专题07 概率（4大考点期末真题汇编，黑龙江专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 高中数学概率专题期末试题汇编，涵盖事件关系、古典概型等4大高频考点，精选黑龙江、吉林多校期末真题，题型全面，注重基础与综合应用。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |单选|17|事件关系、古典概型、独立性|结合骰子、抽奖情境，基础概念辨析| |多选|10|互斥与独立事件、概率性质|多选项设计，考查逻辑推理能力| |填空|7|概率计算、事件运算|简洁设问，强化公式应用| |解答|10|古典概型应用、独立性综合|结合投壶、射箭等文化体育情境，突出实际应用|

专题07 概率 4大高频考点概览 考点01事件之间的关系与运算 考点02古典概型 考点03频率与概率 考点04事件的独立性 地 城 考点01 事件之间的关系与运算 一、单选题 1．(24-25高一下·吉林、黑龙江六校联考·期末)若，为互斥事件，则 A． B． C． D． 2．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第七十三中学校·期末)给出下列命题，其中说法正确的是（ ） A．若A，B为两个随机事件，则 B．若事件A，B，C两两互斥，则 C．若A，B为互斥事件，则 D．若，则 3．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)一个质地均匀的骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷这个骰子两次，并记录每次正面朝上的数字，记事件“两次向上的数字都为3”，“两次向上的数字之和是6”，则下列结论正确的是（ ） A．事件A与事件B相互独立 B．事件A与事件B互斥 C． D．P(AB)= 二、多选题 4．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三十二中学校·期末)（多选）袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是（    ） A．至少有一个白球与都是白球 B．恰有一个红球与白、黑球各一个 C．至少一个白球与至多有一个红球 D．至少有一个红球与两个白球 5．(24-25高一下·黑龙江绥化海伦第一中学·期末)（多选）已知随机事件A和B，若，，则下列结论正确的是（   ） A．若A与B相互独立，则 B． C．若，则 D．若，则 6．(24-25高一下·黑龙江牡丹江名校协作体·期末)（多选）下列说法不正确的是（   ） A．已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且，则 B．若A，B为两个事件，则 C．若事件A，B，C两两互斥，则 D．若事件A，B满足，则A与B相互对立 三、填空题 7．(24-25高一下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)已知某艺术协会的会员中，有的会员喜爱书画或戏曲，有的会员喜爱书画，有的会员同时喜爱书画、戏曲．现从该协会中随机抽取一名会员，该会员喜爱戏曲的概率为______． 地 城 考点02 古典概型 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江绥化海伦第一中学·期末)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则甲和乙相邻的概率是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)抛掷质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为m，n．设平面向量，则向量不能作为平面内的一组基底的概率为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)为加强学生身体健康，某校对学生进行了体能测试．已知同学甲在立定跳远项目中每次及格的概率均为0.6，现采用随机模拟的方法估计甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率：先由计算器产生0到9范围内的整数随机数，指定0，1，2，3表示没有及格，4，5，6，7，8，9表示及格，再以每3个随机数为一组，代表3次立定跳远的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数： 759   421   113   215   345   257   704   066   186   203 037   624   616   045   601   366   959   742   710   428 据随机模拟试验估计，甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一下·黑龙江牡丹江名校协作体·期末)已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 7527　0293　7140　9857　0347　4373　8636 6947　7610　4281　1417　4698　0371　6233 2616　8045　6011　3661　9597　7424 根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（    ） A．0.852 B．0.8192 C．0.8 D．0.75 5．(24-25高一下·黑龙江绥化海伦第一中学·期末)从某校高一年级学生60名女生中，经调查偏理科的40人，偏文科的20人，利用分层抽样抽取6人，随机抽取3人，至少有2人偏理科的概率是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三十二中学校·期末)一个不透明袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，先后不放回地摸出两个球，若第二次摸出球的号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择未被摸出的球，则选到3号球的概率为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．(24-25高一下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，向上的点数分别记为，则事件“”的概率为____________. 8．(24-25高一下·吉林、黑龙江六校联考·期末)甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为__________. 9．(24-25高一下·黑龙江绥化海伦第一中学·期末)在正八面体中，任取四个顶点，则这四点不共面的概率为________；任取两个面，则所成二面角为钝角的概率为________． 三、解答题 10．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第七十三中学校·期末)某环保小组共有5名成员，其中男成员有2人，现从这5人中随机选出3人去某社区进行环保宣传. (1)求所选的3人中恰有1名男成员的概率； (2)求所选的3人中至少有2名女成员的概率. 11．(24-25高一下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)某商场为回馈顾客举行抽奖活动，顾客一次消费超过一定金额即可参加抽奖.抽奖箱里放有5个大小相同的小球，其中有两个标有“中奖”字样，每位参加抽奖的顾客一次抽奖可随机抽取两个小球，且商场规定参加抽奖的顾客一次抽奖只要抽到一个“中奖”小球即视为中奖. (1)求顾客一次抽奖中奖的概率； (2)若顾客一次抽奖抽到两个“中奖”小球为一等奖，可兑取价值10元的奖品；一次抽奖只抽到一个“中奖”小球为二等奖，可兑取价值5元的奖品.某日该商场进行的抽奖共计500人次，估计兑出奖品的总价值. 12．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆中学·期末)已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是. (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色. （i）写出该试验的样本空间； （ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由. 13．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三十二中学校·期末)长沙是一座历史悠久、文化旅游资源丰富的城市．为更好地了解游客对长沙旅游体验的感受，长沙市旅游部门随机选择100名游客对长沙旅游体验进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，求的值； (2)估计这100名游客对长沙旅游体验满意度评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； (3)旅游部门的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行单独访问，求选取的2人中，恰有1人评分在内，另1人在内的概率． 14．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)从某次知识竞赛成绩中随机抽取容量为100的样本，由样本数据绘制的频率分布直方图如图所示；    (1)求直方图中的值及样本中位数； (2)现用分层抽样的方法从区间，，抽取5人，写出从这5人中随机抽取2人的样本空间，并求这2人成绩至少一人成绩在的概率. 地 城 考点03 频率与概率 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第七十三中学校·期末)气象站在发布天气预报时说“明天本地区降雨的概率为90%”，你认为下列解释正确的是（    ） A．本地区有90%的地方下雨 B．本地区有90%的时间下雨 C．明天出行不带雨具，一定被雨淋 D．明天出行不带雨具，有90%的可能被雨淋 2．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨德强高级中学·期末)根据统计，某篮球运动员在1000次投篮中，命中的次数为860次，则该运动员（    ） A．投篮10次至少有8次命中 B．投篮命中的频率为0.86 C．投篮命中的概率为0.86 D．投篮100次有86次命中 二、多选题 3．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第七十三中学校·期末)（多选）下述关于频率与概率的说法中，错误的是（    ） A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品 B．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确． 地 城 考点04 事件的独立性 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第七十三中学校·期末)已知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)依次抛掷两枚质地均匀的骰子，A表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，B表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，C表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（    ） A．A与B为相互独立事件 B．A与C为互斥事件 C．B与C为相互独立事件 D．B与C为互斥事件 3．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆实验中学·期末)甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，并约定规则如下：在每个回合中，若发球方赢球，则得1分，并且下一回合继续由其发球；若发球方输球，则双方均不得分，且下一回合交换发球权；比赛持续三回合后结束，若最终甲乙得分相同，则为平局.已知在每回合中，甲获胜的概率均为 ，各回合比赛结果相互独立，第一回合由甲发球.则甲乙两人在比赛中平局的概率为（     ） A． B． C． D． 4．(24-25高一下·黑龙江牡丹江名校协作体·期末)投壶是从先秦延续至清末的传统礼仪和宴饮游戏，在战国时期较为盛行，投壶时，第一箭入壶（即投中）称为“有初”，投中且投入壶耳称为“贯耳”.假设投壶参与者甲每次投壶得“贯耳”的概率为，每次投中的概率为，若甲投壶3次，则甲“有初”，“贯耳”均投得的概率为（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高一下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)如图，三个元件正常工作的概率均为，且是相互独立的，将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高一下·黑龙江牡丹江名校协作体·期末)有6个大小相同的小球，其中1个黑色，2个蓝色，3个红色．采用放回方式从中随机取2次球，每次取1个球，甲表示事件“第一次取红球”，乙表示事件“第二次取蓝球”，丙表示事件“两次取出不同颜色的球”，丁表示事件“与两次取出相同颜色的球”，则（    ） A．甲与乙相互独立 B．甲与丙相互独立 C．乙与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 二、多选题 7．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)（多选）已知A，B为随机事件，，，则下列结论正确的有（    ） A．若A，B为互斥事件，则 B．若A，B为互斥事件，则 C．若A，B相互独立，则 D．若A，B相互独立，则 8．(24-25高一下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)（多选）设A，B易两个随机事件，且，则下列结论正确的是（    ） A．若A，B是互斥事件，则 B．若，则 C．若A，B是相互独立事件，则 D．若，则A，B是相互独立事件 9．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨德强高级中学·期末)（多选）口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事件“第一次取出的是红球”，“取出的两球同色”，“取出的两球不同色”，下列判断中正确的是（） A． B．B与C互为对立事件 C．A与B互斥 D．A与C相互独立 10．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆实验中学·期末)（多选）现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（   ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互对立 D．丙与丁互斥 11．(24-25高一下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)（多选）已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（   ） A．若事件A，B互斥，则 B．若事件A，B相互独立，则A，B不互斥 C．若，则事件A，B相互独立 D．若事件A，B相互独立，则事件A，B至少有一个发生的概率为 12．(24-25高一下·吉林、黑龙江六校联考·期末)（多选）以下叙述不正确的是（   ） A．若事件两两独立，则 B．若，则事件两两独立 C．若，则事件两两互斥 D．若事件两两互斥，则 三、填空题 13．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨德强高级中学·期末)假设事件与相互独立，且，，则______ 14．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三十二中学校·期末)球员罚球命中的概率是0.7，球员罚球命中的概率是0.6，且两人罚球是否命中相互独立．那么在一次两人罚球过程中，至少有一人罚球命中的概率是______．（用小数表示） 15．(24-25高一下·黑龙江牡丹江名校协作体·期末)甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为．假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲、乙各胜一局的概率为________． 四、解答题 16．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨德强高级中学·期末)为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，每题甲、乙两人恰有一人答对的概率为. (1)求p和q的值； (2)求甲、乙两人共答对3道题的概率. 17．(24-25高一下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)乒乓球被称为中国的“国球”，在2024年巴黎奥运会乒乓球比赛中，中国乒乓球队包揽五块金牌.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜（比如：比分为，得12分者胜），该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.在某局双方10：10平后，甲先发球. (1)若两人又打了2个球比赛结束且甲获胜的概率为，求的值； (2)若满足（1）中条件取值，记事件“两人又打了4个球该局比赛结束”，事件“两人又打了个球该局比赛结束”. （i）求； （ii）直接写出. 18．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆实验中学·期末)甲、乙两人进行投篮比赛，规则如下：每轮由其中一人进行投篮，若投中，则投篮者得1分，对方得0分，且下一轮继续投篮；若未投中，则投篮者得0分，对方得1分，且下一轮由对方投篮；当一方领先对方2分时，领先者获胜，比赛结束．已知甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为，且每轮投篮相互独立．第一轮甲先进行投篮． (1)求第二轮投篮后乙获胜的概率； (2)求第四轮投篮后甲获胜的概率； (3)求第六轮投篮后甲获胜的概率． 19．(24-25高一下·黑龙江牡丹江名校协作体·期末)随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，或5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为.现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止. (1)设这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第次通过”记为事件，事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”，试用或的运算表示，并求的大小； (2)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率； (3)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率. 20．(24-25高一下·黑龙江绥化海伦第一中学·期末)射箭是群众喜闻乐见的运动形式之一，某项赛事前，甲、乙两名射箭爱好者各射了一组（72支）箭进行赛前热身训练，下表是箭靶区域划分及两人成绩的频数记录信息： 用赛前热身训练的成绩估计两名运动员的正式比赛的竞技水平，并假设运动员竞技水平互不影响，运动员每支箭的成绩也互不影响． 箭靶区域 环外 黑环 蓝环 红环 黄圈 区域颜色 白色 黑色 蓝色 红色 黄色 环数 1-2环 3-4环 5环 6环 7环 8环 9环 10环 甲成绩（频数） 0 0 1 2 3 6 36 24 乙成绩（频数） 0 1 2 4 5 12 36 12 (1)甲乙各射出一支箭，求有人命中8环及以上的概率； (2)甲乙各射出两支箭，求共有3支箭命中黄圈的概率． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 概率 地 城 考点01 事件之间的关系与运算 一、单选题 1．B 2．C 3．D 二、多选题 4．BD 5．BC 6．CD 三、填空题 7．/0.75 地 城 考点02 古典概型 一、单选题 1．B 2．A 3．D 4．D 5．D 6．C 二、填空题 7． 8． 9．/0.8； 三、解答题 10．【详解】（1）由题意可知该环保小组女成员有3人，记为；男成员有2人，记为. 从5名成员随机选出3人的情况有，共10种. 所选的3人中恰有1名男成员的情况有，共6种， 则所选的3人中恰有1名男成员的概率. （2）所选的3人中至少有2名女成员的情况有，共7种， 则所选的3人中至少有2名女成员的概率. 11．【详解】（1）设，为两个标有“中奖”字样的小球，，，为三个未标有“中奖”字样的小球， 从中随机抽取两个小球，则有 ，，，，，，，，，共10种情况， 其中中奖的情况共有7种. 所以顾客一次抽奖中奖的概率为. （2）由（1）可知，每次中一等奖的概率为. 每次中二等奖的概率为. 故进行500人次抽奖克出奖品价值的估计值为元. 12．【详解】（1）解：从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件， 因为为两两互斥事件， 由已知得，解得. ∴盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是； （2）（i）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点， 则样本空间 . （ii）由（i）得，记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，则，所以 所以     因为，所以此游戏不公平. 13．【详解】（1）由，解得； （2）， 所以这100名游客对长沙旅游体验满意度评分的平均数为分； （3）评分在的人数为人， 评分在的人数为人， 按比例分层抽样的方法从两组中共抽取6人， 则从评分在中抽取人，分别为表示； 从评分在中抽取人，分别用表示， 则从这6人中随机抽取2人的所有结果为 共15种. 则恰有1人评分在内，另1人在内的所有结果为 共8种， 所以选取的2人中，恰有1人评分在内，另1人在内的概率为. 14．【详解】（1）根据频率分布直方图可得， ， 解得. 因为成绩位于的概率为， 而成绩位于的概率为， 所以中位数为75. （2）因为成绩位于区间的频数分别为 人， 所以分层抽样比为. 所以抽取5人中成绩位于区间的人数分别为1（），2（），2（）人. 所以从5人中随机抽取2人的情况有，共10种， 这2人成绩至少一人成绩在的情况有，共7种， 这2人成绩至少一人成绩在的概率为. 地 城 考点03 频率与概率 一、单选题 1．D. 2．B 二、多选题 3．ABC 地 城 考点04 事件的独立性 一、单选题 1．D． 2．C 3．D 4．A 5．C 6．A 二、多选题 7．ACD 8．CD 9．ABD 10．BD 11．ABC 12．AB 三、填空题 13． 14．/ 15． 四、解答题 16．【详解】（1）由题知，，且， 解得 （2）分情况如下： 甲答对题，乙答对题，概率为：； 甲答对题，乙答对题，概率为：； 于是甲、乙两人共答对3道题的概率是 17．【详解】（1）记表示打第个球是甲胜， 两人又打了2个球比赛结束且甲获胜即，各球的结果相互独立， ，，，. （2）（i），为奇数；，为偶数. . ，，，互斥，各球的结果相互独立. . . . . . （ii），. 18．【详解】（1）解：设甲投中为事件，乙投中为事件， 要使得第二轮投篮后乙获胜，则第一轮甲未中，第二轮乙投中， 所以第二轮投篮后乙获胜的概率. （2）解：要使得第四轮投篮后甲获胜，则甲乙的比分为，则或， 所以第四轮投篮后甲获胜的概率为 . （3）解：要使得第六轮投篮后甲获胜，则甲乙的比分为， 则满足或或或， 所以第六轮投篮后甲获胜的概率： 19．【详解】（1）这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第次通过”记为事件，事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费” 则 （2）设这对夫妻中，“妻子在科目二考试中第次通过”为事件，则. 设事件“妻子参加科目二考试不需要交补考费”，事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”. 则. 因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为； （3）设事件“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”，事件“妻子参加科目二考试需交补考费200元”， 事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元”，则 ， . 因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为 20．【详解】（1）解：设“甲运动员一箭命中8环及以上”，“乙运动员一箭命中8环及以上”，“有人命中8环及以上”，则，， 显然事件A，B相互独立，， ， 所以甲乙各射出一支箭，有人命中8环及以上的概率为． （2）解：设“甲运动员第i箭命中黄圈”，“乙运动员第i箭命中黄圈”， ∴，， 设“共有3支箭命中黄圈”， ， ∵，，，相互独立， ，，，互斥， ∴甲乙各射出两支箭，共有3支箭命中黄圈的概率为： . 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 概率 4大高频考点概览 考点01事件之间的关系与运算 考点02古典概型 考点03频率与概率 考点04事件的独立性 地 城 考点01 事件之间的关系与运算 一、单选题 1．(24-25高一下·吉林、黑龙江六校联考·期末)若，为互斥事件，则 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为A,B互斥，但A,B不一定对立，所以 2．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第七十三中学校·期末)给出下列命题，其中说法正确的是（ ） A．若A，B为两个随机事件，则 B．若事件A，B，C两两互斥，则 C．若A，B为互斥事件，则 D．若，则 【答案】C 【分析】AB选项，可举出反例；C选项，根据得到C正确；D选项，根据概率的性质得到. 【详解】对于A：当A，B为两个互斥事件时，才有， 当A，B不互斥时，，A选项错误； 对于B：当事件A，B，C两两互斥，且时，才有，所以B错误； 对于C：当A，B为互斥事件时，，C选项正确； 对于D：由概率的性质可知，若，则，D选项错误； 故选：C. 3．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)一个质地均匀的骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷这个骰子两次，并记录每次正面朝上的数字，记事件“两次向上的数字都为3”，“两次向上的数字之和是6”，则下列结论正确的是（ ） A．事件A与事件B相互独立 B．事件A与事件B互斥 C． D．P(AB)= 【答案】D 【分析】对于B：根据互斥事件的定义分析判断；对于CD：根据题意结合古典概型运算求解即可；对于A：根据独立事件的概率公式即可判断． 【详解】设样本空间为，则， 对于选项B：事件“两次向上的数字都为3” ， 事件“两次向上的数字之和是6” ， 显然事件B包含事件A，所以事件A与事件B不互斥，故B错误； 对于选项C：因为，所以，故C错误； 对于选项D：因为，所以，故D正确； 对于选项A：，，， 显然，故A错误； 故选：D． 二、多选题 4．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三十二中学校·期末)（多选）袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是（    ） A．至少有一个白球与都是白球 B．恰有一个红球与白、黑球各一个 C．至少一个白球与至多有一个红球 D．至少有一个红球与两个白球 【答案】BD 【分析】根据互斥事件的定义和性质判断. 【详解】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个， 在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立. 在B中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故B成立； 在C中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C不成立； 在D中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D成立； 故选：BD. 5．(24-25高一下·黑龙江绥化海伦第一中学·期末)（多选）已知随机事件A和B，若，，则下列结论正确的是（   ） A．若A与B相互独立，则 B． C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件判断A；比较大小判断B；利用事件关系判断C；利用概率的基本性质判断D. 【详解】对于A，A与B相互独立，，A错误； 对于B，，则，B正确； 对于C，，则，C正确； 对于D，由，得，而， 因此，D错误. 故选：BC 6．(24-25高一下·黑龙江牡丹江名校协作体·期末)（多选）下列说法不正确的是（   ） A．已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且，则 B．若A，B为两个事件，则 C．若事件A，B，C两两互斥，则 D．若事件A，B满足，则A与B相互对立 【答案】CD 【分析】根据互斥事件、对立事件的概念进行判断. 【详解】对A，，又，所以，则，正确； 对B，若A，B为两个事件，则，正确； 对C，事件A，B，C两两互斥，则，并不能说明，错误； 对D，若事件A，B满足，且事件A，B互斥，则A与B相互对立，错误. 故选：CD 三、填空题 7．(24-25高一下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)已知某艺术协会的会员中，有的会员喜爱书画或戏曲，有的会员喜爱书画，有的会员同时喜爱书画、戏曲．现从该协会中随机抽取一名会员，该会员喜爱戏曲的概率为______． 【答案】/0.75 【分析】应用概率的性质列方程求会员喜爱戏曲的概率即可. 【详解】记事件“该会员喜爱书画”，事件“该会员喜爱戏曲”， 由题意，知，，， 由概率的基本性质，知， 则，解得， 即从该协会中随机抽取一人，该会员喜爱戏曲的概率为． 故答案为： 地 城 考点02 古典概型 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江绥化海伦第一中学·期末)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则甲和乙相邻的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用捆绑法及古典概型的概率公式求解即可. 【详解】甲、乙、丙、丁四人排成一列共有种情况， 要使甲和乙相邻，将甲和乙看作一个整体，再与其他两人进行排列， 因此共有种情况， 所以甲和乙相邻的概率是. 故选：B. 2．(24-25高一下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)抛掷质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为m，n．设平面向量，则向量不能作为平面内的一组基底的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量平行的数量积得到，再由古典概率计算即可. 【详解】且不能作为基底，则，即， 当时，；当时，；当时，； 两次投掷得到点数的总可能性为种， 所以所求的概率. 故选：A． 3．(24-25高一下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)为加强学生身体健康，某校对学生进行了体能测试．已知同学甲在立定跳远项目中每次及格的概率均为0.6，现采用随机模拟的方法估计甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率：先由计算器产生0到9范围内的整数随机数，指定0，1，2，3表示没有及格，4，5，6，7，8，9表示及格，再以每3个随机数为一组，代表3次立定跳远的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数： 759   421   113   215   345   257   704   066   186   203 037   624   616   045   601   366   959   742   710   428 据随机模拟试验估计，甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找到20组数据中符合题意的数据个数，然后利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】依题意，在每组随机数中，至少有2个数字在4，5，6，7，8，9中， 即代表甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次， 经统计，20组中一共有13组符合要求， 有：759，345，257，704，066，186，624，616，045，366，959，742，428， 故概率为． 故选：D． 4．(24-25高一下·黑龙江牡丹江名校协作体·期末)已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 7527　0293　7140　9857　0347　4373　8636 6947　7610　4281　1417　4698　0371　6233 2616　8045　6011　3661　9597　7424 根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（    ） A．0.852 B．0.8192 C．0.8 D．0.75 【答案】D 【分析】由题设模拟数据确定击中目标至少3次的随机数组，应用古典概型的概率求法求概率. 【详解】在20组随机数中含中的数至少3个（含3个或4个）， 共有15组，即模拟结果中射击4次至少击中3次的频率为. 据此估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率为0.75. 故选：D. 5．(24-25高一下·黑龙江绥化海伦第一中学·期末)从某校高一年级学生60名女生中，经调查偏理科的40人，偏文科的20人，利用分层抽样抽取6人，随机抽取3人，至少有2人偏理科的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分层抽样得到抽取6人中偏理科和偏文科的人数，利用列举法求古典概型的概率. 【详解】60名女生中，偏理科与偏文科的人数比为， 所以分层抽样抽取6人，偏理科的人数为，设为， 偏文科的人数为，设为， 故随机抽取3人，一共有以下情况， ， ， ，共20种情况， 其中至少有2人偏理科的情况为 ， ， 共16种情况，所以随机抽取3人，至少有2人偏理科的概率是. 故选：D 6．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三十二中学校·期末)一个不透明袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，先后不放回地摸出两个球，若第二次摸出球的号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择未被摸出的球，则选到3号球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别列举选球的可能性，再根据互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】从标有数字1，2，3，先后不放回地摸出两个球，则所有可能结果有，，，，，， 选到3号球有两种可能：第二次摸出的为3号球，或第一次摸出2号球，第二次摸出1号球， 则满足第二次摸出的为3号球的有，，所以第二次摸出的为3号球的概率； 第一次摸出2号球，第二次摸出1号球的概率； 所以选到3号球的概率. 故选：C. 二、填空题 7．(24-25高一下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，向上的点数分别记为，则事件“”的概率为____________. 【答案】 【分析】采用列举法可得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果. 【详解】将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，向上的点数所有可能的结果有： ，共个基本事件； 其中满足的有： ，共个基本事件，所求概率. 故答案为：. 8．(24-25高一下·吉林、黑龙江六校联考·期末)甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为__________. 【答案】 【分析】根据已知确定所有可能情况，再列举出的对应情况，应用古典概型的概率求法求概率. 【详解】由题设，所有可能的有序数对共有个， 而的情况有 ，共有16个， 所以任意找两人玩这个游戏，他们“心有灵犀”的概率为. 故答案为： 9．(24-25高一下·黑龙江绥化海伦第一中学·期末)在正八面体中，任取四个顶点，则这四点不共面的概率为________；任取两个面，则所成二面角为钝角的概率为________． 【答案】 /0.8 【分析】分别计算四点不共面，二面角为锐角的个数，以及取四个点的总数，取两个面的总数，然后按照古典概型公式计算即可. 【详解】由题可知：任取四个点总数为， 四点不共面的有：， 则这四点不共面的概率为； 设，则，取的中点，连接，则，， 所以是平面与平面所成角， 所以， 所以是钝角，根据正八面体结构，每个面与相邻的3个面所成角均为钝角， 所以任取两个面，则所成二面角为钝角的概率为. 故答案为：；. 三、解答题 10．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第七十三中学校·期末)某环保小组共有5名成员，其中男成员有2人，现从这5人中随机选出3人去某社区进行环保宣传. (1)求所选的3人中恰有1名男成员的概率； (2)求所选的3人中至少有2名女成员的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用古典概型公式求解. 【详解】（1）由题意可知该环保小组女成员有3人，记为；男成员有2人，记为. 从5名成员随机选出3人的情况有，共10种. 所选的3人中恰有1名男成员的情况有，共6种， 则所选的3人中恰有1名男成员的概率. （2）所选的3人中至少有2名女成员的情况有，共7种， 则所选的3人中至少有2名女成员的概率. 11．(24-25高一下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)某商场为回馈顾客举行抽奖活动，顾客一次消费超过一定金额即可参加抽奖.抽奖箱里放有5个大小相同的小球，其中有两个标有“中奖”字样，每位参加抽奖的顾客一次抽奖可随机抽取两个小球，且商场规定参加抽奖的顾客一次抽奖只要抽到一个“中奖”小球即视为中奖. (1)求顾客一次抽奖中奖的概率； (2)若顾客一次抽奖抽到两个“中奖”小球为一等奖，可兑取价值10元的奖品；一次抽奖只抽到一个“中奖”小球为二等奖，可兑取价值5元的奖品.某日该商场进行的抽奖共计500人次，估计兑出奖品的总价值. 【答案】(1)； (2)2000元. 【分析】（1）由题意，利用列举法写出满足题意的样本空间，结合古典概型的概率公式计算即可求解； （2）由（1），求出每次中一、二等奖的概率，即可求解. 【详解】（1）设，为两个标有“中奖”字样的小球，，，为三个未标有“中奖”字样的小球， 从中随机抽取两个小球，则有 ，，，，，，，，，共10种情况， 其中中奖的情况共有7种. 所以顾客一次抽奖中奖的概率为. （2）由（1）可知，每次中一等奖的概率为. 每次中二等奖的概率为. 故进行500人次抽奖克出奖品价值的估计值为元. 12．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆中学·期末)已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是. (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色. （i）写出该试验的样本空间； （ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由. 【答案】(1)盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是； (2)（i）答案见解析；（ii）游戏不公平理由见解析 【分析】（1）从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件，根据为两两互斥事件， 由求解. （2）（i）根据红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，列举出来；（ii）由（i）利用古典概型的概率求解. 【详解】（1）解：从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件， 因为为两两互斥事件， 由已知得，解得. ∴盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是； （2）（i）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点， 则样本空间 . （ii）由（i）得，记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，则，所以 所以     因为，所以此游戏不公平. 13．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三十二中学校·期末)长沙是一座历史悠久、文化旅游资源丰富的城市．为更好地了解游客对长沙旅游体验的感受，长沙市旅游部门随机选择100名游客对长沙旅游体验进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，求的值； (2)估计这100名游客对长沙旅游体验满意度评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； (3)旅游部门的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行单独访问，求选取的2人中，恰有1人评分在内，另1人在内的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据各个小长方形的面积之和即频率之和为1，列式计算即可求出值； （2）根据频率分布直方图求平均数的公式计算即可； （3）先根据分层抽样的特点计算出评分在，内应抽取的人数，再列出从这6人中随机抽取2人的所有可能结果，再根据古典概型的计算公式计算即可. 【详解】（1）由，解得； （2）， 所以这100名游客对长沙旅游体验满意度评分的平均数为分； （3）评分在的人数为人， 评分在的人数为人， 按比例分层抽样的方法从两组中共抽取6人， 则从评分在中抽取人，分别为表示； 从评分在中抽取人，分别用表示， 则从这6人中随机抽取2人的所有结果为 共15种. 则恰有1人评分在内，另1人在内的所有结果为 共8种， 所以选取的2人中，恰有1人评分在内，另1人在内的概率为. 14．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)从某次知识竞赛成绩中随机抽取容量为100的样本，由样本数据绘制的频率分布直方图如图所示；    (1)求直方图中的值及样本中位数； (2)现用分层抽样的方法从区间，，抽取5人，写出从这5人中随机抽取2人的样本空间，并求这2人成绩至少一人成绩在的概率. 【答案】(1)，中位数75 (2)， 【分析】（1）根据频率分布直方图的频率之和为1求出，然后利用中位数的定义求出中位数的值. （2）先确定分层抽样比和抽样人数，然后确定样本空间和这2人成绩至少一人成绩在的概率. 【详解】（1）根据频率分布直方图可得， ， 解得. 因为成绩位于的概率为， 而成绩位于的概率为， 所以中位数为75. （2）因为成绩位于区间的频数分别为 人， 所以分层抽样比为. 所以抽取5人中成绩位于区间的人数分别为1（），2（），2（）人. 所以从5人中随机抽取2人的情况有，共10种， 这2人成绩至少一人成绩在的情况有，共7种， 这2人成绩至少一人成绩在的概率为. 地 城 考点03 频率与概率 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第七十三中学校·期末)气象站在发布天气预报时说“明天本地区降雨的概率为90%”，你认为下列解释正确的是（    ） A．本地区有90%的地方下雨 B．本地区有90%的时间下雨 C．明天出行不带雨具，一定被雨淋 D．明天出行不带雨具，有90%的可能被雨淋 【答案】D 【分析】根据概率的实际意义即可判断. 【详解】明天本地区降雨的概率为90%意味着有90%的可能会下雨，结合选项可知只有D正确， 故选：D. 2．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨德强高级中学·期末)根据统计，某篮球运动员在1000次投篮中，命中的次数为860次，则该运动员（    ） A．投篮10次至少有8次命中 B．投篮命中的频率为0.86 C．投篮命中的概率为0.86 D．投篮100次有86次命中 【答案】B 【分析】根据频率、概率的含义以及与事件的关系判断，即得答案. 【详解】由题意可知投篮命中的频率为， 而频率可能比概率大也可能小，概率是频率的稳定值，二者不一定相等，故B正确，C错误； 投篮10次或100次相当于做10次或100次试验，每一次的结果都是随机的， 其结果可能是一次都没中，也可能是多次投中等，频率和概率只反映事件发生的可能性的大小， 不代表事件一定会发生，故AD错误， 故选：B 二、多选题 3．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第七十三中学校·期末)（多选）下述关于频率与概率的说法中，错误的是（    ） A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品 B．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确． 【答案】ABC 【分析】根据频率与概率的关系，结合各选项的描述判断正误. 【详解】对于A: 从中任取100件，可能有10件，A错误； 对于B: 做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的频率是，不是概率为，B错误； 对于C:多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近，此常数为概率，与描述不符，C错误； 对于D:10000次的界定没有科学依据，“不一定很准确"的表达正确，试验次数越多，频率越稳定在概率值附近，但并非试验次数越多，频率就等于概率，D正确. 故选: ABC. 地 城 考点04 事件的独立性 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第七十三中学校·期末)已知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用独立事件的乘法公式及对立事件的概率公式即可求解. 【详解】记“甲射中10环”为事件，“乙射中10环”为事件，， 甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为： . 故选：D． 2．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)依次抛掷两枚质地均匀的骰子，A表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，B表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，C表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（    ） A．A与B为相互独立事件 B．A与C为互斥事件 C．B与C为相互独立事件 D．B与C为互斥事件 【答案】C 【分析】根据互斥事件的概念和独立事件的定义进行判断即可. 【详解】根据题意可知，. 第一次抛掷骰子的点数为2，且第一次抛掷骰子的点数为奇数的概率为0， 即，所以不相互独立，所以A错误； 第一次抛掷骰子的点数为奇数，两次抛掷骰子的点数之和为7的情况数有. 所以，所以相互独立，所以C正确； 第一次抛掷骰子的点数为2，且两次抛掷骰子的点数之和为7的情况数有， 这说明能同时发生，所以不是互斥事件，B错误； 第一次抛掷骰子的点数为奇数，两次抛掷骰子的点数之和为7的情况数有. 这说明能同时发生，所以不是互斥事件，D错误； 故选：C. 3．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆实验中学·期末)甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，并约定规则如下：在每个回合中，若发球方赢球，则得1分，并且下一回合继续由其发球；若发球方输球，则双方均不得分，且下一回合交换发球权；比赛持续三回合后结束，若最终甲乙得分相同，则为平局.已知在每回合中，甲获胜的概率均为 ，各回合比赛结果相互独立，第一回合由甲发球.则甲乙两人在比赛中平局的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，把所求概率的事件分拆成两个互斥事件的和，再利用概率的加法公式和乘法公式列式求解. 【详解】设“第回合甲胜”，则，设事件“甲乙两人平局”， 依题意，甲乙两人在比赛中平局只有与两种情况，即， 因此 . 故选：D 4．(24-25高一下·黑龙江牡丹江名校协作体·期末)投壶是从先秦延续至清末的传统礼仪和宴饮游戏，在战国时期较为盛行，投壶时，第一箭入壶（即投中）称为“有初”，投中且投入壶耳称为“贯耳”.假设投壶参与者甲每次投壶得“贯耳”的概率为，每次投中的概率为，若甲投壶3次，则甲“有初”，“贯耳”均投得的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正确理解题意，分第一次投得“贯耳”，第一次投壶投中且未投得“贯耳”两种情况计算. 【详解】若甲第一次投壶投得“贯耳”，即“有初”，“贯耳”均投得的概率为 若甲第一次投壶投中且未投得“贯耳”，则甲在后面2次投壶中至少要投中1次“贯耳”，概率为：，所以所求概率为：. 故选：A 5．(24-25高一下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)如图，三个元件正常工作的概率均为，且是相互独立的，将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，记正常工作为事件，正常工作为事件，记正常工作为事件，易得则、、，若电路不发生故障，必须是正常工作且，至少有一个正常工作，由对立事件的概率性质可得，至少有一个正常工作的概率，计算可得其概率，由相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案． 【详解】记正常工作为事件，正常工作为事件，记正常工作为事件， 则 ， 电路不发生故障，即正常工作且，至少有一个正常工作， 、不发生故障即，至少有一个正常工作的概率， 所以整个电路不发生故障的概率为 . 故选：C. 6．(24-25高一下·黑龙江牡丹江名校协作体·期末)有6个大小相同的小球，其中1个黑色，2个蓝色，3个红色．采用放回方式从中随机取2次球，每次取1个球，甲表示事件“第一次取红球”，乙表示事件“第二次取蓝球”，丙表示事件“两次取出不同颜色的球”，丁表示事件“与两次取出相同颜色的球”，则（    ） A．甲与乙相互独立 B．甲与丙相互独立 C．乙与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出事件甲、乙、丙、丁的概率，再利用相互独立事件的定义判断作答. 【详解】依题意，事件甲的概率，事件乙的概率，有放回取球两次的试验的基本事件总数是， 显然事件丙与丁是对立事件，两次取出的球颜色相同含有的基本事件数为， 事件丙的概率，事件丁的概率， 对于A，事件甲与乙同时发生所含的基本事件数为6，其概率，甲与乙相互独立，A正确； 对于B，事件甲与丙同时发生所含的基本事件数为9，其概率，甲与丙不独立，B错误； 对于C，事件乙与丙同时发生所含的基本事件数为8，其概率，乙与丙不独立，C错误； 对于D，事件乙与丁同时发生所含的基本事件数为4，其概率，乙与丁不独立，D错误. 故选：A 二、多选题 7．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)（多选）已知A，B为随机事件，，，则下列结论正确的有（    ） A．若A，B为互斥事件，则 B．若A，B为互斥事件，则 C．若A，B相互独立，则 D．若A，B相互独立，则 【答案】ACD 【分析】根据互斥事件和独立事件的概念和公式进行求解即可. 【详解】因为为互斥事件，则. 所以，所以A正确； ， 所以B错误； 因为相互独立，所以. 所以，所以C正确； ，所以D正确. 故选：ACD. 8．(24-25高一下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)（多选）设A，B易两个随机事件，且，则下列结论正确的是（    ） A．若A，B是互斥事件，则 B．若，则 C．若A，B是相互独立事件，则 D．若，则A，B是相互独立事件 【答案】CD 【分析】A由互斥事件概念可知；B由事件的包含关系得；C由概率性质与概率乘法公式可得；D由概率加法公式与相互独立事件的定义可得. 【详解】A项，若是互斥事件，不可能同时发生， ，故A错误； B项，若，则，则，故B错误； C项，若相互独立，则， 所以，故C正确； D项，由，且事件互斥，则, 若， 则， 又，，故相互独立，故D正确. 故选：CD. 9．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨德强高级中学·期末)（多选）口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事件“第一次取出的是红球”，“取出的两球同色”，“取出的两球不同色”，下列判断中正确的是（） A． B．B与C互为对立事件 C．A与B互斥 D．A与C相互独立 【答案】ABD 【分析】根据对立事件、互斥事件、相互独立事件的知识对选项进行分析，从而确定正确答案． 【详解】记红球为1,2，白球为3,4， 不放回依次取出两个，则样本空间，共12种， 事件，共6种； 事件，共4种 事件，共8种； A选项，，故A正确； B选项，因为，所以与互为对立事件，故B正确； C选项，因为，所以与不是互斥事件，故C错误； D选项，因为事件，共4种，所以， 因为，由A可知，因为 所以与相互独立，所以D选项正确． 故选：ABD 10．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆实验中学·期末)（多选）现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（   ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互对立 D．丙与丁互斥 【答案】BD 【分析】利用样本空间法，分别计算4个事件的概率，以及选项中两个事件同时发生是概率，再结合独立事件，互斥事件的定义，即可判断选项. 【详解】，事件丙包含，共5个基本事件，所以，，所以，甲与丙不相互独立，故A错误； 事件丁包含共6个基本事件，所以，，所以，甲与丙相互独立，故B正确； ，，所以，乙与丙不相互独立，故C错误； 事件丙和丁没有公共事件，不可能同时发生，所以丙和丁互斥，故D正确. 故选：BD 11．(24-25高一下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)（多选）已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（   ） A．若事件A，B互斥，则 B．若事件A，B相互独立，则A，B不互斥 C．若，则事件A，B相互独立 D．若事件A，B相互独立，则事件A，B至少有一个发生的概率为 【答案】ABC 【分析】利用互斥事件概率的加法公式计算可判断A；利用独立事件与互斥事件的定义可判断B；利用独立事件的定义计算可判断C；利用对立事件概率的性质计算可判断D. 【详解】对于A，若事件A，B互斥，则，故A正确； 对于B，若事件A，B相互独立，则， 所以事件A，B能同时发生，故A，B不互斥，故B正确； 对于C，由于，所以，而. 因此事件，B相互独立，从而事件A，B相互独立，故C正确； 对于D，“事件A，B至少有一个发生”的对立事件为“事件A，B都不发生”，即“事件”， 又因为事件A，B相互独立， 所以事件A，B至少有一个发生的概率，故D不正确. 故选：ABC. 12．(24-25高一下·吉林、黑龙江六校联考·期末)（多选）以下叙述不正确的是（   ） A．若事件两两独立，则 B．若，则事件两两独立 C．若，则事件两两互斥 D．若事件两两互斥，则 【答案】AB 【分析】利用前提举反例，结合独立事件的判定判断A、B；由概率的性质及事件的运算、互斥事件定义判断C、D. 【详解】A：若事件两两独立，则，，， 抛两次硬币，第一次正面，第二次正面，两次结果相同， 所以，，显然满足前提， 而，此时，不满足，即A错； B：对于样本空间，若，，，则， 所以，且，此时满足， 但，即，显然，显然不相互独立，即B错； C：若，而 ， 所以， 必有，即事件两两互斥时成立，即C对； D：若事件两两互斥，必有，即D对. 故选：AB 三、填空题 13．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨德强高级中学·期末)假设事件与相互独立，且，，则______ 【答案】/ 【分析】根据独立性求出，然后由概率的运算性质求解即可. 【详解】由题知，若事件与相互独立，则， 于是. 故答案为： 14．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三十二中学校·期末)球员罚球命中的概率是0.7，球员罚球命中的概率是0.6，且两人罚球是否命中相互独立．那么在一次两人罚球过程中，至少有一人罚球命中的概率是______．（用小数表示） 【答案】/ 【分析】正难则反，先求其对立事件的概率，即两人都未命中的概率即可. 【详解】记事件“球员和球员至少一人罚球命中”， 则其对立事件为“罚球命中两人都未罚球命中”， 由相互独立事件同时发生的概率乘法公式得，， 所以. 故答案为：. 15．(24-25高一下·黑龙江牡丹江名校协作体·期末)甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为．假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲、乙各胜一局的概率为________． 【答案】 【分析】分两种情况讨论：（1）第一局甲胜，第二局乙胜：（2）第一局乙胜，第二局甲胜.分析出每局输赢的情况，结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】分两种情况讨论： （1）第一局甲胜，第二局乙胜： 若第一局甲执黑子先下，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为， 若第一局乙执黑子先下，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为， 所以，第一局甲胜，第二局乙胜的概率为； （2）第一局乙胜，第二局甲胜： 若第一局甲执黑子先下，则乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为， 若第一局乙执黑子先下，则乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为， 所以，第一局乙胜，第二局甲胜的概率为. 综上所述，甲、乙各胜一局的概率为. 故答案为：. 四、解答题 16．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨德强高级中学·期末)为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，每题甲、乙两人恰有一人答对的概率为. (1)求p和q的值； (2)求甲、乙两人共答对3道题的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式，列出关于的方程组求解； （2）甲、乙两人共答对3道题，可分为甲答对2题，乙1题；甲答对1题，乙2题，结合独立事件乘法公式求解. 【详解】（1）由题知，，且， 解得 （2）分情况如下： 甲答对题，乙答对题，概率为：； 甲答对题，乙答对题，概率为：； 于是甲、乙两人共答对3道题的概率是 17．(24-25高一下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)乒乓球被称为中国的“国球”，在2024年巴黎奥运会乒乓球比赛中，中国乒乓球队包揽五块金牌.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜（比如：比分为，得12分者胜），该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.在某局双方10：10平后，甲先发球. (1)若两人又打了2个球比赛结束且甲获胜的概率为，求的值； (2)若满足（1）中条件取值，记事件“两人又打了4个球该局比赛结束”，事件“两人又打了个球该局比赛结束”. （i）求； （ii）直接写出. 【答案】(1) (2)（i）；（ii），. 【分析】（1）记表示打第个球是甲胜，由题意可得，求解即可. （2）（i），为奇数；，为偶数，根据，，，互斥，各球的结果相互独立，计算可得结论；（ii）与（i）类似可得结论. 【详解】（1）记表示打第个球是甲胜， 两人又打了2个球比赛结束且甲获胜即，各球的结果相互独立， ，，，. （2）（i），为奇数；，为偶数. . ，，，互斥，各球的结果相互独立. . . . . . （ii），. 18．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆实验中学·期末)甲、乙两人进行投篮比赛，规则如下：每轮由其中一人进行投篮，若投中，则投篮者得1分，对方得0分，且下一轮继续投篮；若未投中，则投篮者得0分，对方得1分，且下一轮由对方投篮；当一方领先对方2分时，领先者获胜，比赛结束．已知甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为，且每轮投篮相互独立．第一轮甲先进行投篮． (1)求第二轮投篮后乙获胜的概率； (2)求第四轮投篮后甲获胜的概率； (3)求第六轮投篮后甲获胜的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设甲投中为事件，乙投中为事件，第二轮投篮后乙获胜，则第一轮甲未中，第二轮乙投中，结合独立事件的概率计算公式，即可求解； （2）要使得第四轮投篮后甲获胜，则甲乙的比分为，得到或，结合独立事件的概率计算公式，即可求解； （3）要使得第六轮投篮后甲获胜，则甲乙的比分为，得到或或或，结合独立事件的概率计算公式，即可求解； 【详解】（1）解：设甲投中为事件，乙投中为事件， 要使得第二轮投篮后乙获胜，则第一轮甲未中，第二轮乙投中， 所以第二轮投篮后乙获胜的概率. （2）解：要使得第四轮投篮后甲获胜，则甲乙的比分为，则或， 所以第四轮投篮后甲获胜的概率为 . （3）解：要使得第六轮投篮后甲获胜，则甲乙的比分为， 则满足或或或， 所以第六轮投篮后甲获胜的概率： 19．(24-25高一下·黑龙江牡丹江名校协作体·期末)随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，或5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为.现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止. (1)设这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第次通过”记为事件，事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”，试用或的运算表示，并求的大小； (2)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率； (3)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意列出事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费” 根据概率计算即可求解; （2）根据题意列出事件可能然后根据概率公式即可求解; （3）根据题意列出事件可能然后根据概率公式即可求解. 【详解】（1）这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第次通过”记为事件，事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费” 则 （2）设这对夫妻中，“妻子在科目二考试中第次通过”为事件，则. 设事件“妻子参加科目二考试不需要交补考费”，事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”. 则. 因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为； （3）设事件“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”，事件“妻子参加科目二考试需交补考费200元”， 事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元”，则 ， . 因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为 20．(24-25高一下·黑龙江绥化海伦第一中学·期末)射箭是群众喜闻乐见的运动形式之一，某项赛事前，甲、乙两名射箭爱好者各射了一组（72支）箭进行赛前热身训练，下表是箭靶区域划分及两人成绩的频数记录信息： 用赛前热身训练的成绩估计两名运动员的正式比赛的竞技水平，并假设运动员竞技水平互不影响，运动员每支箭的成绩也互不影响． 箭靶区域 环外 黑环 蓝环 红环 黄圈 区域颜色 白色 黑色 蓝色 红色 黄色 环数 1-2环 3-4环 5环 6环 7环 8环 9环 10环 甲成绩（频数） 0 0 1 2 3 6 36 24 乙成绩（频数） 0 1 2 4 5 12 36 12 (1)甲乙各射出一支箭，求有人命中8环及以上的概率； (2)甲乙各射出两支箭，求共有3支箭命中黄圈的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设“甲运动员一箭命中8环及以上”，“乙运动员一箭命中8环及以上”，“有人命中8环及以上”，由独立事件的概率可得求解即可； （2）设“甲运动员第i箭命中黄圈”，“乙运动员第i箭命中黄圈”， “共有3支箭命中黄圈”，由题意可得，由独立事件、互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）解：设“甲运动员一箭命中8环及以上”，“乙运动员一箭命中8环及以上”，“有人命中8环及以上”，则，， 显然事件A，B相互独立，， ， 所以甲乙各射出一支箭，有人命中8环及以上的概率为． （2）解：设“甲运动员第i箭命中黄圈”，“乙运动员第i箭命中黄圈”， ∴，， 设“共有3支箭命中黄圈”， ， ∵，，，相互独立， ，，，互斥， ∴甲乙各射出两支箭，共有3支箭命中黄圈的概率为： . 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $