专题05平行四边形综合题六类题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版八年级下册

**基本信息** 聚焦平行四边形六大核心题型，从静态折叠到动态动点（存在、轨迹、最值），再到函数与坐标系综合，形成由浅入深的知识逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |折叠问题|1典例+4变式|图形变换与性质综合|基于平行四边形对称性，训练空间观念| |动点存在问题|1典例+4变式|动态存在性判定|结合运动过程，强化分类讨论思想| |动点轨迹问题|1典例+3变式|轨迹路径与长度计算|培养动态几何直观，提升空间想象| |动点最值问题|1典例+3变式|最短路径与取值范围|运用转化思想，渗透建模意识| |与一次函数综合|1典例+3变式|代数几何结合应用|建立函数与几何性质的关联，发展应用意识| |与坐标系综合|1典例+3变式|坐标与图形性质融合|强化数形结合，提升综合解题能力|

专题05 平行四边形综合题六类题型 典例详解 类型一、平行四边形的折叠问题 类型二、平行四边形上动点存在问题 类型三、平行四边形上动点的轨迹问题 类型四、平行四边形上动点最值问题 类型五、平行四边形与一次函数综合 类型六、平行四边形与坐标系综合 压轴专练 类型一、平行四边形的折叠问题 【典例1】（24-25八年级下·浙江温州·期中）同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为． (1)如图1，若点恰好落在上时，求证：四边形为平行四边形． (2)如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长． (3)改变点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，求的长度． 【变式1-1】（24-25八年级下·山西晋中·期末）如图，是的对角线，将边沿折叠，使A点落在上的点G处，将边沿折叠，使点C落在上的点H处． 求证：四边形是平行四边形． 【变式1-2】（22-23八年级下·河南南阳·月考）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“平行四边形的折叠”为主题开展数学活动． 问题情境： 已知中∠A为锐角，，点E、F分别是、边的中点，点G、H分别是、边上的点．分别沿和折叠，点A、C的对应点分别为点、．        (1)操作判断：如图（1），折叠后点与点B重合，点与点D重合． ①四边形________平行四边形（填“是”或“不是”）． ②当满足某个条件时，四边形能成为矩形．这个条件可以是________． (2)迁移探究：如图（2），若点，落在内部（含边界），连接，，若，则四边形是平行四边形吗？若是，请就图（2）进行证明；若不是，请说明理由． (3)拓展应用：在（2）的条件下，若，，且，则此时四边形的面积为________． 【变式1-3】（25-26八年级下·山东济南·期中）【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为．          (1)如图1，当，点恰好落在边上时，的度数是________度． 【问题解决】 (2)如图2，当点E、F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，请直接写出线段的长． 【变式1-4】（25-26九年级上·湖北·月考）综合与实践 折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为． (1)【感知】如图①，若点恰好落在边上，求证：四边形是平行四边形； (2)【探究】如图②，若点，，在同一条直线上，求证：； (3)【应用】如图③，若，连接并延长，交于点．若平行四边形纸片的面积为20，，求线段的长． 类型二、平行四边形上动点存在问题 【典例2】（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在四边形ABCD中，，，，，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为（秒），以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（   ）秒． A．2或 B． C．或 D． 【变式2-1】（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在平行四边形中，，且，，延长至点E，使 ，连接．若动点P从A点出发，以每秒的速度沿射线运动；动点Q从E点出发以每秒的速度沿向B点运动，当点Q到达点B时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： （1）当t为___________________秒时，以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形； （2）使得是等腰三角形时t的值___________________． 【变式2-2】（25-26八年级下·四川泸州·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）． (1)设的面积为，请用含的式子表示； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当为何值时，的长度为？ 【变式2-3】（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)用含t的式子表示______cm； (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ 类型三、平行四边形上动点的轨迹问题 【典例3】（2023·浙江衢州·一模）已知图1是一扇开启状态下的某型号窗户，图2是其示意图．导轨固定在窗台上且，固定在连杆上，四边形是平行四边形，滑块可在导轨上自由滑动，滑动过程中连杆的长度均不发生改变，当窗框与导轨垂直时，窗户为完全开启状态． （1）当窗户完全闭合时，点重合，点在导轨上，如图3所示．若，，则______，______cm． （2）在（1）的条件下，窗户从完全闭合状态到完全开启状态，滑块的运动路径长为______cm． 【变式3-1】（22-23八年级下·浙江舟山·期中）如图，有一张平行四边形纸条，，，，点E，F分别在边，上，．现将四边形沿折叠，使点C，D分别落在点，上．当点恰好落在边上时，线段的长为___________．在点F从点B运动到点C的过程中，若边与边交于点M，则点相应运动的路径长为___________． 【变式3-2】（2026·甘肃·模拟预测）平行四边形中，是对角线，过点B作、的垂线，垂足点E在边上，垂足点F在延长线上，，，． (1)如图1，求的面积； (2)如图2，连接，点G是的中点，求的长； (3)如图3，与交点为P，，的两边，分别与，所在直线交于点M，N，绕点B逆时针旋转，当点M从点A运动到点P时，求线段中点H的运动路径长． 【变式3-3】（22-23八年级下·北京·期中）已知中，于点E，． (1)如图1，若平分交线段于点F． ①当，时，______，______； ②如图2，若，且，试探究线段，，之间的数量关系，并证明． (2)如图3，若点P为线段上一动点，，．连接，点Q是中点，且，当点P从A点运动到D点时，点Q的运动路径长为______．（直接写出答案） 类型四、平行四边形上动点最值问题 【典例4】（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，在某城市的科技园区规划中，存在一个平行四边形区域点O为科技展览中心，A、C分别为位于主干道和上的两座科研楼（可沿各自主干道调整位置），点B为园区管理中心．现需从O到B铺设一条光纤线路，为了节省成本，则该光纤线路的最小长度是（ ） A．3 B． C．5 D． 【变式4-1】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图有一条直角弯道河流，河宽为2，、两地到河岸边的距离均为1，即，，，现欲在河道上架两座桥、，使最小，则最小值为________． 【变式4-2】（24-25七年级下·湖南湘西·月考）已知、两点的坐标分别为，，将线段水平向右平移了6个单位长度到，连接，得四边形． (1)点的坐标为_________，点的坐标为________； (2)如图1，为轴上一点，若平分，且于，，求与的数量关系； (3)如图2，直线轴于，直线上有一动点，连接、，求最小时点的坐标，并说明理由． 【变式4-3】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，已知，，，的平分线交于点，点从点开始，沿射线运动． (1)计算的长度； (2)点运动到何处时与点的距离最小，并求出最小距离； (3)点在运动过程中，的最小值是 ． 类型五、平行四边形与一次函数综合 【典例5】（22-23八年级下·福建福州·期中）如图在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于、两点，点的坐标为，且点的坐标为． (1)求点坐标； (2)若点、关于直线对称，在备用图中画出直线，再求直线的函数解析式； (3)点是直线上的动点，点是y轴上的动点，当B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标． 【变式5-1】（24-25八年级下·河北廊坊·期中）定义：对于平面直角坐标系中的点和直线，我们称点P是直线的“友谊点”，直线是点的“友谊直线”．特别地，当时，直线（b为常数）的“友谊点”为． (1)已知点，，则点A的“友谊直线”的解析式为_________；直线的“友谊点”的坐标为________． (2)P，Q两点关于x轴对称，且点P的“友谊直线”（）经过点Q与点，求点P的“友谊直线”的解析式． (3)直线l：（）不经过第二象限，P为直线l的“友谊点”． ①若m为整数，求点P的坐标； ②直线l与x轴，y轴分别相交于点A，B，．N为平面内一点，当以A，B，P，N为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点N的坐标． 【变式5-2】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线经过点，交轴正半轴于点． (1)点的坐标是_____，直线的函数表达式是_______； (2)点为直线上一点，当与面积相等时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点在线段上时，作直线，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？如存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式5-3】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图（1），在平面直角坐标系中，直线（k是常数，）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为． (1)求点A的坐标； (2)P是x轴上一点，已知，求点P的坐标； (3)如图（2），已知AC平分，D为的中点． ①请直接写出直线的解析式； ②点M在直线上，在x轴上取点N，使以M、A、N、B为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标． 类型六、平行四边形与坐标系综合 【典例6】（25-26八年级下·上海松江·期中）在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点坐标分别是，，，，为的中点，点在轴正半轴上． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若为等腰三角形，求点的坐标． 【变式6-1】（22-23七年级下·湖北荆门·期中）如图已知A、两点的坐标分别为，，且满足将线段向右平移到，连接，得四边形且． (1)则点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)若点为轴上的一点，且，求点的坐标； (3)如图，射线从出发，绕点以秒的速度逆时针旋转，同时射线从出发，绕点以秒的速度顺时针旋转，当旋转后两条射线都停止转动．问几秒时，与互相垂直？ 【变式6-2】（22-23七年级下·广西南宁·期末）如图①，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，现同时将点A，B分别向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度，分别得到点A，B的对应点C，D，连接：，，．    (1)点C的坐标是______，点D的坐标是______，是______； (2)在y轴上是否存在一点E，连接，，使？若存在这样一点，求出点E的坐标；若不存在，试说明理由； (3)如图②，点P是线段上的一个动点，连接，，当点P在上移动时（不与B，D重合），求证：的值不变． 【变式6-3】（23-24八年级下·湖北·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求A点坐标； (2)若点D的坐标为，将沿直线对折后，点D落到第一象限的点E处，求证：四边形是平行四边形； (3)在（2）的条件下，在直线上是否存在点P，使得以P、A、D、B为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 1.（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，在四边形中，，，．点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点P到达端点A时另一个动点Q也随之停止运动．设运动时间为． (1)在点P，Q运动过程中， ______ ， ______ ；（用含t的代数式表示） (2)连接，，若与互相平分，求此时t的值； (3)在点P，Q运动过程中，是否存在以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，请说明理由． 2.（23-24八年级上·福建泉州·月考）如图所示四边形中，，，为正三角形，点E、F分别在边、上滑动，且E、F不与B、C、D重合． (1)四边形______平行四边形（是或不是） (2)证明不论E、F在、上如何滑动，总有； (3)当点E、F在、上滑动时，四边形的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值． 3.（24-25八年级下·广东河源·期末）综合与实践 折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． (1)【感知】如图①，若点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； (2)【探究】如图②，若点三点在同一条直线上，求证：； (3)【应用】如图③，若，连接并延长，交于点F．若平行四边形纸片的面积为6，，求线段的长． 4.（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图，在四边形中，，，，，，动点P从点B出发，以每秒的速度在上向点C运动，到C点后立即返回，动点Q从点A出发，在线段上，以每秒的速度向点D运动．点，分别从点，同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t秒．求当t为何值时，四边形是平行四边形． 5.（25-26九年级上·广东广州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知直线是一次函数的图象，直线是一次函数的图象，点是两直线的交点，点、、、分别是两条直线与坐标轴的交点． (1)用、分别表示点、的坐标； (2)若四边形的面积是，且，试求点的坐标； (3)在（2）的条件下，是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6.（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．点为的中点，点在线段上，，点为线段上一动点，连接、、． (1)点坐标为________，点坐标为________； (2)求直线的表达式； (3)若的面积为4，求点坐标； (4)在（3）的条件下，点在轴上，点在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形为平行四边形．若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 7.（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知在平面直角坐标系中，点A为x轴上一点，点B的坐标为，点C的坐标为，且满足，，点P由点C出发，以m个单位的速度沿线段向点B运动，点Q由点A出发，以n个单位的速度沿x轴向点O运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)求点A的坐标； (2)如图1，若，，从运动开始，需经过多长时间，才能使？ (3)如图2，若点，当为等边三角形时，直接写出的值______． 8.（21-22八年级下·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线是一次函数的图象，直线是一次函数的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点． (1)用m、n分别表示点A、B、P的坐标； (2)若四边形的面积是，且，试求点P的坐标，并求出直线与的函数表达式； (3)在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 9.（24-25八年级下·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知O为原点，四边形为平行四边形，A、B、C的坐标分别是，，，点D在第一象限．回答以下问题： (1)D点的坐标为______． (2)将平行四边形先向右平移个单位长度，·再向下平移个单位长度，得到新的平行四边形，那么它的四个顶点的坐标分别是：（______），（_____），（______），（______）； (3)平行四边形与四边形重叠部分的面积是______． 10.（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为．且满足，现将线段先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到线段，其中点对应点为，点对应点为，连接． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________； (2)如图1，点是线段上的一个动点，点是线段的一个定点，连接，当点在线段上移动时（不与点重合），请探究之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，动点从点出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动时间为秒，当时，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 平行四边形综合题六类题型 典例详解 类型一、平行四边形的折叠问题 类型二、平行四边形上动点存在问题 类型三、平行四边形上动点的轨迹问题 类型四、平行四边形上动点最值问题 类型五、平行四边形与一次函数综合 类型六、平行四边形与坐标系综合 压轴专练 类型一、平行四边形的折叠问题 【典例1】（24-25八年级下·浙江温州·期中）同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为． (1)如图1，若点恰好落在上时，求证：四边形为平行四边形． (2)如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长． (3)改变点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或 【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形； （2）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证利是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答． （3）分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：由折叠的性质可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）解：如图，延长交于点H， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． （3）解：①当时，延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴； 如图，当重合时，记，的交点为， ∵当时，， ∴，而， ∴， ∴当重合时，， 由折叠可得：； ②当时，如图，设与交于点，作， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或或． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，折叠问题，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握折叠的性质，平行四边形的性质，是解题的关键． 【变式1-1】（24-25八年级下·山西晋中·期末）如图，是的对角线，将边沿折叠，使A点落在上的点G处，将边沿折叠，使点C落在上的点H处． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，折叠的性质，平行线的判定与性质． 由平行四边形的性质得，，则，由折叠得，，则，所以，而，则四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【变式1-2】（22-23八年级下·河南南阳·月考）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“平行四边形的折叠”为主题开展数学活动． 问题情境： 已知中∠A为锐角，，点E、F分别是、边的中点，点G、H分别是、边上的点．分别沿和折叠，点A、C的对应点分别为点、．        (1)操作判断：如图（1），折叠后点与点B重合，点与点D重合． ①四边形________平行四边形（填“是”或“不是”）． ②当满足某个条件时，四边形能成为矩形．这个条件可以是________． (2)迁移探究：如图（2），若点，落在内部（含边界），连接，，若，则四边形是平行四边形吗？若是，请就图（2）进行证明；若不是，请说明理由． (3)拓展应用：在（2）的条件下，若，，且，则此时四边形的面积为________． 【答案】(1)①是；②∠A=45°（答案不唯一） (2)四边形是平行四边形，证明见解析 (3) 【分析】（1）①是；由折叠知，,，可证，可证，从而，命题得证；②∠A=45°（答案不唯一）；若，可证，得证四边形是矩形． （2）四边形是平行四边形．如图，连接GH．求证，得．结合折叠证得，，从而，于是，结论得证． （3）如图，，则点落在上，，可证为等边三角形，于是，中，根据勾股定理，，于是． 【详解】（1）解：①是； 由折叠知，, ∵中, ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形． ②∠A=45°（答案不唯一） 若，则 而四边形是平行四边形 ∴四边形是矩形．    （2）证明：四边形是平行四边形． 如图，连接GH．    ∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∵点E、F分别是、的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 由折叠可知，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （3）解：如图，，则点落在上，， 由折叠知，． ∴为等边三角形， ∴． 在中，根据勾股定理，． ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理；运用全等三角形判定线段相等、角相等是解题的关键． 【变式1-3】（25-26八年级下·山东济南·期中）【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为．          (1)如图1，当，点恰好落在边上时，的度数是________度． 【问题解决】 (2)如图2，当点E、F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，由折叠的性质可得，，再由平行线的性质求出的度数即可得到答案； （2）由平行四边形的性质得到，，由三等分点的性质得到，由折叠可知：，，则可证明，得到，再证明，进而可证明四边形是平行四边形，得到，据此可得结论； （3）可证明为等腰直角三角形，得到；延长交于点，则，可证明，根据平行四边形的面积公式可推出，则，． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E，F为边的三等分点， ∴， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则， ∴； （3）解：由折叠可知：，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 如图所示，延长交于点，则 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，即， ∴ ∵的面积为24，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1-4】（25-26九年级上·湖北·月考）综合与实践 折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为． (1)【感知】如图①，若点恰好落在边上，求证：四边形是平行四边形； (2)【探究】如图②，若点，，在同一条直线上，求证：； (3)【应用】如图③，若，连接并延长，交于点．若平行四边形纸片的面积为20，，求线段的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形； （2）由折叠的性质结合平行四边形的性质证明是等腰三角形，即可得出结论； （3）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由折叠的性质可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：由折叠的性质可得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， 点在同一条直线上 是等腰三角形， ； （3）解：如图，延长交于点H， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 类型二、平行四边形上动点存在问题 【典例2】（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在四边形ABCD中，，，，，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为（秒），以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（   ）秒． A．2或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角梯形的性质，平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 由题意已知，，要使P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形，则只需要让即可，列出等式可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 当P从B运动到C时，且P在上， ，， ， 解得， 当秒时，四边形是平行四边形； 当点P在延长线上时， 如图： ， 解得， 秒或秒时，P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形． 故选：C． 【变式2-1】（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在平行四边形中，，且，，延长至点E，使 ，连接．若动点P从A点出发，以每秒的速度沿射线运动；动点Q从E点出发以每秒的速度沿向B点运动，当点Q到达点B时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： （1）当t为___________________秒时，以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形； （2）使得是等腰三角形时t的值___________________． 【答案】 或6 或或3 【分析】（1）分三种情况进行讨论：当点P在点D左侧，点Q在点C右侧时，当点P在点D左侧，点Q在点C左侧时，当点P在点D右侧，点Q在点C左侧时，分别列出关于t的方程进行求解即可； （2）分三种情况进行讨论：当时，当时，当，分别画出图形进行求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴当时，以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形， 当点P在点D左侧，点Q在点C右侧时，， 解得：， 当点P在点D右侧，点Q在点C的左侧，不符合题意舍去； 当点P在点D左侧，点Q在点C左侧时，， 解得：； 当点P在点D右侧，点Q在点C左侧时，， 解得：； 综上分析可知，当t为或6秒时，以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形； 故答案为：或6． （2）∵，， ∴， ∴； 当时，； 当时，如图所示： ， 根据勾股定理得：， 即， 解得：； 当时，如图所示： 根据勾股定理得：， ∴， ∴； 综上分析可知：当或或3时，是等腰三角形． 故答案为：或或3． 【点睛】本题主要考查勾股定理，平行四边形的性质和判定，等三角形的定义，一元一次方程的应用，解决本题的关键是要熟练掌握几何图形的性质，根据图形的性质进行数形结合进行求解． 【变式2-2】（25-26八年级下·四川泸州·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）． (1)设的面积为，请用含的式子表示； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当为何值时，的长度为？ 【答案】(1) (2)当时，四边形是平行四边形 (3)当或时，的长度为 【分析】（1）由题可知：，，则，可得点到的距离等于的长，再由求解即可； （2）若要使四边形为平行四边形，只需，得到，即可求解； （3）过点作于点，可得四边形为平行四边形，则，，，然后对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，点运动到点需要：（秒），点运动到点需要：（秒）， ∵其中一个动点到达端点时运动停止， ∴的取值范围是， 由题可知：，，则， ∵， ∴ ∵， ∴点到的距离等于的长， ∴； （2）解：∵，点在上，点在上， ∴， 若要使四边形为平行四边形，只需， 即： 解得： 经检验，在范围内，符合题意， ∴当时，四边形是平行四边形； （3）解：过点作于点，则 ∵， ∴， ∴ 又 ∴四边形为平行四边形， ∴，， 在中，由勾股定理得： 其中，，， ∴ ∴ 由此可得两种情况： ①当时，解得 ②当时：解得 经检验，和均在范围内，均符合题意， ∴当或时，的长度为． 【变式2-3】（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)用含t的式子表示______cm； (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查平行四边形的性质，列代数式： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可； （2）分两种情况，结合平行四边形的性质，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． （2）解：过点作，则：， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 当直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形时，分两种情况： ①当四边形为平行四边形时：则：， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，则：， ∴， 解得：； 综上：或． 类型三、平行四边形上动点的轨迹问题 【典例3】（2023·浙江衢州·一模）已知图1是一扇开启状态下的某型号窗户，图2是其示意图．导轨固定在窗台上且，固定在连杆上，四边形是平行四边形，滑块可在导轨上自由滑动，滑动过程中连杆的长度均不发生改变，当窗框与导轨垂直时，窗户为完全开启状态． （1）当窗户完全闭合时，点重合，点在导轨上，如图3所示．若，，则______，______cm． （2）在（1）的条件下，窗户从完全闭合状态到完全开启状态，滑块的运动路径长为______cm． 【答案】 4 12 16 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，再根据线段的和与差即可求解； （2）当窗户开到最大时，，根据勾股定理解求出；结合（1）的结论即可得解． 【详解】解：（1）∵四边形是平行四边形，如图3， ， ∴， 故答案为：4，12； （2）当窗户开到最大时，，， ， ， ，， ； 窗户从关闭状态到开到最大的过程中，滑块移动的距离为， 故答案为：16． 【变式3-1】（22-23八年级下·浙江舟山·期中）如图，有一张平行四边形纸条，，，，点E，F分别在边，上，．现将四边形沿折叠，使点C，D分别落在点，上．当点恰好落在边上时，线段的长为___________．在点F从点B运动到点C的过程中，若边与边交于点M，则点相应运动的路径长为___________． 【答案】 【分析】当点恰好落在边上时，易得，过点作于点，求出的长度，进而求出的长度，勾股定理求出的长度，即可得到的长；分别求出与重合时，的长，以及在上时，的长，作差即可得出点相应运动的路径长． 【详解】解：（1）当点恰好落在边上时，如图： ∵平行四边形纸条，，，， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴，，，， ∴， ∴， 过点作于点， 则：， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）当点与点重合时，此时最短，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同（1）法可得：， 设，则：， 在中，，即：， 解得：， ∴， ∴； 当点在上时，此时与重合，最大， 由（1）可知，， ∴点运动的路径长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理．解题的关键是正确的画出图形，利用数形结合的思想进行求解． 【变式3-2】（2026·甘肃·模拟预测）平行四边形中，是对角线，过点B作、的垂线，垂足点E在边上，垂足点F在延长线上，，，． (1)如图1，求的面积； (2)如图2，连接，点G是的中点，求的长； (3)如图3，与交点为P，，的两边，分别与，所在直线交于点M，N，绕点B逆时针旋转，当点M从点A运动到点P时，求线段中点H的运动路径长． 【答案】(1)8 (2) (3)中点H的运动路径长为8 【分析】（1）分别求出和长，利用面积公式计算即可； （2）过F作的垂线，垂足为M，交于N，与的延长线交于H，由等腰直角三角形的性质，求出，，，．证明出，则，，在直角中利用勾股定理计算即可； （3），延长、，交于点G，取、中点S、T，连接，当点M位于点A处时，点N与点G重合，中点H与中点S重合；当点M运动到点P处时，点N与点C重合，中点H与中点T重合，即中点H的运动路径长为的长，再利用中位线定理求即可． 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）（2）如图，过F作的垂线，垂足为M，交于N，与的延长线交于H， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 同理，也是等腰直角三角形，， ∵，， 又∵， ∴， ∴，， ∵点G是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在等腰直角中，， ∴， 在直角中，， ∴； （3）如图3，延长、，交于点G，取、中点S、T，连接， 当点M于点A处时， ∵， ∴点N与点G重合，中点H与中点S重合， 当点M运动到点P处时， ∵， ∴点N与点C重合，中点H与中点T重合， ∴当点M在从点A运动到点P时，点N从点G运动到点C， ∵点S是中点，点T是中点， ∴为的中位线， ∴，且， 同理，是的中位线， ∴，即， ∴点H在上运动， ∴中点H的运动路径长为的长， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得，， ∴， 故中点H的运动路径长为8． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线的性质和勾股定理，作出准确的辅助线，利用平行四边形的性质构造全等三角形并进行准确的计算是解题关键． 【变式3-3】（22-23八年级下·北京·期中）已知中，于点E，． (1)如图1，若平分交线段于点F． ①当，时，______，______； ②如图2，若，且，试探究线段，，之间的数量关系，并证明． (2)如图3，若点P为线段上一动点，，．连接，点Q是中点，且，当点P从A点运动到D点时，点Q的运动路径长为______．（直接写出答案） 【答案】(1)①4，2；②，理由见解析 (2) 【分析】（1）①先根据角平分线的定义求得，再根据平行四边形的性质求得，利用含角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可； ②延长到H，使，连接．设度数为x，根据平行四边形的性质得到，，，进而，证明 ，得到，，，进而得到，利用等腰三角形的等角对等边得到即可得出结论； （2）在图3中，建立如图所示的平面直角坐标系，过M作轴于N，证明，得到，，设，则，，即，利用中点坐标公式可求得，当时，，当时，，当点P从A点运动到D点时，点Q在线段上运动，利用两点坐标距离公式求得即可． 【详解】（1）解：①在图1中，∵平分，， ∴， 在中，，， ∵， ∴ ∴， 在中，， ∴，， ∴， 在中，，， 由得， 故答案为4，2； ② 证明：延长到H，使，连接． ∵平分，∴， 设度数为x，在中， ∴，，， ∵，∴， ∴，， 在和中，∵，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，即． （2）解：在图3中，建立如图所示的平面直角坐标系，过M作轴于N，则， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴，， 设，则，， ∴， ∵点Q是中点， ∴， 当时，，当时，， 当点P从A点运动到D点时，点Q在线段上运动， ∵， ∴点Q的运动路径长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，（1）②中关键是添加辅助线构造全等三角形求解；（2）中关键是建立适当的直角坐标系，利用坐标与图形求解，并得出Q的运动路线． 类型四、平行四边形上动点最值问题 【典例4】（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，在某城市的科技园区规划中，存在一个平行四边形区域点O为科技展览中心，A、C分别为位于主干道和上的两座科研楼（可沿各自主干道调整位置），点B为园区管理中心．现需从O到B铺设一条光纤线路，为了节省成本，则该光纤线路的最小长度是（ ） A．3 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，确定点H的运动轨迹是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，可得，点H的横坐标为，则点H在直线移动，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于H， 四边形是平行四边形， ， ， 、C分别为位于主干道和上， 点H的横坐标为， 点H在直线移动， 的最小值为， 的最小值为5， 故选：C． 【变式4-1】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图有一条直角弯道河流，河宽为2，、两地到河岸边的距离均为1，即，，，现欲在河道上架两座桥、，使最小，则最小值为________． 【答案】14 【分析】延长到，使得，延长到，使得，连接交河道于点，，得到两座桥，，此时的值最小即为的最小值． 【详解】解：∵河宽为2， ∴， 延长到，使得，延长到，使得，连接交河道于点，，得到两座桥，， ∴，，，， ∴四边形，四边形都是平行四边形， ∴，， ∴， 由两点之间线段最短可知：当四点共线时，的值最小，即两座桥架在，的位置， ∴的值最小为， 延长交的延长线于点， ∵，，， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴的最小值为． 【变式4-2】（24-25七年级下·湖南湘西·月考）已知、两点的坐标分别为，，将线段水平向右平移了6个单位长度到，连接，得四边形． (1)点的坐标为_________，点的坐标为________； (2)如图1，为轴上一点，若平分，且于，，求与的数量关系； (3)如图2，直线轴于，直线上有一动点，连接、，求最小时点的坐标，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)最小时点的坐标为，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平面直角坐标系，图形的平移，三角形内角和定理． （1）根据点平移的性质即可得点、点的坐标； （2）先根据平移的性质得四边形是平行四边形，进而得，，，再根据三角形内角和定理可得出与的数量关系； （3）由两点间线段最短可知，当B、D、Q三点共线时最小，即可得出Q点坐标． 【详解】（1）解：∵、两点的坐标分别为，，将线段水平向右平移了6个单位长度到， ∴，， 故答案为：，； （2）解：设交于F，交于P， 由平移可知，，且， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：最小时点的坐标为，理由如下： 连接交于，由两点间线段最短可知，当B、D、Q三点共线时最小， 即Q在位置时最小， ∵直线轴于， ∴G的横坐标2， 设Q点坐标为，， ∴， 解得， ， ∴， 即最小时点的坐标为． 【变式4-3】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，已知，，，的平分线交于点，点从点开始，沿射线运动． (1)计算的长度； (2)点运动到何处时与点的距离最小，并求出最小距离； (3)点在运动过程中，的最小值是 ． 【答案】(1)； (2)过作于，此时点与点的距离最小，最小距离是； (3)． 【分析】（1）过作于，求出，求出、，即可求出答案； （2）过作于，此时点与点的距离最小，求出，根据含度角的直角三角形性质求出即可； （3）作关于的对称点，连接，交直线于，交于，则此时的值最小，且等于长，求出，即可求出的值，得出答案即可． 【详解】（1）解：过作于， ，平分， ， 四边形是平行四边形， ， ∴， ， 在中，，由勾股定理得：， ，， ； （2）解：过作于，此时点与点的距离最小， 则， ，， ， 即最小距离是； （3）解：作关于的对称点，连接，交直线于，交于，则此时的值最小，且等于长， 由（2）知：， ， ， ，平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 即， ， ，， 在中，，，， ，， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、含的直角三角形的特征、勾股定理解直角三角形、轴对称的性质，解题关键是熟练掌握含的直角三角形的特征． 类型五、平行四边形与一次函数综合 【典例5】（22-23八年级下·福建福州·期中）如图在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于、两点，点的坐标为，且点的坐标为． (1)求点坐标； (2)若点、关于直线对称，在备用图中画出直线，再求直线的函数解析式； (3)点是直线上的动点，点是y轴上的动点，当B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标． 【答案】(1)（0，1） (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题； （2）如图1中，设直线 与 轴的交点为 ，交 轴于 ．利用勾股定理构建方程求出点 、 两点坐标即可解决问题； （3）分三种情形讨论求解：①如图2中，当 为对角线时；②如图3中，当 为边时且点 在点 的上方；③如图4中，当 为边，点 在点 下方时，设 ； 【详解】（1）解：把代入，得到， 解得， 直线的解析式为， 令，得到， ． （2）解：如图1中，设直线与轴的交点为，交轴于． 设，连接，则． 在中，， ， 解得， ，，同法可得， 设直线的解析式为，则有， 解得， 直线的解析式为． （3）解：①如图2中，当为对角线时， 四边形是平行四边形， ，， 点与点的横坐标相同，可得， ， 点坐标为． ②如图3中，当为边时且点在点的上方， 由①可知，， ， ． ③如图4中，当为边，点在点下方时，设， 点向上平移1个单位，向左平移3个单位得到， 点向上平移1个单位，向左平移3个单位得到， 把代入，得到， ， 综上所述，满足条件的点坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数综合题、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 【变式5-1】（24-25八年级下·河北廊坊·期中）定义：对于平面直角坐标系中的点和直线，我们称点P是直线的“友谊点”，直线是点的“友谊直线”．特别地，当时，直线（b为常数）的“友谊点”为． (1)已知点，，则点A的“友谊直线”的解析式为_________；直线的“友谊点”的坐标为________． (2)P，Q两点关于x轴对称，且点P的“友谊直线”（）经过点Q与点，求点P的“友谊直线”的解析式． (3)直线l：（）不经过第二象限，P为直线l的“友谊点”． ①若m为整数，求点P的坐标； ②直线l与x轴，y轴分别相交于点A，B，．N为平面内一点，当以A，B，P，N为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点N的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)①；②或或 【分析】（1）按“友谊直线”的定义可求，求出直线的解析式为，根据“友谊点”的定义，即可求解； （2）将代入解析式求出，根据“友谊点”的定义得P的坐标为， 点的对称得点Q的坐标为，即可求解； （3）①由一次函数的性质得，求出的值为2，即可求解；②可求点B的坐标为，点A的坐标为，由，求出；分类讨论：当以A，B，P，N为顶点的四边形为平行四边形时，当以A，B，P，N为顶点的四边形为平行四边形时，当以A，B，P，N为顶点的四边形为平行四边形时，即可求解． 【详解】（1）解：点的“友谊直线”的解析式为． ，， 直线的解析式为， 直线的“友谊点”的坐标为． 故答案为：；． （2）解：将代入， 得， 解得：， ． 根据定义，的“友谊点”P的坐标为，且P，Q两点关于x轴对称， 点Q的坐标为． 将代入， 得， 解得， 点P的“友谊直线”的解析式为． （3）解：①直线l不经过第二象限， ， 解得：． 又为整数， 的值为2． 根据题意，直线l的“友谊点”P的坐标为， 点P的坐标为． ②当时，， 点B的坐标为． 当时，即， 解得， 点A的坐标为． 直线l不经过第二象限， ． ， ， 解得， ， ，，． ， ， 直线轴， 当以A，B，P，N为顶点的四边形为平行四边形时， ， ， 解得：， ； 当以A，B，P，N为顶点的四边形为平行四边形时， ， ， 解得：； ； 当以A，B，P，N为顶点的四边形为平行四边形时， ，， 点向左平移个单位，再向下平移个单位得到， 点向左平移个单位，再向下平移个单位得到， ； 综上所述：点N的坐标为或或． 【点睛】本题考查了新定义，一次函数的性质，平行四边形的判定及性质，理解新定义，能根据点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【变式5-2】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线经过点，交轴正半轴于点． (1)点的坐标是_____，直线的函数表达式是_______； (2)点为直线上一点，当与面积相等时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点在线段上时，作直线，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？如存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)或 (3)存在，或或 【分析】（1）由，可直接求出点坐标；根据坐标，用待定系数法求其解析式； （2）先求出直线的解析式∶， 由与面积相等，可得点到直线的距离等于点到直线的距离，如图，分两种情况讨论：①当点在线段上时，过点作与平行的直线,与的交点即为点，根据两条直线相交即可求出交点的坐标；②当点在延长线上时，结合第一种情况中的点坐标，根据对称性及线段相等，即可求出第二种坐标； （3）先求出解析式，根据题意，可分三种情况，如图，当为边时，分别为边和对角线时，分别见图1和图2，根据在轴上，可知轴，可求出，再由，求出点的两种情况；第三种情况是：当为对角线，为边时，如图3，过作轴于点，根据四边形为平行四边形，可得，进而由，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， 将B、C点代入中，得 解得， ∴． 故答案为：； （2）设直线的解析式为，将代入， ∴，解得， ∴， ∵与面积相等， 则点到直线的距离等于点到直线的距离， ①当点在线段上时，如图，过点作与平行的直线,与的交点即为点， 则可知直线的解析式为， 当时， 解得，即， 将代入，得， ∴ ②当点在延长线上时，如图，设此时为， 结合①知，当时，， 过作轴于点，过作轴于点， 则由知， ， ∴， 则； 综上所述，点坐标为或． （3）由和，同理得直线解析式为， ①当为边，为边时，如图1，过点作轴，交于点， 要使四边形为平行四边形，则只需满足， 由知， 将代入到直线∶中，得， 解得， ∴，则， 则由得； ②当为边，为对角线时，如图2，同上，过点作轴，交于点， 由四边形为平行四边形，同样需满足， 则同理，由，得； ③当为对角线，为边时，如图3，过作轴于点， 若四边形为平行四边形，则可证， ∴ ∴，， ∴； 综上所述，点坐标为，或． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与图形的结合应用，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等，解题关键是熟练掌握待定系数法求直线解析式，看清楚题目中的直线，线段等描述，以防漏解；对于动态问题，先画草图，并结合分类讨论思想，对各种情况逐一分析． 【变式5-3】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图（1），在平面直角坐标系中，直线（k是常数，）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为． (1)求点A的坐标； (2)P是x轴上一点，已知，求点P的坐标； (3)如图（2），已知AC平分，D为的中点． ①请直接写出直线的解析式； ②点M在直线上，在x轴上取点N，使以M、A、N、B为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)①；②或或 【分析】（1）把点代入，求出k值，从而得到一次函数解析式，再令，求出x值，即可求得点A坐标； （2）分两种情况：①当点P在点A右侧时，②当点P在点A右侧时，分别求解艰险可； （3）①过点C作于E，证明，得到，，从而求得点，再用待定系数法求得直线解析式为，然后令，求出x的值，即可得点P坐标； ②分两种情况：a)当为四边形对角线时，有平行四边形；b)当为四边形的边时，i)当点M、N在左侧时，则有平行四边形；ii)当点M、N在右侧时，则有平行四边形；分别 求解即可． 【详解】（1）解：把点代入，得 解得：， ∴ 令，则， 解得：， ∴． （2）解：由得， 由得， 分两种情况：①当点P在点A右侧时，过点A作于D，且，连接与x轴交于点P，过点D作轴于E， 则， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴，， ∴ ∴， 设直线解析式为， 把，代入，得 ，解得， ∴直线解析式为， 令，则 解得：， ∴； ②当点P在点A右侧时，过点A作，且，连接，则与x轴交于点p， 同理可得， 同样用待定系数法可求得直线解析式为； 令，则， 解得：， ∴， 综上，点P的坐标为或． （3）解：①过点C作于E，如图， ∵，， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∵AC平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理，得 即 解得：， ∴， 设直线解析式为：， 把，代入，得 ，解得：， ∴直线解析式为； ②分两种情况：a)当为四边形对角线时，有平行四边形，如图， ∵ ∴与互相平分， ∵D为的中点， ∴D为的中点， ∴此时，点N是直线与x轴的交点， ∵直线解析式为； 令，则， ∴； b)当为四边形的边时，i)当点M、N在左侧时，则有平行四边形， ∴， ∴点M的纵坐标与点B纵坐标相等，为8， 把代入，解得：， ∴ ∴ ∴， ii)当点M、N在右侧时，则有平行四边形， ∴， 则，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴此时； 综上，以M、A、N、B为顶点的四边形是平行四边形，点N的坐标为或或． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质．此题属函数与几何综合题目，熟练掌握相关性质与判定是银题的关键．注意分类讨论思想的应用． 类型六、平行四边形与坐标系综合 【典例6】（25-26八年级下·上海松江·期中）在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点坐标分别是，，，，为的中点，点在轴正半轴上． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若为等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】本题考查了点的坐标，平行四边形的判定、等腰三角形的定义，勾股定理等知识， （1）根据坐标可以得出，，由此即可判定四边形是平行四边形； （2）根据中点坐标公式求出点D的坐标，设，分三种情况讨论∶；；，根据两点间距离公式构建关于m的方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． （2）解∶设， ∵，，为的中点， ∴，即， 在中，， ， ， ①当时，， ∴点的坐标为； ②当时，，解得， ∴点的坐标为； ③当时，，解得或（舍去）， ∴点的坐标为； 综上， 点的坐标为或或． 【变式6-1】（22-23七年级下·湖北荆门·期中）如图已知A、两点的坐标分别为，，且满足将线段向右平移到，连接，得四边形且． (1)则点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)若点为轴上的一点，且，求点的坐标； (3)如图，射线从出发，绕点以秒的速度逆时针旋转，同时射线从出发，绕点以秒的速度顺时针旋转，当旋转后两条射线都停止转动．问几秒时，与互相垂直？ 【答案】(1)； (2)或 (3)当9秒或27秒时，与互相垂直 【分析】（1）根据二次方和算术平方根的非负性求出a、b的值，得出A、D两点的坐标，根据，求出的值，即可求出点B的坐标和点C的坐标； （2）设点P的坐标为，根据，列出关于m的方程，解方程即可； （3）设运动时间为t秒，则，，分两种情况讨论，分别画出图形列出关于t的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴，， ∴， ∵线段向右平移到， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 解得：， ∴， ∴，． 故答案为：；． （2）解：设点P的坐标为， ∵， ∴， 解得：或， ∴点P的坐标为：或． （3）解：设运动时间为t秒，则，， 第一次时，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 第二次时，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 综上分析可知，当9秒或27秒时，与互相垂直． 【点睛】本题主要考查了坐标于图形，平行四边形的判定和性质，二次方和算术平方根的非负性，一元一次方程的应用，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握非负数的性质，求出a、b的值． 【变式6-2】（22-23七年级下·广西南宁·期末）如图①，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，现同时将点A，B分别向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度，分别得到点A，B的对应点C，D，连接：，，．    (1)点C的坐标是______，点D的坐标是______，是______； (2)在y轴上是否存在一点E，连接，，使？若存在这样一点，求出点E的坐标；若不存在，试说明理由； (3)如图②，点P是线段上的一个动点，连接，，当点P在上移动时（不与B，D重合），求证：的值不变． 【答案】(1)，，24； (2)或； (3)证明见解析 【分析】（1）根据平移的性质求出点C，D的坐标，再证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的面积公式求解即可； （2）设E坐标为，列出方程求出m的值即可； （3）作，根据平移的性质可得，再根据平行线的性质即可证明，即可证明的值不变． 【详解】（1）解：∵点A，B的坐标分别为，，将点A，B分别向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度，分别得到点A，B的对应点C，D， ∴点即，点即，，，， ∴，四边形是平行四边形， ∴； （2）存在，设E坐标为， ∵ ∴， 解得 ∴E点的坐标为或； （3）证明：如图，作，    由平移可知：， ∴， ∴，， ∴， ∴，即的值不变． 【点睛】本题考查了坐标轴的几何问题，掌握平移的性质、平行四边形的性质以及判定定理、平行四边形的面积公式、平行线的性质是解题的关键． 【变式6-3】（23-24八年级下·湖北·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求A点坐标； (2)若点D的坐标为，将沿直线对折后，点D落到第一象限的点E处，求证：四边形是平行四边形； (3)在（2）的条件下，在直线上是否存在点P，使得以P、A、D、B为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在点的坐标为或，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形 【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，解本题的关键是四边形为平行四边形，判断出是解本题的难点． （1）设，则，由勾股定理可知，，进而可列方程，即可求解； （2）由（1）可知，，则，可得，由题意可知，则，得，由对折可知，，，即可证明结论； （3）由（2）可知，得，进而可知，分两种情况：当点在上方时，当点在下方时，分别求解即可． 【详解】（1）解：设，则， 在中，， 在中，， 则， 解得：，即：， ∴点的坐标为； （2）证明：由（1）可知，，则， 在中，， ∵点的坐标为， ∴， ∴， 在中，， 由对折可知，，， ∴四边形是平行四边形； （3）存在点的坐标为或，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 理由如下： 由（2）得：，则， 由（2）得：，则， ∴， ∴， ∵点在上， ∴， 当点在上方时，过点作，则 ， ∴， ∴， ∵以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，，则， ∴此时点的坐标为； 当点在下方时，过点作，则 ， 同理，可得点的坐标为； 综上所述，存在点的坐标为或，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 1.（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，在四边形中，，，．点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点P到达端点A时另一个动点Q也随之停止运动．设运动时间为． (1)在点P，Q运动过程中， ______ ， ______ ；（用含t的代数式表示） (2)连接，，若与互相平分，求此时t的值； (3)在点P，Q运动过程中，是否存在以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)t的值为3 (3)存在以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间t为或 【分析】此题是四边形综合题，考查了梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的性质．熟练掌握平行四边形和梯形的判定，根据题意得出方程是解决问题的关键． （1）根据，．点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动，即可解决问题； （2）根据与互相平分，得四边形是平行四边形，所以，得，解方程即可解决问题； （3）有两种情况：①点Q在线段上，②点Q在线段的延长线上，根据平行四边形对边相等列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：∵，点P从点D出发，以的速度向点A运动， ∴， ∴， ∵，点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动， ∴， 故答案为：，； （2）解：若与互相平分， 则是平行四边形， ∴， ∴， 解得， 故此时t的值为3； （3）解：存在，理由如下： 有两种情况： ①点Q在线段上， 当时，以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， ∴， 解得； ②点Q在线段的延长线上， 当时，以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， ∴， 解得； 综上所述，存在以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间t为或． 2.（23-24八年级上·福建泉州·月考）如图所示四边形中，，，为正三角形，点E、F分别在边、上滑动，且E、F不与B、C、D重合． (1)四边形______平行四边形（是或不是） (2)证明不论E、F在、上如何滑动，总有； (3)当点E、F在、上滑动时，四边形的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3)四边形的面积不变，为定值 【分析】（1）根据可知四边形是平行四边形，即可得答案； （2）根据平行四边形及，可证得和为等边三角形，则，，，再结合是等边三角形，进而证得，利用即可证明，即可得结论； （3）根据，得，故由，可知四边形的面积是定值，作于点，由等边三角形的性质求得，进而求得即可求得，可得定值． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：是； （2）证明：由（1）知四边形为平行四边形，则，， ∵，，， ∴， 又∵， ∴和为等边三角形， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴． ∴； （3）四边形的面积不变，为定值． 理由如下：由（2）得，则， 故，是定值， 作于点， ∵， ∴，则， ∴， 综上，四边形的面积不变，为定值． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，综合性较强，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 3.（24-25八年级下·广东河源·期末）综合与实践 折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． (1)【感知】如图①，若点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； (2)【探究】如图②，若点三点在同一条直线上，求证：； (3)【应用】如图③，若，连接并延长，交于点F．若平行四边形纸片的面积为6，，求线段的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形； （2）由折叠的性质结合平行四边形的性质证明是等腰三角形，即可得出结论； （3）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由折叠的性质可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：由折叠的性质可得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， 点三点在同一条直线上 是等腰三角形， ； （3）解：如图，延长交于点H， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 4.（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图，在四边形中，，，，，，动点P从点B出发，以每秒的速度在上向点C运动，到C点后立即返回，动点Q从点A出发，在线段上，以每秒的速度向点D运动．点，分别从点，同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t秒．求当t为何值时，四边形是平行四边形． 【答案】或 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，一元一次方程的应用，若四边形是平行四边形，则．由题意知．再分两种情况：当点P从点B向点C运动，即时；当点P从点C向点B运动，即时；分别列出一元一次方程，解方程即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：若四边形是平行四边形，则． 由题意知． 当点P从点B向点C运动，即时， ，， ，． ， 解得． 当点P从点C向点B运动，即时， 则，， ， 解得． 综上，当或时，四边形是平行四边形． 5.（25-26九年级上·广东广州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知直线是一次函数的图象，直线是一次函数的图象，点是两直线的交点，点、、、分别是两条直线与坐标轴的交点． (1)用、分别表示点、的坐标； (2)若四边形的面积是，且，试求点的坐标； (3)在（2）的条件下，是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（）把代入函数解析式求出的值可得点的坐标． （）联立函数解析式，求出方程组的解可求出点的坐标，再求出点坐标，进而由可得，再根据列出方程求出的值即可求解． （）过点作直线平行于轴，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，过点分别作的平行线交于点，分三种情况，利用平行四边形的性质解答即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， ∴． （2）解：把代入，得， ∴， ∵把代入， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， 解得， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∴． （3）解：存在．理由如下： 由（2）得：直线的表达式为，的表达式为， 如图，过点作直线平行于轴，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，过点分别作的平行线交于点， ①∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即； ②∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即； ③∵， ∴可设直线的解析式为， ∵， ∴， 把代入，得， ∴， ∴直线的解析式为， 同理可得，直线的解析式为， 由，解得， ∴； 综上，存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数几何的应用，求一次函数解析式，平行四边形的判定与性质等知识，掌握相关知识，清晰的分类讨论是解题的关键． 6.（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．点为的中点，点在线段上，，点为线段上一动点，连接、、． (1)点坐标为________，点坐标为________； (2)求直线的表达式； (3)若的面积为4，求点坐标； (4)在（3）的条件下，点在轴上，点在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形为平行四边形．若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) (4)或或 【分析】（1）根据一次函数解析式，分别令，可以得两点的坐标； （2）根据两点的坐标，求出与的长度，再根据和点C为的中点来确定C与D的坐标，然后根据待定法可以计算出直线的解析式； （3）根据的面积的面积的面积的面积的面积，求解即可； （4）设点，点，分情况讨论∶①以，为对角线，②以，为对角线，③以，为对角线分别列二元一次方程组，求解即可． 【详解】（1）解∶∵直线交x轴于点A，交y轴于点B， 时，， 点， 当时，， ， ， 故答案为：，； （2）解∶∵点， ， ∵点C为的中点， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式：， 将点，点代入直线解析式 得 ， 解得 ， ∴直线的解析式为； （3）解：设点， ， ， 的面积， ， ， 的面积， 的面积， 的面积， 的面积的面积的面积的面积的面积， ， 解得， ， ∴点E坐标为 ； （4）解：存在以D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴设点，点， ①当四边形以， 为对角线时， ∵点，， ∴， 解得， ， ∴点； ②当四边形以， 为对角线， ∵点，， ， 解得， ， ∴点， ③当四边形以， 为对角线， ， 解得， ， ∴点， 综上，满足条件的点Q坐标为或或； 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，待定系数法求解析式，图象上点的坐标特征，三角形的面积，平行四边形的判定等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 7.（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知在平面直角坐标系中，点A为x轴上一点，点B的坐标为，点C的坐标为，且满足，，点P由点C出发，以m个单位的速度沿线段向点B运动，点Q由点A出发，以n个单位的速度沿x轴向点O运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)求点A的坐标； (2)如图1，若，，从运动开始，需经过多长时间，才能使？ (3)如图2，若点，当为等边三角形时，直接写出的值______． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，即可得到点B的坐标；过点B作轴于点R，求出，得到，则，据此求出的长即可得到答案； （2）设运动时间为，可证明轴，求出，根据，即，得到，解方程即可得到答案； （3）取点，过点P作交x轴于点K，连接，可证明是等边三角形，得到，可证明四边形是平行四边形，，得到，则可证明，得到，据此可求出，，则相同时间内点P所走的路程为4个单位长度，点Q所走的路程为3个单位长度，故． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点B作轴于点R， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标为； （2）解：设运动时间为， 由（1）可得， ∴轴， 由题意得，，则， ∴ ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴从运动开始，需经或，才能使； （3）解：如图所示，取点，过点P作交x轴于点K，连接， ∴， ∵点， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ∵轴，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴相同时间内点P所走的路程为4个单位长度，点Q所走的路程为3个单位长度， ∴． 8.（21-22八年级下·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线是一次函数的图象，直线是一次函数的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点． (1)用m、n分别表示点A、B、P的坐标； (2)若四边形的面积是，且，试求点P的坐标，并求出直线与的函数表达式； (3)在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或或． 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，平行四边形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）已知直线解析式，令，求出的值，可求出点，的坐标，联立方程组求出点的坐标即可； （2）先根据得到、的关系，然后求出，，并都用字母表示，根据列式求出的值，从而可求出的值，继而可推出点的坐标以及直线与的解析式； （3）由于、、三点已经确定，要确定点的位置，分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：在直线中，令，得， ∴点， 在直线中，令，得， ∴点， 由，解得：， ∴点； （2）解：∵， ∴， 整理得：， ∴，， 而， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的函数表达式为：， 的函数表达式为：； （3）解：存在， 过点P作直线平行于x轴，过点B作的平行线交于点，过点A作的平行线交于点，过点A、B分别作、的平行线交于点． ①∵且， ∴是平行四边形，此时， ∵， ∵，，， ∴，， ∴， ∴； ②∵且， ∴是平行四边形，此时， ∴； ③∵且， ∴是平行四边形， ∵且， ∴， 同理可得：， 由，得：， ∴， 综上：存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或． 9.（24-25八年级下·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知O为原点，四边形为平行四边形，A、B、C的坐标分别是，，，点D在第一象限．回答以下问题： (1)D点的坐标为______． (2)将平行四边形先向右平移个单位长度，·再向下平移个单位长度，得到新的平行四边形，那么它的四个顶点的坐标分别是：（______），（_____），（______），（______）； (3)平行四边形与四边形重叠部分的面积是______． 【答案】(1) (2)，，， (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，平行四边形的性质与判定，熟知平行四边形的性质与判定定理和平移的性质即可得到答案； （1）根据平行四边形对边平行且相等可得轴，据此求解即可； （2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可； （3）设交于E，交于F，则两个平行四边形重叠的部分为平行四边形四边形，求出的长和点到的距离即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴轴， ∴轴， ∵，且点D在点A右侧， ∴点D的坐标为，即； （2）解：∵将平行四边形先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到新的平行四边形， ∴，，，； （3）解：如图所示，设交于E，交于F，则两个平行四边形重叠的部分为平行四边形四边形（）， ∵，轴，， ∴点 到的距离为， ∵将平行四边形先向右平移个单位长度，·再向下平移个单位长度，得到新的平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴重叠部分的面积为． 10.（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为．且满足，现将线段先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到线段，其中点对应点为，点对应点为，连接． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________； (2)如图1，点是线段上的一个动点，点是线段的一个定点，连接，当点在线段上移动时（不与点重合），请探究之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，动点从点出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动时间为秒，当时，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)秒或秒 【分析】（1）先由二次根式和完全平方式的性质求解a和b的值，即可得到点的坐标，再根据图形的平移即可得到点的坐标和点的坐标． （2）作出辅助线，可得和，由两直线平行，内错角相等，可得角相等，再由平角和为转化角的关系即可求解． （3）先求出直角梯形的面积，根据点P的位置，分两类讨论，当点P在上时，设出，则有，由直角三角形的面积可求的面积，即可表示出四边形的面积，根据可求t的值；再讨论点P在的延长线上时，设出未知数，求解面积，由可求t的值，由此可求． 【详解】（1）解：因为满足， 所以且， 解得，， 即点，点， 又因为将线段先向上平移4个单位长度， 则纵坐标为4， 再向右平移6个单位长度得到线段， 则横坐标需加6， 所以可得点，点． （2）解：过点M作交于点E，如图， 因为是由平移得到， 所以， 因为， 所以， 所以，， 因为，， 所以，， 即， 因为， 所以． （3）解：因为， 所以直角梯形， 因为动点从点出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动， 设运动时间为秒， 当点P在上时， 则，， 所以， 所以， 因为， 所以，解得，满足； 当点P在的延长线上时，如图， 则，， 所以， 所以， 因为， 所以，解得，满足， 所以当时，求的值为秒或秒． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 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