20.3.1 离差平方和与方差 (课件) 2025-2026学年沪科版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦“离差平方和与方差”，通过射击训练成绩、机床零件直径等实例导入，比较集中趋势相同但波动不同的数据，衔接平均数、中位数等集中趋势知识，构建从“集中水平”到“离散程度”的学习支架。 其亮点在于以现实问题驱动，借助散点图直观展示数据波动（几何直观，数学眼光），结合机床零件、芭蕾舞团身高实例计算分析方差（推理能力，数学思维），用数据表格和公式精准表达（数据意识，数学语言）。采用问题探究与计算器操作结合的教学方法，课堂小结清晰梳理公式与意义，助力学生理解离散程度，教师可提升教学效率。

20.3.1 数据的离散程度 第1课时 离差平方和与方差 第 20 章 数据的初步分析 学习目标 1. 掌握离差平方和、方差的概念与计算方法，能够进行常见与离差平方和、方差相关的计算. (重点) 2. 能够利用离差平方和、方差来简要的分析一组数据的离散程度. (难点) 3. 理解利用计算器和电子表格计算一组数据的方差的方法. 这是两名队员射击训练各 10 次的成绩，观察两幅图片，比较这两名队员成绩的稳定性. 我们常用平均数、中位数来刻画数据的“集中水平”，但在有些情况下只有“集中水平”是不够的，如评价选手的射击水平、机器的加工零件的精度、手表的日走时误差时，还需要用一新的数量来刻画一组数据的波动情况. 获取新知 知识点1：离差平方和与方差 首先比较两者的平均数： 它们的中位数也都是20.0 mm 数据是由一个标准基数+浮动值构成的，这样可以减小计算量 两组数据的集中趋势是相同的，所以无法区分， 下面就来考虑数据的离散程度 把每组零件的直径分别用散点图来表示： 直径波动较大 直径波动较小 图中过20.0与横轴平行的直线上的点表示平均数.可见机床A生产出的零件的直径中偏离这个平均数0.2mm的有6个、0.1mm的有2个；机床B生产出的零件的直径中偏离这个平均数0.2mm的有2个、0.1mm的有4个，直观上容易看出机床B比机床A生产的零件的精确度更稳定. 但如何用数量来刻画一组数据的离散程度呢？ 离差平方和与方差 问题1 两台机床都生产直径为 (20 ± 0.2) mm 的零件 ，为了检验产品质量从产品中各抽出 10 个零件进行测量,结果如下 ( 单位: mm ): 如何评判哪台机床生产的零件的精度更稳定? 机床A 20.0 19.8 20.1 20.2 19.9 20.0 20.2 19.8 20.2 19.8 机床B 20.0 20.0 19.9 20.0 19.9 20.2 20.0 20.1 20.1 19.8 1 要比较零件的精度，首先要想到比较两组数据的平均值。 机床A 20.0 19.8 20.1 20.2 19.9 20.0 20.2 19.8 20.2 19.8 机床B 20.0 20.0 19.9 20.0 19.9 20.2 20.0 20.1 20.1 19.8 从平均数这个角度很难区分两台机床生产零件的精度的稳定性。 如图，将每台机床生产的10个零件的直径用散点图表示. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20.2 20.1 20.0 19.9 19.8 零件直径/mm 数据序号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20.2 20.1 20.0 19.9 19.8 零件直径/mm 数据序号 (2) 机床 B (1) 机床 A 机床 B 比机床 A 生产的零件的精度更稳定. 统计学中，常用方差或离差平方和来衡量数据的离散程度.设一组数据是 x1，x2，…，xn，它们的平均数是 ，我们将 称为这组数据的离差平方和.可以简记为 . 将 称为这组数据的方差. 知识要点 统计学中常采用下面的做法：设一组数据x1， x2 ，… ,xn，它们的平均数是 ，我们将 称为这组数据的离差平方和，简记为 . 将 称为这组数据的方差. 统计学中，通常采用离差平方和或方差衡量数据的离散程度. 概念学习 离差平方和和方差都具有如下性质： （1）最小值是0； （2）数据的离散程度大，它们的值也大. 知识拓展 ① 方差的作用：方差是用来衡量一组数据波动大小的重要量，反映的是数据在平均数附近波动的情况. 一般地，方差越大，该组数据的波动就越大（离散程度大）；方差越小，该组数据的波动就越小（离散程度小）. ② 方差的适用条件：当两组数据的平均数相等或相近时，才利用方差来判断它们的波动情况． Administrator (A) - 老师要说明方差的出现更多的是在平均数相同或相近，不能作为区别选择的依据时，从考虑稳定性的角度出发引入了方差，所以方差的意义就是反应了数据的离散程度 离差平方和与方差都具有如下性质： （1）最小值为 0 ； （2）数据的离散程度大，它们的值也大. 当数据个数较多时，离差平方和的值将变得很大，而且当几组数据个数不相等时，不能用离差平方和衡量数据的离散程度，在实际操作中，我们一般选用方差来衡量数据的离散程度，而离差平方和常常会出现在回归分析等多种分析方法中. 机床A 20.0 19.8 20.1 20.2 19.9 20.0 20.2 19.8 20.2 19.8 机床B 20.0 20.0 19.9 20.0 19.9 20.2 20.0 20.1 20.1 19.8 分别计算问题 1 中离差平方和与方差来分析机床 A 和机床 B 哪台生产的零件的精度更稳定。 A 和 B 两组数据的平均数均为 20 ，于是，它们的离差平方和分别为 则方差分别为： 无论是离差平方和还是方差，我们都可以知道机床 A 生产的 10 个零件直径比机床 B 生产的 10 个零件直径波动要大，据此，我们可以评判机床 B 生产的零件精度更稳定. 练一练：如图是甲、乙两射击运动员的 10 次射击训练成绩的折线统计图．观察图形，甲、乙这 10 次射击成绩的离差平方和哪个大？ 【答】乙的射击成绩波动大，所以乙的离差平方和大. 下面通过计算离差平方和与方差，来分析机床A和机床B哪台生产的零件的精确度更稳定. 前面已经算得A,B两组数的平均数都是20，于是它们的离差平方和分别为 [ ] = (20 -20)2 + ··· +(19.8-20)2 +(19.8-20)2 =0.26. [ ] = (20 -20)2 + ··· +(20-20)2 +(19.8-20)2 =0.12. 方差分别为 = 1 10 ×0.26 =0.026. = 1 10 ×0.12 =0.012. 由于0.26＞0.12，0.026＞0.012，可知无论是根据离差平方和还是方差，都可发现机床A生产的10个零件直径比机床B生产的10个零件直径波动要大. 据此，我们可以评判机床B生产的零件精度更稳定. 用计算器计算机床A生产的零件的方差： 20.0, 19.8, 20.1, 20.2, 19.9, 20.0, 20.2, 19.8, 20.2, 19.8. 知识点2：用计算器计算方差 Administrator (A) - 授课时以实际使用的计算器为准，灵活修改按键。不同种类的计算器一般都要经过4个环节：开机—启动变量统计功能—输入数据—显示方差。 例1 小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的五次测试成绩如下表所示.谁的成绩较为稳定？为什么？ 测试次数 1 2 3 4 5 小明 10 14 13 12 13 小兵 11 11 15 14 11 典例精析 1 2 3 4 5 求平方和 小明 每次测试成绩 10 14 13 12 13 (每次成绩－ 平均成绩)2 5.76 2.56 0.36 0.16 0.36 9.2 小兵 每次测试成绩 11 11 15 14 11 (每次成绩－ 平均成绩)2 1.96 1.96 6.76 2.56 1.96 15.2 所以根据结果小明的成绩比较稳定. 用计算器和电子表格计算方差 机床A 20.0 19.8 20.1 20.2 19.9 20.0 20.2 19.8 20.2 19.8 机床B 20.0 20.0 19.9 20.0 19.9 20.2 20.0 20.1 20.1 19.8 以计算机床 A 生产的零件直径的方差为例， (1) 设定 SD 模式:打开计算器后,先按键 将其设定至开始状态； (2) 按键 (SCL) ,清除 计算器原先在 SD 模式下所储存的数据； MODE 2 SHIFT CLR 1 = 2 (3) 依次按键:20.0 19.8 20.2 19.9 20.0 20.2 20.2 19.8 20.1 19.8 输入数据； (4) 按键 显示方差的算术平方根为 0.161 245 155 ； (5) 按键 ，显示方差为 0. 026，因此，= 0.026. DT DT DT DT DT DT DT DT DT DT SHIFT = 1 S－VAR 你能用计算器计算机床 B 生产的零件直径的方差吗 ? x2 = 用科学计算器求方差的一般步骤： 1. 按有关键, 使计算器进入统计状态; 2. 依次输入数据 x1, x2, ……, xn; 3. 按求方差的功能键(例如x2键), 计算器显示结果. 归纳总结 例题讲解 例 在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》, 参加表演的女演员的身高(单位：cm)如表所示. 哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？ 甲 163 164 164 165 165 166 166 167 乙 163 165 165 166 166 167 168 168 解：甲、乙两团演员的身高平均数分别是 方差分别是 由s甲2 ＜ s乙2 可知，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐. 甲 163 164 164 165 165 166 166 167 乙 163 165 165 166 166 167 168 168 方差的计算是本课的重点，也是难点，计算量大，一定要细心。 25 用电子表格软件计算 (1) 在电子表格软件中输入机床 A，B 的数据,如下图： 类似的操作你能得到机床 B 数据的方差吗? 课堂小结 离差平方和与方差 方差的统计学意义（判断数据的波动程度）： 方差越大（小），数据的波动越大（小）. 衡量一组数据的离散程度 公式： 离差平方和： 方差: 全品文教初中 谢谢大家 $