精品解析：黑龙江省鸡西市2023-2024学年高一下学期期末质量监测数学试题

鸡西市2023～2024学年度第二学期高一期末质量监测考试试卷 数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法与加法运算计算即可. 【详解】因为 所以. 故选：A 2. 已知某正四棱锥的高为3，体积为64，则该正四棱锥的底面边长为（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据正四棱锥的体积公式计算即可. 【详解】解：设正四棱锥的底面边长为， 故正四棱锥的体积为，解得， 故该正四棱锥的底面边长为. 故选：B 3. 某型号新能源汽车参加碰撞测试和续航测试，该型号新能源汽车参加这两项测试的结果相互独立.若该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，在续航测试中结果为优秀的概率为，则该型号新能源汽车在这两项测试中至少有1次测试结果为优秀的概率为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先计算这两项测试中都不优秀概率，再根据对立事件的概率求解即可. 【详解】根据题意，碰撞测试不优秀的概率， 续航测试不优秀的概率， 因为两项测试结果相互独立， 所以该型号新能源汽车在这两项测试中都不优秀的概率为， 所以该型号新能源汽车在这两项测试中至少有1次测试结果为优秀的概率为. 故选：C 4. 已知，，是非零向量，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合向量的数量积的性质和运算律判断. 【详解】充分性：由题意知，，为非零向量，当时，可得，故充分性满足； 必要性：当，解得或，故必要性不满足， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确. 故选：A. 5. 已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量定义以及向量数量积定义计算可得结果. 【详解】易知 所以在上的投影向量为. 故选：D 6. 已知三棱锥中，，，，E，F分别是PA，BC的中点，则EF与AB所成的角大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设为的中点，中为与所成的角，代入数据求值即可. 【详解】取的中点，连接，，如图， 又为的中点，所以，， 同理可得，， 又，所以，则为与所成的角， 中，，所以与所成的角为. 故选：A. 7. 如图，某区域地面有四个5G基站，分别为，，，.已知，两个基站建在河的南岸，距离为，基站，在河的北岸，测得，，，，则，两个基站的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过和分别用正弦定理求出、的长度，再在中用余弦定理求出的长度. 【详解】在中，， 由正弦定理，即，得 km. 在中，，，故， 由正弦定理，即，得 km. 在中，由余弦定理， 代入得，故 km. 故选：A 8. 如图，在长方体中，，E，F分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AEF，则动点P的轨迹长度为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用面面平行得到轨迹的长度求解即可. 【详解】取的中点，的中点，连接，，， 根据正方体的结构特征，易得，， 因为平面，平面， 故平面，同理平面， 又，，平面， 所以平面平面，又平面，且面， 所以平面，即点在平面与平面的交线上， 由题知，所以动点的轨迹长度为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”，为备战2024年巴黎奥运会，运动员们都在积极参加集训.已知某射击运动员在一次集训中7次射击的分数分别为：，，，，，，，则这组数据的（ ） A. 平均数为9 B. 众数为9 C. 第70百分位数为10 D. 方差为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平均数、众数、百分位数、方差定义逐项计算即可判断得出答案. 【详解】对于A，易知平均数为，即A正确； 对于B，7次射击的分数中9出现了3次，出现次数最多，所以众数为9，即B正确； 对于C，将本组数据从小到大重新排列为， 又，因此第70百分位数为第五个数据9，所以C错误； 对于D，易知方差为， 因此D正确. 故选：ABD 10. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用直线与平面的位置关系及其相关定理逐项判定． 【详解】对于A：由线面垂直的判定定理可知，A选项正确． 对于B：当，，时，，有可能异面，故B错误； 对于C：由线面平行的性质定理可知，C选项正确； 对于D：当，时，或，故D错误. 故选：AC． 11. 已知的内角，，的对边分别为，，，，，，点为的外接圆圆心，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】设的外接圆半径为，根据余弦定理求解判断AB； 根据投影向量与数量积的关系判断C；结合，建立的方程求解判断D. 【详解】对于A，由余弦定理得，又，故，A选项错误； 对于B，设的外接圆半径为，由于点为的外接圆圆心， 故， ， ， 所以，B选项正确； 对于C选项，由于， 由向量数量积的几何意义得： 在上的投影向量为， ， 同理， 故，故C选项正确； 对于D，因为， 由于， 即， 由于， 即 所以，解得，. 所以，故D 选项错误； 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的乘方运算及乘法运算求出，进而求出. 【详解】复数，所以. 故答案为： 13. 设，向量，，且，则____________；当时，的取值范围为____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程求得，进而可得空1答案；利用平方的方法，结合二次函数的性质求得的取值范围. 【详解】空1：因为，所以，即，得； 空2：由题知，又， 所以当时，取得最小值，最小值为12， 当时，取得最大值，最大值为28， 故的取值范围为． 故答案为：；. 14. 已知正三棱柱的棱长均为2，点M是棱上（不含端点）的一个动点，若点M，A，，C均在球O的球面上，则球O体积的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】取中点，中点，连接并延长交正方形的外接圆于， 易得平面平面，当最大时球直径最小，求解即可. 【详解】由题意，三棱锥外接球球即四棱锥的外接球， 取中点，中点，连接并延长交正方形的外接圆于， 则， 因为正三棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 又，是中点，，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 根据外接球的性质有外接球的球心在平面中，且为的外接圆圆心， 由对称性，可得当在中点时，最大，此时球直径最小， 此时， 故球的直径，所以， 此时外接球体积. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数（是虚数单位），. （1）若是纯虚数，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合纯虚数的定义，通过复数化简后的实部和虚部建立方程与不等式求解； （2）根据复平面第四象限点的坐标特征，列不等式组求解取值范围. 【小问1详解】 ， 若是纯虚数，则实部为0且虚部不为0，即 且 ，解得. 【小问2详解】 若在复平面内对应的点位于第四象限，则实部大于0且虚部小于0， 即 ，，解得，即. 16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，的外接圆半径为，. （1）求； （2）已知，是边的中点，且，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换整理可得，所以； （2）根据（1）中结论以及等面积法可得，再由余弦定理列方程计算求出各边长，利用勾股定理可得. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 所以由可得， 又因为，所以， 因此可得，即， 又，所以， 因此，又, 可得； 【小问2详解】 如下图所示： 由（1）中以及，可得， 因为是边的中点，所以， 即，可得， 由余弦定理可得 又已知，所以， 所以， 可得 即的长为. 17. 增强青少年体质，促进青少年健康成长，是关系国家和民族未来的大事.某高中为了解本校高一年级学生体育锻炼情况，随机抽取每天体育锻炼时间在（单位：分钟）的50名学生，统计他们每天体育锻炼的时间作为样本并绘制成如下的频率分布直方图，已知样本中体育锻炼时间在的有5名学生. （1）求，的值； （2）估计这50名学生每天体育锻炼时间的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （3）若从样本中体育锻炼时间在及的学生中用分层抽样的方法随机抽取6人，再从抽取的6人中随机抽取2人，求2人中恰有1人的体育锻炼时间在的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的频率与人数关系及面积和为求解、； （2）通过每组中点值与频率乘积求和估计平均值； （3）通过列举法列出所有抽取情况和符合条件的情况，进而计算概率. 【小问1详解】 由样本中体育锻炼时间在的有5名学生，得该区间频率为， 因组距为10，故，由频率分布直方图所有矩形面积和为1， 得，解得. 【小问2详解】 各区间中点值及对应频率分别为： ：中点25，频率； 中点35，频率；中点45，频率； 中点55，频率；中点65，频率； 中点75，频率. 平均值为. 【小问3详解】 的学生人数为，的学生人数为5. 分层抽样抽取6人，从抽取人，记为、、、； 从抽取人，记为、， 从6人中随机抽取2人的所有可能情况为： 、、、、 、 、、、、 、、、 、、 ，共15种. 其中恰有1人的体育锻炼时间在的情况为： 、、、、 、、、 ，共8种，故所求概率为. 18. 如图，正方形的边长为6，E是的中点，F是边上靠近点B的三等分点，与交于点M． （1）求值； （2）已知点P是正方形四条边上的动点，若，求的长度． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）建立适当的平面直角坐标系，求出的坐标，由向量坐标的数量积公式即可求解； （2）首先由，，得出点满足的两条直线方程，联立得的坐标，进一步由，对分类讨论即可求出它的位置，由向量模的坐标公式即可求解. 【小问1详解】 如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系． 则，，，， 所以，， 所以． 【小问2详解】 设， 所以， 因为， 所以， 所以． 因为，，， 所以，所以， 所以，所以，，所以． 由题得，又，由图易知，点P在线段上或线段， ①若P在上，设，，，，则， 解得， 所以，． ②若P在上，设，，，，则， 解得， 所以，． 综上，的长度为或． 19. 如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中点. （1）求证：平面MAC； （2）求二面角的余弦值； （3）在棱PC上是否存在点Q使平面平面MAC成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据线线平行证明线面平行； （2）根据二面角的定义找出二面角的平面角，解三角形得解； （3）假设存在，利用面面垂直的判定定理证明即可. 【小问1详解】 设，交于点，连接，则为中点. 在中，，分别为，中点，所以. 因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接. 因为平面平面，平面平面， 所以平面. 因为平面，所以. 又，，，平面. 所以平面. 因为平面，所以， 则即为平面与底面所成二面角的平面角. 设，则，，故， 所以， 即二面角的余弦值为. 【小问3详解】 存在点，当时，平面平面. 证明如下： 如图，取中点，连接交于点，连接， 因为是正三角形，所以. 因为平面平面，平面平面， 所以平面. 因为，所以，所以平面. 因为平面，所以. 因为底面是正方形，所以. 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 所以棱上点存点，当时，平面平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鸡西市2023～2024学年度第二学期高一期末质量监测考试试卷 数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知某正四棱锥的高为3，体积为64，则该正四棱锥的底面边长为（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 4 3. 某型号新能源汽车参加碰撞测试和续航测试，该型号新能源汽车参加这两项测试的结果相互独立.若该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，在续航测试中结果为优秀的概率为，则该型号新能源汽车在这两项测试中至少有1次测试结果为优秀的概率为（ ） A B. C. D. 4. 已知，，是非零向量，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知三棱锥中，，，，E，F分别是PA，BC的中点，则EF与AB所成的角大小为（ ） A B. C. D. 7. 如图，某区域地面有四个5G基站，分别为，，，.已知，两个基站建在河的南岸，距离为，基站，在河的北岸，测得，，，，则，两个基站的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在长方体中，，E，F分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AEF，则动点P的轨迹长度为（ ） A. 2 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”，为备战2024年巴黎奥运会，运动员们都在积极参加集训.已知某射击运动员在一次集训中7次射击的分数分别为：，，，，，，，则这组数据的（ ） A. 平均数为9 B. 众数为9 C. 第70百分位数为10 D. 方差为 10. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 11. 已知内角，，的对边分别为，，，，，，点为的外接圆圆心，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数，则______. 13. 设，向量，，且，则____________；当时，的取值范围为____________． 14. 已知正三棱柱的棱长均为2，点M是棱上（不含端点）的一个动点，若点M，A，，C均在球O的球面上，则球O体积的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数（是虚数单位），. （1）若是纯虚数，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围. 16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，的外接圆半径为，. （1）求； （2）已知，是边的中点，且，求的长. 17. 增强青少年体质，促进青少年健康成长，是关系国家和民族未来的大事.某高中为了解本校高一年级学生体育锻炼情况，随机抽取每天体育锻炼时间在（单位：分钟）的50名学生，统计他们每天体育锻炼的时间作为样本并绘制成如下的频率分布直方图，已知样本中体育锻炼时间在的有5名学生. （1）求，的值； （2）估计这50名学生每天体育锻炼时间的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （3）若从样本中体育锻炼时间在及的学生中用分层抽样的方法随机抽取6人，再从抽取的6人中随机抽取2人，求2人中恰有1人的体育锻炼时间在的概率. 18. 如图，正方形的边长为6，E是的中点，F是边上靠近点B的三等分点，与交于点M． （1）求的值； （2）已知点P是正方形四条边上的动点，若，求的长度． 19. 如图，四棱锥底面ABCD是正方形，是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中点. （1）求证：平面MAC； （2）求二面角的余弦值； （3）在棱PC上是否存在点Q使平面平面MAC成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $