重庆市第八中学校2026届高三5月热身考试数学试题

数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生需用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数满足，则 A．1 B． C．2 D． 2．若集合，，则 A． B． C． D． 3．已知向量，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则 A．-18 B．-10 C．10 D．18 4．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是 A． B． C． D． 5．若椭圆的长轴长是短轴长的倍，椭圆的右焦点是抛物线的焦点，则 A． B． C．2 D． 6．已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则 A．0 B．1 C．2 D．3 7．已知是等差数列的前项和，满足．则使得的最大正整数的值为 A．2026 B．2027 C．4052 D．4053 8．如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9个灯区，每个灯区都只有“点亮”、“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻（上、下、左、右均为相邻）的灯区改变状态．假设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则，灯区最终仍处于“点亮”状态的不同按法种数为 A B C D E F G H I A．18 B．20 C．24 D．36 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选错或不选的得0分． 9．已知两组数据，，…，和，，…，，它们的平均数分别为，，方差分别为，，则下列说法正确的是 A．，，…，的平均数为 B．若，，…，，则 C．若，，…，，则 D．，，…，的方差为 10．已知正四棱台侧面与底面夹角为，，分别是，的中点，则下列说法正确的是 A．与是异面直线 B．侧棱与底面的夹角正弦值为 C．平面平面 D．若存在球与该正四棱台每个面都相切，则 11．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，成等比数列，，，成等差数列，则下列说法正确的是 A． B． C． D． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．幂函数在区间上单调递增，则________． 13．直线与圆相交于、两点．写出使得的面积为1的一组，的值，________，________． 14．已知数列满足，，则________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知函数． （1）若，求及的单调递增区间； （2）已知在区间上单调递增，，求的最小正周期． 16．（本小题满分15分） 在五面体中，平面，平面． （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 17．（本小题满分15分） 北京中轴线位于北京老城中心，纵贯老城南北，是统领整个老城规划格局的建筑与遗址的组合体，其中10处中轴线遗产点分为、、三种类型，如下表： 类型 （古代皇家宫苑建筑） （古代皇家祭祀建筑） （古代城市管理设施） 中轴线遗产点 景山 故宫 端门 太庙 社稷坛 天坛 先农坛 钟鼓楼 正阳门 永定门 （1）在上述10处中轴线遗产点中，某研学团队计划随机选取3处进行研学． （i）求选取的3处遗产点都为类的概率； （ii）设选取的3处遗产点的类型种数为，求的分布列及数学期望； （2）若该研学团队有10人，每人随机的从10处遗产点选择一处研学，记这10人中选择、、类遗产点的人数分别为，，，记，，，比较方差，，的大小． 18．（本小题满分17分） 已知椭圆：，四点，，，中恰有三点在椭圆上，为坐标原点． （1）求的方程； （2）过的左焦点作的不垂直于轴的弦（其中点在轴上方），为的中点，直线与双曲线交于，两点． （ⅰ）四边形能否为平行四边形，若能，求此时直线的方程，若不能，说明理由； （ⅱ）求四边形面积的取值范围． 19．（本小题满分17分） 已知函数，其中为非零实数． （1）讨论的单调性； （2）定义双自变量函数（，均为自变量，定义域均为），证明： （ⅰ）； （ⅱ）． 学科网（北京）股份有限公司 $数学参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 题号 3 5 6 7 8 答案 B D 0 B C B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，选错或不选的得0分。 题号 9 10 11 答案 AB ABD ACD 12.因为幂函数f(x)=(m2-m-1)x2m在区间(0，+o)上单调递增， m=2或m=-1 「m2-m-1=1 所以 1 ,即m=2.故答案为：2. 2m+1>0 ，解得 m72 13.S-d×22-d=1可算出0到的距离d=1,或者利用∠A0B=90°得到等腰三角形，再推出0 到AB的距离为1求解，满足k2+1=m2即可.（不分拆给分，0分，5分） 14.因为数列(an}满足a=1,a1+(-1)an=2n+1, 所以+a,=4n+1 -4=4-1两式相减得：a+a=2,所以a+4-2两式相减得： 所以an1-a23=0,所以a2*3=42-1,又4+a=234=1,则a兰1 4,=4=21=…=马=马=，而马-4=3，则怎4，所似马4+a二5，故答案为：5一 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 3 15.（①由题意得f闭=cas分0o2a+s如子如2ar-cos2ar= 1 n2@x--cos2@x=sin(2ox- 3 若a=克，则f闭=mx-?,所以f0=- 1 3分 因为y=6血x的单调增区间为[-号+2kx受+2km,ke2, 2 所以x-名e-受+2r受+2，ke2,解得xe肾+2号+2，ke2. 3 可得函数网的单调速掉区间为-号+2号+2，ks2.…6分 (2)因为@>0，)在区间[0，牙]上单调递增， 3 所议j)的周期T满足号=之3解得0<0≤2…… 结合（1)的结论可知f)=sin20x-名。8分 f0+停=0，则+m号身-0，即号身 6 36-2 四-工=2kx+交或7-=2kn+5江 36 ”636 +行，keZ,化简得@=6k+1或@=3+6k,ke2, 结合0<≤号，取k=0得=1，经检验，似=m2x-名符合题意 所以∫()最小正周期T=刀，… 13分 16.(1)证明：因为CD⊥平面ADE,EF⊥平面ADE,所以EF11CD,2分 又EF丈平面ABCD,CDC平面ABCD,所以EF1I平面ABCD,4分 因为EFC平面ABFE,平面ABCD∩平面ABFE=AB, 所以EF1IAB,因为EF1/CD,所以AB/CD.6分 (2)因为4B=54E=24D=2DB=2Br=号cD, 设CD=3,则AB=2,AE=2,AD=DE=EF=1,所以AD2+DE2=AE2,即AD⊥DE, 因为CD⊥平面ADE,AD,DEc平面ADE,所以CD⊥AD,CD⊥DE,8分 以D为坐标原点，Da,DC,DE分别为x轴，y轴，z轴的正方 向，建立如图所示的空间直角坐标系D-, 则A1,0,0),E(0,0,),B0,2,0),C(0,3,0), F(0,1,1),所以AE=（-1,0,),BC=(-1,1,0), CF=(0,-2,),设平面BCF的法向量为i=(x,y,), ,BCi=0」 则F0即：0◆y=1,则i=,12四， -x+y=0 40011分 设直线AE与平面BCF所成角为B,则sincos<A正，i 1AB。1 12.66…14分 所以直线AB与平面BCF所成角的正弦值为5 17.(1)(①设事件M:选取的3处遗产点都为A类，PM=二= c1201 3分 (i)X的所有可能取值为机2,3，Px=)=C+C+C=6. C%120201 5分 PX=2)=3+3)xC+6+4xC号+6+4)xC336+21+2113 Cio 120 20 7分 P(X=3)=3×4×33 10 9分 故X的分布列为： X12 3 1 133 202010 E0=1x+2x3+3×6 ,31+26+189 20 20 204l1分 a)由题得，名-0a合所0，=D0小-0后品-君 10 12分 y4+y。-B00,,所以D,=Dg4+yg)=10× 7321 10 101010 13分 6424 %+%~B0,合所0，=D0+2)=10x8×6治 14分 因此D=D3<D3.l5分 18D因为15,205关于y箱对系，所以多在G上 所以R1,)不在C上，所以P(0,)在G上， 所以6=1a=5,所以G:营+y-1 5分 (2)(i)设A(y),B,y),D(,),M%y),N(-x,-y),直线AB:x=y-V5, [x2 由5+=1 得：(2+3)y2-2N2y-1=0,△=12(+1)>07分 x=y-V迈 所以%+% -1 √2t ，%中3所以%=+3 -32 2+3 若四边形AMBO为平行四边形，则AB与MO互相平分， 所以M2,2）,即M(+3P+3 6W22N5 9分 代入号-少=1，得：24-8r=(+3那，整理得，r+142-15=0,1e, 所以存在四边形AMB0为平行四边形，此时直线AB:x=y一√反10分 而将直线0My=专江代入-3y3中得6)X=9→x=±05<)1分 因为点M6,为)到直线的距离4色--回+3+3问 √P+1 3vP+1 点N,为到直线B的距离.彤-名t回_} +3x-32 vP+1 3P+1 因为[c+3x,+32]+3x-3]=93-18=9.+1r+30, 3-2 3-2 所以d+d2= 22+3)s 3P+1 l3分 又因为a=P+125.P+125化2+ 15分 t2+3 t2+3 所地带4v我5-44-a后哥-2千 因为2e[0,3),所以S∈[2，+o) 17分 19.(1)由题意可得 -上_x+1四t0, xx+t xx(x+i) 当代时，f"(x)>0,f(x)在(0，+∞)单调递增： 2分 当0<t<1时， 0<x<1-t时，f"(x)<0,fx)在(0,1-)上递减：x>1-t时，f(x)>0,f()在1-6+∞)递增： 4。,。。,。, 3分 当t<0时，f(x)的定义域为(-4，+∞)， -t<x<1-t时，f(x)>0,，fx)在(-4,1-)上递增；x>1-t时，f(x)<0,f()在1-4，+o)递 减… 综上，当时，f(x)在(0，+∞)单调递增： 4分 当0<t<1时，f()在(0,1-)上单调递减，在1-1，+∞)单调递增； 当t<0时，f)在(-t,1-)上单调递增，在1-6+o∞)单调递减。5分 (2)(间证明：由(1)可得当0<t<1时，f(x)在(0,1-)上递减，在Q-6+∞)是递增， 所以f因0-0=6-a0-9>03im>加京*x>年>00t<97分 要证原式成立，只需证：a+b°>1. 当a,b中至少有一个不小于1时，上式显然成立： 8分 当ab都小于1时，在（内式中，令x=a,t=b,则a>a +6,同理可得6°>6 a+b 所以a2+b°>1， 综上，M(a,b)+M6,a)>1. 10分 间由9式得>本史生=1+>04eQ现， 12分 令x=克=产eN,则<1+k分，散2<m+n2-分+L+a吃1,4分 令T=1+2+L+,则时r=1白+2+1+a-X+,作差得 1- 所以∑]<n+2-n+2<n+216分 2 即∑M化，2)<n+2neN9. …17分