19.3二次根式的加法与减法 同步练习 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 三层次渐进设计，覆盖二次根式加减的基础巩固、能力迁移与思维创新，通过教材变式、实际应用与探究性问题，培养运算能力、应用意识与创新意识，适配单元复习需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础测·教材变式|二次根式的合并、化简、基本运算|选择题、填空题聚焦概念辨析与教材变式，如判断可合并根式、化简求值，夯实运算能力| |能力测·迁移运用|综合运算、几何应用、新定义问题|结合长方形面积计算、新运算定义，如绿地通道造价问题，体现模型意识与应用能力| |思维测·拓展创新|配方探索、规律猜想|通过二次根式平方表示探究，如含根号式子化为平方式，发展抽象能力与创新意识|

19.3二次根式的加法与减法 基础测·教材变式 一、选择题(每小题3分，共15分) 1.下列各式中，能与 合并的是 ( ) A. B. C. D. a 2.下列运算正确的是 ( ) A. B. C. D. 3.化简 的结果为 ( ) A. B. C.1 D.-1 4.已知 则 的值为 ( ) A. B. C. D. 5.已知等腰三角形的两边长分别为 则此等腰三角形的周长为 ( ) A. B. 或 C. D. 二、填空题(每小题3分，共9分) 6.计算: 7.若 与最简二次根式 能合并,则m= . 8.已知一个长方形的周长为 其中一条边长为 则这个长方形的面积为 cm². 三、解答题(共25分) 9.(8分)计算: 10.(8分)已知 求下列代数式的值. 11.(9分)有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在木板上截出两个面积分别为 和 的正方形木板. (1)求剩余木料的面积； (2)如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm、宽为1 dm的长方形木条，最多能截出几根这样的木条? 能力测·迁移运用 一、选择题(每小题3分，共9分) 12.对于任意正实数a，b，定义一种新的运算： 如 则下列结论正确的是( ) A.3⊗6=5 B. C. D. 13.若m 为实数,在“( +2)□m”的“□”中添上一种运算符号(在“+”“一”“×”“÷”中选择)后,其运算的结果为有理数，则 m 的值不可能是 ( ) A. B. C. D. 14.已知x+y=-9, xy=9,则 的值是 ( ) A.6 B.-6 C.3 D.-3 二、填空题(每小题3分，共9分) 15.当 时，代数式 16.若 则 17.已知 的整数部分为a，小数部分为b，则 三、解答题(共33分) 18.(9分)如图，某居民小区有一块形状为长方形的绿地，绿地的长 BC 为 宽AB 为 现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛(即图中阴影部分)，长方形花坛的长为 宽为 (1)长方形 ABCD 的周长是多少? (2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为8元/m²的地砖，要铺完整个通道，求购买地砖需要花费多少元. 19.(12分) (填“>”“<”或“=”) (2)由(1)中各式猜想a+b与 的大小关系，并说明理由； (3)如图，某同学在做一个面积为 且对角线互相垂直的四边形风筝，用来做对角线的竹条至少要多少厘米? 思维测·拓展创新 20.(12分)小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 善于思考的小明进行了以下探索： 设 (其中a,b,m,n均为正整数),则有 这样小明就找到了一种把部分 的式子化为平方式的方法. 请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： (1)当a,b,m,n 均为正整数时,若 用含m，n的式子分别表示a，b，得 (2)若 且a，m，n均为正整数，求a 的值； (3)化简 1. C A. a的被开方数为3a，与 的被开方数不同，无法合并，故该选项不符合题意. B.6 的被开方数为a，与 的被开方数不同，无法合并，故该选项不符合题意. C. 可化简为 与 的被开方数相同，可以合并，故该选项符合题意.D. a的被开方数为6，与 的被开方数不同，无法合并，故该选项不符合题意. 2. C A. 与的被开方数不同，不能合并，故该选项不符合题意;B.3与的被开方数不同，不能合并，故该选项不符合题意；D 故该选项不符合题意. 3. A 原式 即 5. C 当腰长为3，底边长为时， ∴此时不能构成三角形. 当腰长为 底边长为3时， ∴此时能构成三角形， ∴此等腰三角形的周长为 6.2 原式 7.1 ∵ 与最简二次根式 能合并，∴2m+1=3,得2m=2,解得m=1. 8.∵长方形的周长为. 且其中一条边长为 ∴另一条边长为 ) cm, ∴这个长方形的面积为 9.解:(1)原式 2分 4分 (2)原式 6 分 8分 10.解:( , 2分 4分 6分 (2)由(1),得 32-21=11. 8分 11.解:(1)∵两个正方形木板的面积分别为 18dm² 和 32dm²,∴这两个正方形木板的边长分别为 和 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2分 ∴剩余木料的面积为⋯ 4分 (2)剩余木料的长为 3 dm,宽为 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分 7 分 ∴最多能截出 2 根这样的木条. 9分 故该选项错误； 故该选项错误； 故该选项错误； 故该选项正确. 13. 结果为有理数，不符合题意. 结果为有理数，不符合题意. 无论中间是哪种运算符号，运算结果均不为有理数，符合题意. 结果为有理数，不符合题意. 14. B ∵x+y=-9, xy=9,∴x<0,y<0, ∴原式 有意义， ∵1<3<4,∴1< <2, ∴原式 18.解:(1)∵长方形绿地的长 BC 为 宽 AB 为 ∴长方形 ABCD 的周长是 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分 (2)由题意，得购买地砖需要花费 (元). ⋯⋯⋯ 9分 19.解:(1)> > > = 4分 提示： . 5 分 理由如下： 8分 (3)设AC=a cm,BD=b cm. 由题意，得 ab=1800,∴ab=3600. 10分 ∴a+b≥120, 11分 ∴用来做对角线的竹条至少要 120 cm. 12分 20.解: 2 分 提示： ∵4=2mn,且m,n为正整数, ∴m=2,n=1或m=1,n=2, 或 . 6分 (3)设 且m，n为正整数， 8 分 同理可得， 10分 ∴原式 12 分 学科网（北京）股份有限公司 $