专题04二元一次方程组期中复习讲义(11大题型+题型突破)2025-2026学年苏科版七年级数学下册

专题04二元一次方程组期中复习讲义（不含应用） 知识目标 能力目标 应试目标 1.吃透二元一次方程 / 组定义（双未知 + 次数 1 + 整式），精准识别 2.掌握解的概念：方程解无数、方程组解为公共数对，知晓解的特殊情况 3.明确消元思想是解方程组的核心本质 1.会用一个未知数表示另一个，快速求指定范围解（如正整数解） 2.能代值验解、据已知解求方程中未知参数 3.灵活切换代入 / 加减消元法，按需选最优解法解任意二元一次方程组 4.搞定含参、同解问题，能结合非负数、同类项等构造方程组求解 1.概念辨析题秒判对错，理由直击核心 2.解方程组步骤规范，计算零失误、提速又保准 3.含参问题快速理清参数与未知数关系，精准求解 4.以消元为核心，快速拆解基础综合题，形成固定解题思路 题型01.二元一次方程的相关概念 题型02.二元一次方程组的相关概念 题型03.已知二元一次方程组的解求参数 题型04.解二元一次方程组(重点) 题型05.二元一次方程组的特殊解法 题型06.二元一次方程组的错解复原问题 题型07.构造二元一次方程组 题型08.已知二元一次方程组解的情况求参数 题型09.方程组相同解问题(重点) 题型10.三元一次方程组的解与应用(难点) 题型11.二元一次方程组结合新定义运算 解答题6题 知识点01.基础概念（核心定义，无歧义判定） 1.二元一次方程 含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是 1的整式方程。 一般形式：ax+by=c（a，b） ✅ 判定关键：① 两个未知数；② 未知数次数均为 1；③ 整式（无分母含未知数）；④ 一次项系数不为 0。 2.二元一次方程的解 使方程左右两边相等的一对未知数的值，记作：​ 性质：一个二元一次方程有无数组解（任取一个未知数的值，可求另一个未知数的对应值）。 3.二元一次方程组 1.定义 把两个含有相同未知数的二元一次方程合在一起，就组成二元一次方程组。 一般形式：​​ ✅ 判定关键：① 含相同两个未知数；② 每个方程均为二元一次方程；③ 方程个数≥2。 4. 二元一次方程组的解 同时满足方程组中所有方程的两个未知数的一组公共解。⚠️ 性质：一般情况下，二元一次方程组有唯一一组解；特殊情况（方程同解 / 矛盾）有无数组解或无解。 知识点02.核心性质（等式性质延伸，解方程依据） 1. 二元一次方程的变形性质 基于等式的基本性质 1、2，对二元一次方程进行恒等变形： 移项：ax+by=c⇒ax=c−by（移项变号）； 系数化为 1：by=c−ax⇒y=（b0，两边同除以非零数）； 变形核心：保持等式两边相等，为消元做准备。 2. 二元一次方程组的同解性质 对方程组进行以下操作，方程组的解不变： 1.交换方程组中两个方程的位置； 2.用一个非零常数乘（或除）方程组中某个方程的两边； 3.把方程组中一个方程的两边同乘一个常数，再加（或减）到另一个方程上（消元法的核心依据）。 知识点03.核心解法（消元思想，将二元转一元） 核心思想：消元—— 把二元一次方程组转化为已学的一元一次方程求解，消元方法分代入消元法和加减消元法。 1. 代入消元法（适用于某未知数系数为 ±1 的情况，步骤固定） 基本步骤（四步走，无遗漏）： 1.变形：把一个方程写成 y=ax+b 或 x=ay+b 2.代入：代入另一个方程，消去一个未知数 3.求解：解一元一次方程 4.回代：求出另一个未知数 5.写解：写成方程组解的形式 2. 加减消元法（适用于某未知数系数相等或互为相反数，步骤固定） 基本步骤（四步走，无遗漏）： 1.变形：使同一个未知数的系数相等或互为相反数 2.加减：两式相加 / 相减，消去一个未知数 3.求解：解一元一次方程 4.回代：求另一个未知数 5.写解 3. 解法选择技巧 方程组特征 优先解法 优势 某未知数系数为 ±1 代入消元法 变形简单，无需乘系数 某未知数系数相等 / 互为相反数 加减消元法 直接消元，步骤更少 未知数系数均为非 ±1 的整数 加减消元法 避免代入后出现分数.计算简便 知识点04.特殊方程组的解（判定方法，无计算技巧） 二元一次方程组的解的情况，由系数比例决定（核心结论，直接判定）： 唯一一组解：（两个方程代表的直线相交）；. 无数组解：==​（两个方程代表同一条直线）； 无解：=（两个方程代表的直线平行，无交点）。 题型01.二元一次方程的相关概念 【典例】已知二元一次方程，则用关于的代数式表示为：______． 【跟踪专练1】若是二元一次方程的一个解，则的值等于（　　） A． B． C．2 D．3 【跟踪专练2】方程是关于x，y的二元一次方程，则a的值为______． 【跟踪专练3】如果是方程的一组解，那么代数式的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 题型02.二元一次方程组的相关概念 【典例】请任写一个方程与方程－2=10组成一个二元一次方程组_________________． 【跟踪专练1】下列四对数值中，不是二元一次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 8 6.5 5 3.5 2 0.5 … 已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 2 … （1）仔细观察表中数据，直接写出关于，二元一次方程组的解为______． （2）关于，的二元一次方程组的解为______． 【跟踪专练3】解为 的方程组可以是（      ） A． B． C． D． 题型03.已知二元一次方程组的解求参数 【典例】小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回★这个数，★=______． 【跟踪专练1】已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知关于x，y的二元一次方程组的解为，那么关于m，n的二元一次方程组的解为______． 【跟踪专练3】若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 题型04.解二元一次方程组 【典例】解二元一次方程组时，若将方程①代入方程②后消去x，则得到的方程为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若关于，的方程组为则的值是_____． 【跟踪专练2】已知方程组的解是，则方程组的解是________． 【跟踪专练3】老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一个人，用合作的方式完成该方程组的解题过程，过程如图所示，合作中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丙和丁 题型05.二元一次方程组的特殊解法 【典例】已知关于x，y的二元一次方程的部分解如表： x … 2 5 8 11 … y … 2 9 … 关于x，y的二元一次方程的部分解如表： x … 2 5 8 11 … y … 2 26 … 则关于x，y的二元一次方程组的解是__________． 【跟踪专练1】已知关于，的方程组的解满足，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【跟踪专练2】已知方程组的解是，则方程组的解______． 【跟踪专练3】已知x，y满足方程组，则的值为（　　） A．2025 B．﹣1 C．1 D．﹣2025 题型06.二元一次方程组的错解复原问题 【典例】甲乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为；计算______． 【跟踪专练1】两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了，解得，则、、正确的值应为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【跟踪专练2】解方程组时，一学生把看错而得到，而正确的解是，那么______． 【跟踪专练3】解方程组时，小郑正确解得，而小童只看错了，解得，则的值是（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 题型07.构造二元一次方程组 【典例】写出一个解为的二元一次方程组：__________． 【跟踪专练1】对x，y定义一种新运算“※”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，．则的值是（     ） A．3 B．5 C．9 D．11 【跟踪专练2】已知，，，…，中每一个数值只能取、0、1中的一个，且满足，，则__________． 【跟踪专练3】某工艺品店推出每件价格分别为元、元、元三种工艺品，小安用元买了这三种工艺品共件，则单价为元的数量比单价为元的数量多（    ） A．件 B．件 C．件 D．件 题型08.已知二元一次方程组解的情况求参数 【典例】关于的方程组的解满足，则_____． 【跟踪专练1】关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则k的值为（   ） A．3 B． C． D． 【跟踪专练2】若关于的方程组的解使，则的取值范围是__________． 【跟踪专练3】若方程组的解满足，则等于（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 题型09.方程组相同解问题 【典例】关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是______． 【跟踪专练1】若方程组与方程组的解相同，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【跟踪专练2】已知方程组和方程组的解相同，则的值是_____． 【跟踪专练3】已知关于，的方程组的解满足，其中，都是实数，且．若，均为正整数，则符合条件的整数的个数为（    ） A． B． C． D． 题型10.三元一次方程组的解与应用 【典例】已知方程组，则______． 【跟踪专练1】现有圆锥、圆柱、球若干个，其中相同形状的几何体大小、质量都相等，将它们分别放在三个天平的托盘中，三个天平都处于平衡状态，用分别代表圆锥、圆柱、球，示意图如图1-图3，其中图3的天平右边托盘中是个球，那么的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【跟踪专练2】一个四位正整数m，各数位上的数字均不为0，若千位上的数字和百位上的数字之和，等于十位数字与个位数字之差的k倍（k为整数），称m为“k型数”，即例如，4275：，则4275为“3型数”；3526：，则3526为“型数”． （1）最小的“2型数”是_________． （2）若四位数m是“3型数”，是“型数”，将m的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数，也是“3型数”，求满足条件的m的最大值是_________． 【跟踪专练3】正正和阳阳一起玩猜数游戏．正正说：“你随便选定三个小于8的正整数，按下列步骤进行计算：第一步把第一个数乘以4，再减去15；第二步把第一步的结果乘以2，再加上第二个数；第三步把第二步的结果乘以8，再加上第三个数．只要你告诉我最后的得数，我就能知道你所选的三个正整数．”阳阳表示不信，但试了几次以后，正正都猜对了．请你利用所学过的数学知识来探索该“奥秘”，回答：当“最后的得数”是102时，阳阳最初选定的三个正整数按顺序分别是（    ） A．1，4，6 B．6，4，1 C．6，2，5 D．5，2，6 题型11.二元一次方程组结合新定义运算. 【典例】对于实数a，b，定义关于“”的一种运算：，例如，若，且，则a，b的值分别为（    ） A．，1 B．2， C．，2 D．1， 【跟踪专练1】对x，y定义一种新运算T，规定： （其中、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如： ，且，．则_______． 【跟踪专练2】对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数）．例如，若，则下列结论：①；②若，则；③若，则有且仅有1组正整数解；④若对任意有理数都成立，则．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练3】对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【解答题】 1．七年级（1）班为了奖励优秀学生，购买钢笔和笔记本两种奖品共花120元，每支钢笔的价格为10元，每本笔记本的价格为6元．设买钢笔支、笔记本本． (1)列出关于的方程； (2)列出所买的钢笔支数、笔记本本数的所有可能情况． 2．小明求得方程组的解为，由于不小心，滴上了墨水，刚好遮住了两个数●和■，求这两个数． 3．解方程组： (1)； (2)． 4．已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 5．解方程组：． 6．【阅读理解】已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求的值； (2)【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，则购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？ (3)【拓展延伸】对于有理数，定义新运算，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知．求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04二元一次方程组期中复习讲义（不含应用） 知识目标 能力目标 应试目标 1.吃透二元一次方程 / 组定义（双未知 + 次数 1 + 整式），精准识别 2.掌握解的概念：方程解无数、方程组解为公共数对，知晓解的特殊情况 3.明确消元思想是解方程组的核心本质 1.会用一个未知数表示另一个，快速求指定范围解（如正整数解） 2.能代值验解、据已知解求方程中未知参数 3.灵活切换代入 / 加减消元法，按需选最优解法解任意二元一次方程组 4.搞定含参、同解问题，能结合非负数、同类项等构造方程组求解 1.概念辨析题秒判对错，理由直击核心 2.解方程组步骤规范，计算零失误、提速又保准 3.含参问题快速理清参数与未知数关系，精准求解 4.以消元为核心，快速拆解基础综合题，形成固定解题思路 题型01.二元一次方程的相关概念 题型02.二元一次方程组的相关概念 题型03.已知二元一次方程组的解求参数 题型04.解二元一次方程组(重点) 题型05.二元一次方程组的特殊解法 题型06.二元一次方程组的错解复原问题 题型07.构造二元一次方程组 题型08.已知二元一次方程组解的情况求参数 题型09.方程组相同解问题(重点) 题型10.三元一次方程组的解与应用(难点) 题型11.二元一次方程组结合新定义运算 解答题6题 知识点01.基础概念（核心定义，无歧义判定） 1.二元一次方程 含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是 1的整式方程。 一般形式：ax+by=c（a，b） ✅ 判定关键：① 两个未知数；② 未知数次数均为 1；③ 整式（无分母含未知数）；④ 一次项系数不为 0。 2.二元一次方程的解 使方程左右两边相等的一对未知数的值，记作：​ 性质：一个二元一次方程有无数组解（任取一个未知数的值，可求另一个未知数的对应值）。 3.二元一次方程组 1.定义 把两个含有相同未知数的二元一次方程合在一起，就组成二元一次方程组。 一般形式：​​ ✅ 判定关键：① 含相同两个未知数；② 每个方程均为二元一次方程；③ 方程个数≥2。 4. 二元一次方程组的解 同时满足方程组中所有方程的两个未知数的一组公共解。⚠️ 性质：一般情况下，二元一次方程组有唯一一组解；特殊情况（方程同解 / 矛盾）有无数组解或无解。 知识点02.核心性质（等式性质延伸，解方程依据） 1. 二元一次方程的变形性质 基于等式的基本性质 1、2，对二元一次方程进行恒等变形： 移项：ax+by=c⇒ax=c−by（移项变号）； 系数化为 1：by=c−ax⇒y=（b0，两边同除以非零数）； 变形核心：保持等式两边相等，为消元做准备。 2. 二元一次方程组的同解性质 对方程组进行以下操作，方程组的解不变： 1.交换方程组中两个方程的位置； 2.用一个非零常数乘（或除）方程组中某个方程的两边； 3.把方程组中一个方程的两边同乘一个常数，再加（或减）到另一个方程上（消元法的核心依据）。 知识点03.核心解法（消元思想，将二元转一元） 核心思想：消元—— 把二元一次方程组转化为已学的一元一次方程求解，消元方法分代入消元法和加减消元法。 1. 代入消元法（适用于某未知数系数为 ±1 的情况，步骤固定） 基本步骤（四步走，无遗漏）： 1.变形：把一个方程写成 y=ax+b 或 x=ay+b 2.代入：代入另一个方程，消去一个未知数 3.求解：解一元一次方程 4.回代：求出另一个未知数 5.写解：写成方程组解的形式 2. 加减消元法（适用于某未知数系数相等或互为相反数，步骤固定） 基本步骤（四步走，无遗漏）： 1.变形：使同一个未知数的系数相等或互为相反数 2.加减：两式相加 / 相减，消去一个未知数 3.求解：解一元一次方程 4.回代：求另一个未知数 5.写解 3. 解法选择技巧 方程组特征 优先解法 优势 某未知数系数为 ±1 代入消元法 变形简单，无需乘系数 某未知数系数相等 / 互为相反数 加减消元法 直接消元，步骤更少 未知数系数均为非 ±1 的整数 加减消元法 避免代入后出现分数.计算简便 知识点04.特殊方程组的解（判定方法，无计算技巧） 二元一次方程组的解的情况，由系数比例决定（核心结论，直接判定）： 唯一一组解：（两个方程代表的直线相交）；. 无数组解：==​（两个方程代表同一条直线）； 无解：=（两个方程代表的直线平行，无交点）。 题型01.二元一次方程的相关概念 【典例】已知二元一次方程，则用关于的代数式表示为：______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，根据等式的基本性质， 把方程变形，移项，系数化为后得到答案． 【详解】解：已知二元一次方程， 移项，整理得：， 则用关于的代数式表示为：． 【跟踪专练1】若是二元一次方程的一个解，则的值等于（　　） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义．根据二元一次方程的解的定义将代入即可求解． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴． 故选：D． 【跟踪专练2】方程是关于x，y的二元一次方程，则a的值为______． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程可得且，即可求解． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴且， ∴且， 解得． 【跟踪专练3】如果是方程的一组解，那么代数式的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据方程组的解，得，变形得，代入求值即可． 本题考查了方程组的解，整体思想求代数式的值，熟练掌握求值的方法是解题的关键． 【详解】解：由是方程的一组解， 得， 变形得， ． 故选：A． 题型02.二元一次方程组的相关概念 【典例】请任写一个方程与方程－2=10组成一个二元一次方程组_________________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二元一次方程组的定义，写出一个含有字母为的二元次一次方程即可求解． 【详解】解：根据题意，与组成一个二元一次方程组的方程可以是： 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键．方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个这样的整式方程．像这样的方程组叫做二元一次方程组． 【跟踪专练1】下列四对数值中，不是二元一次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的解的概念，解题的关键是将各选项中的值代入方程，看等式是否成立． 依次把每个选项中的值代入方程，判断等式左右两边是否相等． 【详解】A、把代入方程的左边，可得，右边，左边=右边，所以该选项是方程的解，不符合题意； B、把代入方程的左边，可得，右边，左边右边，所以该选项是方程的解，不符合题意； C、把代入方程的左边，可得，右边，左边右边，所以该选项是方程的解，不符合题意； D、把代入方程的左边，可得，右边，左边右边，所以该选项不是方程的解，符合题意． 故选：D． 【跟踪专练2】已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 8 6.5 5 3.5 2 0.5 … 已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 2 … （1）仔细观察表中数据，直接写出关于，二元一次方程组的解为______． （2）关于，的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解与系数的关系是解题的关键 （1）两个表格中的相同解即为方程组的解； （2）根据两个方程组的系数的关系即可求解． 【详解】解：（1）根据表格可知，当时，中，中， ∴关于，二元一次方程组的解为， 故答案为； （2）∵关于，二元一次方程组的解为， ∴关于，的二元一次方程组的解为， 解得， ∴关于，的二元一次方程组的解为， 故答案为． 【跟踪专练3】解为 的方程组可以是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将代入各选项进行排除即可，正确理解二元一次方程组的解得定义是解题的关键． 【详解】解：、将代入可知，，不符合题意； 、将代入可知，，不符合题意； 、将代入可知，，符合题意； 、将代入可知，，不符合题意； 故选：． 题型03.已知二元一次方程组的解求参数 【典例】小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回★这个数，★=______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，熟练掌握“方程组的解满足方程组中的每一个方程”是解题的关键．利用方程组的解满足方程组中的方程，将已知的值代入对应的方程，求解的值． 【详解】解：∵方程组的解为，且， ∴将代入，得， ∴， ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【跟踪专练1】已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，即方程组的解满足组内所有方程，先通过已知方程求出a的值得到完整的解，再将解代入各选项验证即可． 【详解】∵将代入， ∴，解得，即方程组的解为， A. 将代入，左边，不符合题意； B. 将代入，左边，不符合题意； C. 将代入，左边，不符合题意； D. 将代入，左边右边，符合题意． 故选：D． 【跟踪专练2】已知关于x，y的二元一次方程组的解为，那么关于m，n的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解是解题的关键，观察两个二元一次方程组可得，由于，得到，解得即可得到答案． 【详解】解：∵与的形式相同； ∴， ∵二元一次方程组的解为， ∴， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练3】若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的解得到，即可得到答案。 【详解】解：方程组的解为， 故中， 解得． 题型04.解二元一次方程组 【典例】解二元一次方程组时，若将方程①代入方程②后消去x，则得到的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组—代入消元法，熟练掌握代入消元法解二元一次方程组是解题的关键．将方程①代入方程②，消去，通过代数运算化简即可得到结果． 【详解】由方程①得，将其代入方程②中得：，整理得． 故选：D． 【跟踪专练1】若关于，的方程组为则的值是_____． 【答案】6 【分析】本题考查了解二元一次方程组，通过将方程组的两个方程相加，进行整体运算，直接求出代数式的值 【详解】解：给定方程组 ，将①和②相加，得， 即． 故答案为：6． 【跟踪专练2】已知方程组的解是，则方程组的解是________． 【答案】 【分析】题干已知的解，得到，然后将代入第二个方程组，再求解第二个方程组，解方程组即可得出结果． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴， 即， 所以可变形为， 得，， 解得：， 将代入①，得， ∴方程组的解是． 【跟踪专练3】老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一个人，用合作的方式完成该方程组的解题过程，过程如图所示，合作中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丙和丁 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法与加减消元法是解题的关键； 观察四位同学的解题过程，找出出错的即可． 【详解】解：， 由①得：， 把③代入②得：， 去分母得：， 解得：， 由③得： 则合作中出现错误的同学为丙； 故答案为：C 题型05.二元一次方程组的特殊解法 【典例】已知关于x，y的二元一次方程的部分解如表： x … 2 5 8 11 … y … 2 9 … 关于x，y的二元一次方程的部分解如表： x … 2 5 8 11 … y … 2 26 … 则关于x，y的二元一次方程组的解是__________． 【答案】 【分析】根据二元一次方程组的定义解答即可． 【详解】由题意可知，既是方程的解，也是方程的解， 二元一次方程组的解是 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 【跟踪专练1】已知关于，的方程组的解满足，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，利用两式相加化简得到，根据题意，方程组的解满足，得到，求解即可． 【详解】解：， ①②得：， 两边同时除以3，得：， 根据题意，方程组的解满足， 因此：， 解得：． 故选：C． 【跟踪专练2】已知方程组的解是，则方程组的解______． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解二元一次方程组，用换元法求解即可，掌握解二元一次方程组方法是解题的关键． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解为， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知x，y满足方程组，则的值为（　　） A．2025 B．﹣1 C．1 D．﹣2025 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、代数式求值等知识点，运用整体法求出的值是解题的关键． 方程组中的两个方程直接相加即可求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ①+②，得， ∴， ∴． 故选：B． 题型06.二元一次方程组的错解复原问题 【典例】甲乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为；计算______． 【答案】0 【分析】本题考查了二元一次方程组错解问题，将代入方程组的第二个方程，代入方程组的第一个方程，分别求出a与b的值，即可求出所求式子的值． 【详解】解：把代入②，得， 解得； 把代入①，得， 解得； 所以． 故答案为： 【跟踪专练1】两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了，解得，则、、正确的值应为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，解题的关键是理解题意得出正确的方程组．把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a，b，c的值，即可求出所求． 【详解】解：把代入方程组得： ， 把代入得：， 联立得：，解得：， 由，得到， 故选：A． 【跟踪专练2】解方程组时，一学生把看错而得到，而正确的解是，那么______． 【答案】 【分析】学生仅看错系数，因此错解和正确解都满足未改动的方程，代入列方程组求出、，将正确解代入，求出，把、、代入即可得出． 【详解】解：错解和正确的解都满足不含的方程，分别代入得 ， 解得， 正确的解满足原方程，代入得， 解得， ∴． 【跟踪专练3】解方程组时，小郑正确解得，而小童只看错了，解得，则的值是（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】A 【分析】正确解满足原方程组所有方程，小童只看错c，因此其解满足第一个方程，据此列出方程求解、、，再计算即可． 【详解】解：∵小郑的解是原方程组的正确解， ∴代入原方程组得， 解得，， ∵小童只看错，因此满足， ∴代入得， 整理得， 联立得方程组， 解得：，， ∴． 题型07.构造二元一次方程组 【典例】写出一个解为的二元一次方程组：__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据给定的解，构造两个二元一次方程，使得解满足方程即可． 【详解】解：计算，得到方程； 计算，得到方程． 因此，方程组为． 故答案为（答案不唯一） 【跟踪专练1】对x，y定义一种新运算“※”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，．则的值是（     ） A．3 B．5 C．9 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．根据题意联立二元一次方程组，解出m，n的值，再代入运算中即可求解． 【详解】解：由题意得：， 整理得， 得：， 把代入得：， ∴， 则， 故选：C． 【跟踪专练2】已知，，，…，中每一个数值只能取、0、1中的一个，且满足，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，根据题意列出关于p、q的二元一次方程组是解答此题的关键．先设有个取，个取，其余的取，根据，可得出关于，的二元一次方程组，求出，的值，再把，及的值代入求解． 【详解】解：设有p个x取1，q个x取， 则有， 解得， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】某工艺品店推出每件价格分别为元、元、元三种工艺品，小安用元买了这三种工艺品共件，则单价为元的数量比单价为元的数量多（    ） A．件 B．件 C．件 D．件 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是正确找到等量关系．设购买单价为元的工艺品件，购买单价为元的工艺品件，则购买单价为元的工艺品件，根据题意列出二元一次方程，进而得到，代入即可求解． 【详解】解：设购买单价为元的工艺品件，购买单价为元的工艺品件，则购买单价为元的工艺品件， 根据题意得：， 整理得：， ， ， ， 故选：B． 题型08.已知二元一次方程组解的情况求参数 【典例】关于的方程组的解满足，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了含参数的二元一次方程组的解法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 利用加减消元法即可求出方程组的解，然后代入求参即可． 【详解】解：， ①②，得：， ∴， 代入②得：， 解得：， ∴， ∴， 解得：． 故答案为： ． 【跟踪专练1】关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则k的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解原方程组，用含k的式子表示x和y，再将代入方程，即可计算得到k的值. 【详解】解： ∵ ①②得 ， ∴ 解得 ， 把代入②得 ， 解得 ， 把代入， 得 ， 即 ， 解得 . 【跟踪专练2】若关于的方程组的解使，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法，二元一次方程组的解法，熟练掌握运算法则是解题的关键．先解二元一次方程组，将的值代入，得到关于的一元一次不等式进行计算即可． 【详解】解： 由①，解得③， 由，解得④， 将③④代入， ， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练3】若方程组的解满足，则等于（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法与代数式求值，解题的关键是将方程组中的两个方程相加，结合建立关于的方程． 将方程组的两个方程左右两边分别相加，得到含与的等式，再代入求解． 【详解】解：已知方程组， 将两方程相加，得：， 整理得：， 两边同时除以5，得：． 又因为，所以， 解得． 故选：B． 题型09.方程组相同解问题 【典例】关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是______． 【答案】 【分析】本题考查同解方程组，先将关于的二元一次方程组化为，再由该方程组的解与关于的二元一次方程组的解相同，得到即可确定答案．读懂题意，理解题中两个方程组是同解方程组是解决问题的关键． 【详解】解：由关于的二元一次方程组可得， ，则， 关于的二元一次方程组的解是， 关于的二元一次方程组的解是， 即， 故答案为：． 【跟踪专练1】若方程组与方程组的解相同，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解的定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．理解定义是关键． 把代入方程组，得到一个关于a，b的方程组，将方程组的两个方程左右两边分别相加，整理即可得出的值． 【详解】解：把代入方程组， 得：， ①+②，得：， 则． 故选：C． 【跟踪专练2】已知方程组和方程组的解相同，则的值是_____． 【答案】 【分析】联立两方程组中不含与的方程形成新的方程组，求解新方程组得到与的值，代入剩下的方程求出与的值，最后代入求解即可． 【详解】解：联立得：， ①②得：，即， 把代入①得：， 将代入得， 将代入得， 联立得， 解得：，， 则． 【跟踪专练3】已知关于，的方程组的解满足，其中，都是实数，且．若，均为正整数，则符合条件的整数的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解含参二元一次方程组，先求出方程组的解为，求出、的表达式，由得出、等式，求出正整数解，即可求解；能熟练求解含参二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：解方程组得： ， ， 解得：， ， ， 整理得：， ，均为正整数， 当时，， ， 当时，， ， 当时，， ， 的值为、、，共个； 故选：A． 题型10.三元一次方程组的解与应用 【典例】已知方程组，则______． 【答案】 【分析】此题考查了解三元一次方程组；方程组中三个方程左右两边相加，变形即可得到的值． 【详解】解：， ①②③，得 ， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】现有圆锥、圆柱、球若干个，其中相同形状的几何体大小、质量都相等，将它们分别放在三个天平的托盘中，三个天平都处于平衡状态，用分别代表圆锥、圆柱、球，示意图如图1-图3，其中图3的天平右边托盘中是个球，那么的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，理解题意并列得正确的方程组是解题的关键．设一个圆锥的质量为，一个圆柱的质量为，一个球的质量为，由图1，图2可得，，然后利用含的代数式表示出，，最后将其代入中计算即可求得答案． 【详解】解：设一个圆锥的质量为，一个圆柱的质量为，一个球的质量为， 由图1得， 整理得：①， 图2得， 整理得：②， ①②得：， 将代入②得：， 则， 那么， 即， 故选：C． 【跟踪专练2】一个四位正整数m，各数位上的数字均不为0，若千位上的数字和百位上的数字之和，等于十位数字与个位数字之差的k倍（k为整数），称m为“k型数”，即例如，4275：，则4275为“3型数”；3526：，则3526为“型数”． （1）最小的“2型数”是_________． （2）若四位数m是“3型数”，是“型数”，将m的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数，也是“3型数”，求满足条件的m的最大值是_________． 【答案】 【分析】本题是一个新定义阅读题，主要考查整式的加减和三元一次方程组，考查了学生阅读、归纳材料的能力；重点是理解题目意思，熟练掌握整式的加减 （1）根据“k型数”直接求解即可； （2）根据题目中的要求进行整式的加减运算，分情况讨论即可． 【详解】解：（1）设这个四位数（其中，b，c，且均为整数），若，且k为整数，称m为“k型数”， ∵，b，c，且均为整数 ∴,，即， ∴当时，有最小的“2型数”为， 故答案为：； （2）设四位数， ∵四位数m是“型数”， ∴，则， 是“型数”，则十位数与个位数的差是个负数， ∴，或， 当时，，与矛盾，舍去， 当时，， ∴可取、两个数，则， 将m的百位数字与十位数字交换位置，得到新四位数， 也是“型数”，则， 联立上述式子得：， ①当时，， 解得，则四位数； ②当时，， 解得，则四位数； 满足条件的所有四位数m有和． 则满足条件的m的最大值是． 故答案为：． 【跟踪专练3】正正和阳阳一起玩猜数游戏．正正说：“你随便选定三个小于8的正整数，按下列步骤进行计算：第一步把第一个数乘以4，再减去15；第二步把第一步的结果乘以2，再加上第二个数；第三步把第二步的结果乘以8，再加上第三个数．只要你告诉我最后的得数，我就能知道你所选的三个正整数．”阳阳表示不信，但试了几次以后，正正都猜对了．请你利用所学过的数学知识来探索该“奥秘”，回答：当“最后的得数”是102时，阳阳最初选定的三个正整数按顺序分别是（    ） A．1，4，6 B．6，4，1 C．6，2，5 D．5，2，6 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组，设这三个数为、、，由题意可得，整理得出，再将各个选项代入计算即可得解． 【详解】解：设这三个数为、、， 由题意得：， 整理得：， 、将1，4，6代入可得：，故不符合题意； B、将6，4，1代入可得：，故不符合题意； C、将6，2，5代入可得：，故不符合题意； D、将5，2，6代入可得：，故符合题意； 故选：D． 题型11.二元一次方程组结合新定义运算. 【典例】对于实数a，b，定义关于“”的一种运算：，例如，若，且，则a，b的值分别为（    ） A．，1 B．2， C．，2 D．1， 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，解二元一次方程组，根据新定义建立关于a，b的方程组是解答本题的关键．根据新定义建立关于a，b的方程组，然后用加减消元法求解即可． 【详解】解：根据题意，得 整理，得， 得， ∴， 将代入②得，， ∴． 故选B． 【跟踪专练1】对x，y定义一种新运算T，规定： （其中、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如： ，且，．则_______． 【答案】4 【分析】本题考查了二元一次方程组，将题中所给的数据代入可得关于的二元一次方程组，解方程组即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，， 可得方程组， 解得， ， 故答案为：4． 【跟踪专练2】对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数）．例如，若，则下列结论：①；②若，则；③若，则有且仅有1组正整数解；④若对任意有理数都成立，则．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组及新定义运算，理解新定义运算的规定是解决本题的关键．根据新定义运算建立方程组求解a、b的值，逐一验证各结论的正确性． 【详解】由得：，即； 由得：，即． 联立方程组： ， 解得：，，故结论①正确． ，即，解得，结论②正确． 方程的正整数解为： 时，； 时，， 共有2组解，结论③错误． 由得： ， ∴， 对所有成立，需，即，结论④错误． 综上，正确的结论为①、②，共2个， 故选B． 【跟踪专练3】对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1)1， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解： ，得， ∴， 把代入②，得， ∴， 解得：； 故答案为：，； （2）， ，． ， ． 解得； （3）依题意得， 解得：， ， ． 解得∶． 【解答题】 1．七年级（1）班为了奖励优秀学生，购买钢笔和笔记本两种奖品共花120元，每支钢笔的价格为10元，每本笔记本的价格为6元．设买钢笔支、笔记本本． (1)列出关于的方程； (2)列出所买的钢笔支数、笔记本本数的所有可能情况． 【答案】(1) (2)购买钢笔支，笔记本本或购买钢笔，笔记本本或购买钢笔支，笔记本本 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，理解题意是解题的关键． （1）根据买钢笔的钱买笔记本的钱列二元一次方程即可； （2）根据、的值均为正整数，即可确定满足条件的、的值． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）满足条件的、的值如下表所示： 3 6 9 15 10 5 购买钢笔支，笔记本本或购买钢笔，笔记本本或购买钢笔支，笔记本本 2．小明求得方程组的解为，由于不小心，滴上了墨水，刚好遮住了两个数●和■，求这两个数． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解的应用，解题的关键是将已知的解代入方程组中相应方程求解未知量． 先将已知的值代入含x，y的方程求出的值，再将x，y的值代入另一个方程求出被遮住的数． 【详解】将代入方程得：， 解得：， 将代入方程中， ， 所以． 3．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法求解； （2）利用加减消元法求解． 【详解】（1）解： 将代入得，， 解得， 将代入得，， 因此该方程组的解为； （2）解： 得，， 解得， 将代入得，， 解得， 因此该方程组的解为． 4．已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同解方程组，代数式求值，理解题意正确计算是解题的关键． （1）根据题意联立得，即可求出两个方程组的相同的解； （2）把方程组的解分别代入方程和中，得到关于、的方程组求解，然后代入要求的式子计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， 即这两个方程组的相同解是； （2）解：把分别代入方程和中，得， 解得， ． 5．解方程组：． 【答案】， 【分析】本题考查了解高次方程组，三元一次方程组，由原方程组变为，设，，，从而可得，解得或，然后代入三元一次方程组即可求解，掌握换元降次法解方程组是解题的关键． 【详解】解：由原方程组变为， 设，，， ∴， 解得：或， ∴或， 解得：或． 6．【阅读理解】已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求的值； (2)【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，则购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？ (3)【拓展延伸】对于有理数，定义新运算，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知．求的值． 【答案】(1)19 (2)30元 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键． （1）将方程即可求解； （2）设每只铅笔元，每块橡皮元，每本日记元，由题意列出方程组，即可求解； （3）由题意列出方程组，再计算出的结果即可得到答案，即可求解． 【详解】（1）解：解： 得，， 得，； （2）解：解：设一支铅笔的单价为元，一块橡皮的单价为元，一本日记本的单价为元， 根据题意得， 得，， 得，， 得，， 答：购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需30元； （3）解：解：根据新定义运算得， 得， ∴．. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $