第10章分式 单元同步自主达标测试题 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

**基本信息** 苏科版八年级数学下册《分式》单元同步测试，覆盖分式概念、性质、运算及应用，通过基础题与综合应用题结合，培养抽象能力、运算能力和模型意识，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/24|最简分式、分式性质、有意义条件等|基础概念辨析，考查抽象能力| |填空题|8/24|分式值为0/整数、计算、方程解|结合字母参数，提升推理意识| |解答题|9/72|化简求值、方程求解、实际应用（快递分拣、清洁机器人）|创设人工智能等时代情境，综合考查运算能力与模型意识|

2025-2026学年苏科版八年级数学下册《第10章分式》单元同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列分式中，属于最简分式的是（   ）. A． B． C． D． 2．下列分式与一定相等的是（   ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．无论x为何值，的值总为正数 D．当分式值为0时， 4．如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值（    ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．扩大6倍 D．不变 5．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 6．已知，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 7．小明在解关于x的分式方程时，发现墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案上说此方程无解，则被污染的数字为（    ） A． B． C．2 D．1 8．某学校九年级学生去距学校的中国人民抗日纪念馆参观．一部分学生乘大巴先出发，过了，其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达．已知中巴的平均速度是大巴平均速度的1.2倍；设大巴的速度为．则根据题意可列出的方程为（） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．已知当时，分式无意义，当时，分式的值为0，则的值是________． 10．当正整数________时，分式的值也为整数． 11．计算：_____． 12．已知，则__________． 13．关于的分式方程的解为，则的值为_____． 14．对于非零的两个实数，规定．如果，那么x的值为_____． 15．关于x的方程解为非负数，则的取值范围是___________. 16．随着人工智能的快速发展，某快递站使用机器人分拣小型包裹，其效率是人工分拣的4倍，且机器人分拣3200件小型包裹比人工分拣1600件小型包裹少用，则人工每小时分拣小型包裹的数量为_________件． 三、解答题（满分72分） 17．（8分）已知分式，回答下列问题． (1)若分式无意义，求的取值范围； (2)若分式的值是零，求的值； (3)当，时，分别求分式的值； (4)若分式的值是正数，求的取值范围． 18．（8分）计算： (1)； (2)． 19．（6分）若，求的值． 20．（6分）先化简，再求值：，其中． 21．（8分）已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若该方程无解，求实数的值． 22．（8分）问题：已知，求的值． 小明在解决以上代数式求值的问题时，采取以下做法： 已知，则a，，原式； 请阅读上述材料，解决下列问题： (1)已知，则______； (2)已知，求的值． 23．（8分）安安与宁宁相约去爬山，两人从云中湖同时出发，沿同一路线攀登抵达山顶铜鼓包，随后立即从山顶沿原路返回云中湖．安安上山的平均速度为，下山的平均速度为；宁宁借助登山机械骨骼，上下山全程的平均速度为，已知，且、均为正数． (1)安安往返所需时间为______，宁宁往返所需时间为____；（用含有，的式子表示） (2)两人谁先返回云中湖？请说明理由． 24．（10分）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴4即 ∴，∴ 根据材料回答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求x的值． (3)若，，，，且，求的值． 25．（10分）随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进、两种型号的清洁机器人，每台型机比每台型机平均每小时少清扫平方米，一台型机清扫平方米所用时间是一台型机清扫平方米所用时间的倍． (1)每台型机和每台型机平均每小时分别清扫多少平方米？ (2)若物业公司共购进台机器人，型机器人元/台，型机器人元/台．公司要求这批机器人每小时至少清扫平方米楼道，那么该公司如何购买型和型机器人，才能使总成本最低？并求出最低成本； (3)更新、两种型号的机器人程序后，每台型机比每台型机平均每小时多清扫平方米，用一台型机清扫平方米的时间，一台型机可比一台型机多清扫平方米，则一台型机平均每小时清扫____________平方米，一台型机平均每小时清扫___________平方米（用含、的式子表示）． 参考答案 1．解：∵分子分母没有公因式的分式是最简分式， ∴对各选项逐一分析： 选项A：，分子分母含有公因式，可约分为，不是最简分式； 选项B：分解因式得：，分子分母含有公因式，可约分为，不是最简分式； 选项C：分解因式得：，分子分母含有公因式，可约分为，不是最简分式； 选项D：，分子和分母都不能再分解因式，且没有公因式，无法约分，是最简分式． ∴选项D为最简分式． 2．A 【分析】根据分式的基本性质可判断A；根据当时，式子无意义可判断B；根据当时，，可判断C、D． 【详解】解：A、，故此选项符合题意； B、当时，式子无意义，故此选项不符合题意； C、当时，，，此时，故此选项不符合题意； D、当时，，，此时，故此选项不符合题意； 3．C 【分析】本题考查分式的相关概念，包括分式有意义的条件，最简公分母的确定，分式值为零的条件及分式值的正负判断，解题关键是掌握分式相关的基本性质。 【详解】解：A选项，因为分式有意义的条件是分母不为，即，不是，所以A错误； B选项，因为确定最简公分母需取系数最小公倍数与各字母因式最高次幂的乘积，所以分式与的最简公分母是，不是，所以B错误； C选项，因为对任意都有，所以，分子，所以恒成立，所以C正确； D选项，因为分式值为需满足分子为且分母不为，由得，又即，所以，D错误． 4．D 【分析】本题考查分式的基本性质，将扩大3倍后的x,y代入原式，化简后与原分式比较即可得到结果. 【详解】解：∵把和都扩大3倍后，得到新分式为， ∴新分式与原分式相等，分式的值不变. 5．A 【详解】解： ． 6．C 【分析】先对B进行分式通分化简，再结合A的表达式计算对应式子，即可得出结论. 【详解】解： ∵， ∴，且，故A，B错误； ，，故C正确，D错误. 7．A 【分析】本题考查了分式方程无解问题，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．设被污染的数字为，则方程为，去分母并解方程得，结合“此方程无解”可知是增根，列出关于的方程，即可求解． 【详解】解：设被污染的数字为， 则方程为 方程两边同乘，得：， 解得：， ∵分式方程无解， ∴是增根，即， ∴， 解得：． 故选：A． 8．B 【分析】根据两车时间差建立等量关系，利用“大巴行驶时间减早出发时间等于中巴行驶时间”列方程即可． 【详解】设大巴的平均速度为，则中巴的平均速度为， 大巴行驶全程的时间为，中巴行驶全程的时间为， ∵大巴先出发，两车同时到达， ∴列方程得． 9．5 【分析】根据分式无意义的条件求出的值，根据分式值为的条件求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：当时，分式无意义， 即， 解得：， 当时，分式的值为， 即且， 解得：， 则． 10．1 【分析】本题考查分式的值为整数的参数求解，核心方法为分离常数法，将分式拆分为整式和分子为常数的最简分式，解题的关键是利用”除数为被除数的约数”确定参数的可能取值，再结合参数的取值范围筛选出符合题意的解．先对分式进行恒等变形，化为整式与最简分式的和，根据分式的值为整数，得到是2的正约数，结合为正整数的条件求解． 【详解】解：对分式变形： 分式的值为整数，为正整数， 为整数，即是2的正约数． 2的正约数为1,2， 当时，解得, 符合正整数题意： 当时，解得, 不是正整数，舍去． 故答案为：1． 11．1 【分析】根据分式混合运算法则，先计算括号内的加法，再计算除法，即可求解． 【详解】解： ． 12．4 【分析】本题考查了分式的通分与部分分式分解，掌握通分后通过比较分子的系数建立方程，直接获取系数关系是解题的关键． 通过部分分式分解，将等式右边通分后分子与左边分子比较系数，得到关于和的方程，直接得出的值 【详解】解：右边通分：， 与左边分母相同，故分子相等： 展开右边： 比较等式两边的系数，左边的系数为 4，右边为，因此：． 故答案为：4． 13．2 【详解】解：将解代入方程得：， 解得：． 14．0 【分析】根据新定义的运算规则，列出关于的分式方程，解分式方程即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴， 由 得： ， 方程两边同乘得： ， 解得， 检验：当时，， ∴是分式方程的解， ∴x的值为0． 15．且 【分析】先解分式方程得到用表示的结果，再根据解为非负数得到，结合分式方程分母不为零得到，进而求出的取值范围． 【详解】解：原方程变形为：， 方程两边同乘，得， 整理得， 移项合并同类项得， 系数化为得， ∵方程的解为非负数，且分式分母不能为， ∴， 解得且． 16．400 【分析】设人工每小时分拣件小型包裹，则机器人每小时分拣件小型包裹，根据时间差关系列分式方程求解，最后检验方程的解即可. 【详解】解：设人工每小时分拣件小型包裹，则机器人每小时分拣件小型包裹． 根据题意，得 去分母，得 合并同类项，得 解得 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义． 17．(1) (2) (3)； (4) 【分析】本题考查分式的性质，解题的关键是掌握分式有意义的条件，分式的基本性质，分式值为零、分式值为正，分式所应具备的条件进行解答，即可． （1）根据分式无意义，则分母为； （2）根据分式值为零，分子为零，分母不为零，即可； （3）将的值代入分式计算即可； （4）分式值为正数，则分子分母同号，进而可得两个不等式组，再解即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 解得： （2）解：由题意得且， 解得，， ∴ （3）解：当时，； 当时， （4）解：由题意可得①， 此不等式组无解； ②，解得． ∴分式的值是正数，的取值范围是． 18．(1) (2) 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则和因式分解是解题关键． （1）先算括号内的分式加法，再分解因式，最后进行分式乘法运算并约分； （2）先算括号内的分式加法，再分解因式，将除法转化为乘法，最后约分． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19． 【分析】本题考查了等式的性质，分式的求值． 由等式的性质得到，进而计算即可． 【详解】解：由得， ． 20． 【分析】原式先计算括号内的，再把除法转换为乘法，约分后得最简结果，再选择合适的的值代入计算即可． 【详解】解： ． ， ， 原式． 21．(1)； (2)或． 【分析】（）先把原方程去分母并整理得，解得，然后把代入即可求解； （）根据方程无解可得，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：原方程去分母并整理得：， 整理得，，即， ∴当时，， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解是； （2）解：由（）知，所以要使原方程无解， 只需满足即可，解得或． 22．(1) (2) 【分析】（1）按照材料方法的原式为化简计算即可； （2）由已知得，代入原式化简为计算即可． 【详解】（1）解：∵，则a，， ∴ ； （2）解：∵，则a，， ∴， ∴ ． 23．(1)； (2)宁宁先返回云中湖；理由见解析 【分析】代数式比大小一般使用作差法或者作商法，掌握好分式的性质和因式分解是关键． （1）根据速度、路程和时间之间的关系分别计算即可； （2）利用作差法比较两个分式的大小，从而得出结论． 【详解】（1）解：安安往返所需时长：（小时）， 宁宁往返所需时长：（小时）． （2）解：宁宁先返回云中湖，理由如下： ∵，，且， ∴ ∴ ∴宁宁先返回云中湖． 24．(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是利用倒数法求解分式的值，灵活的运用倒数法是解本题的关键． （1）由，可得，从而可得答案； （2）由，可得，再进一步可得答案； （3）由条件结合题干信息可得，，再代入，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 代入， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴； 25．(1)每台型机平均每小时清扫平方米，每台型机平均每小时清扫平方米 (2)购买台型机，台型机，能使总成本最低，总成本最低为元 (3)， 【分析】（）设每台型机平均每小时清扫平方米，则每台型机平均每小时清扫平方米，根据题意列出方程解答即可求解； （）设购进台型机，则购进台型机，根据题意列出不等式求出的取值范围，设总成本为元，求出与的一次函数解析式，再根据一次函数的性质解答即可求解； （）设更新后型机平均每小时清扫平方米，则型机平均每小时清扫，根据题意列出方程解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设每台型机平均每小时清扫平方米，则每台型机平均每小时清扫平方米， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：每台型机平均每小时清扫平方米，每台型机平均每小时清扫平方米； （2）解：设购进台型机，则购进台型机， 由题意得，， 解得， 设总成本为元，则， ∵，， ∴当时，总成本最低，最低成本为，此时， 答：购买台型机，台型机，能使总成本最低，总成本最低为元； （3）解：设更新后型机平均每小时清扫平方米，则型机平均每小时清扫， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴一台型机平均每小时清扫平方米， ∴一台型机平均每小时清扫平方米， 故答案为：，． 学科网（北京）股份有限公司 $