精品解析：重庆市第八中学校2026届高三5月巅峰训练五数学试卷

三轮巅峰练（五） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】集合，集合，检验中元素是否属于： 时，； 时，； 无法表示为（）的形式，故中仅有，. 选项A：，即中所有元素都属于，不成立. 选项B：，即中所有元素都不属于，不成立. 选项C：，等价于，不成立. 选项D：因为中存在元素，故并集不等于，成立. 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算和虚部的概念即可求解. 【详解】由， 得， 分子分母同乘分母的共轭复数： 分子： ， 分母： ， 因此 ， 因此的虚部为. 3. 在中，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 整理为， 即，，即. 4. 把函数的图象向右平移2个单位长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到图象，若此时图象恰与重合，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据平移变换求出图象的函数解析式，然后根据图象重合列方程解出的值. 【详解】把函数的图象向右平移2个单位长度， 得到函数表达式为， 再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍， 得到图象的函数表达式为， 因为图象与重合，所以， 即，解得，. 5. 如图，某海滨城市附近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于南偏东，距离为的海面处，并以的速度沿北偏西的方向移动．如果台风侵袭的范围是半径为的圆形区域．则该城市开始受到台风侵袭的时间为（ ） A. 5小时后 B. 10小时后 C. 15小时后 D. 20小时后 【答案】B 【解析】 【分析】由题意km，根据方位角关系可得，利用余弦定理建立关于的方程求解即可. 【详解】设小时后台风中心移动到点，此时城市开始受到台风侵袭，即km， 已知，台风速度为，因此， 根据方位角关系可得， 在中，由余弦定理：， 代入数值， ， 化简得：，解得或， 依题意开始受到侵袭的时间，取较小值. 6. 已知是抛物线的焦点，三点在抛物线上，若成等差数列，则三点（ ） A. 横坐标成等差数列 B. 横坐标成等比数列 C. 纵坐标成等差数列 D. 纵坐标成等比数列 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程得到焦点坐标和准线方程，利用抛物线的定义得到的表达式，再根据成等差数列即可求解. 【详解】已知抛物线，根据抛物线的标准方程，得，解得， 因此抛物线的焦点的坐标为，即，准线方程，即， 设抛物线上的三点的坐标分别为，由于这三点都在抛物线上， 由抛物线的定义，得，同理，，， 已知成等差数列，则，即， 化简得，而分别为的纵坐标， 因此的纵坐标成等差数列，故C正确. 7. 已知，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以， 两边同除以，得， 所以，因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以最大值为． 8. 如图，已知正方体的棱长为1．平面，平面和平面将该正方体分割成若干个多面体，则其中顶点所在的多面体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到分割后顶点所在的多面体，分析该多面体表面构成，即可求得其表面积. 【详解】连接，易知三条体对角线交于一点，记为点. 则分割后顶点所在的多面体为六面体，其表面分别是. 根据正方体的性质，知， 所以. 中，边上的高为，所以的面积为； 的面积为. 所以顶点所在的多面体的表面积为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一组数据的平均数为，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据，则新数据与原数据相比（ ） A. 极差相同 B. 平均数相同 C. 方差相同 D. 中位数相同 【答案】AC 【解析】 【分析】利用每个数据同时加上同一个常数后各统计量的变化规律，逐一对比原数据与新数据的四个统计量即可得到结果. 【详解】设新数据为 ，逐个分析选项： 对于选项A： 原极差 ，新极差 ，极差相同，A正确； 选项B： 原平均数为 新平均数 ，平均数不同，B错误； 选项C： 原方差 ，新方差：，方差相同，C正确； 选项D： 原中位数为 ，新中位数为 ，因 ，故中位数不同，D错误. 10. 设无穷数列的前项和为，且对于任意，，则（ ） A. 存在，使得是常数列 B. 任意，不是递增数列 C. 存在，使得是周期数列 D. 任意，既有最大值，又有最小值． 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用前项和与第项的关系求出通项公式，再逐一判断各个结论即可. 【详解】在无穷数列中，，， 当时，，两式相减得：， 而，即， 对于A，当且时，数列是以为首项，为公比的等比数列， 又，所以不是常数列； 当时，，当时，，所以不是常数列， 所以不存在，使得是常数列，A错误； 对于B，当时，，当时，，所以不是递增数列， 当时，， 若，则恒成立，是递减数列， 若，则随的增大，正负相间变化，即不可能恒成立， 因此对于任意，不是递增数列，B正确； 对于C，当，即时，，数列是周期为的周期数列，C正确； 对于D，当时，数列是以为首项，为公比的等比数列， 令，则，此时，无最大和最小项，故D错误. 11. 函数（且），则（ ） A. 当时，无极值点 B. 当时，无极值点 C. 若分别是的极大值点和极小值点，且，则 D. 若分别是的极小值点和极大值点，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导函数，将导函数的零点转化为的交点问题，先求出相切时或，然后按照、、、、、分类讨论，利用函数图象研究函数的极值点，逐项判断即可. 【详解】， 令， 若与相切，设切点为， 解方程组， 所以，解得或． ①当时，画出的图象，如图： 两函数没有交点即方程无根，即无异号零点， 所以当时，无极值点，所以选项B正确； ②当时，与相切，如图： 无异号零点，所以当时，无极值点； ③当时，如图： 当或时，，则，当时，，则， 当或时，，则， 所以分别是的极小值点和极大值点，且，所以选项D正确； ④当时，如图： 当或时，，则，当时，，则， 当或时，，则， 所以分别是的极大值点和极小值点，且； ⑤当时，如图： 无异号零点，所以当时，无极值点，所以选项C错误； ⑥当时，如图： 两函数没有交点即方程无根，即无异号零点， 所以当时，无极值点，综上，当时，无极值点，故选项A正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若的展开式中各项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为______． 【答案】60 【解析】 【分析】各项的二项式系数之和为64，可得，求n；再利用通项公式即可求常数项. 【详解】因为各项的二项式系数之和为64，，即； 通项公式= 令，解得. 展开式中常数项为. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，注意二项式的通项公式为. 13. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为.则盛水筒出水后到达最高点的最短时间为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意求出的解析式，然后令，求解关于的方程，取的最小值即可. 【详解】由题意，筒车半径为，. 又筒车的轴心距离水面的高度为，. 筒车每分钟转2圈，每分钟转过的角度为，. . 以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，. 即，，. 又，，. 盛水筒第一次到达最高点时用时最短，此时，解得. 故最短时间为. 14. 已知，为双曲线的焦点，点在上，点，分别为的内心和重心.若，且，则的离心率为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由得到重心与内心纵坐标相等，得出P点纵坐标与内切圆半径关系，继而用三角形面积的两种表示方式结合双曲线定义求出，最后用余弦定理结合正弦值计算离心率. 【详解】设双曲线E方程为， 则重心， 因为内心到的距离等于内切圆半径，故的纵坐标为. 由于，所以， 因为的面积， 代入得， 不妨设， 则有， 在中，由余弦定理得， 即， 因为，则， 当时，代入得; 当时，代入得(不成立，舍去). 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱锥中，为边长为的等边三角形，，，为棱的中点． （1）求证：平面平面； （2）棱上（端点除外）是否存在一点，使得平面与平面的夹角为．若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）存在， 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的判定定理，结合等边三角形、等腰三角形的三线合一性质及勾股定理逆定理，证明平面即可完成推导； （2）通过建立空间直角坐标系，引入参数表示点的坐标，求解两个平面的法向量，利用二面角的余弦值列方程求解参数，结合参数范围验证即可 . 【小问1详解】 ∵ 为边长为2的等边三角形，为中点， ∴ ，且. ∵ ，为中点， ∴ ，且，故， ∴ . ∵ ， ∴ ，故. ∵ ，平面， ∴ 平面. ∵ 平面， ∴ 平面平面. 【小问2详解】 由第一小问，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ，，，，. 设，则，所以点坐标为. ∵，且平面 ∴平面 ∴平面的法向量为. 设平面的法向量为，其中，， ∴ 令，代入解得，， ∴. 已知平面与平面的夹角为， ∴ 代入数据得 两边约去后平方整理得，解得或. ∵， ∴. 因此存在满足条件的点，且. 【点睛】方法归纳：面面垂直证明核心是找到一个平面内垂直于另一个平面的直线，常结合等腰三角形三线合一、勾股定理逆定理证明线线垂直，再推导线面垂直；空间中的存在性问题可通过建立坐标系，引入参数表示动点坐标，将几何关系转化为代数方程求解，最后验证参数范围即可. 易错归纳：求解平面法向量时需注意坐标运算的准确性，二面角的余弦值等于两法向量夹角余弦的绝对值，避免符号错误；得到参数解后需结合动点的限制条件舍去不满足要求的解. 16. 某研究团队发现人工智能助手的问题解决“满意度评分”（满分100分）与其使用场景密切相关.该团队将用户分为学习场景用户和工作场景用户两类，为了调研用户对人工智能助手的满意度评分情况，现从这两类用户中各随机抽取100人，记录他们的满意度评分，将数据分成6组：，，，，，，并分别整理得到如下两个频率分布直方图： 现规定满意度评分在80分及以上的满意度评级为，在区间的满意度评级为，在60分以下的满意度评级为.用频率估计概率，假设每个用户的评分相互独立. （1）求的值； （2）从使用人工智能助手的所有学习场景用户中随机抽取2人，从使用人工智能助手的所有工作场景用户中随机抽取1人，设为抽出的3人中满意度评级为A的人数，估计的分布列和数学期望； （3）该研究团队又对另外两款人工智能助手，进行了同样的调研，估计出其学习场景用户的满意度评级为A的概率分别为0.3，0.35.现分别从使用，，这三款人工智能助手的学习场景用户中各随机抽取1人，用“”表示其中使用（）的学习场景用户的满意度评级为，用“”表示其中使用（）的学习场景用户的满意度评级为或.设，，判断，的大小.（结论不要求证明） 【答案】（1）； （2） 0 1 2 3 0.45 0.4125 0.125 0.0125 ； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图所有小矩形面积和为1求解. （2）分别求出学习、工作场景用户评级为的概率，再求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. （3）求出分别取的概率，再利用分布的方差公式求出方差，进而比较大小. 【小问1详解】 依题意，，所以. 【小问2详解】 依题意，学习场景用户评级为的概率为， 工作场景用户评级为的概率为， 的所有可能值为， ，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 0.45 0.4125 0.125 0.0125 数学期望. 【小问3详解】 由（2）及已知，得，， ，显然服从分布， 因此， ， 所以. 17. 椭圆的左､右焦点分别为是椭圆C上一点，且 （1）求椭圆C的方程； （2）M，N是y轴上的两个动点(点M与点E位于x轴的两侧)，，直线EM交x轴于点P，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆定义直接求解即可； （2）设出，根据直角的性质求出N点坐标、E点的纵坐标，进而求出点P坐标，最后利用两点间距离公式进行求解即可. 【详解】（1）因为， 所以椭圆方程为； （2）因为M，N是y轴上的两个动点，所以不妨设，， 因为点M与点E位于x轴的两侧，所以设,所以， 由（1）知，所以， 因为，所以， 因为，所以 ， 而，所以，解得或， 因为，，所以， 因此，所以直线EM的直线方程为： ，令，得，即， . 【点睛】关键点睛：根据直角得到N点坐标、E点的纵坐标是解题的关键. 18. 在中，，，分别为角，，所对的边，为边上的高，设，且． （1）若，且，求实数的值； （2）若，求的值； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由三角形的面积公式结合余弦定理得到，再联立已知组成方程组可得； （2）首先根据余弦定理，并结合三角形面积公式，求得，再代入二倍角的正切公式，即可求解； （3）首先通过辅助线，构造可得，结合（1）的结果可得的范围，再根据二倍角公式，求得的取值范围. 【小问1详解】 ， 因为，代入可得，① 又，两边平方后可得，② 由余弦定理可得，代入②可得， 整理可得， 把①代入上式可得， 所以，两式相减可得， 因为，所以. 【小问2详解】 在中，，若. 又， 【小问3详解】 由（1）知. 如图，在中，过作的垂线，且使，则， ，即，得， ， , 设，，在区间单调递减， ，即, . 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）记函数的正零点为. （i）当时，证明：； （ii）当时，证明：. 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增； （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先求导，利用导数研究函数的单调性； （2）（i）时，求出函数的正零点，再研究的范围，通过放缩证明不等式； （ii）时，求出函数的正零点，构造新函数证明不等式. 【小问1详解】 ， 若，则， ，，单调递减； ，，单调递增； 所以在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 （i）证明：当时，由，得，所以， 两边同时取自然对数并化简，得，所以. 令， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，即，所以， 则， 所以， 所以， 故. （ii）证明：当时，由，得，所以， 所以， 则. 令，则，易知在上单调递增， 则， 所以在上单调递增， 又，，即， 所以，则. 解法一： 由，得， 又，故曲线在处的切线方程为. 令， 则， 所以在上单调递增， 因为，所以， 即， 所以， 又，则，两式相减得， 整理得. 综上，. 解法二： 由， 得， 又， 所以， 所以，即， 即. 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三轮巅峰练（五） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 4. 把函数的图象向右平移2个单位长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到图象，若此时图象恰与重合，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 5. 如图，某海滨城市附近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于南偏东，距离为的海面处，并以的速度沿北偏西的方向移动．如果台风侵袭的范围是半径为的圆形区域．则该城市开始受到台风侵袭的时间为（ ） A. 5小时后 B. 10小时后 C. 15小时后 D. 20小时后 6. 已知是抛物线的焦点，三点在抛物线上，若成等差数列，则三点（ ） A. 横坐标成等差数列 B. 横坐标成等比数列 C. 纵坐标成等差数列 D. 纵坐标成等比数列 7. 已知，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知正方体的棱长为1．平面，平面和平面将该正方体分割成若干个多面体，则其中顶点所在的多面体的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一组数据的平均数为，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据，则新数据与原数据相比（ ） A. 极差相同 B. 平均数相同 C. 方差相同 D. 中位数相同 10. 设无穷数列的前项和为，且对于任意，，则（ ） A. 存在，使得是常数列 B. 任意，不是递增数列 C. 存在，使得是周期数列 D. 任意，既有最大值，又有最小值． 11. 函数（且），则（ ） A. 当时，无极值点 B. 当时，无极值点 C. 若分别是的极大值点和极小值点，且，则 D. 若分别是的极小值点和极大值点，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若的展开式中各项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为______． 13. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为.则盛水筒出水后到达最高点的最短时间为__________. 14. 已知，为双曲线的焦点，点在上，点，分别为的内心和重心.若，且，则的离心率为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱锥中，为边长为的等边三角形，，，为棱的中点． （1）求证：平面平面； （2）棱上（端点除外）是否存在一点，使得平面与平面的夹角为．若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 16. 某研究团队发现人工智能助手的问题解决“满意度评分”（满分100分）与其使用场景密切相关.该团队将用户分为学习场景用户和工作场景用户两类，为了调研用户对人工智能助手的满意度评分情况，现从这两类用户中各随机抽取100人，记录他们的满意度评分，将数据分成6组：，，，，，，并分别整理得到如下两个频率分布直方图： 现规定满意度评分在80分及以上的满意度评级为，在区间的满意度评级为，在60分以下的满意度评级为.用频率估计概率，假设每个用户的评分相互独立. （1）求的值； （2）从使用人工智能助手的所有学习场景用户中随机抽取2人，从使用人工智能助手的所有工作场景用户中随机抽取1人，设为抽出的3人中满意度评级为A的人数，估计的分布列和数学期望； （3）该研究团队又对另外两款人工智能助手，进行了同样的调研，估计出其学习场景用户的满意度评级为A的概率分别为0.3，0.35.现分别从使用，，这三款人工智能助手的学习场景用户中各随机抽取1人，用“”表示其中使用（）的学习场景用户的满意度评级为，用“”表示其中使用（）的学习场景用户的满意度评级为或.设，，判断，的大小.（结论不要求证明） 17. 椭圆的左､右焦点分别为是椭圆C上一点，且 （1）求椭圆C的方程； （2）M，N是y轴上的两个动点(点M与点E位于x轴的两侧)，，直线EM交x轴于点P，求的值. 18. 在中，，，分别为角，，所对的边，为边上的高，设，且． （1）若，且，求实数的值； （2）若，求的值； （3）求的取值范围． 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）记函数的正零点为. （i）当时，证明：； （ii）当时，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $