正方形，是对角线， 点和关于对角线对称， ， ， 根据两点之间线段最短可知，当D、E、F三点共线时，最小，即的长， 正方形的边长为， ，， 是边的中点， ， 在中，， 则的最小值为． 24．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，正方形中，，点F为对角线上一点，联结，过点F作交线段于点E（点E不与点B，点C重合），过E作，过D作，与交于点G． (1)证明四边形为正方形； (2)联结，设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； (3)当为等腰三角形时，直接写出的长度． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， 过F作于M，于N，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∴，则， 又， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴四边形为正方形； （2）解：∵四边形为正方形，四边形是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，点E不与点B，点C重合， ∴； （3）解：∵， ∴，， 又， ∴， ∴当为等腰三角形时，， ∴， 又， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型六 判定辨析（共5小题） 25．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）已知四边形的两条对角线、相交于点，且互相平分．那么下列条件中不能判定四边形为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：四边形的对角线、相交且互相平分， 四边形是平行四边形． 选项A，，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可判定四边形为矩形，不符合题意； 选项B，，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可判定四边形为矩形，不符合题意； 选项C，时，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不能判定四边形为矩形，符合题意； 选项D，，，平行四边形对角线互相平分，可得，，，可推出平行四边形是矩形，不符合题意． 综上，答案选C． 26．（24-25八年级下·上海黄浦·期末）已知四边形中，对角线与相交于点O，，，再添加一个条件使四边形是菱形，添加条件不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， A、∵， ∴， ∴四边形是菱形，故不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故不符合题意； C、∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故不符合题意； D、添加不能说明四边形是菱形，故符合题意； 故选：D． 27．（24-25八年级下·上海·期中）菱形的对角线、相交于，下列条件能判断菱形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，则，此时并不能证明菱形是正方形，不符合题意； B、，可得，此时并不能证明菱形是正方形，不符合题意； C、，本身是菱形具有的性质，此时并不能证明菱形是正方形，不符合题意； D、，由菱形的性质可得，则，则，能证明菱形是正方形，符合题意； 故选：D． 28．（25-26八年级下·上海·期中）下列说法错误的是（   ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C．每组邻边都相等的四边形是菱形 D．四个角都相等的四边形是矩形 【答案】B 【详解】解：A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定定理，说法正确，不符合题意． B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是正方形，说法错误，符合题意． C．每组邻边都相等的四边形，四条边都相等，符合菱形的判定定理，说法正确，不符合题意． D．四边形内角和为，四个角相等时每个角均为，四个角都是直角的四边形是矩形，说法正确，不符合题意． 29．（25-26八年级下·上海·期中）下列命题中，不正确的是（   ） A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线相等的矩形是正方形 D．对角线相等的菱形是正方形 【答案】C 【详解】A、根据菱形判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A选项命题正确； B、根据矩形判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，故B选项命题正确； C、矩形的对角线本来就相等，仅对角线相等无法判定它是正方形，故C选项命题不正确； D、菱形的对角线互相垂直平分，若对角线再相等，则满足正方形的判定条件，所以对角线相等的菱形是正方形，故D选项命题正确． 综上，不正确的是C． 题型七 面积公式（共5小题） 30．（25-26八年级下·上海·期中）已知菱形的边长为8，一个内角是60°，那么这个菱形的面积为（   ） A．64 B．32 C． D． 【答案】D 【详解】解：过点作，交于点． ∵ 菱形边长为，一个内角为， ∴ ，． 在中，， ∴ ，可得． 由勾股定理得 ． ∴ 菱形的面积为 ． 故选：D． 31．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）已知一个菱形的两条对角线的长分别是和，它的面积是______． 【答案】 【详解】解：这个四边形是菱形， ∴ 32．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如果正方形的一条对角线长为，那么它的面积是______． 【答案】3 【详解】解：∵ 正方形的对角线相等，已知一条对角线长为， ∴ 另一条对角线长也为， 正方形面积 ． 33．（24-25八年级下·上海·期末）如图，矩形中，，对角线和相交于点O，且，过点D作的平行线，过点C作的平行线，两平行线交于点E，那么四边形的面积是_________． 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴． 34．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）已知一个菱形有一个内角等于，一条对角线长是6，那么这个菱形的面积是___________． 【答案】或 【详解】解：设菱形中，，对角线，交于点， 由菱形的性质可得：，，，，平分，平分，， 分两种情况讨论： 当长度为的对角线是较短对角线时，如图所示，， ，， 是等边三角形， ，， 在中，由勾股定理得： ， ， 菱形面积， 当长度为的对角线是较长对角线时，如图所示，， ， 设，在中，， ， 由勾股定理得：， 即， 解得（舍去负根）， ，， 菱形面积， 题型八 三角形中位线与重心概念（共7小题） 35．（25-26八年级下·上海崇明·期中）如图，在中，是三角形的中位线．若的周长为，则的周长为______． 【答案】36 【详解】解：∵是三角形的中位线， ∴，D为中点，E为中点， ∴， ∴的周长的周长， ∴的周长． 36．（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图，矩形对角线相交于点O，与的夹角为，点E、F、G分别为中点，当四边形周长为12时，则矩形的面积是：______． 【答案】 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， 是等边三角形， ， 点分别为中点， ，是的中位线，是的中位线， ∴，， ， 四边形周长为12， ， ， ， ， 在中，，， 矩形的面积． 37．（25-26八年级下·上海青浦·期中）在中，，D、E分别是边的中点，和相交于点O，如果点O到边的距离为2，，那么的长为______． 【答案】10 【详解】解：连接并延长交于点， 、分别是边、的中点， 、是的中线， 点是的重心， ∴是的中线， ， ，， 点到边的距离为， ， 点是的重心， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得． 38．（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，在中，，点是的重心，如果，那么点与点的距离为___________________ ． 【答案】 【详解】解：连接，延长交于， ∵点是的重心， 是的中点，， ，， ， ， ∴点与点的距离为． 39．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在中，，点在边上，且，平分，，垂足为点，为的中点，那么的长为________． 【答案】 【详解】解：平分， ， ， ， 在和中， ， ，， ， ， 为的中点， ． 40．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如图，在中，点分别是的中点，于且交于点，若，则的长是___________． 【答案】 【详解】解：如图，取的中点，连接、， 点分别是的中点， 、是的中位线， ，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 41．（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图，在梯形中，，延长到点，使，连接，交于点．若是的中点，且，，求的长． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，即点为的中点， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 题型九 特殊四边形综合模型（共7小题） 42．（25-26八年级下·上海崇明·期中）学习了矩形和正方形的知识后，同学们对于特殊平行四边形的性质有了一定程度的了解，某班数学兴趣小组做了进一步的探究．对于平面内的一个四边形，上若存在一点，使得且，则称这样的四边形是“可等垂四边形”，点为四边形的“等垂点”． (1)【初步探索】 如图（1），矩形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”，则和的数量关系是______． (2)【类比探究】 如图（2），四边形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”，分别过点、作的垂线，垂足分别为、． 请写出，，之间的数量关系，并证明； 若，，求的长． 【详解】（1）解： 证明：如图（1），过点作于点，则， ∵矩形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即． （2） 证明：∵，， ∴， ∴； ∵四边形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 43．（25-26八年级下·上海·期中）我们给出定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． (1)已知：如图1，四边形是“等对角四边形”，，，，求，的度数． (2)在探究“等对角四边形”性质时，小红画了一个“等对角四边形”（如图2），其中，，此时她发现成立．请你证明此结论． (3)已知：在“等对角四边形”中，，，，．求对角线的长． 【详解】（1）解：∵四边形是“等对角四边形”，， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （3）解：分两种情况讨论： ①如图，当时， 过点作于点，作于点， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得，即 ∴， 在中，； ②如图，当时，， 过点作于点，作于点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 在中，； 综上，对角线的长为或． 44．（25-26八年级下·上海普陀·期中）我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做完美四边形． (1)在以下四种四边形中，一定是完美四边形的是______（请填序号）； ①平行四边形②菱形③矩形④正方形 (2)如图（1），菱形中，，E、F分别是、上的点，且，求证：四边形是完美四边形； (3)如图（2），四边形为完美四边形，且，连接． ①求证：平分； ②当时，，，请直接写出的长． 【详解】（1）解：①平行四边形的邻边不一定相等，故不是完美四边形； ②菱形的对角不一定互补，故不是完美四边形； ③矩形邻边不一定相等，故不是完美四边形； ④正方形任意一组邻边相等且对角互补，故是完美四边形； （2）证明：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形，， ∴ ∵在菱形中，平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是完美四边形． （3）①证明：延长至点E，使，连接， ∵四边形为完美四边形 ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴平分； ②由①得， ∴，，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 45．（25-26八年级下·上海·期中）综合与实践【问题情境】 我们熟知的世界名画《蒙娜丽莎的微笑》，其构图呈现出了非常协调、匀称的矩形美．通过测量，我们发现这种矩形的宽和长之比是（值约为0.618）．这就是“黄金矩形”．世界上许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都不约而同地采用了“黄金矩形”的设计． 为了进一步了解“黄金矩形”，在综合实践活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作探究】：利用矩形纸带，折出“黄金矩形”． 步骤1：在一张矩形纸带的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸带展平； 步骤2：如图2，把这个正方形对折成两个全等的矩形，再把纸带展平； 步骤3：如图3，折出内侧矩形对角线的折痕，并把折痕折到纸带下沿处； 步骤4：如图4，展平纸带，按照所得的点折出，折出矩形 【分析探究】 (1)图4中如果，则________；________． (2)求证：矩形是“黄金矩形”． 【学以致用】 (3)将一张正方形纸片，先按下列操作画出示意图，再按要求解决问题． ①折叠正方形，使点A与点B重合，点D与点C重合，折痕交边于点M，交边于点N； ②过点B折叠正方形，使点A落在上的点F处，折痕交边于点E，连接； ③过点E作边的垂线，垂足为H，矩形是“黄金分割”矩形吗？请证明你的结论． 【详解】（1）解：在正方形中，， ∵正方形对折成两个全等的矩形得矩形和， ∴， 在中，， 由折叠可知，， ∴． （2）证明：设， 根据题意可得，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是“黄金矩形”． （3）解：如图所示为所求： 矩形是“黄金分割”矩形， 证明：设正方形的边长为， ∴， ∵正方形对折成两个全等的矩形得矩形和， ∴， 在中，， ∵沿翻折得， ∴， ∴，,，， 如图，连接， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴矩形是“黄金分割”矩形． 46．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）解答： (1)【新定义1】如图1，在凸六边形中，满足，，，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”．其中与，与，与叫做“主对边”：和，和，和叫做“主对角”；，、叫做“主对角线”． 类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别相等 ______ ②平行六边形的三组主对角分别相等 ______ ③平行六边形的三条主对角线互相平分 ______ (2)【新定义2】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”． 如图2，已知平行六边形满足．求证：平行六边形是菱六边形． 【详解】（1）解：连接，交于点， ①由图可得，平行六边形的三组主对边分别相等是错误的； ②∵ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ 同理可得，， ∴平行六边形的三组主对角分别相等是正确的； ③平行六边形的三条主对角线互相平分是错误的； （2）证明：过点作平行且等于，连接， ∴平行四边形是平行四边形， ，， ∵在平行六边形中， ∴； ∵在平行六边形中，，， ，， 四边形为平行四边形， ，， ∵ ∴ 四边形为平行四边形， ， ， ， ， 平行六边形是菱六边形． 47．（25-26八年级下·上海青浦·阶段检测）如图，已知：正方形边长为1，点是对角线上一点，，交射线于点． (1)当点在边上时，线段与线段之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论； (2)当点在边的延长线上，是等腰三角形时，求的长； (3)当以为顶点的四边形的面积为时，请直接写出的长是___________． 【详解】（1）解：， 证明：∵四边形为正方形， ∴，， 如图，作于，于， 则，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵正方形边长为1， ∴，， ∴， ∵点在边的延长线上， ∴为钝角， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当点在线段上时，作于，于， 由（1）可得，四边形为矩形，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵以、、、为顶点的四边形的面积为， ∴，即， ∴； 当点在的延长线上时，作于，延长交于， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵以、、、为顶点的四边形的面积为， ∴， 解得， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 48．（25-26八年级下·上海闵行·阶段检测）问题发现 (1)基本模型——十字架模型 如图1所示，在正方形内，点在边上，点在边上，、交于点，①若则有结论；②反之若有，则有结论． 对于上述问题请选择一个命题加以证明． (2)模型运用 如图2，在正方形中，，点在边上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点． ①若，求的值． ②如图3，若与交于点，连接，若，求证：． 【详解】（1）选择①，证明如下： 证明：四边形是正方形， ，， ， ，，， ， 在和中， ， ， ； 选择②，证明如下： 证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）①解：四边形是正方形，， ， 在中，， 由翻折得，垂直平分， 记与相交于点，则，且， 在中， ，即， 解得，， ； ②证明：由翻折得，，，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 由翻折得，垂直平分， 是等腰三角形，是的角平分线， ， 在中，，， 在中，，， ， ， ，， 在和中， ， ． 题型十 中位线与重心综合应用（共3小题） 49．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如图（1），线段是的中位线，我们可以得到，． (1)如图（2），现将所在的直线平移至经过的重心G的位置，请问：与的值________（填相等或不相等），如果相等，那么等于________． (2)如图（3），已知点M为是中线AF上一点，且，现将所在的直线平移至经过点M的位置，请问：与的值还相等吗？如果相等，那么等于多少？并说明理由． 【详解】（1）解：设的中点为，连接， ∵是的重心， ∴即， ∵， ∴ ∴， 即与的值相等，且都等于； （2）解：与的值相等，等于， 理由是：∵， ∴， ∵， ∴， 即与的值相等，等于． 50．（25-26八年级下·上海闵行·期中）【教材呈现】如图是沪教版八年级下册教材第42页的第1题，请完成这道题的证明． (1)如图①，在四边形．中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． (2)【教材延伸】 如图②，延长图①中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：． (3)【应用探究】 如图③，在中，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，若，求的长． 【详解】（1）证明：∵是的中点，是的中点， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，由（1）得， ∵是的中点，是的中点，为的中点， ∴，， ∴，， ∴； （3）证明：如图，连接，取中点，连接，，由（1）知， 由（2）可知，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， 由（1）知， ∴． 51．（25-26八年级下·上海金山·期中）阅读材料： 金山区某中学数学兴趣小组，在《23.4（1）三角形的中位线与重心》一课的学习后，对中位线定理的证明产生了很大的兴趣，在课后进行了延伸探究． 已知：如图（1），在中，、分别是、的中点． 求证：，且． 下面是几位同学的探究过程： 甲：过点作，交于点，过点作的平行线交的延长线于点． 乙：连接，，过点作，垂足为，分别过点、作，，交、延长线于点、． 丙：延长至点，使，连接、、．        丁：以点为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标为，点的坐标为． (1)任务一：四位同学的方案，能证明三角形的中位线定理的有__________（填人名） (2)任务二：请选择一位同学的方案，并将证明过程补充完整． (3)任务三：该兴趣小组在某公园开展“测距”为主题的小队活动时，发现、两地被某人工湖隔开，由于只有工具：一把皮尺（测量长度略小于），某同学提出方案“我们可以在与平行的人行步道上的点、处作好标记，通过皮尺找到与的中点、，通过皮尺测量，的长度，就可以估算出、两点间的距离了”．若测得，，请直接写出、两点间的距离．（用含、的代数式表示） 【详解】（1）解：甲乙丙丁； （2）解：选择甲； 过点作，交于点，过点作的平行线交的延长线于点． ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 、分别是、的中点， ，， 在和中， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，； 选择乙； 证明：连接，，过点作，垂足为，分别过点、作，，交、延长线于点、． ． 是的中点， ， 在和中， ， ， ，． 同理，，，， ， ，． ，． ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，； 选择丙； 证明：延长至点，使，连接、、． 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ； 选择丁； 证明：以点为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标为，点的坐标为． ， 、分别是、的中点， ，， ，； （3）解：如图，连接并延长，交延长线于点， 点是的中点， ， ， ，， 在和中， ， ， ，，即点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ，即， ， 即、两点间的距离为． 题型十一 坐标系四边形存在性（共5小题） 52．（25-26八年级下·上海静安·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，现同时将点A、B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A，B的对应点C，D．连接． (1)写出点C，D的坐标，并求出四边形的面积． (2)在x轴上是否存在一点E，使得的面积是面积的3倍？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，四边形的面积为12 (2)存在，点E坐标为或 【详解】（1）解：根据平移方式可得，点的坐标为即，点的坐标为即， ， 点，的坐标分别是，， ， 由平移的性质知，四边形是平行四边形， 四边形的面积为； （2）解：由题知， ，． 因为的面积是面积的3倍， 所以， 则． 因为点B坐标为， 则， 所以点E坐标为或． 53．（25-26八年级下·上海·期中）平面直角坐标系不仅可以研究函数，还可以研究并解决很多图形以及图形变换问题． (1)如图①，在菱形中，若点，则点坐标为_______． (2)如图②，线段、关于点对称，若点，，，则点的坐标为_____． (3)如图③，在直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点、分别是轴、轴上的点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的横坐标为______． 【答案】(1) (2) (3)，， 【详解】（1）解：点的坐标为， ， 四边形是菱形， ，， 点的坐标为． （2）解：，关于点对称， ，，点的坐标为， 设点的坐标为， 与关于点对称， ，， 解得，， 点的坐标为． （3）解：如图，当， 点在轴上，点、的坐标分别为、， 点的横坐标为； 如图，当， 点在轴上，点、的坐标分别为、， 点的横坐标为； 如图，当为对角线， 点在轴上，点、的坐标分别为、， 设点的横坐标为， ， 解得，即点的横坐标为， 综上，点的横坐标为，，． 54．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点是原点，点的坐标是，线段交轴于点，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒个单位的速度运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的代数式表示：___________； (2)当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，则的值是___________； (3)当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)的值为秒或秒 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，点是原点，点的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∵点以每秒1个单位的速度向点运动，运动时间为秒， ∴， ∴． （2）解：∵，点运动到点时，点随之停止运动， ∴， ∵点从点出发，沿射线的方向以每秒个单位的速度运动， ∴， ①如图，当点在点右侧时， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得：； ②如图，当点在点左侧时，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得：； 综上所述：当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，则的值是或． （3）解：如图，当时，过点作于，则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，， ∵， ∴，， ∴， 解得：； 如图，当时，过点作于，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：； 如图，当时，过点作于，则四边形是矩形， ∴，， ∵在中，， ∴， 整理得，， ∵， ∴此方程无实数根， ∴此种情况不存在； 综上所述：的值为秒或秒． 55．（25-26八年级下·上海崇明·期中）如图，四边形是平行四边形，，，点的坐标为，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，两个点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点就停止运动．运动时间为秒． (1)分别求点和点的坐标； (2)当点运动的时间为秒时，在平面直角坐标系中找到一点，使以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． (3)设点运动的时间为秒，求当为何值时，的面积是． 【答案】(1)， (2)或或 (3) 【详解】（1）解：作轴于， ， ， ， ， ， 点的坐标为， 四边形是平行四边形，的坐标为， ， 点的坐标为； （2）解：当时，，点与点重合，如图所示， ①，此时， ∴，即； ②，此时， ∴，即； ③， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴轴，轴， 又∵点的坐标为， ∴， 则的坐标为或或． （3）解：由题意知：， 如图所示：过点作于点，过点作轴于点， ， ∵四边形是平行四边形，， ∴，则， ∴， ， ， ∴， 化简，得， 解得， 当时，的面积是． 56．（25-26八年级下·上海普陀·期中）定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫作半角四边形．如图1，直线，点A、D在直线上，点B、C在直线上，若，则四边形是半角四边形． (1)如图2，点E是的边上一点，，，，如果四边形是半角四边形，那么的长是______； (2)如图3，以的顶点C为坐标原点，边所在直线为x轴，对角线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．点E是边上一点，满足． ①求证：四边形是半角四边形； ②当，时，如果在第一象限内存在点P，使得以点A、B、E、P为顶点的四边形是半角四边形，请直接写出所有符合要求的点P的坐标． 【详解】（1）解：四边形为半角四边形，，，， ，，，， ， ， ， ； （2）①证明：四边形为平行四边形， ，， ， ，即， 又， 四边形是半角四边形； ②解： ，，四边形为平行四边形， ，，， ，，， 为的中点， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 当时，则， ∵平行x轴， ∴轴， ∴点纵坐标为，， ∴， ∴， ∴， 若，如图，过点作，设交轴于点， 则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当，且时，如图，过点作轴于点， 则， 四边形为平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与点重合（舍去）； 当，且时，如图，过点作交延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 设，则，， ∴， 在中，， ∴，即， ∴，即， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵点的坐标为， ∴； 当，且时，如图，过点作交延长线于点， 同理，得， 则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴，， ∵点的坐标为， ∴； 当，且时，如图，过点作交于点， 同理，得， ∴，， ∴， ∴，， 设，则，， ∴，即， ∴（负值舍去）， ∴，， ∴的坐标为； 当，且时，如图， 同理，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴的坐标为； 综上，符合要求的点P的坐标为或或或或． 题型十二 动态几何问题（共4小题） 57．（25-26八年级下·上海普陀·期中）已知：在中，，过点A作射线与平行（如图所示），点P从点A出发沿着射线方向作匀速运动，同一时刻，点Q从点B出发沿着射线方向作匀速运动，设点P、Q运动的时间为t秒． (1)如果点P的速度为/秒，点Q的速度为/秒，当四边形是平行四边形时，求t的值； (2)设点P的速度为/秒，点Q的速度为/秒，，当垂直平分时，求的值． 【答案】(1)3秒 (2) 【详解】（1）解：根据题意，得，，， 当点Q在上时，此时，四边形是平行四边形， 故， ， 解得（秒）； （2）解：根据题意，得点P的速度为/秒，点Q的速度为/秒，设运动时间为t秒，故，，设垂直平分时，交点为G，如图所示，连接，根据题意，得，， 故，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， 故． 58．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如图，已知，、分别是及其外角的平分线，O为边上的一个动点，过O作，分别交、于点E、F． (1)当点O在边上运动到何处时，四边形是平行四边形？证明你的结论； (2)在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 【详解】（1）解：点O运动到的中点时，四边形是平行四边形． 证明：∵、分别是及其外角的平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ， ∴，， ∴， 当点O运动到的中点时，， ∴四边形是平行四边形． （2）解：由（1）可知，四边形是平行四边形， ∵、分别是及其外角的平分线， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 59．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在平行四边形中，点是边上的一个动点，点是边的中点，的延长线与的延长线交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)若，   ①当的值是 时，四边形是矩形（直接写出答案）；   ②当的值是 时，四边形是菱形，并说明理由． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴     ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，， ∴， ∵点是边的中点， ∴， 设， ∴； ①∵四边形是矩形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故当的值是3时，四边形是矩形；   ②解：∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故当的值是1时，四边形是菱形． 60．（25-26八年级下·上海·阶段检测）【问题探究】 (1)如图，在矩形中，点分别在边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，求的长； (2)如图，在菱形中，连接，点分别是边上的动点，连接，点分别是的中点，若，，求的最小值； (3)【问题解决】如图，叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，为菜地内一动点，且，为的中点，点分别为边上的动点，在改造的过程中始终要满足，为的中点，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 【答案】(1)的长为； (2)的最小值为； (3)灌溉水渠总长度的最小值为米． 【详解】（1）解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为； （2）解：如图，连接，连接，与交于点， ∵点分别是的中点， ∴是中位线， ∴， ∴当时，最小，从而最小，如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即最小值为， ∴的最小值为； （3）解：如图，取的中点，作射线，交延长线于，在的延长线上截取，连接，， ∵四边形是正方形， ∴，，米， ∵，， ∴，， ∴，四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，米， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴（米）， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线，且时，最小，即长，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵为的中点，米， ∴米， ∴米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴灌溉水渠总长度的最小值为米． $ 专题01 四边形（5常考3易错4压轴） 题型1 多边形（常考） 题型7 面积公式（易错） 题型2 平行四边形的性质与判定（常考） 题型8三角形中位线与重心概念（易错） 题型3 矩形的性质与判定（常考） 题型9 特殊四边形综合模型（压轴） 题型4 菱形的性质与判定（常考） 题型10 中位线与重心综合应用（压轴） 题型5 正方形的性质与判定（常考） 题型11 坐标系四边形存在性（压轴） 题型6判定辨析（易错） 题型12 动态几何问题（压轴） 题型一 多边形（共6小题） 1．（25-26八年级下·上海·期中）已知一个多边形的外角和等于内角和的一半，那么这个多边形的对角线条数为（　　）． A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 2．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）某学生在计算四个多边形的内角和时，得到下列四个答案，其中一定错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·上海闵行·期中）一个多边形，它的每一个外角都是，则该多边形的边数是（   ） A．六 B．七 C．八 D．九 4．（25-26八年级下·上海闵行·期中）如果一个边形的内角和为，那么______． 5．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如果每个内角都相等的多边形的内角和等于，那么该多边形的一个外角等于_______． 6．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）从某个多边形的一个顶点出发的所有对角线，将其分成6个三角形，则这是________边形． 题型二 平行四边形的性质与判定（共6小题） 7．（25-26八年级下·上海青浦·期中）在平行四边形中，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在平行四边形中，对角线、交于点，且，为中点，连接交于点，则下列结论中不一定成立的是（  ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知平行四边形的一边长为，一条对角线长为，则另一条对角线的取值范围是______． 10．（25-26八年级下·上海·期中）如图，点，分别为平行四边形边，的中点，连接，交于点，连接，交于点，那么四边形的面积与平行四边形的面积之比是__________． 11．（25-26八年级下·上海金山·期中）如图，已知：在平行四边形中，．求证：四边形是一个平行四边形． 12．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）【阅读材料】 老师提出的问题∶ 同学们的方案∶ 如图，在平行四边形中，，为锐角．在对角线上如何确定点、 方案1∶分别作平分平分，交于点、． 的位置，使四边形为平行四边形？ 方案2∶取的两个三等分点、． 方案3∶在上任意取一点，连接，再以为圆心，长为半径画弧，交于点． 【解决问题】 (1)写出以上三种方案中正确方案，并选择一种正确的方案，在图1中画出图形，并说明理由； (2)除了这些同学们已经研究的方案之外，你还有其他方案吗？请写出方案，画出图形，并说明理由． 题型三 矩形的性质与判定（共4小题） 13．（25-26八年级下·上海虹口·期中）如图，矩形中，、交于点，平分交于点，，那么__________． 14．（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，则的长为_____． 15．（25-26八年级下·上海·期中）矩形纸片中，，，点在边所在的直线上，且，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕与射线、分别交于点、，则线段的长度为______． 16．（25-26八年级下·上海金山·期中）已知：在直角梯形中，，，将沿直线翻折，点恰好落在腰上的点处． (1)如图，当点是腰的中点时，求证：是等边三角形； (2)延长交线段的延长线于点，连接，如果，请画出符合题意的图形，并证明：四边形是矩形． 题型四 菱形的性质与判定（共4小题） 17．（25-26八年级下·上海·期中）如图，菱形的两条对角线相交于O，若，，则菱形的周长是（   ） A．24 B．26 C． D． 18．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在菱形中，点P是对角线上一点，Q是中点，若菱形周长是16，，则的最小值为______． 19．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在菱形中，是对角线上一点，连接、． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 20．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如图，在平行四边形中，点分别在边上，，与相交于点． (1)求证：． (2)如果．求证：四边形是一个菱形． 题型五 正方形的性质与判定（共4小题） 21．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在正方形纸片中，对角线相交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤，其中结论正确的是（   ） A．①④ B．②③④ C．①④⑤ D．①②④⑤ 22．（25-26八年级下·上海金山·期中）如图，以正方形的边为一边向外作等边三角形，则的大小为__________． 23．（25-26八年级下·上海·期中）如图，正方形的边长为，是对角线上一点，是边的中点，那么的最小值为________． 24．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，正方形中，，点F为对角线上一点，联结，过点F作交线段于点E（点E不与点B，点C重合），过E作，过D作，与交于点G． (1)证明四边形为正方形； (2)联结，设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； (3)当为等腰三角形时，直接写出的长度． 题型六 判定辨析（共5小题） 25．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）已知四边形的两条对角线、相交于点，且互相平分．那么下列条件中不能判定四边形为矩形的是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25八年级下·上海黄浦·期末）已知四边形中，对角线与相交于点O，，，再添加一个条件使四边形是菱形，添加条件不正确的是（　　） A． B． C． D． 27．（24-25八年级下·上海·期中）菱形的对角线、相交于，下列条件能判断菱形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 28．（25-26八年级下·上海·期中）下列说法错误的是（   ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C．每组邻边都相等的四边形是菱形 D．四个角都相等的四边形是矩形 29．（25-26八年级下·上海·期中）下列命题中，不正确的是（   ） A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线相等的矩形是正方形 D．对角线相等的菱形是正方形 题型七 面积公式（共5小题） 30．（25-26八年级下·上海·期中）已知菱形的边长为8，一个内角是60°，那么这个菱形的面积为（   ） A．64 B．32 C． D． 31．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）已知一个菱形的两条对角线的长分别是和，它的面积是______． 32．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如果正方形的一条对角线长为，那么它的面积是______． 33．（24-25八年级下·上海·期末）如图，矩形中，，对角线和相交于点O，且，过点D作的平行线，过点C作的平行线，两平行线交于点E，那么四边形的面积是_________． 34．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）已知一个菱形有一个内角等于，一条对角线长是6，那么这个菱形的面积是___________． 题型八 三角形中位线与重心概念（共7小题） 35．（25-26八年级下·上海崇明·期中）如图，在中，是三角形的中位线．若的周长为，则的周长为______． 36．（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图，矩形对角线相交于点O，与的夹角为，点E、F、G分别为中点，当四边形周长为12时，则矩形的面积是：______． 37．（25-26八年级下·上海青浦·期中）在中，，D、E分别是边的中点，和相交于点O，如果点O到边的距离为2，，那么的长为______． 38．（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，在中，，点是的重心，如果，那么点与点的距离为___________________ ． 39．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在中，，点在边上，且，平分，，垂足为点，为的中点，那么的长为________． 40．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如图，在中，点分别是的中点，于且交于点，若，则的长是___________． 41．（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图，在梯形中，，延长到点，使，连接，交于点．若是的中点，且，，求的长． 题型九 特殊四边形综合模型（共7小题） 42．（25-26八年级下·上海崇明·期中）学习了矩形和正方形的知识后，同学们对于特殊平行四边形的性质有了一定程度的了解，某班数学兴趣小组做了进一步的探究．对于平面内的一个四边形，上若存在一点，使得且，则称这样的四边形是“可等垂四边形”，点为四边形的“等垂点”． (1)【初步探索】 如图（1），矩形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”，则和的数量关系是______． (2)【类比探究】 如图（2），四边形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”，分别过点、作的垂线，垂足分别为、． 请写出，，之间的数量关系，并证明； 若，，求的长． 43．（25-26八年级下·上海·期中）我们给出定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． (1)已知：如图1，四边形是“等对角四边形”，，，，求，的度数． (2)在探究“等对角四边形”性质时，小红画了一个“等对角四边形”（如图2），其中，，此时她发现成立．请你证明此结论． (3)已知：在“等对角四边形”中，，，，．求对角线的长． 44．（25-26八年级下·上海普陀·期中）我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做完美四边形． (1)在以下四种四边形中，一定是完美四边形的是______（请填序号）； ①平行四边形②菱形③矩形④正方形 (2)如图（1），菱形中，，E、F分别是、上的点，且，求证：四边形是完美四边形； (3)如图（2），四边形为完美四边形，且，连接． ①求证：平分； ②当时，，，请直接写出的长． 45．（25-26八年级下·上海·期中）综合与实践【问题情境】 我们熟知的世界名画《蒙娜丽莎的微笑》，其构图呈现出了非常协调、匀称的矩形美．通过测量，我们发现这种矩形的宽和长之比是（值约为0.618）．这就是“黄金矩形”．世界上许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都不约而同地采用了“黄金矩形”的设计． 为了进一步了解“黄金矩形”，在综合实践活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作探究】：利用矩形纸带，折出“黄金矩形”． 步骤1：在一张矩形纸带的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸带展平； 步骤2：如图2，把这个正方形对折成两个全等的矩形，再把纸带展平； 步骤3：如图3，折出内侧矩形对角线的折痕，并把折痕折到纸带下沿处； 步骤4：如图4，展平纸带，按照所得的点折出，折出矩形 【分析探究】 (1)图4中如果，则________；________． (2)求证：矩形是“黄金矩形”． 【学以致用】 (3)将一张正方形纸片，先按下列操作画出示意图，再按要求解决问题． ①折叠正方形，使点A与点B重合，点D与点C重合，折痕交边于点M，交边于点N； ②过点B折叠正方形，使点A落在上的点F处，折痕交边于点E，连接； ③过点E作边的垂线，垂足为H，矩形是“黄金分割”矩形吗？请证明你的结论． 46．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）解答： (1)【新定义1】如图1，在凸六边形中，满足，，，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”．其中与，与，与叫做“主对边”：和，和，和叫做“主对角”；，、叫做“主对角线”． 类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别相等 ______ ②平行六边形的三组主对角分别相等 ______ ③平行六边形的三条主对角线互相平分 ______ (2)【新定义2】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”． 如图2，已知平行六边形满足．求证：平行六边形是菱六边形． 47．（25-26八年级下·上海青浦·阶段检测）如图，已知：正方形边长为1，点是对角线上一点，，交射线于点． (1)当点在边上时，线段与线段之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论； (2)当点在边的延长线上，是等腰三角形时，求的长； (3)当以为顶点的四边形的面积为时，请直接写出的长是___________． 48．（25-26八年级下·上海闵行·阶段检测）问题发现 (1)基本模型——十字架模型 如图1所示，在正方形内，点在边上，点在边上，、交于点，①若则有结论；②反之若有，则有结论． 对于上述问题请选择一个命题加以证明． (2)模型运用 如图2，在正方形中，，点在边上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点． ①若，求的值． ②如图3，若与交于点，连接，若，求证：． 题型十 中位线与重心综合应用（共3小题） 49．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如图（1），线段是的中位线，我们可以得到，． (1)如图（2），现将所在的直线平移至经过的重心G的位置，请问：与的值________（填相等或不相等），如果相等，那么等于________． (2)如图（3），已知点M为是中线AF上一点，且，现将所在的直线平移至经过点M的位置，请问：与的值还相等吗？如果相等，那么等于多少？并说明理由． 50．（25-26八年级下·上海闵行·期中）【教材呈现】如图是沪教版八年级下册教材第42页的第1题，请完成这道题的证明． (1)如图①，在四边形．中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． (2)【教材延伸】 如图②，延长图①中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：． (3)【应用探究】 如图③，在中，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，若，求的长． 51．（25-26八年级下·上海金山·期中）阅读材料： 金山区某中学数学兴趣小组，在《23.4（1）三角形的中位线与重心》一课的学习后，对中位线定理的证明产生了很大的兴趣，在课后进行了延伸探究． 已知：如图（1），在中，、分别是、的中点． 求证：，且． 下面是几位同学的探究过程： 甲：过点作，交于点，过点作的平行线交的延长线于点． 乙：连接，，过点作，垂足为，分别过点、作，，交、延长线于点、． 丙：延长至点，使，连接、、．        丁：以点为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标为，点的坐标为． (1)任务一：四位同学的方案，能证明三角形的中位线定理的有__________（填人名） (2)任务二：请选择一位同学的方案，并将证明过程补充完整． (3)任务三：该兴趣小组在某公园开展“测距”为主题的小队活动时，发现、两地被某人工湖隔开，由于只有工具：一把皮尺（测量长度略小于），某同学提出方案“我们可以在与平行的人行步道上的点、处作好标记，通过皮尺找到与的中点、，通过皮尺测量，的长度，就可以估算出、两点间的距离了”．若测得，，请直接写出、两点间的距离．（用含、的代数式表示） 题型十一 坐标系四边形存在性（共5小题） 52．（25-26八年级下·上海静安·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，现同时将点A、B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A，B的对应点C，D．连接． (1)写出点C，D的坐标，并求出四边形的面积． (2)在x轴上是否存在一点E，使得的面积是面积的3倍？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 53．（25-26八年级下·上海·期中）平面直角坐标系不仅可以研究函数，还可以研究并解决很多图形以及图形变换问题． (1)如图①，在菱形中，若点，则点坐标为_______． (2)如图②，线段、关于点对称，若点，，，则点的坐标为_____． (3)如图③，在直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点、分别是轴、轴上的点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的横坐标为______． 54．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点是原点，点的坐标是，线段交轴于点，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒个单位的速度运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的代数式表示：___________； (2)当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，则的值是___________； (3)当是等腰三角形时，求的值． 55．（25-26八年级下·上海崇明·期中）如图，四边形是平行四边形，，，点的坐标为，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，两个点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点就停止运动．运动时间为秒． (1)分别求点和点的坐标； (2)当点运动的时间为秒时，在平面直角坐标系中找到一点，使以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． (3)设点运动的时间为秒，求当为何值时，的面积是． 56．（25-26八年级下·上海普陀·期中）定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫作半角四边形．如图1，直线，点A、D在直线上，点B、C在直线上，若，则四边形是半角四边形． (1)如图2，点E是的边上一点，，，，如果四边形是半角四边形，那么的长是______； (2)如图3，以的顶点C为坐标原点，边所在直线为x轴，对角线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．点E是边上一点，满足． ①求证：四边形是半角四边形； ②当，时，如果在第一象限内存在点P，使得以点A、B、E、P为顶点的四边形是半角四边形，请直接写出所有符合要求的点P的坐标． 题型十二 动态几何问题（共4小题） 57．（25-26八年级下·上海普陀·期中）已知：在中，，过点A作射线与平行（如图所示），点P从点A出发沿着射线方向作匀速运动，同一时刻，点Q从点B出发沿着射线方向作匀速运动，设点P、Q运动的时间为t秒． (1)如果点P的速度为/秒，点Q的速度为/秒，当四边形是平行四边形时，求t的值； (2)设点P的速度为/秒，点Q的速度为/秒，，当垂直平分时，求的值． 58．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如图，已知，、分别是及其外角的平分线，O为边上的一个动点，过O作，分别交、于点E、F． (1)当点O在边上运动到何处时，四边形是平行四边形？证明你的结论； (2)在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 59．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在平行四边形中，点是边上的一个动点，点是边的中点，的延长线与的延长线交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)若，   ①当的值是 时，四边形是矩形（直接写出答案）；   ②当的值是 时，四边形是菱形，并说明理由． 60．（25-26八年级下·上海·阶段检测）【问题探究】 (1)如图，在矩形中，点分别在边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，求的长； (2)如图，在菱形中，连接，点分别是边上的动点，连接，点分别是的中点，若，，求的最小值； (3)【问题解决】如图，叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，为菜地内一动点，且，为的中点，点分别为边上的动点，在改造的过程中始终要满足，为的中点，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $