精品解析：上海市育才中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

上海市育才中学2025学年高一下学期数学期中考试卷 一、填空题：本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分. 1. 已知扇形半径为1，圆心角为，则面积为________. 2. 计算：__________. 3. 已知中，，若，，则用、表示_______. 4. 复数，则_______. 5. 复数是纯虚数，则实数__________. 6. 已知有实数根，则实数________. 7. 已知， ，，则在方向上的投影向量为_________. 8. 已知 ，，若与夹角为钝角，则的取值范围为______. 9. 函数 ，如图，则___________. 10. 在复平面内，复数对应的点分别为．若，，则的取值范围是______． 11. 已知中，，，，，为外心，则 _________. 12. 已知函数（）在内恰有2025个零点，则正整数____. 二、选择题：本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分. 13. 已知，“”是“z为实数”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 14. 在中，，则三角形的形状一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 15. 在△ABC中，，，，则满足条件的△ABC（ ） A. 无解 B. 有一解 C. 有两解 D. 不能确定 16. 定义：非零向量、的外积记作是一个向量，其中，命题①在数值上等于以、为邻边的平行四边形面积；命题②.则两个命题的真假为（ ） A. ①真，②真 B. ①真，②假 C. ①假，②真 D. ①假，②假 三、解答题本大题共5题，解答下列各题必须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知，， （1）当时，求及； （2）若与平行，求实数的值. 18. 已知函数. （1）写出函数定义域，判断函数奇偶性并说明理由； （2）写出函数单调区间，并用定义证明其在单调区间上的单调性. 19. 某地区要设计建造一个自然保护区，如图所示，在一块矩形区域ABCD中（其中AB为60米，AD为30米），过道EF将其分为两个主要区域，休闲区为以D为圆心，AD为半径的四分之一圆，绿化区为四边形BEFC，且EF与圆弧相切，记切点为G.（计算结果保留两位小数） （1）若，求EF的长； （2）E点在线段AB上何处时，才能使绿化区的面积最大，求出最大值. 20. 已知函数． （1）求函数的最小正周期、对称轴和零点； （2）若，，求的值； （3）若关于x的方程在上有两个不同的解、，求实数m的取值范围及的值． 21. 对于定义域为R的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期．已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R，设为R上的严格增函数，，． （1）证明是以为余弦周期的余弦周期函数； （2）设，证明对任意 ，存在，使得 ； （3）证明：“为方程在上的解”的充要条件是“为方程在上的解”，并证明对任意都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市育才中学2025学年高一下学期数学期中考试卷 一、填空题：本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分. 1. 已知扇形半径为1，圆心角为，则面积为________. 【答案】## 【解析】 【分析】通过扇形的面积公式即可得到答案 【详解】因为， 所以扇形的面积为． 2. 计算：__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据虚数单位的周期性质化简计算即得. 【详解】由虚数单位的幂次周期性，得 ，， ，， 因此 . 则 代入化简得 ， ， 故原式 . 3. 已知中，，若，，则用、表示_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的加法、减法及数乘运算求解即可. 【详解】由，得. 所以. 4. 复数，则_______. 【答案】 【解析】 【详解】， ． 5. 复数是纯虚数，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的概念求解即可. 【详解】由题意知，，解得. 6. 已知有实数根，则实数________. 【答案】 【解析】 【分析】设出方程的实根，利用复数相等的充要条件，即可求解 【详解】设方程的实数根为，将代入原方程得： 根据复数相等的充要条件得：，解得, 故实数. 7. 已知，，，则在方向上的投影向量为_________. 【答案】 和 【解析】 【详解】因为 ，因此 . 向量夹角 ，由​得， 在方向上的投影为. 方向单位向量为 ，因此投影向量为 和 . 8. 已知，，若与夹角为钝角，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【详解】  ， 由夹角为钝角得 ，即 ，得. 若与反向共线，则满足 ，解得​， 此时夹角为，满足 ，但夹角不是钝角，因此要排除. 综上，的取值范围是. 9. 函数，如图，则___________. 【答案】 【解析】 【详解】由图可知，正切函数的周期 .  根据周期公式 ，得 ，解得 . 正切函数的零点满足  ，图中零点为 ，代入得​， 由，得 时，，符合条件. 由图可知函数过点，代入得 ， 所以 . 10. 在复平面内，复数对应的点分别为．若，，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， 因为，所以， 从而 11. 已知中，，，，，为外心，则_________. 【答案】 【解析】 【详解】取中点，因为是外心，故，对分解得， 因此 ， 由得，又， 故 ， 同理可得 ， 所以. 12. 已知函数（）在内恰有2025个零点，则正整数____. 【答案】1350 【解析】 【分析】先将函数 进行化简，然后通过换元法将其转化为关于 的二次函数，再根据二次函数的性质以及三角函数的周期性来分析函数 在区间 上的零点情况，进而求出正整数 的值. 【详解】已知 ，根据二倍角公式 ， 可得 ， 令 ，因为 ，所以 ， 此时函数可转化为， 令 ，由得一定有两个不等实根，且， 若 且 ，则在 的每一个区间上都有偶数个解， 因此在区间上解的个数为偶数，不合题意， 所以中有一个为1或， 若，则，另一解为，所以在每个形如 的区间上有3个解， 又，所以时，在上有2025个解； 若，则，另一解为，所以在每个形如 的区间上有3个解， 又，所以时，在上有2025个解； 综上，正整数的值为1350. 二、选择题：本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分. 13. 已知，“”是“z为实数”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 【答案】C 【解析】 【分析】化简得到是实数，再利用充分条件必要条件的定义判断. 【详解】设, 因为，所以, 所以是实数； 当是实数时，. 所以“”是“z为实数”的充要条件. 故选：C 【点睛】方法点睛：充分条件必要条件的定义的判断常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解. 14. 在中，，则三角形的形状一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数单调性及余弦定理推理判断. 【详解】在中，，则，即， 因此，即， 由余弦定理，得，则是锐角，而是最大角， 所以是锐角三角形. 15. 在△ABC中，，，，则满足条件的△ABC（ ） A. 无解 B. 有一解 C. 有两解 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理进行判断即可. 【详解】由正弦定理可知：， 显然不存在这样的角， 故选：A 16. 定义：非零向量、的外积记作是一个向量，其中，命题①在数值上等于以、为邻边的平行四边形面积；命题②.则两个命题的真假为（ ） A. ①真，②真 B. ①真，②假 C. ①假，②真 D. ①假，②假 【答案】A 【解析】 【详解】当以、为邻边组成平行四边形时，如图 其中、，为平行四边形中边上的高，则平行四边形面积 ，故①真， 当时， ，则 ，反之因为、，若 ，则 ，即，故②真. 三、解答题本大题共5题，解答下列各题必须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知，， （1）当时，求及； （2）若与平行，求实数的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量点积公式、模长公式依次求解向量夹角与和向量的模； （2）借助平面向量平行的坐标充要条件列方程求参数. 【小问1详解】 当时，， ， ，， 所以， 由向量夹角范围为，得. ， 因此. 【小问2详解】 ，， 由两向量平行的坐标关系，得 ， 化简得，解得. 18. 已知函数. （1）写出函数定义域，判断函数奇偶性并说明理由； （2）写出函数单调区间，并用定义证明其在单调区间上的单调性. 【答案】（1）定义域为，函数为奇函数 （2）单调递减区间为，无单调递增区间，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据求定义域即可，结合诱导公式得出函数的奇偶性； （2）利用定义法证明在上的单调性，结合函数的周期性即可求解． 【小问1详解】 函数，， 故定义域为：。 因此，是奇函数． 【小问2详解】 函数的单调递减区间为：，无单调递增区间， 证明：， 则的周期为， 当，设， ， ，， ， 即在上单调递减， 又的周期为， 则在上单调递减，无单调增区间． 19. 某地区要设计建造一个自然保护区，如图所示，在一块矩形区域ABCD中（其中AB为60米，AD为30米），过道EF将其分为两个主要区域，休闲区为以D为圆心，AD为半径的四分之一圆，绿化区为四边形BEFC，且EF与圆弧相切，记切点为G.（计算结果保留两位小数） （1）若，求EF的长； （2）E点在线段AB上何处时，才能使绿化区的面积最大，求出最大值. 【答案】（1）米； （2）点距离点为米时，绿化区面积最大，最大值为平方米． 【解析】 【分析】（1）结合图形，先证，利用边长关系即可求解； （2）设 ，列出表达式结合三角恒等变换和基本不等式即可求解. 【小问1详解】 连接，因为 ， 所以 和 为直角三角形， 在 和 中， ， 所以 ， 所以 ， 又 ，所以 , 故 , 所以 ,（米）. 【小问2详解】 设 ，则由（1）得，， （平方米） 当且仅当 时等号成立，解得 ， 此时 （米）， 所以点 距离点 为 米时，绿化区面积最大，最大值为 平方米． 20. 已知函数． （1）求函数的最小正周期、对称轴和零点； （2）若，，求的值； （3）若关于x的方程在上有两个不同的解、，求实数m的取值范围及的值． 【答案】（1），对称轴，零点或． （2） （3）且，或 【解析】 【分析】（1）利用降幂公式、诱导公式及辅助角公式化简函数为，再利用正弦型函数的性质求最小正周期、对称轴和零点； （2）利用已知条件求出，进而根据求出，最后利用余弦的和角公式计算求解； （3）把零点问题转化为与直线的交点问题，作出的大致图象，结合图象及正弦型函数的对称性求实数m的取值范围及的值． 【小问1详解】 ， 函数的最小正周期为， 令，解得对称轴为， 令，即，则或 ， 解得或． 【小问2详解】 ，解得， ， ，则位于第四象限， ， ， ． 【小问3详解】 方程在上有两个不同的解、，等价于与 在有两个不同交点， ， 当时，在和上单调递增，在上单调递减， 最大值为 ，最小值为，且， 作出函数大致图象如下： 由图象可知，且时，直线与有两个交点， 解得且， 当，即时，两交点关于对称轴对称， 则； 当，即时，两交点关于对称轴对称， 则． 21. 对于定义域为R的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期．已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R，设为R上的严格增函数，，． （1）证明是以为余弦周期的余弦周期函数； （2）设，证明对任意 ，存在，使得 ； （3）证明：“为方程在上的解”的充要条件是“为方程在上的解”，并证明对任意都有． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据余弦周期函数的定义，利用正弦函数周期性和余弦函数周期性证明结论； （2）利用严格增函数和值域为的条件，通过上确界证明在任意闭区间上具有介值性质． （3）先由余弦周期的定义证明解集平移对应，再利用第（2）问的介值结论和严格单调性，先证明 ，再比较方程 在与上的解的顺序，得到 ． 【小问1详解】 ， ， 存在正常数使得对一切成立， 故是以为余弦周期的余弦周期函数． 【小问2详解】 若或，分别取或 即可． 下设． 构造集合 因为 ，所以非空；又，所以有上界． 设 下面证明 ． 若 ，由于的值域为，存在，使得 由严格增性可知． 又因为，所以，这与是的上确界矛盾． 若 ，由于的值域为，存在 ，使得 由严格增性可知． 根据上确界的定义，在 内存在． 于是 ，从而 ，这与矛盾． 因此只能有 ，命题得证． 【小问3详解】 先证明充要条件．若为方程 在上的解，则，且 由于是以为周期的函数，所以 又，所以 为方程 在上的解． 反过来，若 为方程 在上的解，则 由周期性得 且，所以为方程 在上的解．充要条件得证． 下面证明． 由第（2）问可知，在上能取遍中的所有值． 又严格递增，所以方程 在上的解恰好对应 ， 因此它在上有且只有个解． 由上面已证的充要条件，方程 在上也有且只有个解． 因为 且 ，所以存在整数，使得 又由第（2）问可知，在上能取遍中的所有值． 于是方程 在上的解对应 ，共有个． 因此，即，所以 任取，令 设方程 在上的全部解依次为 由于严格递增，正好是在区间内满足 的所有值，并且按从小到大排列． 由周期性可知， 是方程 在上的全部解，且仍按从小到大排列． 又因为在上严格递增且取遍， 所以该方程在上的全部解对应的函数值应为 于是对每个，都有 由于是上述某个，所以 故对任意，都有 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $