19.1二次根式及其性质19.2二次根式的乘法与除法 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 初中数学二次根式同步练，分基础、能力、思维三层，覆盖概念理解到创新应用，适配新授课知识巩固与素养提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础测|二次根式意义、取值范围、最简根式、乘除运算|教材变式题，选择填空解答结合，巩固概念与基础运算，培养抽象能力| |能力测|海伦-秦九韶公式应用、实数性质综合、物理情境（摆钟周期）|跨学科情境题，综合知识点应用，提升推理意识与模型意识| |思维测|无理方程转化、等式证明|创新题型，引导问题转化，发展创新意识与逻辑推理|

19.1二次根式及其性质19.2二次根式的乘法与除法 基础测·教材变式 一、选择题(每小题3分，共15分) 1.若 在实数范围内有意义，则实数 x 的值可以是 ( ) A.-2 B.-1 C.0 D.2 2.若 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ( ) A. x>0 B. x>-2 C.x≥-2 D. x<-2 3.下列各式中，是最简二次根式的是 ( ) A. B. C. D. 4.下列选项中，正确的是 ( ) A. B. 是最简二次根式 C. D. 5.已知 是整数，则正整数n 的最小值是 ( ) A.4 B.5 C.6 D.2 二、填空题(每小题3分，共12分) 6.当x=11时,二次根式. 的值为 . 7.计算: 8.如图，从一张大正方形纸片中裁去面积为 18 cm² 和 24 cm² 的两个小正方形，则剩余部分的面积的线 为 cm². 9.在一次物理实验中，研究小球从高处自由下落到地面的情况，小球离地面的高度为h(单位：m)，落到地面所用时间为t(单位：s).已知h与t².成正比例关系，当h=20时，t=2.现在小球离地面的高度为50 m，那么小球落地所用时间为 . 三、解答题(共25分) 10.(8分)化简: 11.(8分)计算: 12.(9分)如图，甲和乙均是体积为V且高为h 的长方体容器，甲容器的底面是边长为a 的正方形，乙容器的底面是长为b，宽为c(c≠b)的长方形. (1)若 求乙容器的体积V； (2)若 求甲容器的侧面积. 能力测·迁移运用 一、选择题(每小题3分，共9分) 13.已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积?古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》——书中，给出了计算公式 其中a,b,c为三角形的三边长，p为三角形的半周长， 为三角形的面积，并给出了证明.我国南宋S时期的数学家秦九韶曾提出等价的公式，所以我们也称①为海伦-秦九韶公式.在△ABC 中，若BC=4,AC=5,AB=7,则△ABC 的面积为 ( ) A. B. C. D. 14.如果 ab>0,a+b<0,那么下列各式正确的是 ( ) A. B. C. D. 15.在解决问题“已知 用含a，b的代数式表示 时，甲的结果是 乙的结果是 丙的结果是 则下列说法正确的是 ( ) A.只有甲对 B.只有乙、丙对 C.只有甲、乙对 D.甲、乙、丙都对 二、填空题(每小题3分，共6分) 16.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果是 . 17.摆钟是根据单摆定律制造的，其原理是用摆锤控制其他机件，使钟走的快慢均匀.摆钟的摆锤摆动一个来回发出1次滴答声，并将其所需要的时间记为一个周期T(单位：s)，周期公式为 其中l(单位：m)表示摆锤的长， 若某摆钟的摆锤长为0.4m，则在1m in内该摆钟发出滴答声的次数约为 (结果保留整数，参考数据：π≈3). 三、解答题(共33分) 18.(9分)若x,y为实数,且 求 的值. 19.(12分)若实数m 满足 求 的值. 思维测·拓展创新 20.(12分)小君想到了一种证明等式 成立的方法.证明过程如下：设 则 等号左边=mn，等号右边 ∵m≥0,n≥0,∴mn≥0, ∴等号右边=mn，∴等号左边=等号右边， ∴等式 成立. (1)王艳利用同样的方法求出方程 的解.她的想法是：将一个无理方程转化为一个整式方程(组)，再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解.请你帮助王艳完成她的求解过程. 解：设 则 将原无理方程转化为用m，n表示的整式方程(组)，并完成原无理方程的求解过程. (2)方程 的解为 . 在实数范围内有意义，∴x-1≥0，解得x≥1,∴x=2符合题意. 在实数范围内有意义，∴x+2>0，解得x>-2. 故 不是最简二次根式，本选项不符合题意. B故 不是最简二次根式，本选项不符合题意. 故不是最简二次根式，本选项不符合题意. D. 是最简二次根式，本选项符合题意. 4. D 故本选项错误，不符合题意. 故本选项错误，不符合题意. 故本选项错误，不符合题意. 故本选项正确，符合题意. 是整数，∴6n 是一个完全平方数，∴正整数n的最小值是 6. 6.3 ∵x=11,∴√x-2= -2= =3. 面积为1 8c m²和 2 4c m²的 两个小正方形的边长分别为3 cm,2 cm.由题图，得剩余部分为两个长为 ，宽为 3 cm 的长方形，∴剩余部分的面积为 设 .由h=20时,t=2,得 解得k=5,∴h=5t²,∴当h=50时, 解得 或 (舍去). 10.解:( · 2分 4 分 6 分 8分 11.解: 2分 4分 6分 8分 12.解：(1)由题意，得乙容器的体积 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3分 (2)∵甲、乙长方体容器的体积相同且高相同， ∴甲、乙长方体容器的底面积相同， , 5分 , 6分 ∴甲容器的侧面积为 ⋯⋯⋯⋯⋯· 9分 13. C 由题意,得 a=4,b=5,c=7,则 即△ABC 的面积为4 14. C 16.2b 由题图,得-1<a<0,0<b<1,∴b-a>0, 17.50 18.解：由题意可知， 解得x=3, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3分 ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6分 9分 19.解: 有意义,∴m-2 026≥0, ∴m≥2 026. 3分 7 分 ∴m-2 026=2 025², 10分 12 分 20.解:(1)m² n² 4分 过程：设 则 5 分 ∴m+n=4. 6分 ∴m-n=2. 7分 联立 解得 8分 9 分 (2)x=-0.5 12分 提示： ∴10x=-5,解得x=-0.5. 经检验，x=-0.5是原方程的解. 学科网（北京）股份有限公司 $