12.4 第1课时 三角形内角和定理及其推论-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（苏科版）

拔尖特训·数学（苏科版）七年级下 12.4定理 照批改 第1课时三角形内角和定理及其推论 “答案与解析”见P44 ☑基础进阶 幻素能攀升 1.如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角， 6.如图，AD是∠CAE的平分线，∠B=35°， 则这个三角形是 ( ∠DAE=60°，则∠ACD的度数为() A.直角三角形 B.钝角三角形 A.25°B.60 C.85°D.95 C.等边三角形 D.锐角三角形 50 (第6题) (第7题) 680° B 7.如图，在△ABC中，CD,BE分别是边AB, (第1题) (第2题) 2.如图，∠A,∠1，∠2的大小关系是 ( AC上的高，且CD,BE交于点P.若∠A= A.∠A>∠1>∠2B.∠2>∠1>∠A 60°，则∠BPC的度数为 () C.∠A>∠2>∠1D.∠2>∠A>∠1 A.90°B.120°C.150°D.160 3.如图，点D,E分别在△ABC的边AB,AC 8.如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，CE 上，且DE∥BC,点F在线段BC的延长线 是∠ACB的平分线，BD,CE交于点F.若 ∠AEC=80°，∠DFC=52°，则∠ABC的度 上.若∠ADE=28°，∠ACF=118°，则∠A 数是 () 的度数为 A.28° B.38 C.42°D.62 D CF (第3题) (第4题) 4.如图，AD,BE分别是△ABC的高和角平分 (第8题) (第9题)》 线，∠BAC=80°，∠C=60°，则∠AOB的度 9.如图，直线mm,△ABC(∠C=90)的顶点A 数为 在直线n上若∠3=43°，则∠a= 5.如图，在△ABC中，∠B=25°，∠BAC=31° 10.如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外 过点A作边BC上的高，交BC的延长线于 角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,则 点D,CE平分∠ACD,交AD于点E.求： ∠E的度数为 (1)∠ACD的度数， (2)∠AEC的度数. B C D (第10题) (第11题) 11.如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分 ∠ACD,F为CA的延长线上的一点，FG∥ (第5题) EC,交AB于点G.若∠1=70°，∠2=30°， 则∠3的度数为 122 第12章定义命题证明 12.如图①，在△ABC中，∠B= (1)若△ABC为“开心三角形”，∠A= ∠C=45°，点D在边BC上，点E 144°，则这个三角形中最小的内角的度数为 在边AC上，连接AD,DE,答案讲解 ∠ADE=∠AED. (2)若△ABC为“开心三角形”，∠A=70°， (1)当∠BAD=60时，求∠CDE的度数. 则这个三角形中最小的内角的度数为 (2)当点D在边BC(点B,C除外)上运动 时，试猜想∠BAD与∠CDE之间的数量关 (3)已知△ABC为“开心三角形”，∠A是 系，并说明理由， 最小的内角，并且是其中的一个“开心角”， (3)如图②，若∠B=∠C,但∠C≠45°，其 求∠A的取值范围 他条件不变，试探究∠BAD与∠CDE之间 (4)如图，AD平分△ABC的内角∠BAC, 的数量关系 交BC于点E,CD平分△ABC的外角 ∠BCF,延长BA和DC交于点P,已知 ∠P=30°.若△ABE为“开心三角形”， ∠BAE是其中的一个“开心角”，设∠BAE= ② a,求a的度数. (第12题) B (第13题) 份思维拓展 13.新考法·新定义题定义：在一个三角 形中，如果有一个角是另一个角的 2倍，那么称这两个角互为“开心答案讲解 角”，这个三角形称为“开心三角形”.例如：在 △ABC中，∠A=70°，∠B=35°，则∠A与 ∠B互为“开心角”，△ABC为“开心三 角形” 123由题意，得x=2x一30°或x+2x 30°=180°，解得x=30或x=70. .2x-30°=30或110. .这两个角的度数为30°，30°或 70°，110. 一方法归纳 画出符合题意的图形感受 分类讨论的数学思想 解决这类图形不确定问题时 通常先根据问题中的条件，画出符 合题意的图形，再根据图形的相关 性质、条件进行推理或判断，得出 结论.这类问题往往渗透分类讨论 的数学思想。 12.4定理 第1课时三角形内角和 定理及其推论 1.D2.B3.90°4.110 5.(1)∠ACD=∠B+∠BAC, ∠B=25°，∠BAC=31°， .∠ACD=25°+31°=56. (2)AD⊥BD, .∠D=90」 :'∠ACD=56,CE平分∠ACD, ·∠E0D=7∠ACD=28 ∴.∠AEC=∠ECD+∠D=28°+ 90°=118°」 6.D 7.B 解析：BE⊥AC, .∠BEC=90°..∠A=60°， ∴.∠ABE=90°-60°=30.又 CD⊥AB,.∠BDP=90. ∴.∠BPC=∠BDP+∠ABE= 120° 8.C解析：BD是AC边上的高， .∠FDC=90°..'.∠FCD=90° ∠DF℃=90°-52°=38.CE是 ∠ACB的平分线，.∠ECB= ∠DCF=38.∴.∠ABC=∠AEC ∠ECB=80°-38°=42° 9.47°解析：延长AC交直线m于 点D,设BC交直线m于点O.直 线m∥n,∴.∠3=∠ODC..∠a与 ∠DOC是对顶角，∴.∠a=∠DOC. 又：∠ACB=∠COD+∠ODC 90°，.∠a+∠3=90.∠3=43， ∴.∠a=90°-∠3=90°-43°=47°. 10.66.5°解析：：三角形的外角 ∠DAC和∠ACF的平分线交于点E, :∠CAE=7∠DAC=(∠B+ ∠ACB),∠ACE=2∠ACP= 合（∠B+∠BAC.·∠CAE+ ∠ACE=∠B+∠ACB)+ 2(☑B+∠BAC)=号（∠B十 ∠AB+∠B+∠BAC)=名X (180°+47)=113.5°.∴.在△ACE 中，∠E=180°-（∠CAE+ ∠ACE)=180°-113.5°=66.5. 11.40°解析：，CE平分∠ACD, .∠1=∠ECF.FG∥EC, ∴.∠F=∠ECF.∠FCD=∠3十 ∠BAC,∠BAC=∠2+∠F, ∴.∠FCD=∠3+∠2+∠F. ∴.∠1+∠ECF=∠3+∠2+∠F. .∠3=∠1-∠2.又.∠1=70°， ∠2=30°，∴.∠3=70°-30°=40°. 12.(1):∠ADC是△ABD的外 角，∠BAD=60°，∠B=45°， .∠ADC=∠BAD+∠B=105. ∵∠B=∠C=45°， ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=90. ∠DAE=∠BAC-∠BAD=30°， .∠ADE=∠AED=75. '.∠CDE=∠ADC-∠ADE= 105°-75°=30° (2)∠BAD=2∠CDE. 理由：∠B=∠C=45°， .∠BAC=90° 设∠BAD=x. ∴.∠ADC=∠BAD+∠B=x+45°， ∠DAE=∠BAC-∠BAD= 90°-x. ·∠ADE=∠AED=90+2 2 44 ∴.∠CDE=∠AIDC-∠ADE=x+ 45°-90°+x1 2 2x. ∴.∠BAD=2∠CDE. (3)设∠BAD=t. ∴.∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+ t,∠DAE=∠BAC-∠BAD= 180°-2∠C-t. ∴.∠ADE=∠AED= 150DE-∠c+ 2 ∠B=∠C, .∠CDE=∠ADC-∠ADE= ∠B+1-(∠c+2)=. .∠BAD=2∠CDE 13.(1)12. (2)35支()解折：不坊设∠C 为△ABC的最小角.当∠A与∠C互 为“开心角”时，易得最小角的度数为 35°.当∠B与∠C互为“开心角”时， 设最小角∠C的度数为之.∴之十 22=180°-70°..之= (10).综上 3/ 所述，这个三角形中最小的内角的度 数为35或( (3)∠A是最小的内角，并且是其 中的一个“开心角”， .另一个“开心角”是2∠A. .第三个内角是180°-3∠A. ∠A是最小的内角， ∴.∠A≤180°-3∠A,且∠A< 2∠A. ∴.0<∠A≤45. (4):AD平分△ABC的内角 ∠BAC, ∴.∠CAE=∠BAE=a. .∠PAC=180°-2a. 设∠PCA=x. ,CD平分△ABC的外角∠BCF, ∴.∠BCD=∠DCF=x. .∴.∠ACB=180°-2x ∠P=30°， '.∠PAC+∠PCA=150°，即180°- 2a+x=150°. .x=2a-30° ∴.∠AEB=∠CAE+∠ACB=a+ 180°-2.x=240°-3a. ∴.∠B=180°-a-(240°-3a)= 2a-60. ①当∠BAE与∠B互为“开心角” 1 时，∠BAE=2∠B或∠BAE= 2∠B. 若∠BAE=2∠B,则a=(2a 60),无解，不合题意； 若∠BAE=2∠B,则a=2(2a-60°)， 解得a=40°」 ②当∠BAE与∠AEB互为“开心 角”时，∠BAE=子∠AEB或 ∠BAE=2∠AEB ,∠AEB=∠EAC+∠ACE, ∠EAC=∠BAE .∠BAE=2∠AEB舍去 ·∠BAE=2∠AEB,即a= 号(240-a).解得6=48 综上所述，a的度数为40或48°， 第2课时多边形的内角和、 外角和定理 1.B2.C 3.(1)60°，80°，100°，120°(2)720 4.(1)150°(2)12 5.由题图，可知70十x十(x一10)+ x+(x+20)=(5-2)×180,解得 x=115. 6.B 7.A解析：，五边形ABCDE是正 五边形，.∠B=∠BAE (5一2)×180=108.由翻折的性质， 可知∠BAB'=∠EAB'= 2∠BAE=54,∠BAF=∠BAF 1 号∠BAB=2,∠APB=∠AFB 在△ABF中，∠AFB=180°-108° 27°=45°..∠AFB'=∠AFB=45°. 8.108 9.360°解析：如图.由三角形内角 和定理的推论，可知∠1=∠D十 ∠F,∠2=∠A+∠E...∠A+ ∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ∠B+∠C+∠1+∠2=360°. (第9题) 10.36 11.(1)设该多边形的边数是. 由题意，得(n-2)X180°=360°X2 180°，解得n=5. ∴.该多边形的边数是5. (2)截去一个角， '.截完后所形成的新多边形的边数 可能是4或5或6. ①当新多边形为四边形时，其内角和 为(4-2)×180°=360°： ②当新多边形为五边形时，其内角和 为(5-2)×180°=540°： ③当新多边形为六边形时，其内角和 为(6-2)×180°=720 综上所述，截完后所形成的新多边形 的内角和为360°或540或720° 12.(1)140. (2)四边形DBCE是“等对角四边形” 理由：在△ABC中，∠B=90, ∠A=40°， '.∠C=180°-∠A-∠B=50° ∠ADE=50°， .'.∠AED=90°，∠BDE=130 ∴.∠DEC=90. '.∠DEC=∠B,且∠BDE≠∠C ∴四边形DBCE是“等对角四边形” 13.(1)∠B+∠ADC=180, ∠A+∠B+∠BCD+∠ADC= 360°， ∴.∠A+∠BCD=180°. ∠A=50°， .∠BCD=130. .CE平分∠BCD ·∠CE=g∠BCD=65 45 ∠B=85, ∴.∠BEC=180°-∠BCE-∠B= 180°-65°-85°=30° (2)由(1)，知∠A+∠BCD=180°， ∴.∠A+∠BCE+∠DCE=180. :∠CDE+∠DCE+∠1=180°， '.∠A+∠BCE=∠CDE+∠1. CE平分∠BCD, ..∠DCE=∠BCE. ,∠CDE=∠DCE, '.∠BCE=∠CDE .∠A=∠1. 14.(1)61. (2)∠D=140°，CE∥AD, ∴.∠D+∠DCE=180. .∠DCE=180°-140°=40. ,CE平分∠BCD, .∠BCD=2∠DCE=80°. 又，∠A=98°， ∴.∠B=360°-∠A-∠D- ∠BCD=360°-98°-140°-80°=42° (3)∠A=98,∠D=140°，∠A+ ∠ABC+∠BCD+∠D=360°， .∠ABC+∠BCD=360°-98° 140°=122 .∠ABC和∠DCB的平分线交于 点E, ·∠EBC=Z∠ABC,∠BCE= 2∠BCD. ·∠EBC+∠BCE=(∠ABC+ ∠BCD)=7X122°=619 :∠BEC+∠EBC+∠BCE=180, ∴.∠BEC=180°-61°=119°. 第3课时反证法 1.B 2.D 3.C 4.AB=AC 5.一个三角形中有两个角是直角 6.(1)互补的两个角一定是一个锐 角和一个钝角， (2)假命题 反例：两个角都是直角.