第十章二元一次方程组 单元练习 2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 本单元卷聚焦二元一次方程组，覆盖概念、解法及应用，融合古算题（《算法统宗》《九章算术》）、实际情境（纸箱加工）与新定义运算，通过抽象能力、运算能力及模型意识的考查，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|11/55|二元一次方程组概念、解的判断、古算题建模|结合《算法统宗》客房问题考查建模，通过参数方程解的关系提升推理意识| |填空题|5/25|新定义运算、非负数应用、实际测量问题|木块放置测桌高体现几何直观，“相异数”新运算融合数感与运算能力| |解答题|6/70|整体代入法、错解问题、《九章算术》应用、纸箱加工优化|“镜像方程”新定义综合考查抽象与推理，纸箱加工问题强化模型意识与应用能力|

第十章二元一次方程组 一 、单选题 （本大题共11小题，共55.0分） 1.  下列方程组中是二元一次方程组的是 A.  B.  C.  D.  2.  下列各组数中，不是二元一次方程2x+y=4的解的是 A.  B.  C.  D.  3.  我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房．若设该店有房客x人，客房y间，则下列二元一次方程组正确的是 A.  B.  C.  D.  4.  列方程组解古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱六十．甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，那么乙共有钱60．甲、乙两人各带了多少钱？设甲带钱的数量为x,乙带钱的数量为y,则可列方程组是 A.  B.  C.  D.  5.  若是关于x、y的方程组的解，则m+n的值为 A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 6.  若关于x、y的方程5x-ay=28有一组解是，则a的值是 A. 29 B. -29 C. 1 D. -1 7.  已知关于x,y的二元一次方程组的解满足x+y=3，则k的值为 A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 8.  已知关于x,y的方程组有下列几种说法：①一定有唯一解；②可能有无数多解；③当k=1时方程组无解；④无论k为何值，方程组始终有一个解为．其中正确的说法有 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9.  已知关于x,y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是 ①当这个方程组的解x,y的值互为相反数时，a=-2； ②当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4+2a的解； ③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变； ④若用x表示y,则y=-； A. ①② B. ②③ C. ②③④ D. ①③④ 10.  已知关于x,y的方程组，其中-3≤a≤1，下列命题正确的个数为 ①当a=-2时，x、y的值互为相反数； ②是方程组的解； ③当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4-a的解； ④若x≤1，则1≤y≤4． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11.  表1中的每对x,y的值都是二元一次方程x-y=-1的解，表2中的每对x,y的值都是二元一次方程ax+by=1的解，则方程组的解为 x -1 0 1 y 0 1 2 表1 x -1 0 1 y 4 1 -2 表2 A.  B.  C.  D.  二 、填空题 （本大题共5小题，共25.0分） 12.  将两块完全相同且宽为10cm的长方体木块先按图①的方式放置，再按图②的方式放置，测得的数据如图所示（单位：cm），则桌子的高度h=____cm. 13.  对有理数x、y定义新运算：x☆y=ax+by-2，其中a,b都是常数．若1☆2=4，3☆（-1）=2，则a+b的值是____． 14.  已知，则m+n=____． 15.  对x,y定义一种新运算：F（x,y）=ax+by. 例如：当x=-1，y=2时，F（-1，2）=a•（-1）+b•2=-a+2b. （1）若F（-1，3）=2，F（1，-2）=8，则a+b=____； （2）若b是非负数，F（2，1）=5，则a的取值范围为____． 16.  对任意一个三位数n,如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，因为666÷111=6，所以F（123）=6，若s,t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y,1≤x≤9，1≤y≤9且x,y都是正整数，规定k=F（s）-F（t），当F（s）+F（t）=19时，则符合条件的所有k的值之和为 ____． 三 、解答题 （本大题共6小题，共70.0分） 17.  解方程（组）： （1）4x-3（20-x）=6x； （2）． 18.  甲、乙两个小马虎，在练习解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a,得到方程组的解为；乙看错了方程组中的b,得到方程组的解为，求原方程组的解为多少？ 19.  阅读材料：善思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法： 解：将方程②变形：4x+10y+y=5，即2（2x+5y）+y=5③， 把方程①代入③，得：2×3+y=5，所以y=-1， 把y=-1代入①得，x=4， 所以方程组的解为． 请你模仿小军的“整体代入”法解方程组． 20.  《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱．甲、乙两人各带了多少钱？ 21.  某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱．（加工时接缝材料不计） （1）若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张．问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完； （2）该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且150＜a＜171，试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值． 22.  阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：对于关于x,y的二元一次方程ax+by=c（其中a≠b≠c），若将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程cx+by=a称为原方程ax+by=c的“镜像方程”．例如方程5x+6y=8的“镜像方程”为8x+6y=5． （1）写出3x-2y=-1的“镜像方程”____，以及它们组成的方程组的解为____； （2）若关于x,y的二元一次方程7x+my=9与其“镜像方程”组成的方程组的解为，求mn的平方根； （3）若关于x,y的二元一次方程ax+by=c的系数满足a+b+c=0，且与它的“镜像方程”组成的方程组的解恰是关于x,y的二元一次方程mx-ny=p（m≠n）的一个解，请直接写出代数式m（n-m）+p（p-n）+52的值． 答案解析 1. 【答案】： A 【知识点】： 二元一次方程组的相关概念 【难度】： 较易 【解析】： 解：A、方程组符合二元一次方程组的定义，故A符合题意； B、原方程组为三元一次方程组，故B不符合题意； C、原方程组为二元二次方程组，故C不符合题意； D、原方程组为分式方程组，故不D符合题意； 故选：A． 2. 【答案】： D 【知识点】： 二元一次方程的解 【难度】： 容易 【解析】： 解：A、将解代入方程得：左边=2+2=4=右边，选项正确，不符合题意； B、将解代入方程得：左边=4+0=4=右边，选项正确，不符合题意； C、将解代入方程得：左边=1+3=4=右边，选项正确，不符合题意； D、将解代入方程得：左边=-4+4=0≠右边，选项错误，符合题意； 故选：D． 3. 【答案】： C 【知识点】： 由实际问题抽象出二元一次方程组 【难度】： 容易 【解析】： 解：根据题意可得： ， 故选：C． 4. 【答案】： D 【知识点】： 由实际问题抽象出二元一次方程组 【难度】： 中等 【解析】： 解：如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲甲共有钱50，可得x+y=50．如果乙得到甲所有钱的，那么乙共有钱60可得：y+x=60． 可列方程组． 故选：D． 5. 【答案】： A 【知识点】： 二元一次方程组的解 【难度】： 较难 【解析】： 解：将代入方程组， ∴， 解得， ∴m+n=3， 故选：A． 6. 【答案】： D 【知识点】： 二元一次方程的解 【难度】： 较难 【解析】： 解：根据题意可知，把x=6，y=-2代入原方程得，5×6-a×（-2）=28， 30+2a=28， 2a=-2， 解得：a=-1． 故选：D． 7. 【答案】： A 【知识点】： 解二元一次方程组—加减消元法 、 二元一次方程组的解 【难度】： 较难 【解析】： 解：， ①+②：3x+3y=6k-3，化简得x+y=2k-1， ∵x+y=3， ∴2k-1=3， 解得k=2， 故选：A． 8. 【答案】： B 【知识点】： 二元一次方程组的解 【难度】： 较难 【解析】： 解：方程组， 由②得 x=3-y, 把x=3-y代入①整理得2（k-1）y=-3（k-1）， ∵当k=1时，等式化为0=0，恒成立，方程组有无数组解， ∴①错误，②正确，③错误； 验证④：把代入方程组，得，满足方程②， ，满足方程①， ∴无论k取何值，该解都满足方程组，④正确， 综上，正确的说法是②④，共2个． 故选：B． 9. 【答案】： D 【知识点】： 解二元一次方程组—加减消元法 、 二元一次方程的解 、 二元一次方程组的解 【难度】： 困难 【解析】： 解：关于x,y的二元一次方程组， ①+②得，2x+2y=4+2a, 即：x+y=2+a, （1）①当方程组的解x,y的值互为相反数时，即x+y=0时，即2+a=0， ∴a=-2，故①正确， （2）②原方程组的解满足x+y=2+a, 当a=1时，x+y=3， 而方程x+y=4+2a的解满足x+y=6， 因此②不正确， （3）方程组，解得， ∴x+2y=2a+1+2-2a=3， 因此③是正确的， （4）方程组， 由方程①得，a=4-x-3y代入方程②得， x-y=3（4-x-3y）， 即；y=-+ 因此④是正确的， 故选：D． 10. 【答案】： C 【知识点】： 解二元一次方程组—加减消元法 、 定义、命题、定理的相关概念 、 二元一次方程组的解 【难度】： 困难 【解析】： 解：解方程组得：， ①当a=-2时，x=1+2×（-2）=-3，y=1-（-2）=3， 所以x、y互为相反数，故①正确； ②把代入， 得：， 解得：a=2， ∵-3≤a≤1， ∴此时a=2不符合，故②错误； ③当a=1时， ∵x=1+2a=3，y=1-a=0， ∴方程组的解是， 把a=1，代入方程x+y=4-a得：左边=右边， 即当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4-a的解，故③正确； ④∵x≤1， ∴x=1+2a≤1， 即a≤0， ∴-3≤a≤0， ∴3≥-a≥0， ∴4≥1-a≥1， ∵y=1-a, ∴1≤y≤4，故④正确； 故选：C． 11. 【答案】： B 【知识点】： 解二元一次方程组—加减消元法 、 二元一次方程的解 【难度】： 中等 【解析】： 解：由题意得：方程组的解为， 故选：B． 12. 【答案】： 70     【知识点】： 二元一次方程组的其他实际应用 【难度】： 中等 【解析】： 解：设长方体木块的长比高多x cm, 根据题意得：， 解得：， ∴桌子的高度h=70cm. 故答案为：70． 13. 【答案】： 4     【知识点】： 解二元一次方程组—加减消元法 、 有理数的混合运算 【难度】： 较难 【解析】： 解：由题意得， 解得：， 则a+b=2+2=4， 故答案为：4． 14. 【答案】： -2     【知识点】： 解二元一次方程组—加减消元法 【难度】： 中等 【解析】： 解：已知， 两个方程相加得：3m+3n=-6， 则m+n=-2， 故答案为：-2． 15. 【答案】： 38          【知识点】： 解二元一次方程组—加减消元法 、 有理数的混合运算 【难度】： 较难 【解析】： 解：（1）∵F（-1，3）=2，F（1，-2）=8， ∴， 解得， ∴a+b=28+10=38； 故答案为：38； （2）∵F（2，1）=5， ∴2a+b=5， ∴b=5-2a, ∵b是非负数， ∴b=5-2a≥0， ∴． 故答案为：． 16. 【答案】： -4     【知识点】： 二元一次方程的解 【难度】： 困难 【解析】： 解：∵s=100x+32，t=150+y, ∴F（s）=（302+10x+100x+23+230+x）÷111=x+5，   F（t）=（510+y+105+10y+100y+51）÷111=y+6， ∵F（s）+F（t）=19， ∴x+y=8， ∵1≤x≤9，1≤y≤9且x,y都是正整数， ∴． ∵s,t都是“相异数”． ∵x≠2，3，y≠1，5． ∴' ∴， ∴k=-7，-1，1，3， -7+（-1）+1+3=-4． 故答案为：-4． 17. 【答案】： （1）x=60； （2）． 【知识点】： 解二元一次方程组—加减消元法 、 解一元一次方程——去分母 【难度】： 较难 【解析】： 解：（1）4x-3（20-x）=6x, 去括号得：4x-60+3x=6x, 移项，合并同类项得：x=60； （2）， 整理得：， ①×2+②得：15y=11， 解得：y=， 将y=代入②得：2x+=3， 解得：x=， 故原方程组的解为． 18. 【答案】： 见试题解答内容 【知识点】： 二元一次方程组的解 【难度】： 困难 【解析】： 解：将x=1，y=6代入第二个方程得：1+6b=7，解得：b=1， 将x=-1，y=12代入第一个方程得：-a+12=10，解得：a=2， 方程组为， ①-②得：x=3， 将x=3代入②得：y=4， 则方程组的解为． 19. 【答案】： 见试题解答内容 【知识点】： 二元一次方程组的解 【难度】： 困难 【解析】： 解： 将方程②变形：3（3x-2y）+2y=19． 将方程①代入③，得3×5+2y=19．y=2 把y=2代入①得 x=3 ∴方程组的解为． 20. 【答案】： 甲带了钱，乙带了25钱． 【知识点】： 二元一次方程组的其他实际应用 【难度】： 中等 【解析】： 解：设甲带了x钱，乙带了y钱， 根据题意得：， 解得：． 答：甲带了钱，乙带了25钱． 21. 【答案】： （1）加工竖式纸盒200个，加工横式纸盒400个． （2）155，160，165，170． 【知识点】： 列代数式 、 一元一次方程的其他实际问题 、 二元一次方程组的其他实际应用 【难度】： 困难 【解析】： （1）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个， 根据题意得：， 解得：． 答：加工竖式纸盒200个，加工横式纸盒400个，恰好能将购进的纸板全部用完． （2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个， 根据题意得：， ∴n=64-． ∵n、a为正整数， ∴a为5的倍数， 又∵150＜a＜171， ∴满足条件的a为：155，160，165，170． 答：在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值为155，160，165，170． 22. 【答案】： （1）-x-2y=3，． （2）±4． （3）52． 【知识点】： 二元一次方程组的解 【难度】： 困难 【解析】： （1）方程3x-2y=-1的“镜像方程”是-x-2y=3， ， ①-②得，4x=-4， 解得x=-1， 将x=-1代入②，得，1-2y=3， 解得y=-1， ∴方程组的解为． 故答案为：-x-2y=3，． （2）关于x,y的二元一次方程7x+my=9与它的镜像方程”组成的方程组为， ①-②得，-2x=2， 解得x=-1， ∴x=m=-1； 将x=m=-1代入①，得，-7-y=9， 解得y=-16， ∴n=y=-16． ∴mn=16，即mn的平方根为±4． （3）关于x,y的二元一次方程ax+by=c与它的“镜像称方程”组成的方程组为， ①-②得，（a-c）x=c-a, 解得x=-1， 将x=-1代入①，得，-a+by=c, 解得y=， ∵a+b+c=0， ∴a+c=-b, ∴y=-1， ∴方程组的解为， 将代入mx-ny=p,得-m+n=p,即n-m=p,-m=p-n, ∴m（n-m）+p（p-n）+52=pm-pm+52=52． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $