考点02 平行四边形（专项训练）数学新教材浙教版八年级下册

**基本信息** 本专项以平行四边形概念为起点，构建“性质-判定-应用”逻辑链条，通过六类题型系统提炼边、角、对角线关系的解题方法，强化推理能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点（4个）|概念/性质/距离/判定|定义辨析+性质推导（全等证明）|概念→性质（边/角/对角线）→判定定理→平行线间距离| |题型（6类）|约30道例题|性质应用（边/角/对角线关系）、判定（边/角/对角线判定）、综合（构造全等/面积转化）|性质应用→判定证明→距离计算→综合运用（结合坐标系/动态问题）|

02 平行四边形 考点一：平行四边形的概念 1、平行四边形的概念： 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。用符号“▱”来表示。平行四边形ABCD表示为“▱ABCD”。 考点二：平行四边形的性质 1、平行四边形的性质： ①边的性质：平行四边形的两组对边分别平行且相等（平行由定义证明，相等由连接对角线证明全等可得）。 ②角的性质：平行四边形的邻角互补，对角相等。（由平行与邻角转换可得） ③对角线的性质：平行四边形的对角线相互平分（连接两条对角线证明全等可得）。 ④平行四边形的面积计算：等于底×高。 ⑤平行四边形的对称性：是一个中心对称图形。 ⑥过对角线交点的直线把平行四边形分成两个全等的图形。直线与对边的交点到对角线的交点的距离相等。 考点三：平行线间的距离 1、平行线间的距离的定义： 一组平行线中，其中一条平行线上任意一点到另一条平行线的距离是这一组平行间的距离。 2、平行线间的距离的性质： ①两条平行线间的距离处处相等。 ②平行线间的平行线段相等。 考点四：平行四边形的判定 1、平行四边形的判定： 如图：判定四边形ABCD是平行四边形： ①利用边判定： I：利用一组对边判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 符号语言：若ABCD或ADBC 则四边形ABCD是平行四边形 II：利用两组对边判定：两组对边分别平行或分别相等的四边形是平行四边形。 符号语言：若AB∥CD，AD∥BC或AB＝CD，AD＝BC 则四边形ABCD是平行四边形 ②利用角判定： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 符号语言：若∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD 则四边形ABCD是平行四边形 ③利用对角线判定： 对角线相互平分的四边形是平行四边形。 符号语言：若OA＝OC，OB＝OD 则四边形ABCD是平行四边形 题型一：利用平行四边形的性质求解 1. 边的关系：平行四边形的两组对边分别平行且相等，即 ，，，。 2. 角的关系：平行四边形的对角相等，邻角互补，即，，。 3. 对角线的关系：平行四边形的对角线互相平分，即 ，。 4. 面积公式：平行四边形面积等于底乘高。 5. 对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心。 1. 混淆平行四边形对角线与矩形、菱形对角线的性质（如误认为对角线相等）。 2. 运用邻角互补时，忽略内错角、同位角等平行线性质的辅助使用。 3. 计算面积时，误将边长当作高，未正确作出高线。 4. 在复杂图形中，无法有效利用对角线互相平分的性质进行线段转换。 1．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，在中，，在上取点，使，连接，过点作交，分别于点，．已知，，，当，发生变化时，代数式值不变的是(   ) A． B． C． D． 2．（21-22九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在中，平分，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，在中，，，，点E、F分别在线段、上，且，连接，若平分，则的长为 ______ 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，将沿对角线翻折后，点落到点处，，垂足为点，，则_________________ ． 5．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期中）已知，直线，直线，点，过点作轴交直线于点，若点为直线上一点，点为直线上一点，当以点为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为___________． 题型二：利用平行四边形的性质证明 1. 找边关系：利用对边平行且相等，证明线段相等或平行。 2. 找角关系：利用对角相等、邻角互补，结合三角形内角和定理证明角相等。 3. 找对角线关系：利用对角线互相平分，证明线段相等或构造全等三角形。 4. 构造全等：结合平行四边形性质，通过SAS、ASA、AAS等判定定理证明三角形全等。 5. 结论转化：将需证结论转化为全等三角形的对应边或对应角相等。 1. 证明过程中未明确平行四边形性质的应用依据，跳步推导。 2. 全等三角形判定时，找错对应边或对应角。 3. 忽略平行线带来的同位角、内错角相等这一隐含条件。 4. 辅助线添加不当，导致无法有效利用平行四边形性质。 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江温州·二模）如图，在中，点，分别在边，上，且，连接，，，垂足分别为，．求证：． 3．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，对角线交于点，已知分别为的中点，连接．求证：． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，是对角线，作 于点E， 于点F，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形、 (2)若，，，求的长． 5．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，的对角线，相交于点O，点E、F在AC上，且．求证：    (1)． (2)． 题型三：平行线之间的距离 1. 距离定义：从一条平行线上任意一点向另一条平行线作垂线段，该垂线段的长度即为平行线间的距离。 2. 距离性质：平行线间的距离处处相等。 3. 平行线段相等：夹在两条平行线间的平行线段相等。 4. 面积转化：利用同底等高或等底等高的三角形面积相等，进行面积计算与转化。 5. 综合应用：结合勾股定理、全等三角形等知识，求解与距离相关的几何问题。 1. 混淆“平行线间距离”与“点到直线的距离”的概念。 2. 忽略平行线间的距离处处相等的性质，导致线段长度判断错误。 3. 在复杂图形中，无法正确识别出哪两条线是平行线。 4. 利用面积转化时，未正确找到同底等高的三角形。 1．（22-23九年级下·浙江绍兴·自主招生）如图，在四边形中，，对角线，交于点，点为线段上的点，且，已知，的面积分别为18和21，则的面积是（　　） A．36 B．48 C．82 D．84 2．（22-23八年级下·浙江金华·阶段检测）如图，，为，平分线的交点，交于，且，则与之间的距离等于________． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）在同一平面内，设a，b，c是三条互相平行的直线，若a与b的距离为3，a与c的距离为4，则b与c是距离为___________． 4．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，，，直线、、分别通过、、三点，且 若与的距离为，与的距离为，则的面积为__________． 5．（22-23八年级下·浙江湖州·期中）如图，直线，点C在上．若，的面积为27，的面积为18，则______．    题型四：平行四边形的判定条件 1. 边判定： · 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 · 两组对边分别平行或分别相等的四边形是平行四边形。 2. 角判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 3. 对角线判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 4. 选择策略：根据题目条件选择最合适的判定定理，通常优先考虑边或对角线判定。 5. 排除法：排除等腰梯形等反例，确认四边形为平行四边形。 1. 将“一组对边平行，另一组对边相等”误判为平行四边形的判定（可能为等腰梯形）。 2. 对角线互相平分误记为对角线相等。 3. 只满足一组对边平行或只满足一组对边相等时，错误判定为平行四边形。 4. 在坐标系或网格中，忽略点的位置关系，导致判定错误。 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）四边形的对角线与相交于点，下列四组条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B．， C．， D．， 2．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）四边形中，对角线与交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．∥，∥ C．， D．∥， 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，四边形的对角线交于点，下列不能判定四边形为平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，下列结论中不能说明是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应增加的条件是（    ） A． B． C． D． 题型五：平行四边形的判定与运用 1. 判定选择：根据已知条件，选择边、角或对角线判定方法。 2. 构造辅助线：连接对角线或作平行线，构造全等三角形或平行四边形。 3. 性质转化：先证明四边形为平行四边形，再运用其性质求解线段或角度。 4. 综合运用：结合勾股定理、全等三角形、等腰三角形等知识综合解题。 5. 多解讨论：注意分类讨论，如点的位置不同可能导致多种情况。 1. 先运用平行四边形性质再判定，混淆因果顺序。 2. 辅助线添加后，未证明新构造的四边形的边或角关系。 3. 坐标系中求点坐标时，忽略平行四边形的多种可能位置。 4. 分类讨论不全面，遗漏某些符合条件的图形。 1．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，在锐角三角形中，，是边上的中线，以点为圆心，长为半径在的右侧作弧，延长交此弧于点，连接，．四边形是平行四边形的依据是（    ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 2．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）如图，E，F，G，H分别是的边上的点，且， (1)图中有几对全等三角形？把它们写出来． (2)求证：四边形是平行四边形． 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于原点成中心对称的； (2)在x轴上找一点D，使四边形是平行四边形，画出并写出D的坐标． 4．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，在中，点是边的中点，连接并延长，与的延长线交于． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的周长． 5．（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，四边形是平行四边形，，是对角线上的两点且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的度数． 题型六：综合运用平行四边形的性质与判定 1. 识图析图：分析图形结构，标出已知条件和隐含条件（中点、平行、相等）。 2. 多步推理：先判定平行四边形，再运用性质；或先运用性质，再判定新平行四边形。 3. 面积转换：利用平行四边形对角线平分面积、同底等高三角形面积相等等技巧。 4. 构造模型：遇到中点时，考虑构造中位线；遇到平行时，考虑平移或构造平行四边形。 5. 分类讨论：当点的位置不确定时，按点的不同位置分类讨论求解。 1. 综合题中推理链条过长，遗漏中间结论。 2. 面积转化时，无法正确找到面积相等的图形。 3. 动态问题中，忽略运动过程中图形形状的变化。 4. 辅助线添加不当，使问题复杂化。 1．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在矩形中，是矩形内一点，设，，，的面积分别表示为，，，，要求出的值，只需知道（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，以的三边为边分别作等边，等边，等边，其中，则以下结论：①；②；③四边形的面积是的2倍．其中正确的结论是___________． 3．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在的方格中，请按以下要求画图： (1)将线段绕点顺时针旋转，画对应线段． (2)以为边画一个格点（顶点均在格点上的四边形），使所在的直线能平分的面积． 4．（24-25八年级下·浙江·期末）如图（1）所示是某校篮球架实物图，如图（2）所示是篮球架的侧面示意图，篮板边侧垂直于地面．八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板高度的实践活动．在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图（3）所示，小组成员将竹竿垂直固定在地面上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线与竹竿的夹角的度数为，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线与竹竿的夹角的度数恰好等于的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量的长度为．活动分享时，小明说：“的长度就是篮板的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由． 5．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．按下列要求作图： (1)在图中，将绕点按逆时针方向旋转，得到． (2)在图中，找出所有符合条件的点，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形． 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，在中，点E是其对角线上的一点，，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，对角线和交于点，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与交于点，若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，点E，点F分别是的中点，连接，若平分，，则四边形的周长为______． 6．（20-21八年级下·浙江杭州·阶段检测）一个中，为斜边的中点，E为直角边上的一点，连接，将沿折叠至，交于点F，若是面积的一半，则______． 7．（23-24八年级下·浙江温州·期中）图1的放缩尺是利用“平行四边形的不稳定性”来进行绘图的工具，它由四把直尺用螺栓在点A，B，C，D处连接而成．在绘图过程中，O的位置固定不变，O，A，E始终位于同一水平面，且，．当由（如图2）缩小为（如图3）时，O，E两点的距离减小了，则点C的竖直高度上升了______． 8．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在四边形中，，，，点，分别从，同时出发，点以的速度沿射线运动，点以的速度由点向点运动，当点运动到点时，两点均停止运动，设运动时间为，当__________时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 9．（2026·浙江嘉兴·二模）如图，由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点，，均在格点上，请按要求完成下列问题． (1)如图1，在格点上找一点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形． (2)如图2，在格点上找一点，使得． 10．（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别是，，． (1)画出绕点C顺时针旋转所得的此时点坐标为__________． (2)以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，此时点D坐标为__________________． 11．（25-26八年级下·浙江台州·期中）在平行四边形中，已知，，的面积为，将线段绕点旋转一周，点的对应点为． (1)如图1，当恰好落在上时，过点作的平分线交于点，连接．求证：四边形为平行四边形． (2)如图2，当旋转角为时，连接，并延长交于点．求线段的长． (3)连接及，当为直角三角形时，求的长度（直接写出答案）． 12．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）求解下列各题： (1)问题：如图1，在平行四边形中，，，，的平分线、分别与直线交于点、，求的长． (2)探究： ①把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变．如图2，当点与点重合时，的长为______． ②把“问题”中的条件“，”去掉，其余条件不变，当点，，，相邻两点间的距离相等时，请画出图形并直接写出相应图形下的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 02 平行四边形 考点一：平行四边形的概念 1、平行四边形的概念： 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。用符号“▱”来表示。平行四边形ABCD表示为“▱ABCD”。 考点二：平行四边形的性质 1、平行四边形的性质： ①边的性质：平行四边形的两组对边分别平行且相等（平行由定义证明，相等由连接对角线证明全等可得）。 ②角的性质：平行四边形的邻角互补，对角相等。（由平行与邻角转换可得） ③对角线的性质：平行四边形的对角线相互平分（连接两条对角线证明全等可得）。 ④平行四边形的面积计算：等于底×高。 ⑤平行四边形的对称性：是一个中心对称图形。 ⑥过对角线交点的直线把平行四边形分成两个全等的图形。直线与对边的交点到对角线的交点的距离相等。 考点三：平行线间的距离 1、平行线间的距离的定义： 一组平行线中，其中一条平行线上任意一点到另一条平行线的距离是这一组平行间的距离。 2、平行线间的距离的性质： ①两条平行线间的距离处处相等。 ②平行线间的平行线段相等。 考点四：平行四边形的判定 1、平行四边形的判定： 如图：判定四边形ABCD是平行四边形： ①利用边判定： I：利用一组对边判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 符号语言：若ABCD或ADBC 则四边形ABCD是平行四边形 II：利用两组对边判定：两组对边分别平行或分别相等的四边形是平行四边形。 符号语言：若AB∥CD，AD∥BC或AB＝CD，AD＝BC 则四边形ABCD是平行四边形 ②利用角判定： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 符号语言：若∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD 则四边形ABCD是平行四边形 ③利用对角线判定： 对角线相互平分的四边形是平行四边形。 符号语言：若OA＝OC，OB＝OD 则四边形ABCD是平行四边形 题型一：利用平行四边形的性质求解 1. 边的关系：平行四边形的两组对边分别平行且相等，即 ，，，。 2. 角的关系：平行四边形的对角相等，邻角互补，即，，。 3. 对角线的关系：平行四边形的对角线互相平分，即 ，。 4. 面积公式：平行四边形面积等于底乘高。 5. 对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心。 1. 混淆平行四边形对角线与矩形、菱形对角线的性质（如误认为对角线相等）。 2. 运用邻角互补时，忽略内错角、同位角等平行线性质的辅助使用。 3. 计算面积时，误将边长当作高，未正确作出高线。 4. 在复杂图形中，无法有效利用对角线互相平分的性质进行线段转换。 1．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，在中，，在上取点，使，连接，过点作交，分别于点，．已知，，，当，发生变化时，代数式值不变的是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，由平行四边形的性质得，；由等腰三角形的性质及三角形内角和得，从而；在上取点G，连接，使，则，故有；再由得，得，即，从而确定答案． 【详解】解：设，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴； ∵， ∴， ∴； 在上取点G，连接，使， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 即； 故当，发生变化时，代数式的值不变； 2．（21-22九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在中，平分，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行四边形的性质可得，又根据角平分线的定义可得，最后利用平行四边形的性质求出即可. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分， ∴， ∵平行四边形中， ∴. 3．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，在中，，，，点E、F分别在线段、上，且，连接，若平分，则的长为 ______ 【答案】 【分析】过点B作交于H点，过点B作，交的延长线于G，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质可知，，根据勾股定理可知，，再由线段的和差关系可知，即可求解． 【详解】 解：过点B作于H点，过B作，交的延长线于G， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴，， ∵，， ∴， 即， ∴, ∴， ∵， ∴中， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，将沿对角线翻折后，点落到点处，，垂足为点，，则_________________ ． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质求出，，根据折叠的性质求出，则，根据勾股定理求出，利用证明，根据全等三角形的性质求出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， 根据折叠的性质可得，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 5．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期中）已知，直线，直线，点，过点作轴交直线于点，若点为直线上一点，点为直线上一点，当以点为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为___________． 【答案】或或 【分析】求解，，当为边时，则，当为对角线时，再进一步利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵点，过点作轴交直线于点， ∴， ∴，， 当为边时，则，如图， 设，则， ∴， 解得：或， ∴或， 如图，当为对角线时， 设，则， ∴， 解得：， ∴， 综上：或或． 题型二：利用平行四边形的性质证明 1. 找边关系：利用对边平行且相等，证明线段相等或平行。 2. 找角关系：利用对角相等、邻角互补，结合三角形内角和定理证明角相等。 3. 找对角线关系：利用对角线互相平分，证明线段相等或构造全等三角形。 4. 构造全等：结合平行四边形性质，通过SAS、ASA、AAS等判定定理证明三角形全等。 5. 结论转化：将需证结论转化为全等三角形的对应边或对应角相等。 1. 证明过程中未明确平行四边形性质的应用依据，跳步推导。 2. 全等三角形判定时，找错对应边或对应角。 3. 忽略平行线带来的同位角、内错角相等这一隐含条件。 4. 辅助线添加不当，导致无法有效利用平行四边形性质。 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握：平行四边形的对边互相平行且相等，对角相等，对角线互相平分．据此依次对各选项进行分析即可作出判断． 【详解】解：A．当四边形是平行四边形时，不能得出，故此选项不符合题意； B．∵四边形是平行四边形，对角线，交于点， ∴，故此选项符合题意； C．当四边形是平行四边形时，不能得出，故此选项不符合题意； D．当四边形是平行四边形时，不能得出，故此选选项不符合题意． 故选：B． 2．（2026·浙江温州·二模）如图，在中，点，分别在边，上，且，连接，，，垂足分别为，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由平行四边形的性质可得，，则，结合可得．由，可得，进而可证明，则，因此． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即． 3．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，对角线交于点，已知分别为的中点，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】由平行四边形的性质得到，，则可证明，得到，据此证明，即可得到． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，是对角线，作 于点E， 于点F，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形、 (2)若，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用； （1）先证明，，， ，可得，从而可得结论； （2）先证明， ，结合， 可得， 设 ，则有，再进一步求解即可. 【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形， ∴，， ∴， ∵于点 E，于点 F， ∴， ∴， 在和中，， ，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 设 ，则有， ∴， ∴， ∵， ∴. 5．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，的对角线，相交于点O，点E、F在AC上，且．求证：    (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由可证，可得； （2）由全等三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明∶∵， ∴， ∴． 题型三：平行线之间的距离 1. 距离定义：从一条平行线上任意一点向另一条平行线作垂线段，该垂线段的长度即为平行线间的距离。 2. 距离性质：平行线间的距离处处相等。 3. 平行线段相等：夹在两条平行线间的平行线段相等。 4. 面积转化：利用同底等高或等底等高的三角形面积相等，进行面积计算与转化。 5. 综合应用：结合勾股定理、全等三角形等知识，求解与距离相关的几何问题。 1. 混淆“平行线间距离”与“点到直线的距离”的概念。 2. 忽略平行线间的距离处处相等的性质，导致线段长度判断错误。 3. 在复杂图形中，无法正确识别出哪两条线是平行线。 4. 利用面积转化时，未正确找到同底等高的三角形。 1．（22-23九年级下·浙江绍兴·自主招生）如图，在四边形中，，对角线，交于点，点为线段上的点，且，已知，的面积分别为18和21，则的面积是（　　） A．36 B．48 C．82 D．84 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线间的距离，根据，可得，从而得到，，进而得到，再由，可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 2．（22-23八年级下·浙江金华·阶段检测）如图，，为，平分线的交点，交于，且，则与之间的距离等于________． 【答案】 【分析】过点作，则就是与之间的距离，然后根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴就是与之间的距离． ∵为，平分线的交点，交于， ∴ ∴与之间的距离． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）在同一平面内，设a，b，c是三条互相平行的直线，若a与b的距离为3，a与c的距离为4，则b与c是距离为___________． 【答案】1或7 【分析】本题考查平行线之间的距离，解题的关键是理解：从一条平行线上的任意一点向另外一条平行线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．平行线间的距离处处相等． 因为直线c的位置不明确，所以分直线a和c在直线b同侧和异侧两种情况讨论． 【详解】解：①当直线a和c在直线b的两侧时，如图， ∵a与b的距离为3，a与c的距离为4， ∴b与之间的距离为：； ②当a和c在b的同侧时，如图， ∵a与b的距离为3，a与c的距离为4， ∴a与c之间的距离为：； 综上，b与c之间的距离为1或7， 故答案为：1或7． 4．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，，，直线、、分别通过、、三点，且 若与的距离为，与的距离为，则的面积为__________． 【答案】 【分析】先过点作，交于，交于，由于，，易知，那么，，而，可得，根据同角的余角相等可得，根据可证，于是，，在中利用勾股定理可求，进而可求的面积． 【详解】过点作，交于，交于，如图， ，， ， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行线之间的距离，作辅助线，构造全等三角形，并证明是解题的关键． 5．（22-23八年级下·浙江湖州·期中）如图，直线，点C在上．若，的面积为27，的面积为18，则______．    【答案】6 【分析】过点A作于点M，过点C作于点N，先根据三角形的面积公式求出，则，最后根据三角形面积公式求出即可． 【详解】解：过点A作于点M，过点C作于点N， ∵，的面积为27， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∵的面积为18， ∴， 解得：， 故答案为：6．    【点睛】本题主要考查了平行线的间的距离处处相等，解题的关键是熟练掌握平行线间距离处处相等． 题型四：平行四边形的判定条件 1. 边判定： · 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 · 两组对边分别平行或分别相等的四边形是平行四边形。 2. 角判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 3. 对角线判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 4. 选择策略：根据题目条件选择最合适的判定定理，通常优先考虑边或对角线判定。 5. 排除法：排除等腰梯形等反例，确认四边形为平行四边形。 1. 将“一组对边平行，另一组对边相等”误判为平行四边形的判定（可能为等腰梯形）。 2. 对角线互相平分误记为对角线相等。 3. 只满足一组对边平行或只满足一组对边相等时，错误判定为平行四边形。 4. 在坐标系或网格中，忽略点的位置关系，导致判定错误。 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）四边形的对角线与相交于点，下列四组条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：对于选项C： ∵，，， ∴． ∴． 同理可得． ∴四边形为平行四边形． 选项A、B、D均不符合平行四边形的判定条件． 2．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）四边形中，对角线与交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．∥，∥ C．， D．∥， 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案． 【详解】解：、，， 四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； B、，， 四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； C、，， 四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； D、，， 四边形是平行四边形或等腰梯形．故不能判定这个四边形是平行四边形． 故选：D． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，四边形的对角线交于点，下列不能判定四边形为平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理依次对各个选项进行判定即可．本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：A、若，，能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； B、若，，能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； C、∵，∴， ∵，∴， ∴，∴四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； D、若，，不能判定四边形为平行四边形，故本选项符合题意； 故选：D 4．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，下列结论中不能说明是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别根据平行四边形的判定定理逐个证明即可． 【详解】解：当时，四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，所以A符合题意； 当时，四边形是平行四边形，所以B不符合题意； 当时，四边形是平行四边形，所以C不符合题意； 当时，可得，由，可知，可得，则四边形是平行四边形，所以D不符合题意． 5．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应增加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判方法逐项分析即可． 【详解】解：A．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故A正确； B．添加不能证明四边形为平行四边形，故B不正确； C．添加不能证明四边形为平行四边形，故C不正确； D．添加不能证明四边形为平行四边形，故D不正确； 故选：A． 题型五：平行四边形的判定与运用 1. 判定选择：根据已知条件，选择边、角或对角线判定方法。 2. 构造辅助线：连接对角线或作平行线，构造全等三角形或平行四边形。 3. 性质转化：先证明四边形为平行四边形，再运用其性质求解线段或角度。 4. 综合运用：结合勾股定理、全等三角形、等腰三角形等知识综合解题。 5. 多解讨论：注意分类讨论，如点的位置不同可能导致多种情况。 1. 先运用平行四边形性质再判定，混淆因果顺序。 2. 辅助线添加后，未证明新构造的四边形的边或角关系。 3. 坐标系中求点坐标时，忽略平行四边形的多种可能位置。 4. 分类讨论不全面，遗漏某些符合条件的图形。 1．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，在锐角三角形中，，是边上的中线，以点为圆心，长为半径在的右侧作弧，延长交此弧于点，连接，．四边形是平行四边形的依据是（    ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【详解】解：∵在锐角三角形中，是边上的中线 ∴ 由作图得， ∴四边形是平行四边形，依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形． 2．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）如图，E，F，G，H分别是的边上的点，且， (1)图中有几对全等三角形？把它们写出来． (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)2对全等三角形，， (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质结合证明即可； （2）根据全等三角形的对应边相等结合平行四边形的判定证明即可． 【详解】（1）解：2对全等三角形，， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， （2）证明：∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于原点成中心对称的； (2)在x轴上找一点D，使四边形是平行四边形，画出并写出D的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】（1）根据中心对称的定义作图即可； （2）根据平行四边形的判定方法作图，根据平面直角坐标系即可得到D的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点D即为所求，可知 证明：由图可知，， ∴四边形是平行四边形． 4．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，在中，点是边的中点，连接并延长，与的延长线交于． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）此题根据平行四边形的性质得到，由此得到内错角相等：，再结合中点条件，可证, 由全等三角形的性质可得，又因为，再根据平行四边形的判定定理：可证是平行四边形． （2）此题根据角平分线的定义可知，又因为，所以，由等腰三角形的判定定理：是等腰三角形，所以，再根据平行四边形的性质：，进而计算出平行四边形的周长． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，即 ． 点E是的中点， ． 在和中 ， ． 又 四边形是平行四边形． （2）解：四边形和四边形都是平行四边形， ， 平分， ， ， ， ，， ，， ， 的周长为24． 5．（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，四边形是平行四边形，，是对角线上的两点且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先证明，得出，，再由平行线的判定可得，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证得结论； （2）根据平行四边形的性质得到，，根据平行线的性质得到，，求得，根据平行四边形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ∵ ∴，即 在和中， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， 四边形是平行四边形，， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ． 题型六：综合运用平行四边形的性质与判定 1. 识图析图：分析图形结构，标出已知条件和隐含条件（中点、平行、相等）。 2. 多步推理：先判定平行四边形，再运用性质；或先运用性质，再判定新平行四边形。 3. 面积转换：利用平行四边形对角线平分面积、同底等高三角形面积相等等技巧。 4. 构造模型：遇到中点时，考虑构造中位线；遇到平行时，考虑平移或构造平行四边形。 5. 分类讨论：当点的位置不确定时，按点的不同位置分类讨论求解。 1. 综合题中推理链条过长，遗漏中间结论。 2. 面积转化时，无法正确找到面积相等的图形。 3. 动态问题中，忽略运动过程中图形形状的变化。 4. 辅助线添加不当，使问题复杂化。 1．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在矩形中，是矩形内一点，设，，，的面积分别表示为，，，，要求出的值，只需知道（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形的面积与平行四边形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作，，作交于点，交于点，先证明四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，通过，，，，得到，同理可证，即，从而推出答案． 【详解】过点作，，作交于点，交于点，如图所示： 四边形是矩形 ，， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形 ，， ， ， 即 同理可证 故选：B． 2．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，以的三边为边分别作等边，等边，等边，其中，则以下结论：①；②；③四边形的面积是的2倍．其中正确的结论是___________． 【答案】①② 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键．连接，证明．同理可证，则；即可判断①正确；证明四边形是平行四边形．则，即可判断②；若四边形的面积是的2倍．则，证明三点共线，即，但没法证明，即可判断③． 【详解】解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴． 同理可证，， ∴， 故①正确； 连接， ∵， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∴； 故②正确； 若四边形的面积是的2倍．则， ∵， ∴， ∴， 设的边上的高为，的边上的高为， ∵， ∴， 即点和点到的距离相等， ∴， ∵， ∴三点共线，即， 但没法证明， 故③错误， 故答案为：①②． 3．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在的方格中，请按以下要求画图： (1)将线段绕点顺时针旋转，画对应线段． (2)以为边画一个格点（顶点均在格点上的四边形），使所在的直线能平分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作出点A，B的对应点，，连接即可解答； （2）在直线上取格点，连接，并在的延长线上取格点C，使得，连接，并在的延长线上取格点D，使得，连接，，，即可解答． 【详解】（1）解：如图，线段为所求． （2）解：如图，为所求． 由作图可得，， ∴四边形是平行四边形， 设直线交于点E，交于点F， ∵在中，，， 又， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴直线平分的面积． 4．（24-25八年级下·浙江·期末）如图（1）所示是某校篮球架实物图，如图（2）所示是篮球架的侧面示意图，篮板边侧垂直于地面．八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板高度的实践活动．在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图（3）所示，小组成员将竹竿垂直固定在地面上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线与竹竿的夹角的度数为，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线与竹竿的夹角的度数恰好等于的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量的长度为．活动分享时，小明说：“的长度就是篮板的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由． 【答案】我认为小明的说法正确，见解析 【分析】本题主要查了平行四边形的判定和性质，证明四边形是平行四边形是解题的关键． 根据题意可得，再由，得到，继而得到四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】解：我认为小明的说法正确．理由如下： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴的长度就是篮板的高度． 5．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．按下列要求作图： (1)在图中，将绕点按逆时针方向旋转，得到． (2)在图中，找出所有符合条件的点，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据图形旋转的性质确定点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据平行四边形的判定方法结合网格特点画图即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作的三角形； （2）解：如图所示， 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形对角相等、邻角互补的性质即可求解. 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴. 2．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，在中，点E是其对角线上的一点，，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在平行四边形中，，，根据，，得出，，结合，求出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在平行四边形中，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，对角线和交于点，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析，即可得出答案． 【详解】A、若添加， 根据，无法证明四边形成为平行四边形，故A选项不符合题意； B、若添加， 根据，无法证明四边形成为平行四边形，故B选项不符合题意； C、若添加， ∵，， ∴四边形成为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故C选项符合题意； D、若添加， 满足对角线相等、一组对边平行的四边形也可能是等腰梯形，故D选项不符合题意． 4．（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与交于点，若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，如图，先根据平行四边形的性质得到，再证明得到，则可判定四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，接着证明四边形为平行四边形，所以，然后计算得到阴影部分的面积． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形为平行四边形， ， ， ∵是中点， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 即， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴阴影部分的面积． 5．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，点E，点F分别是的中点，连接，若平分，，则四边形的周长为______． 【答案】10 【分析】易得四边形是平行四边形，由等腰三角形的判定得，从而，即可求得最后结果． 【详解】解：在中，， 即， ∵点E，点F分别是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 6．（20-21八年级下·浙江杭州·阶段检测）一个中，为斜边的中点，E为直角边上的一点，连接，将沿折叠至，交于点F，若是面积的一半，则______． 【答案】 【详解】本题主要考查了折叠问题、勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 通过勾股定理可得的长度，根据折叠的性质及等高的两个三角形的面积比等于边长比可得，可求，，可得，可证是平行四边形，可求得，根据勾股定理可得的长度． 【解答】解：如图，连接， ∵， ∴ ， ∵D是中点， ∴， ∵将沿折叠至， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·浙江温州·期中）图1的放缩尺是利用“平行四边形的不稳定性”来进行绘图的工具，它由四把直尺用螺栓在点A，B，C，D处连接而成．在绘图过程中，O的位置固定不变，O，A，E始终位于同一水平面，且，．当由（如图2）缩小为（如图3）时，O，E两点的距离减小了，则点C的竖直高度上升了______． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键． 设，，则，判定四边形是平行四边形，得到．当时，过点C作于点H，根据等腰三角形的性质与勾股定理求得，．当时，过点作于点，根据等腰三角形的性质与勾股定理求得，．根据O，E两点的距离减小了，得到，求得，进而点C的竖直高度上升即可求解． 【详解】解：设，， 则，， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 当时，如图， 则， 过点C作于点H， ∴，则， ∴在中，， ， ∵，， ∴． 当时，如图， 则， 过点作于点， ∴，则， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴． ∵O，E两点的距离减小了， 即， ∴， ∴， ∴点C的竖直高度上升． 故答案为： 8．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在四边形中，，，，点，分别从，同时出发，点以的速度沿射线运动，点以的速度由点向点运动，当点运动到点时，两点均停止运动，设运动时间为，当__________时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】或 【分析】根据题意可得，，结合点在射线上运动，则．由题意可知，的对边为，从而得到方程，求解即可． 【详解】解：根据题意，，， ∴， ∵以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 又∵， ∴的对边为，即， ∴， ∴， 解得或． 9．（2026·浙江嘉兴·二模）如图，由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点，，均在格点上，请按要求完成下列问题． (1)如图1，在格点上找一点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形． (2)如图2，在格点上找一点，使得． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 【分析】（1）根据平行四边形的性质进行作图即可； （2）根据等腰三角形的性质及邻补角可进行作图． 【详解】（1）解：所作平行四边形如图所示： （2）解：所作的点如图所示： 由图可知：， ∴， ∵， ∴． 10．（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别是，，． (1)画出绕点C顺时针旋转所得的此时点坐标为__________． (2)以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，此时点D坐标为__________________． 【答案】(1)画图见解析， (2)或或 【分析】（1）画出绕点C顺时针旋转所得的，即可写出点坐标； （2）画出以点A、B、C、D为顶点的平行四边形，即可写出点D坐标． 【详解】（1）解：如图，绕点C顺时针旋转所得的，点坐标为． （2）解：如图，四边形，四边形，四边形都是平行四边形， ∴点D坐标为，，． 11．（25-26八年级下·浙江台州·期中）在平行四边形中，已知，，的面积为，将线段绕点旋转一周，点的对应点为． (1)如图1，当恰好落在上时，过点作的平分线交于点，连接．求证：四边形为平行四边形． (2)如图2，当旋转角为时，连接，并延长交于点．求线段的长． (3)连接及，当为直角三角形时，求的长度（直接写出答案）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或或 【分析】（1）根据角平分线的性质可证，根据等角对等边可证，根据平行四边形的性质和旋转的性质可证，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证结论成立； （2）过点作于点，根据直角三角形的性质可知，设，则，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知，根据勾股定理可得，解方程即可求出的长度，从而可得的长度，再根据线段之间的关系求出的长度； （3）根据为直角三角形，分情况讨论即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 由旋转可知， ， 四边形为平行四边形； （2）解：如下图所示，过点作于点， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 的面积为， ， ， 旋转角为， ， 由旋转可知， 是等边三角形， ，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ， ； （3）解：当时， 如下图所示， 则有，， ，的面积为， ， 在中，， ， 由旋转可知， ， ； 如下图所示，作点关于的对称点， 则有， ； 当时，如下图所示，作于点，过点作， 由（2）可知， 作点关于的对称点， 在中，， 则有 ，，， 设， 则，，， 在中，， ， 解得：，（负值，舍去）， ，， ， ， ， 解得：， ， 点是的中点， 是的垂直平分线， ， 当时，； 当时，如下图所示，作点关于直线的对称点，连接，延长交于点， 则， ，的面积为， ， ， ； 综上所述，当或或或时，为直角三角形． 12．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）求解下列各题： (1)问题：如图1，在平行四边形中，，，，的平分线、分别与直线交于点、，求的长． (2)探究： ①把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变．如图2，当点与点重合时，的长为______． ②把“问题”中的条件“，”去掉，其余条件不变，当点，，，相邻两点间的距离相等时，请画出图形并直接写出相应图形下的值． 【答案】(1)2 (2)① 12；②或或2，图见解析 【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义可得，，可求解； （2）①证，得，同理，即可求解； ②分三种情况：点E，F在线段上，且点E在点F左侧；点E，F在线段上，且点F在点E左侧；点F在点D左侧，点E在点C右侧，画出图形，分别求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ，，， ， ∵平分， ， ， ， 同理可得， ； （2）解：①∵四边形是平行四边形， ，，， ， ∵平分， ， ， ， 同理可得， ∵点E与点F重合， ； ②分三种情况 如图，当点E，F在线段上，且点E在点F左侧时， 同①可得， ， ， ； 如图，当点E，F在线段上，且点F在点E左侧时， 同①可得，， ， ， ， ， ； 如图，当点F在点D左侧，点E在点C右侧时， 同①可得，， ， ， ． 综上可得，的值为或或2． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $