第五章 分式与分式方程 培优训练 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 以“方法提炼+分层训练”构建分式专题体系，聚焦变形求值、倒数法、分离常数法等核心技巧，形成从运算到应用的完整逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分式运算及求值|6题|变形求值（整体代入、分式拆分）、倒数法（倒数关系转化）|从分式基本运算到代数式变形，培养抽象能力与运算能力| |分离常数法|2题|分式拆分（整式+分式）、最值分析|通过换元实现分式降次，发展推理意识与几何直观| |分式方程|9题|解法（换元法、增根分析）、应用（行程/工程模型）|从方程求解到实际建模，强化模型意识与应用意识| |重难压轴|2题|规律探究（裂项相消）、综合应用（溶液浓度/经济问题）|整合知识方法解决复杂问题，提升创新意识与数据观念|

第五章　分式与分式方程 第一～二节　分式的运算及求值 培优点1　变形求值 1．若 ＝2，则 的值为(　　) A.3 B． C． D． 2．(1)已知x－y＝2xy，则 － 的值为________； (2)已知 －＝3，则 的值为________． 3．已知 ＝＋(A，B为实数)，则A＝________，B＝________． 4．已知A＝，B＝. (1)若A＝1－，则m的值为________； (2)当a取哪些整数时，分式B的值为整数； (3)若a＞0，比较A与B的大小． 培优点2　倒数法求值 5．【阅读学习】阅读下面的解题过程： 已知 ＝，求 的值． 解：由题意可知，x≠0. 将等式 ＝ 两边的分子和分母同时颠倒位置，得 ＝3，即x＋＝3. 将 的分子分母颠倒位置，得 . ∴ ＝x2＋＝－2＝32－2＝7. ∴ 的值为. 上述解法叫作“倒数法”． 【类比探究】请用“倒数法”解决问题： (1)已知 ＝－1，求 的值； (2)已知x，y，z为实数，且满足 ＝2，＝，＝－，求 ＋＋ 的值． 培优专题4　分离常数法 1．阅读下面的材料： 分式 (x≥0)的最大值是多少？ 解：＝＝＝2＋. ∵x≥0， ∴x＋2的最小值是2. ∴ 的最大值是2. ∴2＋ 的最大值是4，即 (x≥0)的最大值是4. 根据上述方法，试求分式 的最小值． 2．在处理分式问题时，若分子的次数不低于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式与一个分式的和(差)的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整式法． 例：将分式 拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式． 解：设x＋2＝t，则x＝t－2. 原式＝＝＝t－7＋. ∴＝x－5＋. 这样，分式 就拆分成一个整式(x－5)与一个分式 的和的形式． (1)使用分离整式法将分式 拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式，则结果为________． (2)将分式 拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式，则结果为________． (3)已知分式 的值为整数，求整数x的值． 第三节　分式方程 培优点1　分式方程的解法 1．规定：a⊗b＝2a＋，则方程3⊗x＝4⊗2的解为(　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 2．已知关于x的方程 －1＝0的解是非负数，则a的取值范围是(　　) A．a≤－2 B．a≤－2且a≠－4 C．a≥－2 D．a≥－2且a≠0 3．已知关于x的分式方程 ＋＝ 无解，则m的值为________． 4．若关于x的不等式组只有3个偶数解，且关于y的分式方程 －＝1的解为正数，求符合要求的所有整数a的和． 5．阅读下列材料． 解方程：－＝0. 解：设y＝，则原方程可化为y－＝0. 方程两边都乘y，得y2－4＝0. 解得y＝±2. 经检验，y＝±2都是方程y－＝0的解． 当y＝2时，＝2.解得x＝－1. 当y＝－2时，＝－2.解得x＝. 经检验，x＝－1和x＝ 都是原分式方程的解． ∴原分式方程的解为x＝－1和x＝. 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 请回答下列问题： (1)设y＝，则方程 －＝0可化为 ______________； (2)设y＝，则方程 －＝0可化为 ________________； (3)模仿上述换元法解方程：－－1＝0. 培优点2　分式方程的应用 6．秦始皇统一度量衡的意义重大，这一举措为人们从事经济文化交流活动提供了便利条件．欣欣利用两把不同刻度的直尺进行了如下探究：如图，将两把尺子有刻度的一侧紧贴，由此可得方程(　　) 第6题图 A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 7．甲、乙两人沿同一路线从A地出发前往B地，他们分别以不同的速度匀速前行，乙比甲晚0.5 h出发，并且在中途停留1 h后，以原来一半的速度继续前进．此过程中，甲、乙两人离A地的路程s(km)与甲出发的时间t(h)之间的关系如图所示．下列说法：①A，B两地相距24 km；②甲比乙晚到B地1 h；③乙从A地刚出发时的速度为72 km/h；④甲出发 h后与乙第三次相遇．其中正确的说法有(　　) 第7题图 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息： 信息1：甲单独完成任务所需时间比乙单独完成任务所需时间多5 h； 信息2：甲4 h完成的工作量与乙3 h完成的工作量相等； 信息3：丙的工作效率是甲的工作效率的2倍． 如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序轮换安排至完成工作任务，共需________h. 9．甲、乙两商场自行定价销售某一商品． (1)甲商场将该商品提价25%后的售价为1.25元，则该商品在甲商场的原价为________元． (2)乙商场定价有两种方案： 方案一：将该商品提价20%； 方案二：将该商品提价1.4元． 某顾客发现在乙商场用60元购买该商品，按方案一购买的件数是按方案二购买的件数的2倍，该商品在乙商场的原价是多少？ (3)甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率是a，第二次提价的百分率是b；乙商场：两次提价的百分率都是 (a＞0，b＞0，a≠b).请问甲、乙两商场中哪个商场的提价较多？请说明理由． 本章重难压轴 1．(新RJ八上P157改编)观察下列等式： 第1个等式：＝1－； 第2个等式：＝－； 第3个等式：＝－； 第4个等式：＝－； …… 请用上述等式反映出的规律解决下列问题： (1)直接写出第5个等式：________________． (2)猜想第n个等式(n为正整数)，并证明你猜想的等式是正确的． (3)小刚尝试应用这个运算规律解决下面的问题： 一个容器装有1 L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出 L水，第2次倒出的水量是 L水的 ，第3次倒出的水量是 L水的 ，第4次倒出的水量是 L水的 ，……第m次倒出的水量是 L水的 ，……按照这种倒水的方法，这1 L水经过多少次可以倒完？ 请你补充解决过程： ①求倒m次水倒出的总水量； ②根据①的结果回答问题“按照这种倒水的方法，这1 L水经过多少次可以倒完”． 2.某校“综合与实践”小组在进行溶液的配置后，对实验的过程进行回顾整理，形成了如下活动报告． 课题 溶液配制中的分式运算 调查方式 资料查阅、小组合作 实验回顾 小组测量了配置的氯化钠溶液，结果发现配置的溶液浓度偏低，于是在该氯化钠溶液里加入一定量的氯化钠固体，提高溶质的质量分数． 实验结果 b g的氯化钠溶液中有a g(b＞a＞0)的氯化钠，再加入了m g(m＞0)氯化钠固体，全部溶解后，新的溶液的溶质质量分数变大了． 数学建模 “实验结果”用不等式表示为：【A】____________________ 证明过程 …… 生活应用 某水果店用相同重量的包装盒包装了两款苹果礼盒，售价如下表： 哪款礼盒的苹果单价更便宜？ 根据以上活动报告，完成下列问题： (1)【A】处的不等式为：____________________； (2)请根据自主探究的思路完成证明过程； (3)请通过计算说明哪款礼盒的苹果单价更便宜． 第五章　分式与分式方程 第一～二节　分式的运算及求值 1．B　2.（1）－；（2）2　3.1　2 4．解：（1）1. （2）∵B＝＝1－，a为整数， ∴当a＋4＝±1时，分式B的值为整数． ∴当a＝－3或－5时，分式B的值为整数． （3）当a＞0时， A－B＝－ ＝ ＝－＜0. ∴A＜B. 5．解：（1）由题意可知，x≠0. 将等式 ＝－1两边的分子和分母同时颠倒位置，得 ＝－1，即x＋＝2. 将 的分子分母颠倒位置，得 . ∴＝x2＋－7＝－2－7＝22－2－7＝－5. ∴＝－. （2）∵＝2，＝，＝－， ∴＝，＝，＝－. ∴＋＝①，＋＝②，＋＝－③. ①＋②＋③，得2＝. ∴＋＋＝. 培优专题4　分离常数法 1．解：＝＝＝3－. ∵m2≥0，∴m2＋2的最小值是2. ∴ 的最大值是 . ∴3－ 的最小值是，即 的最小值是 . 2．解：（1）2＋. （2）x＋. （3）设x－1＝t，则x＝t＋1. 原式＝＝＝t－1＋. ∴ ＝x－2＋. ∵分式的值是整数，且x是整数， ∴x－1＝±1或x－1＝±2. ∴整数x的值为2或0或3或－1. 第三节　分式方程 1．B　2.D　3.1或－4或6 4．解：解不等式组得<x≤4. ∵不等式组只有3个偶数解， ∴－2≤<0.解得－4≤a<2. 解分式方程－＝1，得y＝－2a－2. ∵分式方程的解为正数且y≠±2， ∴－2a－2＞0且－2a－2≠±2. 解得a<－1且a≠－2. ∴－4≤a<－1且a≠－2. ∵a为整数，∴a＝－4或a＝－3. －4＋（－3）＝－7. ∴符合要求的所有整数a的和为－7. 5．解：（1）－＝0. （2）y－＝0. （3）原方程可化为 －＝0. 设y＝，则原方程可化为y－＝0. 方程两边都乘y，得y2－1＝0. 解得y＝±1. 经检验，y＝±1都是方程y－＝0的解． 当y＝1时，＝1.该方程无解． 当y＝－1时，＝－1.解得x＝－. 经检验，x＝－ 是原分式方程的解． ∴原分式方程的解为x＝－. 6．A　7.D　8. 9．解：（1）1. （2）设该商品在乙商场的原价为x元． 根据题意，得 ＝. 解得x＝1. 经检验，x＝1是所列方程的根，且符合题意． 答：该商品在乙商场的原价为1元． （3）乙商场的提价较多．理由如下： 由题意，得甲商场两次提价后的价格为1×（1＋a）（1＋b）＝1＋a＋b＋ab； 乙商场两次提价后的价格为1×＝1＋a＋b＋ . ∵－（1＋a＋b＋ab）＝－ab＝＞0， ∴乙商场的提价较多． 本章重难压轴 1．解：（1）＝－. （2）第n个等式：＝－. 证明：∵右边＝－＝－＝＝左边， ∴等式是正确的． （3）①倒m次水倒出的总水量为 ＋×＋×＋…＋×＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－＝（L）. ②∵＜1， ∴无论倒水次数m有多大，倒出的总水量总小于1 L. ∴按照这种倒水的方法，这1 L水倒不完． 2．（1）解：＞（b＞a＞0且m＞0）. （2）证明：－＝－＝＝. ∵b＞a＞0，且m＞0，∴b－a＞0，b＋m＞0. ∴＞0. ∴＞. （3）解：设礼盒重量为x kg（0＜x＜5），则甲款礼盒的苹果重量为（5－x）kg，乙款礼盒的苹果重量为（10－x）kg，故甲款礼盒的苹果单价为 元，乙款礼盒的苹果单价为 元． －＝＝. ∵0＜x＜5，∴50x＞0，5－x＞0，10－x＞0. ∴＞0.∴＞. ∴乙款礼盒的苹果单价更便宜． 鸿鹄志 鸿鹄志 学科网（北京）股份有限公司 $