12.4定理（题型专练）数学新教材苏科版七年级下册

**基本信息** 该同步练习围绕三角形内角和、外角性质等定理，通过基础应用、性质综合到复杂证明的三层设计，构建从单一知识点到综合能力的巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|三角形内角和、直角三角形性质|以选择填空为主，直接应用定理求角度，如已知两角求第三角| |提升层|外角性质、多边形内角和|结合平行线、折叠等变换，如利用外角性质解决多角关系| |综合层|反证法、复杂角度综合|通过证明题（如平行线与角平分线综合）和实际情境题（如机器零件角度计算），发展推理能力与模型意识|

12.4定理 题型一 根据三角形内角和定理求角度 1．（2026·东台市·一模）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，若∠B＝70°，∠C＝30°，则∠BAE的度数是（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 2．（2026·宿城区·一模）如图，一副直角三角板摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，AB与DE交于点M．若BC∥EF，则∠BMD的度数是（　　） A．75° B．105° C．120° D．90° 3．（2024·新吴区·校级月考）在△ABC中，∠A＝60°，∠B﹣∠C＝20°，则∠C＝　　度． 4．（2026·武进区·校级月考）将一副标准三角板按如图位置放置．其中A，E，F，B四点在一直线上，则∠COD的度数是　　． 题型二 根据三角形的外角性质求角度 1．（2025·扬州·校级月考）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝43°，∠2＝103°，则∠A的度数是（　　） A．72° B．50° C．70° D．60° 2．（2025·扬州·三模）把一副三角板按如图所示平放在桌面上，点E恰好落在CB的延长线上，FE⊥CE，则∠BDE的大小为（　　） A．15° B．25° C．30° D．10° 3．（2026·丹徒区·期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，当点C落在四边形ABDE的外部时，此时测得∠1＝120°，∠C＝40°，则∠2的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 4．（2025·苏州·校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝62°，外角∠ABE＝142°，则∠A＝　　°． 5．（2026·天宁区·校级期中）如图，BE与AC、AD分别交于点G、F，则∠B+∠C+∠D+∠E﹣∠A＝　　°． 6．（2026·玄武区·期中）如图，某工人加工一个机器零件，∠E＝40°，∠F＝145°，∠D＝35°，∠A＝60°，则∠B＝　　°． 7．（2024·武进区·期中）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝　　． 题型三 根据直角三角形的性质定理求角度 1．（2025·淮安·期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，沿直线DE翻折，使得点A与点B重合，若∠A＝35°，则∠CBD的度数是（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 2．（2025·徐州·月考）在Rt△ABC中，一个锐角为50°，另一个锐角的度数为　　． 3．（2025·泗洪县·期末）直角三角形的一个锐角比另一个锐角的3倍小10°，则较大的锐角等于　　． 题型四 根据三角形内角和定理进行证明 1．（2025·靖江市·校级月考）如图，点C、E、B、F在一条直线上，从以下①AC∥FD，②∠A＝∠D，③AB∥DE．三个条件中选择两个作为条件，另一个作为结论（填序号），构成一个正确的数学命题，并加以证明． 条件：　　，结论：　　 证明： 2．（2025·淮安·期末）如图，AB∥CD，∠BAC的平分线与∠ACD的平分线交于点E．填空： ∵AB∥CD， ∴∠BAC+①　　＝180°． ∵AE平分∠BAC． ∴∠1②　　． ∵CE平分∠ACD． ∴∠2＝③　　． ∴∠1+∠2＝④　　°． ∴∠E＝180°﹣∠1﹣∠2＝90°． ∴AE⊥CE． 请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题：⑤　　． 题型五 多边形内角和与外角和定理 1．（2026·天宁区·校级期中）一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（　　） A．内角和增加180° B．内角和增加360° C．外角和增加180° D．外角和增加360° 2．（2025·徐州·期末）如图，汉画像石《庖厨图》是汉代徐州地区烧烤饮食文化的生动见证，图中建筑可近似地看成一个五边形ABCDE，若∠A＝∠D＝125°，∠B＝∠C＝90°，则∠E为（　　） A．100° B．105° C．110° D．115° 3．（2025·亭湖区·期末）如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的外角，则∠1+∠2+∠3的值为　　°． 4．（2026·姑苏区·校级期中）一个多边形内角和是外角和的2倍，它是（　　） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 5．（2025·鼓楼区·校级期末）完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中∠1+∠2＝160°，则∠C+∠D+∠E＝　　． 6．（2025·沛县·期末）若某个正多边形的一个内角为108°，则这个正多边形的边数为　　． 7．（2025·宿城区·期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　　度． 题型六 反证法的假设 1．（2025·高新区·校级月考）用反证法证明“直角三角形两个较小的内角之和等于90°”时，第一步应假设直角三角形（　　） A．两个较小的内角之和小于90° B．两个较小的内角之和大于90° C．两个较小的内角之和等于90° D．两个较小的内角之和不等于90° 2．（2026·苏州·月考）对于命题“如果a＞b＞0，那么a2＞b2．”用反证法证明，应假设（　　） A．a2＞b2 B．a2＜b2 C．a2≥b2 D．a2≤b2 3．（2025·锡山区·校级月考）若用反证法证明命题“在△ABC中，若∠B＞∠C，则AC＞AB”，则应假设　　． 题型七 根据反证法进行证明 1．（2025·新吴区·期末）请用反证法证明：已知：|a|＞a，求证：a＜0． 2．（2025·鼓楼区·校级月考）已知：m是正整数，且m2是偶数． 求证：m是偶数．（注：利用反证法证明） 3．（2025·宝应县·月考）用反证法证明：如果在△ABC中，∠C＝90°，那么∠A，∠B中至少有一个角不大于45°． 题型一 角度问题综合小题 1．（2025·昆山市·月考）如图，在△ABC中，∠F＝18°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠A等于（　　） A．36° B．48° C．52° D．60° 2．（2024·灌云县·期中）如图，在三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，直线EF过点C，且90°﹣∠FCB＝∠BAD，点G为线段AB上一点，连接CG，∠BCG与∠BCE的角平分线CM、CN分别交AD于点M、N，若∠BGC＝70°，则∠MCN＝　　°． 3．（2024·宿豫区·月考）在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线相交于点D，与∠ABC的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是　　．（填写所有正确结论的序号） ①；②；③∠E＝∠A；④∠E+∠DCF＝90°+∠ABD． 题型二 角度问题与翻折问题综合小题 1．（2026·无锡·月考）如图，有一长方形纸带，E、F分别是边AD、BC上一点，锐角∠DEF＝α（α≠60°），将纸带ABCD沿EF折叠，再沿GF折叠，当∠NFE和∠DEF的度数之和为110°时，则α的值为　　． 2．（2026·栖霞区·期中）折叠△ABC纸片，使点B，C均与点A重合，折痕交直线BC于点D，E．若∠DAE＝30°，则∠BAC＝　　°． 题型一 角度问题综合大题 1．（2025·惠山区·校级期末）数学中，我们把有一个内角大于180°的四边形称为镖形． （1）如图①，在镖形ABCD中，试探索内角∠A、∠B、∠D与钝角∠BCD之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝　　；（用含α的代数式表示） （3）如图③，已知直角△ABC的直角顶点A落在直线l上，过点B、C分别作l的垂线段，垂足为E、F，若∠ABE、∠ACF的平分线交于点D，则∠D＝　　； （4）如图④，在（3）的条件下，BD1、CD1分别为∠ABD，∠ACD的角平分线，它们的交点为D1；BD2，CD2分别为∠ABD1，∠ACD1的角平分线，它们的交点为D2；以此类推，则∠D2025＝　　°． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.4定理 题型一 根据三角形内角和定理求角度 1．（2026·东台市·一模）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，若∠B＝70°，∠C＝30°，则∠BAE的度数是（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【答案】D 【详解】解：∵∠B＝70°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣70°﹣30°＝80°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝40°． 故选：D． 2．（2026·宿城区·一模）如图，一副直角三角板摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，AB与DE交于点M．若BC∥EF，则∠BMD的度数是（　　） A．75° B．105° C．120° D．90° 【答案】B 【详解】解：∵△ABC、△DEF是一副直角三角板， ∴∠B＝30°，∠E＝45°, ∵EF∥BC， ∴∠EAB＝∠B＝30°， ∵∠E+∠EAB+∠EMA＝180°， ∴∠BMD＝180°﹣∠E﹣∠EAB ＝180°﹣45°﹣30° ＝105°． 故选：B． 3．（2024·新吴区·校级月考）在△ABC中，∠A＝60°，∠B﹣∠C＝20°，则∠C＝　　度． 【答案】50 【详解】解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°， ∵∠A＝60°， ∴∠B+∠C＝120°， ∵∠B﹣∠C＝20°， ∴∠C＝50°． 故答案为：50． 4．（2026·武进区·校级月考）将一副标准三角板按如图位置放置．其中A，E，F，B四点在一直线上，则∠COD的度数是　　． 【答案】105° 【详解】解：∵将一副标准三角板按如图位置放置， ∴∠A＝30°，∠AFO＝45°， ∵∠COD＝∠AOF， ∴∠COD＝∠AOF＝180°﹣∠A﹣∠AFO＝180°﹣30°﹣45°＝105°． 故答案为：105°． 题型二 根据三角形的外角性质求角度 1．（2025·扬州·校级月考）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝43°，∠2＝103°，则∠A的度数是（　　） A．72° B．50° C．70° D．60° 【答案】D 【详解】解：如图， ∵a∥b， ∴∠2＝∠4， ∵∠4＝∠3+∠A， ∴∠A＝∠4﹣∠3， ∵∠1＝∠3，∠1＝43°，∠2＝103°， ∴∠A＝103°﹣43°＝60°． 故选：D． 2．（2025·扬州·三模）把一副三角板按如图所示平放在桌面上，点E恰好落在CB的延长线上，FE⊥CE，则∠BDE的大小为（　　） A．15° B．25° C．30° D．10° 【答案】A 【详解】解：由题意可得：∠DEF＝45°，∠ABC＝60°， ∵FE⊥CE， ∴∠FEC＝90°， ∴∠DEB＝∠FEC﹣∠DEF＝45°， ∵∠ABC＝∠BDE+∠DEB， ∴∠BDE＝∠ABC﹣∠DEB＝60°﹣45°＝15°． 故选：A． 3．（2026·丹徒区·期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，当点C落在四边形ABDE的外部时，此时测得∠1＝120°，∠C＝40°，则∠2的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】B 【详解】解：如图，设C'D与AC交于点O， ∵∠C＝40°， ∴∠C'＝∠C＝40°， ∵∠1＝∠DOC+∠C，∠1＝120°， ∴∠DOC＝∠1﹣∠C＝120°﹣40°＝80°， ∵∠DOC＝∠2+∠C'， ∴∠2＝∠DOC﹣∠C'＝80°﹣40°＝40°． 故选：B． 4．（2025·苏州·校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝62°，外角∠ABE＝142°，则∠A＝　　°． 【答案】80 【详解】解：由三角形的外角性质可得：∠ABE＝∠C+∠A， ∵∠ABE＝142°，∠C＝62°， ∴∠A＝142°﹣62°＝80°． 故答案为：80． 5．（2026·天宁区·校级期中）如图，BE与AC、AD分别交于点G、F，则∠B+∠C+∠D+∠E﹣∠A＝　　°． 【答案】180 【详解】解：∵BE与AC、AD分别交于点G、F， ∴∠B+∠C＝∠AGB＝∠A+∠AFG，∠D+∠E＝∠AFE＝∠A+∠AGF， ∴∠B+∠C+∠D+∠E＝∠A+∠AFG+∠A+∠AGF， ∴∠B+∠C+∠D+∠E﹣∠A＝∠AFG+∠A+∠AGF， ∵∠AFG+∠A+∠AGF＝180°， ∴∠B+∠C+∠D+∠E﹣∠A＝180°． 故答案为：180． 6．（2026·玄武区·期中）如图，某工人加工一个机器零件，∠E＝40°，∠F＝145°，∠D＝35°，∠A＝60°，则∠B＝　　°． 【答案】50 【详解】解：如图，延长DF交CE于点H， ∵∠DFE＝∠E+∠FHE，∠E＝40°，∠DFE＝145°， ∴∠FHE＝∠DFE﹣∠E＝105°， ∴∠CHD＝180°﹣∠FHE＝75°， ∵∠A+∠B＝∠BCD＝∠D+∠CHD，且∠D＝35°，∠A＝60°， ∴∠B＝∠D+∠CHD﹣∠A＝35°+75°﹣60°＝50°． 故答案为：50． 7．（2024·武进区·期中）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝　　． 【答案】90° 【详解】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线， 又∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°， ∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°， ∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°， ∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°， ∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°， ∵∠PBC＝20°， ∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°， ∴∠A+∠P＝90°． 故答案为：90°． 题型三 根据直角三角形的性质定理求角度 1．（2025·淮安·期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，沿直线DE翻折，使得点A与点B重合，若∠A＝35°，则∠CBD的度数是（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【答案】B 【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝35°， ∴∠ABC＝90°﹣35°＝55°， 由折叠的性质可知：∠ABD＝∠A＝35°， ∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝55°﹣35°＝20°． 故选：B． 2．（2025·徐州·月考）在Rt△ABC中，一个锐角为50°，另一个锐角的度数为　　． 【答案】40° 【详解】解：在Rt△ABC中，一个锐角为50°， ∴另一个锐角的度数为：90°﹣50°＝40°． 故答案为：40°． 3．（2025·泗洪县·期末）直角三角形的一个锐角比另一个锐角的3倍小10°，则较大的锐角等于　　． 【答案】65° 【详解】解：设较小的锐角为x，则较大的锐角为3x﹣10°， 由题意可得：x+3x﹣10°＝90°，解得：x＝25°， 则3x﹣10°＝65°， ∴较大的锐角为65°． 故答案为：65°． 题型四 根据三角形内角和定理进行证明 1．（2025·靖江市·校级月考）如图，点C、E、B、F在一条直线上，从以下①AC∥FD，②∠A＝∠D，③AB∥DE．三个条件中选择两个作为条件，另一个作为结论（填序号），构成一个正确的数学命题，并加以证明． 条件：　　，结论：　　 证明： 【答案】①②，③；证明详见解析． 【详解】解：条件：①②，结论：③，证明如下： 由条件可知：∠ACB＝∠DFE ∵∠A＝∠D，∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠D+∠DFE+∠DEF＝180°， ∴∠ABC＝∠DEF， ∴AB∥DE（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：①②，③． 2．（2025·淮安·期末）如图，AB∥CD，∠BAC的平分线与∠ACD的平分线交于点E．填空： ∵AB∥CD， ∴∠BAC+①　　＝180°． ∵AE平分∠BAC． ∴∠1②　　． ∵CE平分∠ACD． ∴∠2＝③　　． ∴∠1+∠2＝④　　°． ∴∠E＝180°﹣∠1﹣∠2＝90°． ∴AE⊥CE． 请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题：⑤　　． 【答案】∠ACD；∠BAC；∠ACD；90；两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直． 【详解】解：由条件可知：∠BAC+∠ACD＝180°， ∵AE平分∠BAC， ∴， 由条件可知：， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠E＝180°﹣∠1﹣∠2＝90°， ∴AE⊥CE， 用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题：两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直， 故答案为：∠ACD；∠BAC；∠ACD；90；两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直． 题型五 多边形内角和与外角和定理 1．（2026·天宁区·校级期中）一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（　　） A．内角和增加180° B．内角和增加360° C．外角和增加180° D．外角和增加360° 【答案】A 【详解】解：设多边形为n边形，则边数增加1条变为（n+1）边形， ∴（n+1）边形的内角和为（n+1﹣2）×180°，n边形的内角和为（n﹣2）×180°， ∴（n+1﹣2）×180°﹣（n﹣2）×180°＝180°，即内角和增加180°． 故选：A． 2．（2025·徐州·期末）如图，汉画像石《庖厨图》是汉代徐州地区烧烤饮食文化的生动见证，图中建筑可近似地看成一个五边形ABCDE，若∠A＝∠D＝125°，∠B＝∠C＝90°，则∠E为（　　） A．100° B．105° C．110° D．115° 【答案】C 【详解】解：由题意可得：图中建筑可近似地看成一个五边形ABCDE， ∴（5﹣2）×180°＝540°， ∵∠A＝∠D＝125°，∠B＝∠C＝90°， ∴∠E＝540°﹣∠A﹣∠B﹣∠C﹣∠D ＝540°﹣125°﹣90°﹣90°﹣125° ＝110°． 故选：C． 3．（2025·亭湖区·期末）如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的外角，则∠1+∠2+∠3的值为　　°． 【答案】360 【详解】解：由“多边形的外角和等于360°”可得：∠1+∠2+∠3＝360°． 故答案为：360． 4．（2026·姑苏区·校级期中）一个多边形内角和是外角和的2倍，它是（　　） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【答案】B 【详解】解：设这个多边形是n边形， 由题意可得：（n﹣2）×180°＝2×360°，解得：n＝6． 故选：B． 5．（2025·鼓楼区·校级期末）完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中∠1+∠2＝160°，则∠C+∠D+∠E＝　　． 【答案】340° 【详解】解：由条件可知：∠ABC+∠BAE＝360°﹣（∠1+∠2）＝200°， ∵（5﹣2）×180°＝540°， ∴∠C+∠D+∠E＝540°﹣200°＝340°． 故答案为：340°． 6．（2025·沛县·期末）若某个正多边形的一个内角为108°，则这个正多边形的边数为　　． 【答案】5 【详解】解：设这个正多边形的边形为n， ∵正多边形的一个内角为108°， ∴这个正多边形的每个外角等于72°， ∴72°，解得：n＝5． 故答案为：5． 7．（2025·宿城区·期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　　度． 【答案】540 【详解】解：如图，连接DG、AC， 在四边形EFGD中，∠E+∠F+∠EDG+∠DGF＝360°， 又∠1+∠2＝∠3+∠4，∠5+∠6+∠B＝180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝540°． 故答案为：540． 题型六 反证法的假设 1．（2025·高新区·校级月考）用反证法证明“直角三角形两个较小的内角之和等于90°”时，第一步应假设直角三角形（　　） A．两个较小的内角之和小于90° B．两个较小的内角之和大于90° C．两个较小的内角之和等于90° D．两个较小的内角之和不等于90° 【答案】D 【详解】解：用反证法证明“直角三角形两个较小的内角之和等于90°”时，第一步应假设直角三角形两个较小的内角之和不等于90°， 故选：D． 2．（2026·苏州·月考）对于命题“如果a＞b＞0，那么a2＞b2．”用反证法证明，应假设（　　） A．a2＞b2 B．a2＜b2 C．a2≥b2 D．a2≤b2 【答案】D 【详解】解：由反证法可知：应假设a2≤b2． 故选：D． 3．（2025·锡山区·校级月考）若用反证法证明命题“在△ABC中，若∠B＞∠C，则AC＞AB”，则应假设　　． 【答案】AC≤AB 【详解】解：用反证法证明命题“在△ABC中，若∠B＞∠C，则AC＞AB”，应假设AC≤AB． 故答案为：AC≤AB． 题型七 根据反证法进行证明 1．（2025·新吴区·期末）请用反证法证明：已知：|a|＞a，求证：a＜0． 【答案】证明详见解析． 【详解】解：假设a≥0， 当a≥0时，|a|＝a，这与已知相矛盾， ∴假设不成立， ∴a＜0． 2．（2025·鼓楼区·校级月考）已知：m是正整数，且m2是偶数． 求证：m是偶数．（注：利用反证法证明） 【答案】证明详见解析． 【详解】证明：假设m不是偶数，则m为奇数， 设m＝2n+1（n为整数），则m2＝（2n+1）2＝4n2+4n+1＝4（n2+n）+1， ∵4（n2+n）为偶数， ∴4（n2+n）+1为奇数，与m2为偶数矛盾， ∴假设不成立，故m为偶数． 3．（2025·宝应县·月考）用反证法证明：如果在△ABC中，∠C＝90°，那么∠A，∠B中至少有一个角不大于45°． 【答案】证明详见解析． 【详解】证明：假设∠A＞45°，∠B＞45°， ∴∠A+∠B＞90°， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＜90°，与∠C＝90°矛盾， ∴假设不成立． ∴如果在△ABC中，∠C＝90°，那么∠A，∠B中至少有一个角不大于45°． 题型一 角度问题综合小题 1．（2025·昆山市·月考）如图，在△ABC中，∠F＝18°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠A等于（　　） A．36° B．48° C．52° D．60° 【答案】A 【详解】解：如图， ∵BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ， ∴∠5＝∠6，∠2＝∠3+∠4， ∵∠3+∠4＝∠5+∠F，2∠2＝2∠5+∠E， ∴2∠F＝∠E＝36°， ∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN， ∴∠5+∠6， ∴， ∵∠E＝180°﹣（∠5+∠6+∠1）＝36°， ∴∠5+∠6+∠1＝144°， ∴∠MBC+∠NCB＝2（∠5+∠6+∠1）＝288°， ∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB， ∴， ∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠MBC+180°﹣∠NCB＝360°﹣（∠MBC+∠NCB）＝72°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣2×72°＝36°． 故选：A． 2．（2024·灌云县·期中）如图，在三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，直线EF过点C，且90°﹣∠FCB＝∠BAD，点G为线段AB上一点，连接CG，∠BCG与∠BCE的角平分线CM、CN分别交AD于点M、N，若∠BGC＝70°，则∠MCN＝　　°． 【答案】35 【详解】解：∵AD⊥BC， ∴Rt△ABD中，90°﹣∠B＝∠BAD， 又∵90°﹣∠FCB＝∠BAD， ∴∠FCB＝∠B， ∴EF∥AB， ∴∠ECG＝∠BGC＝70°， ∵∠BCG与∠BCE的角平分线CM、CN分别交AD于点M、N， ∴∠BCN∠BCE，∠BCM∠BCG， ∴∠MCN＝∠BCN﹣∠BCM（∠BCE﹣∠BCG）∠ECG70°＝35°． 故答案为：35． 3．（2024·宿豫区·月考）在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线相交于点D，与∠ABC的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是　　．（填写所有正确结论的序号） ①；②；③∠E＝∠A；④∠E+∠DCF＝90°+∠ABD． 【答案】①②④ 【详解】解：∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O， ∴∠ABD＝∠OBC∠ABC，∠OCB＝∠ACO∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∵∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A，故①正确； ∵CD平分∠ACF， ∴∠DCF∠ACF， ∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∠DCF＝∠OBC+∠D， ∴∠D∠A，故②正确； ∵∠MBC＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∠ACB+∠A+∠ABC＝180°， ∴∠MBC+∠BCN＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A， ∵BE平分∠MBC，CE平分∠BCN， ∴∠MBC＝2∠EBC，∠BCN＝2∠BCE， ∴∠EBC+∠BCE＝90°∠A， ∵∠E+∠EBC++BCE＝180°， ∴∠E＝180°﹣（∠EBC+∠BCE）＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A，故③错误； ∵∠DCF＝∠DBC+∠D， ∴∠E+∠DCF＝90°∠A+∠DBC∠A＝90°+∠DBC， ∵∠ABD＝∠DBC， ∴∠E+∠DCF＝90°+∠ABD，故④正确； 综上，正确的有：①②④． 故答案为：①②④． 题型二 角度问题与翻折问题综合小题 1．（2026·无锡·月考）如图，有一长方形纸带，E、F分别是边AD、BC上一点，锐角∠DEF＝α（α≠60°），将纸带ABCD沿EF折叠，再沿GF折叠，当∠NFE和∠DEF的度数之和为110°时，则α的值为　　． 【答案】35°或72.5° 【详解】解：分两种情况： 如图，当0°＜α＜60°时， ∵将纸带ABCD沿EF折叠，再沿GF折叠，∠DEF＝α， ∴∠DEF＝∠GEF＝α，∠GFN＝∠GFC′， ∴∠DEG＝∠DEF+∠GEF＝2α， ∵AD∥BC， ∴∠FGD′＝∠DEG＝2α，∠EFG＝∠DEF＝α， 又∵FC′∥GD′， ∴∠GFN＝∠GFC′＝180°﹣∠FGD′＝180°﹣2α， ∴∠NFE＝∠GFN﹣∠EFG＝180°﹣2α﹣α＝180°﹣3α， ∴110°＝180°﹣3α+α，解得：α＝35°； 如图，当60°＜α＜90°时， 同理可得：∠GFN＝180°﹣2α，∠EFG＝α， ∴∠NFE＝∠EFG﹣∠GFN＝α﹣（180°﹣2α）＝3α﹣180°， ∴110°＝3α﹣180°+α，解得：α＝72.5°； 综上，α的值为35°或72.5°． 故答案为：35°或72.5°． 2．（2026·栖霞区·期中）折叠△ABC纸片，使点B，C均与点A重合，折痕交直线BC于点D，E．若∠DAE＝30°，则∠BAC＝　　°． 【答案】75或105或15 【详解】解：∵折叠△ABC纸片，使点B，C均与点A重合，折痕交直线BC于点D，E， ∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C， ∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C， 如图1，∠BAC＞∠DAE，且点E在点D的左侧， ∵∠DAB+∠EAC＝∠BAC+∠DAE， ∴∠B+∠C＝∠BAC+∠DAE， ∵∠B+∠C＝180°﹣∠BAC，∠DAE＝30°， ∴180°﹣∠BAC＝∠BAC+30°， ∴∠BAC＝75°； 如图2，∠BAC＞∠DAE，且点E在点D的右侧， ∵∠DAB+∠EAC＝∠BAC﹣∠DAE， ∴∠B+∠C＝∠BAC﹣∠DAE， ∴180°﹣∠BAC＝∠BAC﹣30°， ∴∠BAC＝105°； 如图3，∠BAC＜∠DAE， ∵∠EAC＝∠ECA，∠DAB＝∠B， ∴∠EAC﹣∠DAB＝∠ECA﹣∠B＝∠BAC， ∵∠EAC﹣∠DAB＝∠DAE+∠CAD﹣（∠BAC+∠CAD）＝30°﹣∠BAC， ∴∠BAC＝30°﹣∠BAC， ∴∠BAC＝15°； 综上，∠BAC＝75°或∠BAC＝105°或∠BAC＝15°． 故答案为：75或105或15． 题型一 角度问题综合大题 1．（2025·惠山区·校级期末）数学中，我们把有一个内角大于180°的四边形称为镖形． （1）如图①，在镖形ABCD中，试探索内角∠A、∠B、∠D与钝角∠BCD之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝　　；（用含α的代数式表示） （3）如图③，已知直角△ABC的直角顶点A落在直线l上，过点B、C分别作l的垂线段，垂足为E、F，若∠ABE、∠ACF的平分线交于点D，则∠D＝　　； （4）如图④，在（3）的条件下，BD1、CD1分别为∠ABD，∠ACD的角平分线，它们的交点为D1；BD2，CD2分别为∠ABD1，∠ACD1的角平分线，它们的交点为D2；以此类推，则∠D2025＝　　°． 【答案】（1）∠BCD＝∠A+∠B+∠D，理由详见解析；（2）α；（3）45°；（4）． 【详解】解：（1）∠BCD＝∠A+∠B+∠D，理由如下： 如图，延长BC交AD于点M， ∵∠BCD＝∠CMD+∠D，∠CMD＝∠A+∠B， ∴∠BCD＝∠A+∠B+∠D； （2）由（1）可得：∠BFC＝∠A+∠B+∠C，∠EOD＝∠D+∠E+∠EFD＝α， ∵∠BFC＝∠EFD， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝α， 故答案为：α； （3）由（1）可得：∠BAC＝∠D+∠DBA+∠DCA＝90°， ∵BE⊥l，CF⊥l， ∴∠BEA＝∠CFA＝90°， ∴∠ABE+∠BAE＝90°，∠ACF+∠CAF＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAE+∠CAF＝90°， ∴∠ABE+∠ACF＝90°， ∵BD平分∠ABE，CD平分∠ACF， ∴，∠DCA∠ACF， ∴∠DBA+∠DCA∠ABE∠ACF＝（∠ABE+∠ACF）＝45°， ∴∠D+45°＝90°， ∴∠D＝45°， 故答案为：45°； （4）由（1）可得：∠BAC＝∠D1+∠D1BA+∠D1CA＝90°， 同（3）可得：∠D1BA+∠D1CA＝（）°， ∴∠D1＝90°﹣（）°＝90°， 由（1）可得：∠BAC＝∠D2+∠D2BA+∠D2CA＝90°， 同（3）可得：∠D2BA+∠D2CA＝（）°， ∴∠D2＝90°﹣（）°＝90°， ∴∠D3＝90°， …， ∴∠D2025＝90°， 故答案为：（90）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.4定理 题型一 根据三角形内角和定理求角度 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】50 4．【答案】105° 题型二 根据三角形的外角性质求角度 1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】80 5．【答案】180 6．【答案】50 7．【答案】90° 题型三 根据直角三角形的性质定理求角度 1．【答案】B 2．【答案】40° 3．【答案】65° 题型四 根据三角形内角和定理进行证明 1． 【答案】①②，③；证明详见解析． 【详解】解：条件：①②，结论：③，证明如下： 由条件可知：∠ACB＝∠DFE ∵∠A＝∠D，∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠D+∠DFE+∠DEF＝180°， ∴∠ABC＝∠DEF， ∴AB∥DE（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：①②，③． 2． 【答案】∠ACD；∠BAC；∠ACD；90；两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直． 【详解】解：由条件可知：∠BAC+∠ACD＝180°， ∵AE平分∠BAC， ∴， 由条件可知：， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠E＝180°﹣∠1﹣∠2＝90°， ∴AE⊥CE， 用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题：两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直， 故答案为：∠ACD；∠BAC；∠ACD；90；两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直． 题型五 多边形内角和与外角和定理 1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】360 4．【答案】B 5．【答案】340° 6．【答案】5 7．【答案】540 题型六 反证法的假设 1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】AC≤AB 题型七 根据反证法进行证明 1． 【答案】证明详见解析． 【详解】解：假设a≥0， 当a≥0时，|a|＝a，这与已知相矛盾， ∴假设不成立， ∴a＜0． 2． 【答案】证明详见解析． 【详解】证明：假设m不是偶数，则m为奇数， 设m＝2n+1（n为整数），则m2＝（2n+1）2＝4n2+4n+1＝4（n2+n）+1， ∵4（n2+n）为偶数， ∴4（n2+n）+1为奇数，与m2为偶数矛盾， ∴假设不成立，故m为偶数． 3． 【答案】证明详见解析． 【详解】证明：假设∠A＞45°，∠B＞45°， ∴∠A+∠B＞90°， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＜90°，与∠C＝90°矛盾， ∴假设不成立． ∴如果在△ABC中，∠C＝90°，那么∠A，∠B中至少有一个角不大于45°． 题型一 角度问题综合小题 1．【答案】A 2．【答案】35 3．【答案】①②④ 题型二 角度问题与翻折问题综合小题 1．【答案】35°或72.5° 2．【答案】75或105或15 题型一 角度问题综合大题 1． 【答案】（1）∠BCD＝∠A+∠B+∠D，理由详见解析；（2）α；（3）45°；（4）． 【详解】解：（1）∠BCD＝∠A+∠B+∠D，理由如下： 如图，延长BC交AD于点M， ∵∠BCD＝∠CMD+∠D，∠CMD＝∠A+∠B， ∴∠BCD＝∠A+∠B+∠D； （2）由（1）可得：∠BFC＝∠A+∠B+∠C，∠EOD＝∠D+∠E+∠EFD＝α， ∵∠BFC＝∠EFD， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝α， 故答案为：α； （3）由（1）可得：∠BAC＝∠D+∠DBA+∠DCA＝90°， ∵BE⊥l，CF⊥l， ∴∠BEA＝∠CFA＝90°， ∴∠ABE+∠BAE＝90°，∠ACF+∠CAF＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAE+∠CAF＝90°， ∴∠ABE+∠ACF＝90°， ∵BD平分∠ABE，CD平分∠ACF， ∴，∠DCA∠ACF， ∴∠DBA+∠DCA∠ABE∠ACF＝（∠ABE+∠ACF）＝45°， ∴∠D+45°＝90°， ∴∠D＝45°， 故答案为：45°； （4）由（1）可得：∠BAC＝∠D1+∠D1BA+∠D1CA＝90°， 同（3）可得：∠D1BA+∠D1CA＝（）°， ∴∠D1＝90°﹣（）°＝90°， 由（1）可得：∠BAC＝∠D2+∠D2BA+∠D2CA＝90°， 同（3）可得：∠D2BA+∠D2CA＝（）°， ∴∠D2＝90°﹣（）°＝90°， ∴∠D3＝90°， …， ∴∠D2025＝90°， 故答案为：（90）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $