第十章 二元一次方程组 单元测试卷 2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 本单元卷聚焦二元一次方程组，通过选择、填空、解答题（10/6/8题，30/18/72分）全面覆盖概念、解法及应用，融合古算文化与现代科技情境，梯度合理，适配单元复习，培养抽象能力、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二元一次方程组概念、代入/加减消元法、应用（工程/古算）|结合《九章算术》古题，考查消元策略辨析| |填空题|6/18|解的表示、参数求解、非负数性质、图形问题|设计小长方形拼图、新定义运算，渗透几何直观| |解答题|8/72|解方程组、参数问题、应用题（AI模型/租车）、数形结合|以AI数据处理、租车方案为情境，综合考查模型应用与逻辑推理|

第十章 二元一次方程组 单元测试卷 时间：90分钟 分值:120分 得分： 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 1.下列方程组中，属于二元一次方程组的是 ( ) A. B. C. D. 2.用代入法解方程组 时，将①代入②，得 ( ) A. x-2x+3=6 B. x-2x+6=6 C. x-2x-6=6 D. x-2x-3=6 3.若( 是关于x，y的二元一次方程，则m的值是 ( ) A.2 B.2或0 C.0 D.任何数 4.已知 是二元一次方程5x+3y=1的一组解，则m的值是( ) A.-3 B.3 C. D. 5.用加减消元法解二元一次方程组 时，下列方法无法消元的是 ( ) A.①-②×3 B.②×(-3)-① C.①×2-② D.①×(-2)+② 6.《九章算术》是我国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：五只雀、六只燕，共重 16两，雀重燕轻.互换其中一只，恰好一样重.每只雀、燕的质量各为多少?设每只雀的质量为x两，每只燕的质量为y两(两为我国非法定计量单位)，则可列出方程组为 ( ) A. B. C. D. 7.“天无三日晴，地无三里平”是一句形容贵州自然环境的谚语.某工程队在一次高速公路修建过程中，晴天每天修建260m，雨天每天修建120 m，他们连续修建了1 480 m，平均每天修建148 m，那么这几天中雨天有 ( ) A.4天 B.6天 C.8天 D.10天 8.已知三元一次方程组 则x+y+z= ( ) A.5 B.20 C.15 D.10 9.已知方程组 的解满足x+y=2，则k的算术平方根为 ( ) A.4 B.-2 C.-4 D.2 10.如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“关联方程组”.若关于x，y的方程组 是“关联方程组”，则a的值是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.-2 二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分) 11.写出2x+y=9的一组整数解： . 12.已知 是关于x，y的二元一次方程 ax+2y=0的一组解，则a 的值为 . 13.若 则x-y的值为 . 14.如果方程组 的解为 那么⊕+∑的值为 15. 8个一样大小的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图1所示.还可以拼成如图2所示的正方形，拼成的正方形中间有一个小洞，恰好是边长为1 mm的小正方形，那么每个小长方形的面积是 16.对于任意实数a，b，都有a※b=am-bn(m,n均为常数).若3※2=5,1※(-2)=-1,则(-3)※2的值为 . 三、解答题(本大题共8个小题，共72分) 17.(6分)解方程组: 18.(8分)已知 是方程组 的解,求(a+b)(a-b)的值. 19.(8分)某公司开发了两款 AI模型，分别为模型 A 和模型 B.由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理一批数据.若模型A工作3h，模型B工作4h，则一共可以处理740 GB数据;若模型 A工作1h,模型B工作2 h,则一共可以处理310 GB数据.模型 A 和模型 B 每小时分别处理多少数据? 20.(9分)在解方程组 时，甲看错了方程组中的a，得到的解为 乙看错了方程组中的b，得到的解为 (1)求原方程组中a，b的值； (2)求出原方程组的正确解. 21.(9分)编一道符合实际意义的应用题，使其中的未知数满足方程组 并解决这个问题. 22.(10分)已知A型车和B型车载满货物时一次可运货情况如表所示： A型车/辆 B型车/辆 运货情况/t 3 2 17 2 3 18 某物流公司现有35t货物，计划同时租用A型车a 辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物.根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物时一次可分别运货多少吨? (2)若A型车每辆需租金300元/次，B型车每辆需租金 320元/次，共有几种租车方案?请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费用. 23.(10分)在第十章的数学活动中，我们探究了“以方程x-y=0的解为坐标(x的值为横坐标，y的值为纵坐标)的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系. 规定：以方程.x-y=0的解为坐标的点的全体叫作方程x-y=0的图象. 结论：一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线. 【解决问题】 (1)请你在如图所示的平面直角坐标系中画出二元一次方程组 中的两个二元一次方程的图象； (2)观察图象，两条直线的交点坐标为 ，由此你得出这个二元一次方程组的解为 ； 【拓展延伸】 (3)已知二元一次方程ax+by=8的图象经过两点A(3,-2)和B(2,0),试求a,b的值. 24.(12分)已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足 (1)填空: (2)问题探究：将一根木棒AB 按如图所示的方式放置在数轴上，将木棒沿数轴左右水平移动，当点 A 移动到点 B 时，点B所对应的数为m；当点 B 移动到点A 时，点A 所对应的数为n，由此可得这根木棒的长为 个单位长度. (3)在(2)的条件下，现将木棒AB 从某点处切断，切断后左边的木棒以每秒4个单位长度的速度往左移动，同时右边的木棒以每秒5个单位长度的速度往右移动，是否存在某一时刻，M和N 刚好是两段木棒的中点?若存在，求出木棒切断处所表示的数；若不存在，请说明理由. 1. D A.方程组中含有三个未知数x，y，x，不符合“二元”的条件，故不符合题意； B.第一个方程中含有二次项x²，且含有三个未知数x，y，z，不符合“二元一次”的条件，故不符合题意； C.第一个方程 不是整式方程，不符合二元一次方程组的概念，故不符合题意； D.方程组中含有两个未知数x，y，且两个方程均为一次整式方程，符合二元一次方程组的概念，故符合题意. 2. C 将①代入②,得x-2(x+3)=6,即x-2x-6=6. 3. C ∵(m-2)x+3y|m-1|=12是关于x,y的二元一次方程,∴|m-1|=1且m-2≠0,解得m=0. 4. A 把 代入二元一次方程5x+3y=1，得10+3m=1,解得m=-3. 5. A A.①-②×3,得(x+3y)-3×(2x-y)=4-3. 化简,得-5x+6y=1.此时x和y的系数均不为零,无法消元，符合题意. B.②×(-3)-①,得(-6x+3y)-(x+3y)=-3-4. 化简,得-7x=-7.此时可以消去y,解得x=1,不符合题意. C.①×2-②,得(2x+6y)-(2x-y)=8-1. 化简，得7y=7.此时可以消去x，解得y=1，不符合题意. D.①×(-2)+②,得(-2x-6y)+(2x-y)=-8+1. 化简,得-7y=-7.此时可以消去x,解得y=1,不符合题意. 6. B 根据“五只雀、六只燕,共重16两”,得5x+6y=16.根据“互换其中一只,恰好一样重”,得4x+y=5y+x,则可 列出方程组为 7. C设这几天中晴天有x天，雨天有y天. 根据题意，得 解得 ∴这几天中雨天有8天. 8. D ①+②+③,得3x+3y+3z=30, ∴x+y+z=10. ①+②,得3(x+y)=k+2, 解得 代入x+y=2中,得k+2=6,解得k=4, 则4的算术平方根为2. 10. D 由题意,得x+y=0. ①+②,得2x+2y=4+2a, 即x+y=2+a. 由于x+y=0, 所以2+a=0,解得a=-2. (答案不唯一)根据二元一次方程的解的定义可得，该方程的一组整数解为 (答案不唯一). 12 把 代入关于x，y的二元一次方程 ax+2y=0,得3a-2=0,即3a=2,解得 13.0 ∵|x+2y-3|+(2x+y-3)²=0, ②-①,得x-y=0. 14.12 ∵x=5,∴5-2y=3,解得y=1, 即∑=1,∴⊕=2×5+1=11, ∴⊕+∑=11+1=12. 15.15 设每个小长方形的长为x mm,宽为y mm. 根据题意，得 解得 ∴xy=5×3=15,∴每个小长方形的面积是 15 mm². 16.-1 ∵a※b= am-bn,3※2=5,1※(-2)=-1, ①+②,得4m=4,解得m=1. 将m=1代入①,得3-2n=5,解得n=-1, ∴(-3)※2 =(-3)×1-2×(-1) =-3+2 =-1. 17.解:(1)把①代入②,得3y+2+3y=8,解得y=1. 把y=1代入①,得x=3×1+2=5, ∴该方程组的解为 3分 (2)①×2+②,得10x=30,解得x=3. 把x=3代入①,得2×3+y=7,解得y=1, ∴该方程组的解为 6分 18.解：由题意可得， 1分 ①-②,得5a-5b=-1, 解得 4分 ①+②,得-a-b=5, 解得a+b=-5, 7分 8分 19.解：设模型A每小时处理x GB数据，模型B每小时处理y GB数据. 根据题意，得 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分解得 即模型 A每小时处理120 GB数据，模型 B每小时处理95 GB数据.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8分 20.解:(1)将 代入②,得b=-10. 2分 将 代入①,得a=-1. 4分 (2)原方程组为 D 5分 ①×2-②,得一6x=32,解得 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7分 ①×4+②,得30y=58, 解得 即原方程组的解为 9分 21.解：某文具店出售一批笔记本和钢笔，若购买2本笔记本和3支钢笔需要21元，购买3本笔记本和4支钢笔需要29元，求笔记本和钢笔的单价.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分 设笔记本的单价为x元，钢笔的单价为y元. 由题意可得， 解得 答：笔记本的单价为3元，钢笔的单价为5元.(答案不唯一，合理即可)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分 22.解：(1)设1辆A型车载满货物时一次可运货 xt，1辆B型车载满货物时一次可运货 y t. 由题意，得 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3分解得 即1辆A型车载满货物时一次可运货3 t，1辆B型车载满货物时一次可运货4 t.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分 (2)由题意,得3a+4b=35, 6分 7分 ∵a，b均为自然数， 或 或 ∴共有 3种租车方案. 方案1：租用A型车1辆，B型车8辆，则租车费用为1×300+8×320=300+2 560=2860(元); 方案2：租用A型车5辆，B型车5辆，则租车费用为5×300+5×320=1 500+1 600=3100(元); 方案3：租用A型车9辆，B型车2辆，则租车费用为9×300+2×320=2 700+640=3 340(元). ∵2 860<3 100<3 340, ∴最省钱的租车方案是方案1：租用A型车1辆，B型车8辆,最少租车费用为2 860元.⋯⋯⋯⋯⋯10分 23.解:(1)如图所示. 2分 (2)(1,2) 6分 (3)将A(3,-2)和B(2,0)代入方程 ax+by=8, 得 由②,得a=4. 将a=4代入①,得b=2. 故a=4,b=2. 10分 24.解:( ∴m-10=0,n+2=0, ∴m=10,n=-2. 故答案为10，-2 4分 (2)由(1),知MN=10-(-2)=12. 根据题意可得， 即这根木棒的长为4个单位长度. 故答案为4. 7分 (3)存在某一时刻，M和N 刚好是两段木棒的中点. 设木棒切断处所表示的数为x，两段木棒运动的时间为t s. 由(2),知点A 表示的数为-2+4=2,点 B 表示的数为10-4=6. 由题意可得 解得 ∴木棒切断处所表示的数为 12分 学科网（北京）股份有限公司 $