专题04 二元一次方程组18大题型（期中复习讲义）七年级数学下学期新教材苏科版

专题04 二元一次方程组（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 二元一次方程的定义与解 题型02 二元一次方程组的定义与解 题型03 已知二元一次方程组的解求参数 题型04 解二元一次方程组 题型05 二元一次方程组的特殊解法 题型06 二元一次方程组的错解复原问题 题型07 构造二元一次方程组求解 题型08 二元一次方程组的同解问题 题型09 已知二元一次方程组解的情况求参数 题型10 三元一次方程组的定义、解与应用 题型11 方案问题 题型12 行程问题 题型13 工程问题 题型14 分配问题 题型15 销售利润问题 题型16 几何问题 题型17 古代问题 题型18 二元一次方程组的新定义问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 二元一次方程的定义 掌握二元一次方程的定义、特征，能准确判断并理解其解的含义。 基础常考题，一般是概念辨析问题，出现在小题中，分值2分左右 二元一次方程的解 理解二元一次方程解的意义，能判断解、求对应未知数的值，并知道其有无数组解。 基础常考题，题型主要是给出方程的解去求解，出现在小题中，分值2分左右 二元一次方程组的定义与解 掌握二元一次方程组的定义，能判断方程组，并理解其解的意义、会检验一组数是否为方程组的解。 基础常考题，出现在小题中，分值2分左右 解二元一次方程组 理解并掌握代入消元法、加减消元法，能熟练解二元一次方程组，并检验解的正确性。 核心必考题，一般在计算题考查，难度不大，分值在5分左右 二元一次方程组的含参问题 掌握含参数的二元一次方程组的解法，能根据解的情况、同解等条件求参数的值或范围。 重要考点，含参问题一直是初中的难点，一般会在小题中考查，分值在3分左右 二元一次方程组的错解复原问题 利用看错系数的错解反推原方程或参数，还原并正确求解二元一次方程组。 常考易错题，所有题型均可能考查，分值在3分左右，难度不大 三元一次方程组的相关概念 三元一次方程组的相关概念 基本常考题，一般出现在小题，分值3分 二元一次方程组的实际问题 能从实际问题中提炼等量关系，列出并求解二元一次方程组，解决配套、行程、工程、利润等常见应用题。 核心必考题，二元一次方组的实际应用是期中的必考题，注意各种题型的解题方法，一般分值在6分左右 知识点01 二元一次方程 定义： 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程； 2.注意： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数； (2)“含有未知数的项的次数都是1”不可理解为两个未知数的次数都是1； (3)二元一次方程的左边和右边都是整式， 3.方法技巧 判断一个方程是不是二元一次方程要“三看”：一看原方程是不是整式方程；二看化简后的方程是否含有两个未知数；三看含有未知数的项的次数是否都是1， 知识点02 二元一次方程的解 定义： 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 2.注意： （1） 在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解． （2）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数的值，再依次求出另一个的对应值． 3.验证二元一次方程的解的方法 把数值代入原方程，验证等号左右两边是否相等： 简记为：一代，二算，三判断 4.一般情况下，一个二元一次方程有无数组解，但如果对其未知数的取值附加某些限制条件，那么也 可能有有限个特殊的解. 知识点03 二元一次方程组的概念 1.二元一次方程组的定义： 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 2.注意： (1)二元一次方程组一共要含有两个未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数 (2)方程组中的各个方程，相同未知数必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起。 3.方法技巧： 判断一个方程组是二元一次方程组的方法 (1)方程组中各个方程都是整式方程： (2)方程组中一共含有两个不相同的未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数： (3)含未知数的项的次数都是1. 知识点04 二元一次方程组的解 1. 定义： 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 2. 注意： 一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 3.方法技巧： （1）方程组的解一定是方程组中每一个方程的解，但方程组中每一个方程的解不一定是这个方程组的解； （2）方程组的解要用大括号联立表示； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一组，但也有特殊情况，代入检验法检验一对数值是否为某二元 次方程组的解的方法是将这对数值分别代入方程组中的每个方程，只有这对数值满足其中的所有方程时，才能说这对数值是此方程组的解，如果这对数值不满妮其中的某一个方程，那么它就不是此方程组的解. 知识点05 代入消元法 1.代入消元法的概念 将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代人另一个方程，消去这个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法称为代入消元法，简 称代入法. 2. 用代入法解二元一次方程组的一般步骤： （1） 变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来． （2） 代入：将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． （3） 求解：解这个一元一次方程，求出x（或y）的值． （4） 回代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值． （5） 写解：把求得的x、y的值用大括号“{”联立起来，就是方程组的解． 3.方法技巧： 用代入消元法解二元一次方程组的关键是“消元”，即化“二元”为“一元”。应注意的问题： (1)找准消元对象，消元对象一般选取系数简单的（如系数的绝对值较小的，系数是±1的)未知数，使变形后的方程比较简单或代入后比较容易化简. (2)在用代入法解二元一次方程组的一般步骤的“代入”中，必须理解“另一个”的含义，否则，若把y=ar+b代入变形的原方程，必然得到一个恒等式 (3)用代入法求出一个未知数的值后，再求另一个未知数时，一般代入变形后得到的方程比较 简单。 知识点06 加减消元法 1.加减消元法的概念 把方程组的两个方程（或先做适当变形）的左、右两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解 二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法称为加减消元法，简称加减法. 2.用加减法解二元一次方程组的一般步骤： （1） 变形：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数． （2） 加减：把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． （3） 求解：解这个一元一次方程，求得未知数的值． （4） 回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值． （5） 写解：把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用大括号“{”的形式表示． 3.用加减消元法解二元一次方程组应注意的问题： (1)化为标准形式·用加减消元法解二元一次方程组时，一般先把方程组整理成标准形式，再设法加减消元，这样不易出错. (2)选准消元对象，当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该未知数较简单，如果同一未知数的系数既不相等，也不互为相反数，那么可以利用等式的性质进行转化，使同一未知数的系数变得相等或互为相反数· 4.加减消元法四大解题策略： 策略一：对于相同未知数的系数互为相反数的二元一次方程组，直接相加消元. 策略二：对于相同未知数的系数相同的二元一次方程组，直接相减消元 策略三：当二元一次方程组中有系数成倍数关系的相同未知数时，应适当变形后消去这个未知数. 策略四：当二元一次方程组不具备以上三种类型时，选择系数的绝对值较小的相同未知数作为“消元” 的目标更简便 知识点07 三元一次方程组的概念、解与应用 三元一次方程组的概念 1.三元一次方程组的定义： 方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． 2.三元一次方程组必须同时满足三个条件： （1）方程组中一共含有三个未知数，而不是每个方程都必须含有三个未知数； (2)含未知数的项的次数是1； (3)方程组中共有三个整式方程， 解三元一次方程组 1.解三元一次方程组的基本思路 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程 2.解三元一次方程组的方法： 解三元一次方程组时，先仔细观察三个方程中各个未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定消哪个“元”，再灵活选用代入消元法或加减消元法将三元化为二元， 3.解三元一次方程组的一般步骤： ①消元：首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组． ②求解：然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值． ③回代：再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程． ④求解：解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值． ⑤写解：最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可． 三元一次方程组的简单应用 在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． （1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础． （2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性． 知识点08 二元一次方程组的实际应用 由实际问题抽象出二元一次方程组 1. 由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． 2.一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． 3.找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系． ②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系． ③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系． 4. 建立二元一次方程组的基本模型 二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 题型一 二元一次方程的定义与解 易｜错｜点｜拨 定义易错：必须是整式方程，含两个未知数且次数都是 1；分母有未知数、含 xy 项都不是二元一次方程。 解的易错：二元一次方程有无数组解；检验时要把一对数值同时代入验证；已知一个未知数求另一个，注意移项计算别出错。 1．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二元一次方程需满足：是整式方程，含有两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A、∵项的次数为2，∴A不符合要求； B、∵该方程是整式方程，含有两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，∴B符合二元一次方程定义； C、∵分母含有未知数，不是整式方程，∴C不符合要求； D、∵只含有一个未知数，且的最高次数为2，所以不是一次方程，∴D不符合要求． 2．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如果是二元一次方程，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的定义，方程中两个未知数的次数都为1，据此列出关于m、n的等式，求出m、n的值后代入计算即可．熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴未知数和的次数都为1， 可得， 解，得， 解，得， 将 ，代入，得 ． 故选：B． 3．（25-26七年级下·江苏·期中）若方程是关于x，y的二元一次方程，则关于m，n的值判断正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，方程应含有两个未知数，且每个未知数的次数均为1，同时未知数的系数不能为零，据此求出结论即可． 【详解】解：∵ 方程 是关于， 的二元一次方程， ∴的指数必须为1，即， 解得：， ∵的系数（若 ，则方程变为，不符合二元一次方程定义）， ∴， ， 故选：C． 4．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）若是二元一次方程的一个解，则的值等于（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，掌握其定义是解题的关键．根据二元一次方程的解的定义，将代入方程即可求解． 【详解】解：是二元一次方程的一个解， ∴将代入得，． 故选：D． 题型二 二元一次方程组的定义与解 易｜错｜点｜拨 定义易错 必须满足：共含两个未知数，每个方程都是一次整式方程； 易错：出现 xy 项、未知数在分母、出现三个未知数，都不是二元一次方程组； 解的易错 方程组的解要同时满足所有方程，只满足一个不算解； 不要和二元一次方程混淆：方程组一般只有一组解，不是无数组； 检验时易只代入一个方程验算，导致判断错误。 5．（24-25七年级下·江苏南京·期中）表示二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、方程组含有三个未知数，故本选项不符合题意； B、第二个方程的次数为2，故本选项不符合题意； C、的次数为2，故本选项不符合题意； D、符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意． 6．已知一个二元一次方程组的解是则这个方程组可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将方程组的解代入各选项的方程是解题的关键．将方程组的解代入各选项的方程，看是否成立即可得出答案． 【详解】解：A.把代入得：，，故该选项符合题意； B. 把代入得：，，故该选项不合题意； C. 把代入得：，故该选项不合题意； D. 把代入得：，故该选项不合题意． 故选：A． 7．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若是关于的二元一次方程组，则___________． 【答案】或1 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的定义求参数，代数式求值问题，熟练掌握和运用二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 先根据二元一次方程组的定义得出，据此求出m、n的值，代入计算可得结果． 【详解】解：根据题意知，， 解得，， 或． 故答案为：或1． 8．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知方程的三个解为方程的三个解为则方程组的解为______． 【答案】 【分析】根据方程组的解的定义，能够同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解观察得出两个方程的解中相同的解为方程组的解． 【详解】解：根据方程组的解的定义，能够同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解， 可知是这两个方程中所有的解中能同时满足两个方程的解， ∴方程组的解为， 故答案为：． 【点睛】此题主要是考查了方程组的解的定义，能够熟练掌握同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解是解答此题的关键． 题型三 已知二元一次方程组的解求参数 易｜错｜点｜拨 1.方程组的解同时满足两个方程，不能只代入一个方程求参数; 2.代入计算时，注意符号、系数不要抄错，避免移项、去括号出错; 3.看清题目：是求参数的值，还是求含参数的代数式的值，不要答非所问; 4.求出参数后，可回代检验，防止计算错误。 9．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）若是二元一次方程组的解，则的值是（　　） A．18 B．20 C．22 D．25 【答案】D 【分析】本题考查方程组的解，解二元一次方程组，将解代入方程组，得到关于m和n的方程，解出m和n后计算的值． 【详解】∵是方程组的解， ∴ 解得， ∴． 故选：D． 10．（24-25七年级下·江苏·期中）已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为(    ) A．6 B．4 C．3 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了根据二元一次方程的解求参数的值，将方程的解代入原方程，解关于的一元一次方程即可． 【详解】将解代入方程， 得： 解得：， 故选：C． 11．（24-25七年级下·江苏常州·期末）已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解， 方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．把x与y的值代入方程组计算求出a与b的值，即可求出的值． 【详解】解∶∵是关于x，y的二元一次方程组的解， ∴， 解得， ∴， 故答案为∶0． 12．（24-25七年级下·江苏南京·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组以及二元一次方程的解，根据方程组的特征得到是解题的关键． 【详解】解：， ，， ③， 把③代入中，得， 解得：． 题型四 解二元一次方程组 13．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）解方程组 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）代入消元法解方程组即可； （2）加减消元法解方程组即可. 【详解】（1）解： 由①，得③ 把③代入②，得，解得， 把代入③，得， ∴这个方程组的解是； （2）解： ，得③ ，得④ ，得，解得； 把代入①，得，解得； ∴这个方程组的解是． 14．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据方程组的系数特点灵活选用恰当的方法求解是解题的关键． （1）直接利用加减消元法进行求解即可； （2）整理后，利用代入消元法进行求解即可． 【详解】（1）解： 由得， 解得， 将代入①得，，江苏连云港 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：原方程组整理得，， 由①得， 将代入②得，， 解得， 将代入得，， ∴原方程组的解为． 15．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）解下列方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组，是解题的关键： （1）加减消元法解方程组即可； （2）加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， ，得，解得； 把代入①，得，解得； ∴方程组的解为； （2）原方程组可化为， ，得，解得， 把代入①，得，解得， ∴方程组的解为． 16．（25-26七年级下·广东深圳·期中）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法和加减消元法． （1）用加减消元法消去，求出的值，再代入求出的值； （2）先将第一个方程整理成整式方程，再用代入消元法求解． 【详解】（1）解： 由得：③， ②－③得： 解得： 把代入得：，即 解得： 方程组的解为； （2）解： 先对进行整理，两边同乘6得：， 展开得：，移项得：③， 由②得：④， 把④代入③得：， 解得：， 把代入④得：， 方程组的解为． 题型五 二元一次方程组的特殊解法 17．（24-25七年级下·广西南宁·期中）在解二元一次方程组时，有些方程组直接用我们学过的“代入法”和“消元法”解决时计算量较大，容易出错．数学兴趣小组经过探索研究，发现了下面两种解决二元一次方程组的新方法． 【整体代入法】例：解方程组时，由①，得③，然后再将③代入②，得，解得．将代入③，得，该方程组的解． 根据上面方法，解决下面问题： (1)解方程组：； 【轮换式解法】例：解方程组时， ①②，得，③． ③，得④． ②④，得，将代入③，得． 该方程组的解是 根据上面方法，解决下面问题： (2)解方程组：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握题干提供的方法． （1）先求出，然后再把代入，求出y的值，再求出x的值即可； （2）求出，得出，用求出，把代入得，即可得出方程组的解． 【详解】（1）解：， 由①得：， 把③代入②得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴不等式组的解集为：； （2）解：， 得：， ∴得：， 得：， 把代入得：， ∴方程组的解为：． 18．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）解方程组：；甲、乙同学的部分解题过程如下： 甲：将②①，得． 乙：由②得③，把①代入③． (1)老师评价以上两种解题的方法都是正确的．但有一个同学的计算过程出现错误，其中过程出现错误的同学是 （填“甲”或“乙”）．请按照这个同学的方法完整正确地解答； (2)请你参照乙的解题思路，解方程组． 【答案】(1)甲， (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握加减消元法，代入消元法是解题的关键． （1）根据甲二元一次方程组的方法验证甲、乙同学的计算方法即可求解； （2）参照乙的解题思路，运用代入法计算即可求解． 【详解】（1）解：过程出现错误的同学是：甲， 正确解题过程：②①得，， 解得，， 把代入①得，， 整理得，， 解得，， 原方程组的解为， （2）解：将方程②变形，得，即③． 把方程①代入③，得， 解得． 把代入①，得， 方程组的解为． 19．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得． 根据材料，回答下列问题 (1)已知关于的方程组的解为，请直接写出关于的方程组的解是_______． (2)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用“整体换元”法解二元一次方程组，读懂材料是解题的关键． （1）令，，根据方程组的解为，可得，进而可解； （2）令，，仿照材料中的作法，通过“整体换元”求解． 【详解】（1）解：令，， 关于的方程组的解为， ， 解得， 故答案为：； （2）解：令，， 则原方程组可化为， 解得，即， 解得． 20．（24-25七年级下·四川泸州·期中）阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题：解方程组时，我们如果直接考虑消元，那将是比较繁杂的，而采用下面的解法则比较简便： 解：①②得，，所以， 将③，得， ②④，得，由③，得， 所以方程组的解是 (1)请采用上面的方法解方程组． (2)直接写出关于x、y的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊方法和加减消元法解二元一次方程组，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据题例进行解题即可； （2）根据题例进行解题即可． 【详解】（1） ①②，得， ∴， 将③，得， ②④，得， 把代入③，得， ∴原方程组的解为； （2）， ①②，得， ∴， 将③，得， ②④，得， 解得， 把代入③，得， ∴原方程组的解为． 题型六 二元一次方程组的错解复原问题 易｜错｜点｜拨 1.看清谁看错了哪个系数，错解只能代入看错的方程，不能代入原方程; 2.正确的解要同时代入两个原方程，不要和错解混用; 3.复原时先列出含参数的方程组，计算时注意符号和移项，避免算错参数; 4.最后一定要检验，确认复原后的方程组和解是否一致。 21．（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）解方程组 时，小强正确解得，而小刚只看错了，解得 ，则当时，的值是（     ） A．6 B．2 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解和二元一次方程的解，先把代入原方程组得到，，则；再把代入方程得到，据此求出，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得是方程组的解， ∴，， ∴； ∵小刚只看错了，解得， ∴是方程的解， ∴， ∴联立①②得， ∴当时，的值为， 故选：B． 22．（24-25七年级下·河南南阳·期中）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，则的值是（    ） A．1 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，甲看错了方程①中的a，那么甲的结果符合方程②，乙看错了②中的b，那么乙的结果符合方程①，据此求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴， 故选：D． 23．（2023九年级·全国·专题练习）甲乙两人同时解方程组，甲正确解得；乙因抄错了c，解得；则=___________，=___________，c= ___________． 【答案】 2 0 1 【分析】先把把代入求得c，把代入可得，把代入可得，最后解关于a、b的二元一次方程组即可解答． 【详解】解：把代入，解得： 再把代入可得： 把代入可得： 联立，解得． 故答案为：2，0，1． 【点睛】本题主要考查学生对二元一次方程组的解、解二元一次方程组等知识点，理解二元一次方程组的解是解答本题的关键． 24．（24-25七年级下·四川乐山·期中）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为．若按正确的a、b计算，求出原方程组的正确的解． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．把甲的解代入②求出b的值，把乙的解代入①求出a的值，把a与b的值代入方程组，求出解即可． 【详解】解：把代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 即方程组为：， 整理得：， 得：， 解得：， 把代入④得：， 解得：， 即原方程组的解为：． 题型七 构造二元一次方程组求解 25．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）对x，y定义一种新运算“”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，，则的值是（  ） A．3 B．5 C．9 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 根据题意联立二元一次方程组，解出m，n的值，再代入运算中即可求解． 【详解】解：由题意得：， 得：， 把代入得：， ∴ 则， 故答案为：9． 26．（24-25七年级下·全国·期末）已知：，则和的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据非负数的性质可得关于x、y的方程组，解方程组即可求解. 【详解】解：∵， ∴， 解得：； 故选：C. 【点睛】本题考查了非负数的性质和二元一次方程组的求解，根据非负数的性质得出方程组是解题的关键. 27．（24-25七年级下·山东东营·期中）若有理数与满足，则______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了非负数的性质．根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”列二元一次方程组求出a、b的值即可． 【详解】解：∵， ∴，解得， 故答案是：8． 28．（24-25六年级下·上海闵行·期中）如果二元一次方程，和有公共解，求的值 【答案】3 【分析】将，组成方程组，求出x、y的值，再代入，求出m的值． 【详解】解：将，组成方程组得， ， 解得，， 将代入得，， 解得，． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟悉加减法和代入法是解题的关键． 题型八 二元一次方程组的同解问题 易｜错｜点｜拨 1.同解就是一组解同时满足所有方程组，不能只代入部分方程； 2.先联立不含参数的两个方程求出公共解，再把解代入含参数方程； 3.代入时看清系数与符号，别把参数和未知数弄混； 4.求出参数后记得回代检验，避免计算失误。 29．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）已知关于x、y的方程组的解和的解相同，求代数式的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，平方根，由同解方程求解x，y值是解题的关键． 根据两方程组的解相同可将和重新组成方程组，解方程组可求解x，y值，即可得关于a，b的方程组，进而可求解的值． 【详解】解：∵方程组的解和的解相同， ∴方程组的解和的解相同， 解得：， ∴， 解得：， ∴， 即代数式的平方根为． 30．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）已知关于x，y的方程组与的解相同，求a，b的值． 【答案】， 【分析】本题考查同解方程组，将两个方程组中没有参数的两个方程，组成新的方程，求出未知数的方程，再代入带参数的方程中，求出参数的值即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组与的解相同， ∴，得，解得， 把代入②，得， ∴方程组的解为：， ∴， ∴，． 31．（24-25七年级下·广东东莞·期中）已知关于的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和求代数式的值等知识，能求出两方程组的相同的解是解此题的关键． （1）求出的解，即可解答； （2）将代入到中，求出a、b的值，再代入，求出即可． 【详解】（1）由题意，得 ， ，得 ， ∴， 把代入②得 ， ∴， 解得； （2）将代入，得， 解得． ∴ ∴． 32．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求m，n的值； (3)若（1）中的解也是关于x，y的方程的解，求a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查同解方程组，由二元一次方程组的解求参数，理解同解方程组的概念是解题关键． （1）根据两个方程组有相同的解，即可联立两个方程组中不含m，n的方程，再求解即可； （2）将（1）所求的解代入含m，n的方程，即得出关于m，n的方程组，解之即可； （3）将（1）所求的解代入，再化简，即可求出a的值． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得； （2）解：将代入含有m，n的方程得， 解得； （3）解：将代入， 得， 解得：． 题型九 已知二元一次方程组解的情况求参数 33．（24-25七年级下·广东广州·期中）方程组的解满足、互为相反数，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，把方程组中的两个方程左右两边分别相加得到． ，根据方程组的解满足、互为相反数得到，解之即可得到答案． 【详解】解： 得， ∵方程组的解满足、互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 34．（24-25七年级下·山东德州·期中）如果关于x，y的方程组的解满足，那么k的值为________． 【答案】5 【分析】将两方程相加，根据列方程求解即可． 【详解】解：， 得：， 即， ∵， ∴， 解得：． 35．（25-26七年级下·四川成都·期中）若关于，的方程的解满足，则_________． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组以及二元一次方程组的解，将方程组中的两个方程相加，得到关于的表达式，再代入已知条件，即可求出的值． 【详解】解：， 得， 整理得， 即， ， 解得， 故答案为：． 36．（24-25七年级下·广东惠州·期中）已知二元一次方程， (1)请用关于x的式子表示y，并直接写出此方程的所有正整数解； (2)如果二元一次方程组的解是二元一次方程的解，求a的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组． （1）将x看作已知数，求得，再求得所有正整数解即可； （2）先联立得，利用加减消元法求得，再代入，即可求解． 【详解】（1）解：移项得， 整理得， 此方程的正整数解为：，； （2）解：由题意得：， 把①代入②得：， ∴， 把代入②得：， ∴， 所以方程组的解是， 把代入：，得， ∴． 题型十 三元一次方程组的定义、解与应用 题型十 三元一次方程组的定义、解与应用 37．（24-25六年级下·上海奉贤·期中）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组． 先分别求出，，进而求出，再分别求x、y的值即可． 【详解】解：， 由可知：， 将代入得：， 即， 将、代入得：， 解得：， 将代入得：， 将代入得：， ∴． 38．（24-25七年级下·福建泉州·期中）下面是小明同学的一篇学习笔记（部分），请认真阅读，并完成相应任务． 用整体思想解决问题 “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程．具体的应用方法包括整体代入、整体运算、整体设元等等，通过学习，我发现在解方程组时，运用“整体代入法”有时会使解题更加简便快捷． 例题，解方程组 解：将方程②变形为，即③ 把①代入③，得，． 把代入①，得． 方程组的解为． (1)类比例题的解法，解方程组； (2)请说明关于，的方程组中，无论取何值，的值始终不变； (3)实际应用：为促进同学们积极参加体育锻炼、强身健体，七年级1班需要购买篮球、足球、排球若干．若购买2个篮球，4个足球，6个排球，共需388元；若购买2个篮球，5个足球，8个排球，共需479元．则购买篮球、足球、排球各1个需要多少钱？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)103元 【分析】本题考查了解二元一次方程组，三元一次方程组的应用，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解此题的关键． （1）利用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （3）设篮球、足球、排球单价分别是元、元、元，根据题意列出方程组，解方程组即可得解． 【详解】（1）解：， 把②代入①，得， 解得． 把代入②，得 所以方程组的解为； （2）解：， ①得③， 得：， 则，即无论取何值，的值始终不变； （3）解：设篮球、足球、排球单价分别是元、元、元， 根据题意得：， ①②得： ， 购买篮球、足球、排球各1个需要103元． 39．（24-25七年级下·广东深圳·期中）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中的应用极为广泛． 例：当多项式的值为7时，求多项式的值． 解：因为，所以． 所以． 请根据阅读材料，解决下列问题： (1)把看成一个整体，化简的结果是___； (2)已知．求的值； (3)《九章算术》是中国古典数学著作，其中有一个问题：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗．上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗，问上、中、下禾实一秉各几何．”原文意思为：优质稻子3捆，普通稻子2捆，劣质稻子1捆，能碾39斗米；优质稻子2捆，普通稻子3捆，劣质稻子1捆，能碾34斗米；优质稻子1捆，普通稻子2捆，劣质稻子3捆能碾26斗米．我们假设优质稻子每捆能碾米a斗，普通稻子每捆能碾米b斗，劣质稻子每捆能碾米c斗．请你运用“整体思想”，求出优质稻子13捆，普通稻子9捆，劣质稻子2捆，共能碾多少斗米？ 【答案】(1) (2) (3)164斗米 【分析】本题考查了整式的加减运算，代数式求值，以及三元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）把看成一个整体，合并同类项即可； （2）由已知等式求出的值，原式变形后整体代入计算即可求出值； （3）根据题意列出三元一次方程组，利用整体代入法求出优质稻子13捆，普通稻子9捆，劣质稻子2捆，共能碾的米即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2）解：因为， 所以， ； （3）解：根据题意得： ， 由得，， 答：优质稻子13捆，普通稻子9捆，劣质稻子2捆，共能碾164斗米． 40．（24-25六年级下·上海闵行·期中）已知满足，求的值 【答案】 【分析】根据绝对值和平方的非负性，列出方程组即可解答． 【详解】解：由题意得： 解得： 【点睛】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，解三元一次方程组，解题的关键是掌握几个非负数相加和为0，则这几个非负性分别为0；以及解三元一次方程组的方法和步骤． 题型十一 方案问题 41．（24-25七年级下·山东德州·期中）当前国际疫情防控形势仍然复杂严峻，国内多地不断新增新冠肺炎本土病例，因此，防疫任务依然艰巨．面对当前疫情形势，国家迅速反应，果断决策，全民积极行动，奋起抗击．我市中学生积极行动起来，每人拿出自己一天的零花钱，筹款为贫困地区捐赠了一批消毒液，现要将消毒液运往该区．已知用3辆型车和1辆型车装满货物一次可运货9吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货8吨．现有消毒液19吨，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满消毒液． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆型车和1辆型车都载满消毒液一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮我们设计租车方案； (3)若1辆型车需租金90元/次，1辆型车需租金110元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A型车载满消毒液一次可运送2吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送3吨 (2)共有3种租车方案，具体见详解 (3)选租车方案3最省钱，最少租车费为730元 【分析】（1）设1辆A型车载满消毒液一次可运送吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送吨，根据“用3辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货9吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货8吨”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据“一次运完19吨消毒液，且恰好每辆车都载满消毒液”，即可得出关于的二元一次方程，结合均为整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金每辆A型车的租金租用A型车的数量每辆B型车的租金租用B型车的数量，即可分别求出选用各租车方案所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设1辆A型车载满消毒液一次可运送吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送吨， 依题意得，解得， 答：1辆A型车载满消毒液一次可运送2吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送3吨； （2）解：依题意得， ∴， 又均为整数， ∴或或， ∴共有3种租车方案： 方案1：租用A型车8辆，B型车1辆； 方案2：租用A型车5辆，B型车3辆； 方案3：租用A型车2辆，B型车5辆； （3）解：选用方案1所需租车费为（元）； 选用方案2所需租车费为（元）； 选用方案3所需租车费为（元）； ， ∴选租车方案3最省钱，最少租车费为730元． 42．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）“强身健体，抗击疫情”骑自行车出行，成为了国内外人们健康环保的出行方式，根据市场需求某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划4月份生产安装300辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)如果工厂招聘n名新工人（），使得招聘的新工人和抽调熟练工刚好能完成4月份（30天）的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为11千公里；如安装在后轮，安全行驶路程为9千公里。请问一对轮胎能行驶的最长路程是多少？ 【答案】(1)每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车 (2)共有3种新工人的招聘方案，方案一：招聘5名新工人，不抽调熟练工；方案二：招聘3名新工人，抽调1名熟练工；方案三：招聘1名新工人，抽调2名熟练工 (3)千公里 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据工程问题公式：甲的工程量+乙的工程量=总工程量，工作效率×工作人数=对应工程量，列方程即可， （1）鸡兔同笼类二元一次方程组，根据题意列方程组即可； （2）整数类问题，先计算出每日需安装的自行车数量，再通过凑整数，找到对应的工人数量即可； （3）最长路程，即完全利用到轮胎的所有性能，计算出每千公里前后轮一共的轮胎损耗，再用一对轮胎的总寿命除以这个损耗，即可求出最长路程． 【详解】（1）解：设每名熟练工每日可以安装x辆自行车，每名新工人每日可以安装y辆自行车， 由题意，可列方程组 解得 故每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车； （2）解：由题意，可知每日需安装（辆）， 设抽调熟练工m名，则每日可安装辆自行车， 令，则， ∵m，n均为非负整数，且， ∴共有3种新工人的招聘方案，分别是或或，即方案一：招聘5名新工人，不抽调熟练工；方案二：招聘3名新工人，抽调1名熟练工；方案三：招聘1名新工人，抽调2名熟练工； （3）解：由题意可知，安装在前轮时，每1千公里损耗的轮胎安全寿命，安装在后轮时，每1千公里损耗的轮胎安全寿命， 则每1千公里，共损耗的轮胎安全寿命， 通过行驶一段时间后，交换前后轮的轮胎，可以使得两个轮胎同时到达安全寿命，将轮胎充分利用， 故一对轮胎能行驶的最长路程是（千公里）． 43．（24-25七年级下·吉林·期中）江汉区某中学组织七年级同学参加校外活动，原计划租用座客车若干辆，但有人没有座位；如果租用同样数量的座客车，则多出一辆，且其余客车刚好坐满．已知座和座客车的租金分别为元/辆和元/辆． (1)设原计划租座客车辆，七年级共有学生人，则___________（用含的式子表示）若租用同样数量的座客车，则___________；（用含的式子表示） (2)七年级共有学生多少人？ (3)若同时租用两种型号的客车或只租一种型号的客车，每辆客车恰好坐满并且每个同学都有座位，直接写出共有哪几种租车方案？哪种方案更省钱？ 【答案】(1)，； (2)人； (3)有两种租车方案：只租用座客车辆或同时租用座客车辆和座客车辆；最省钱的方案是租辆座客车． 【分析】（）根据“原计划租用座客车若干辆，但有人没有座位；如果租用同样数量的座客车，则多出一辆，且其余客车刚好坐满”分别列式，即可求解； （）联立（）中两个二元一次方程，即可求解； （）设租用座客车辆，座客车辆，根据题意列出方程，并求其非负整数解，比较费用大小，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：，， （2）解：根据题意列方程组：， 解得：， ∴七年级共有学生人； （3）解：设租用座客车辆，座客车辆， 依题意得： ，即：， 其非负整数解有两组为：和， 故有两种租车方案：只租用座客车辆或同时租用座客车辆和座客车辆， 当时，租车费用为：（元）； 当时，租车费用为：（元）； ∵， ∴最省钱的方案是租辆座客车． 44．（25-26七年级下·山东济南·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该汽车销售公司正好用万元资金，购进A型汽车、B型汽车两种型号汽车（两种型号汽车均购买）国庆节期间销售，请问怎样购进才能使购进的车辆最多，最多可以购进几辆？ 【答案】(1)每辆A型汽车的进价为万元，每辆B型汽车的进价为万元 (2)当购进7辆A型汽车，1辆B型汽车时，才能使购进的车辆最多，最多可以购进8辆 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车，利用总价单价数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，可得出各购买方案，再求出各购买方案购进汽车的总辆数，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元， 根据题意得：， 解得：， 答：每辆A型汽车的进价为万元，每辆B型汽车的进价为万元； （2）解：设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴或， ∴共有2种购进方案， 方案1：购进3辆A型汽车，4辆B型汽车，共购进（辆）； 方案2：购进7辆A型汽车，1辆B型汽车，共购进（辆）， ∵， ∴当购进7辆A型汽车，1辆B型汽车时，才能使购进的车辆最多，最多可以购进8辆． 题型十二 行程问题 45．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【答案】(1)A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； (2)完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． （1）设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可． 【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒 由题意可得 解得 答：A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步 由题意可得 因为m、n为正整数，n为15的整数倍， ，， 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 答：完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 46．（2025七年级下·全国·专题练习）小明骑自行车去某景区，出发时，他先以的速度走平路，而后又以的速度上坡到达景区，共用了；返回时，他先以的速度下坡，而后以的速度走过平路，回到原出发点，共用了，求从出发点到景区的路程． 【答案】9千米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 设平路为x千米，坡路为y千米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可解答． 【详解】解：设平路为x千米，坡路为y千米， 根据题意得：， 解得：， 则（千米）， 答：从出发点到景区的路程是9千米． 47．（24-25七年级下·海南海口·期中）甲、乙两车分别从相距千米的，两地相向而行． (1)两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？ (2)如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？ 【答案】(1)甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时 (2)小时或小时 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系是解题的关键． （1）设甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时，根据题意列出方程组求解即可； （2）设经过小时两车相距30千米，然后进行分类讨论：当两车未相遇时，当两车相遇后，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时， 根据题意，得 解得， 答：甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时． （2）解：设经过小时两车相距30千米， 根据题意，得： 当两车未相遇时，， 解得， 当两车相遇后，， 解得， 答：经过2小时或小时两车相距30千米． 48．（24-25七年级下·北京延庆·期末）学校和博物馆相距20千米，小明与小强分别从学校和博物馆出发，相向而行．如果小明比小强早出发30分钟，那么在小强出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米．求小明、小强每小时各走多少千米． 【答案】小明每小时走4千米，小强每小时走5千米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系 ，列方程组求解． 设小明每小时走x千米，小强每小时走y千米，根据小明走小时的路程小强走2小时的路程千米，他们共同走1个小时，俩人走的路程差为11千米，据此列方程组求解． 【详解】解：设小明每小时走x千米，每小时走y千米，根据题意列方程组，得 ， 解这个方程组，得 答：小明每小时走4千米，小强每小时走5千米． 题型十三 工程问题 49．（24-25七年级下·浙江温州·期中）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受大家喜爱，某工厂计划生产两种吉祥物，已知甲车间里的工人每人每天可以制作2个冰墩墩和5个雪容融，乙车间里的工人每人每天可以制作3个冰墩墩和1个雪容融，已知该工厂每天生产的两种吉祥物数量相同． (1)设甲车间有名工人，乙车间有名工人． ①完成下列表格 冰墩墩（个） 雪容融（个） 甲车间 乙车间 总计 ②若该工厂共有60名工人，则甲、乙车间的工人数分别是多少？ (2)由于市场需求旺盛，工厂决定从甲车间抽调名工人去乙车间，使得每天生产的冰墩墩数量是雪容融数量的2倍，则要抽调的工人数至少为______．（直接写出答案） 【答案】(1)①见解析；②甲车间的工人数是24人，乙车间的工人数是36人． (2)13 【分析】（1）根据“已知甲车间里的工人每人每天可以制作2个冰墩墩和5个雪容融，乙车间里的工人每人每天可以制作3个冰墩墩和1个雪容融，”，然后结合工人数量，即可得出答案； （2）设甲车间有名工人，乙车间有名工人．由（1）可知，，即，接着表示出从甲车间抽调名工人去乙车间后，两个车间生产的冰墩墩与雪容融的数量，结合题意“现每天生产的冰墩墩数量是雪容融数量的2倍”，得到，结合为正整数，即可得出答案． 【详解】（1）解：① 冰墩墩（个） 雪容融（个） 甲车间 乙车间 总计 ②设甲车间有名工人，乙车间有名工人． ， 解得， 答：甲车间的工人数是24人，乙车间的工人数是36人． （2）解：设甲车间有名工人，乙车间有名工人． 由（1）可知，，即， 当工厂决定从甲车间抽调名工人去乙车间时，两个车间生产的数量如下表所示： 冰墩墩（个） 雪容融（个） 甲车间 乙车间 总计 根据题意有，， 那么有， ∵为正整数， ∴当时，符合题意且取得最小值，此时， 故答案为：13． 50．（24-25七年级下·河南许昌·期中）根据以下信息，探索完成任务： 如何设计招聘方案？ 素材 某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装辆．每名熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行安装． 素材 调研部门发现：名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车；名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车． 素材3 工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发元工资，每名新工人每月发元工资． 问题解决 任务一：分析数量关系 每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ 任务二：确定可行方案 如果工厂招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种工人的招聘方案？ 【答案】[任务一]每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车；[任务二]工厂有种工人的招聘方案：抽调熟练工名，招聘新工人名，抽调熟练工名，招聘新工人名． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键． 任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，根据题意列出方程组，然后解方程组即可； 任务二：设抽调熟练工名，招聘新工人名，由题意得，然后求出为正整数即可即可． 【详解】解：任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车， 根据题意得：， 解得：， 答：每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车； 任务二：设抽调熟练工名，招聘新工人名， 由题意得：， 整理得：， ∵为正整数，且， ∴或， ∴工厂有种工人的招聘方案：抽调熟练工名，招聘新工人名，抽调熟练工名，招聘新工人名． 51．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期中）为拓展办学空间，凤中教育集团总校的新食堂正在紧锣密鼓的装修，其中由甲、乙两个装修组同时铺设地面． (1)甲装修组每天比乙装修组多铺设20平方米，两组每天可共铺设地面80平方米，求甲、乙两个装修组每天各铺设地面多少平方米？ (2)已知两个装修组同时施工8天，共需要工时费35200元，若甲组单独施工6天，乙组单独施工12天，共需要工时费用34800元，求甲、乙装修组施工一天的工时费分别是多少元？ 【答案】(1)甲组每天铺设50平方米，乙组每天铺设30平方米 (2)甲组施工一天的工时费为3000元，乙组施工一天的工时费为1400元 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，确定相等关系是解本题的关键； （1）设甲组每天铺设平方米，乙组每天铺设平方米．利用两组每天可共铺设地面80平方米，再建立方程求解即可； （2）设甲组施工一天的工时费为元，乙组施工一天的工时费为元．结合两个装修组同时施工8天，共需要工时费35200元，甲组单独施工6天，乙组单独施工12天，共需要工时费用34800元，再建立方程组解题即可． 【详解】（1）解：设甲组每天铺设平方米，乙组每天铺设平方米． ， ， ∴乙组每天铺设（平方米）， 答：甲组每天铺设50平方米，乙组每天铺设30平方米． （2）设甲组施工一天的工时费为元，乙组施工一天的工时费为元． ， 得：， 答：甲组施工一天的工时费为3000元，乙组施工一天的工时费为1400元． 52．（24-25七年级下·福建厦门·期中）某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．每名熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行安装，调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发10000元工资，每名新工人每月发6000元工资； (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)如果工厂招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种工人的招聘方案？ (3)在上述方案中，为了节省成本，应该招聘新工人多少名？ 【答案】(1)每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车． (2)有种工人的招聘方案：抽调熟练工名，招聘新工人名；抽调熟练工名，招聘新工人名． (3)为了节省成本，应该招聘新工人名． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键． （1）设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，根据等量关系“名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车”和“名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车”列出二元一次方程组求解即可； （2）设抽调熟练工名，招聘新工人名，根据“招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务”列出二元一次方程，求出符合题意的正整数解即可； （3）求出方案和方案的成本，然后比较即可解答． 【详解】（1）解：任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车， 由题意得：，解得：， 答：每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车． （2）设抽调熟练工名，招聘新工人名， 由题意得：， 整理得：， 、为正整数，且， 或， 有种工人的招聘方案： 抽调熟练工名，招聘新工人名； 抽调熟练工名，招聘新工人名． （3）方案中，每月发放工资为：元； 方案中，每月发放工资为：元； ， 为了节省成本，应该抽调熟练工名，招聘新工人名． 题型十四 分配问题 53．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套． (1)应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架； (2)为迎合市场需求，生产镜片的工人中分出一部分生产B镜片，剩余工人生产A镜片，生产镜架的工人中留下恰好能生产配套A镜片所需的镜架的工人，其余工人也生产B镜片，并将配套好的眼镜和B镜片分别出售，若每副眼镜利润为170元，每片B镜片的利润是43元，想共获利19660元，从生产镜片的工人中需要分出多少人生产B镜片？ 【答案】(1)生产镜架10人，生产镜片12人 (2)6人 【分析】题目主要考查一元一次方程和二元一次方程的应用，理解题意列出方程和方程组是解题关键． （1）设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架，根据题意列出方程求解即可； （2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴生产镜架10人，生产镜片12人； （2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片， 根据题意得：， 解得：， ∴分出6人生产B镜片． 54．（24-25七年级下·陕西延安·期中）某铁件加工厂用图①的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）可以加工成图②的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）．两种长方体容器与所需铁片的数量关系如下表： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 3张 正方形铁片的数量 1张 2张 (1)若现有170张长方形铁片和80张正方形铁片，用于加工图②的竖式容器和横式容器，两种铁片刚好全部用完，则可以加工出无盖竖式容器和无盖横式容器各多少个？ (2)已知该铁件加工厂加工出的此竖式容器费用为50元/个，此横式容器的费用为60元/个．若五金店老板计划支付800元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要有），则有哪几种方案可供选择？ 【答案】(1)可以加工出20个无盖竖式容器，30个无盖横式容器 (2)共有2种方案可供选择，方案1：采购10个竖式容器，5个横式容器；方案2：采购4个竖式容器，10个横式容器 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． （1）设可以加工出x个无盖竖式容器，y个无盖横式容器，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设采购m个竖式容器，n个横式容器，由题意可知，列出所有情况即可． 【详解】（1）解：设可以加工出x个无盖竖式容器，y个无盖横式容器， 根据题意得， 解得． 答：可以加工出20个无盖竖式容器，30个无盖横式容器； （2）解：设采购m个竖式容器，n个横式容器， 根据题意得， ． 又，n均为正整数， 或． 共有2种方案可供选择， 方案1：采购10个竖式容器，5个横式容器； 方案2：采购4个竖式容器，10个横式容器． 55．（24-25七年级下·重庆·期中）春节期间市场上对礼品盒的需求量激增．为了满足市场的需求，沙坪坝区某工厂计划制作一批圆柱形礼品盒，已知该工厂共有90名工人，其中女工人数比男工人数的3倍少10名，并且每名工人平均每天可以制作这种礼品盒的盒身400个或盒底1000个． (1)该工厂有男工、女工各多少名？ (2)该工厂计划安排一部分工人负责制作盒身，另一部分工人负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么应安排制作盒身和盒底的工人各多少名，才能使每天生产的产品刚好配套？ 【答案】(1)该工厂有男工25人，女工65人 (2)安排制作盒身的工人50名，制作盒底的工人40名，才能使每天生产的产品刚好配套 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，找到等量关系是解题的关键． （1）设该工厂有男工x名，女工y名，根据题意列出方程组，即可得出答案； （2）设安排制作盒身的工人a名，制作盒底的工人b名，才能使每天生产的产品刚好配套，根据题意列出方程组，即可得出答案． 【详解】（1）解：设该工厂有男工x名，女工y名， 根据题意，得， 解得：， 答：设该工厂有男工25人，女工65人． （2）解：设安排制作盒身的工人a名，制作盒底的工人b名，才能使每天生产的产品刚好配套， 根据题意，得， 解得：， 答：安排制作盒身的工人50名，制作盒底的工人40名，才能使每天生产的产品刚好配套． 56．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）某厂租用、两种型号的车给零售商运送货物，已知用辆型车和辆型车装满可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨；厂家现有吨货物需要配送，计划租用、两种型号车辆一次配送完货物，且型车至少辆．根据以上信息，解答下列问题： (1)辆型车和辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮助厂家设计租车方案完成一次配送完吨货物； (3)若型车每辆需租金元每次，型车每辆需租金元每次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)辆型车装满货物一次可运货吨，辆型车装满货物一次可运货吨 (2)共有种租车方案，方案：租用型车辆，型车辆；方案：租用型车辆，型车辆；方案：租用型车辆，型车辆 (3)方案最省钱，即租用型车辆，型车辆，最少租车费为元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算， （1）设辆型车装满货物一次可运货吨，辆型车装满货物一次可运货吨，根据“用辆型车和辆型车装满可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨”可列出关于、的二元一次方程组，求解后即可得出结论； （2）设租用辆型车，则租用辆型车，根据“租用的型车至少辆，且能一次配送完吨货物”，即可得出关于的一元一次不等式组，求解可得出的取值范围，再结合为整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金每辆车的租金租车数量，即可求出选择各租车方案所需租车费，比较后即可得出结论； 解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用“总租金每辆车的租金租车数量”求出选择各租车方案所需租车费． 【详解】（1）解：设辆型车装满货物一次可运货吨，辆型车装满货物一次可运货吨， 依题意得：， 解得：， 答：辆型车装满货物一次可运货吨，辆型车装满货物一次可运货吨； （2）设租用辆型车，则租用辆型车， 依题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴可以取，，， ∴共有种租车方案， 方案：租用型车辆，型车辆； 方案：租用型车辆，型车辆； 方案：租用型车辆，型车辆； （3）选择方案的租车费为（元）； 选择方案的租车费为（元）； 选择方案的租车费为（元）； ∵， ∴方案最省钱，即租用型车辆，型车辆，最少租车费为元． 题型十五 销售利润问题 57．（24-25七年级下·山东聊城·期中）某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，甲、乙两种商品的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 (1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件? (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折促销，若在本次销售过程中超市共获利2350元，则以五折售出的乙商品有多少件？ 【答案】(1)该超市购进甲商品150件，乙商品90件 (2)以五折售出的乙商品有70件 【分析】（1）设购进甲，乙商品分别为m，n件，根据题意列方程求解即可； （2）设以五折售出的乙商品有y件，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设购进甲，乙商品分别为m，n件， 依题意可知：， 解得：， 答：该超市第一次购进甲种商品件、乙种商品件； （2）解：设以五折售出的乙商品有y件， 根据题意得：， 解得：， 故以五折售出的乙商品有70件． 58．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）为防范疫情，某校欲购置规格分别为和的甲、乙两种消毒液若干瓶，已知购买瓶甲种和1瓶乙种消毒液需要元，购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元． (1)求甲、乙两种消毒液的单价； (2)为节约成本，该校购买散装消毒液进行分装，现需将的消毒液全部装入最大容量分别为和的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗，请问如何分能使总损耗最小？求出此时需要的两种空瓶的数量． 【答案】(1)甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元 (2)分装成的瓶，的瓶时，总损耗最小，此时需要的空瓶个，的空瓶个 【分析】（1）设甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元，由题中等量关系列二元一次方程组求解即可； （2）设需要的空瓶个，的空瓶个，列二元一次方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元， 依题意得， 解得， 答：甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元； （2）解：设需要的空瓶个，的空瓶个， 依题意得， ， 均为非负整数， 则， 解得，即或或， 或或， 当时，总损耗为； 当时，总损耗为； 当时，总损耗为； ， 分装成的瓶，的瓶时，总损耗最小，此时需要的空瓶个，的空瓶个． 59．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）某专卖店销售“冰墩墩”和“雪容融”玩偶．学校为奖励同学，欲从该专卖店购买个玩偶作为奖品，如果购买个“冰墩墩”和个“雪容融”，共需花费元；如果购买个“冰墩墩”和个“雪容融”，共需花费元． (1)求每个“冰墩墩”和“雪容融”玩偶的售价各为多少元？ (2)学校在购买好之后，该专卖店还剩下个“冰墩墩”和个“雪容融”，专卖店将这些玩偶中的一部分按套装销售(个“冰墩墩”和个“雪容融”为个套装，每套价格为元)，其余按原价销售，当这个玩偶全部售出后，共计收入元．问套装销售了多少套？ 【答案】(1)每个“冰墩墩”售价元，每个“雪容融”售价元； (2)套装销售了套． 【分析】（1）设每个“冰墩墩”玩偶售价元，每个“雪容融”玩偶售价元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设套装销售了套，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设每个“冰墩墩”玩偶售价元，每个“雪容融”玩偶售价元． 解得 答：每个“冰墩墩”售价元，每个“雪容融”售价元； （2）设套装销售了套，则 解得 答：套装销售了套． 60．（25-26七年级下·安徽铜陵·期中）根据如下表素材，探索完成任务． 背景 红树中学在组织开展体育文化节亚冬会知识竞赛活动时，去奶茶店购买、两款奶茶作为奖品． 素材 若买杯款奶茶，杯款奶茶，共需元； 若买杯款奶茶，杯款奶茶，共需元． 请利用二元一次方程相关知识解决以下问题： (1)款奶茶和款奶茶的销售单价各是多少元？ (2)李老师计划正好用元购买、两款奶茶（两种都要），请求出所有符合题意的购买方案？ 【答案】(1)款奶茶的销售单价是元，款奶茶的销售单价是元 (2)符合题意的购买方案有种：①购买款奶茶杯，购买款奶茶杯；②购买款奶茶杯，购买款奶茶杯；③购买款奶茶杯，购买款奶茶杯 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用．解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，根据若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A款奶茶，10杯B款奶茶，共需270元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买A款奶茶m杯，购买B款奶茶n杯，根据李老师计划正好用220元购买A、B两款奶茶（两种都要），列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设款奶茶的销售单价是元，款奶茶的销售单价是元， 由题意得：， 解得：， 答：款奶茶的销售单价是元，款奶茶的销售单价是元； （2）解：设购买款奶茶杯，购买款奶茶杯， 由题意得：， 整理得：， 、均为正整数， 或或， 符合题意的购买方案有种： ①购买款奶茶杯，购买款奶茶杯； ②购买款奶茶杯，购买款奶茶杯； ③购买款奶茶杯，购买款奶茶杯． 题型十六 几何问题 61．（24-25七年级下·四川眉山·期中）学校为了提高绿化品位，美化环境，准备将一块周长为的长方形草地，分成9块形状和大小完全一样的小长方形（放置位置如图所示），种上各种花卉．经预算，绿化每平方米造价为100元． (1)求出每一个小长方形的长和宽； (2)完成这项绿化工程需投入资金多少元？（结果用科学记数法表示） 【答案】(1)每一个小长方形的长为10米，宽为4米 (2)完成这项绿化工程需投入元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，科学记数法．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．要弄清小长方形长、宽和大长方形周长之间的关系． （1）设每一个小长方形的长为x米，宽为y米，根据图形列出方程组求出结果即可； （2）由（1）求出的长与宽求出绿化面积再求投入资金即可． 【详解】（1）解：设每一个小长方形的长为x米，宽为y米， 有：， 解得：， 每一个小长方形的长为10米，宽为4米； （2）大长方形的面积为：， ， 答：完成这项绿化工程需投入元． 62．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形（图①）．小红看见了，说：“我也来试一试”．结果小红拼成如图②所示的正方形，中间还留下了一个“洞”，这个“洞”恰好是边长为的小正方形．求每个小长方形的面积． 【答案】每个小长方形的面积． 【分析】本题考查了列二元一次方程组的运用．根据矩形和正方形的长与宽的关系建立方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形长为，宽为， ， 解得， 每个小长方形的面积． 63．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）某铁件加工厂用图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）可以加工成图2的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 a张 正方形铁片的数量 b张 2张 则_________，_________； (2)若现有170张长方形铁片和80张正方形铁片，用于加工图2的竖式容器和横式容器时，两种铁片刚好全部用完，则可以加工出无盖竖式容器和无盖横式容器各多少个？ (3)已知该铁件加工厂加工出的此竖式容器费用为50元/个，此横式容器的费用为60元/个．若五金店老板计划支付800元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要有），则有哪几种方案可供选择？ 【答案】(1)3，1 (2)可以加工出20个无盖竖式容器，30个无盖横式容器 (3)共有2种方案可供选择，详见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，熟练掌握1个竖式无盖容器需要长方形铁片张数和正方形铁片张数， 1个横式无盖容器需要长方形铁片张数和正方形铁片张数，总价与单价和数量的关系，正确列出二元次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）根据“制作1个竖式无盖容器需要4张长方形铁片、1张正方形铁片，制作1个横式无盖容器需要3张长方形铁片、2张正方形铁片”，即可得出结论； （2）设可以加工出x个无盖竖式容器，y个无盖横式容器，根据加工两种容器共用了170张长方形铁片和80张正方形铁片，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设采购m个竖式容器，n个横式容器，利用总价=单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各采购方案． 【详解】（1）解：制作1个竖式无盖容器需要4张长方形铁片、1张正方形铁片，制作1个横式无盖容器需要3张长方形铁片、2张正方形铁片， ． 故答案为：3，1； （2）解：设可以加工出x个无盖竖式容器，y个无盖横式容器， 根据题意得：， 解得： 答：可以加工出20个无盖竖式容器，30个无盖横式容器； （3）解：设采购m个竖式容器，n个横式容器， 根据题意得：， ， 又m，n均为正整数， 或， ∴共有2种方案可供选择， 方案1：采购10个竖式容器，5个横式容器； 方案2：采购4个竖式容器，10个横式容器． 64．（24-25七年级下·福建福州·期中）根据以下素材，完成任务． 如何生产纸盒 素材1 某工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位） 素材2 工厂仓库内现存有的正方形纸板150张，的长方形纸板300张，用库存纸板制作两种无盖纸盒． 素材3 库存纸板用完后，采购部重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为．采购甲纸板有400张，乙纸板有300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为1和4．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒． 任务一 求两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完，且每张纸板利用率均为． 任务二 若用本次重新采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，纸板恰好用完，且每张纸板利用率均为．请你帮助工厂确定丙纸板的张数． 【答案】任务一：做了竖式无盖纸盒30个，横式无盖的纸盒60个；任务二：丙纸板有140张或145张 【分析】本题考查长方体和正方体展开图，二元一次方程组应用等． 任务一：设竖式无盖纸盒个，横式无盖纸盒个，再结合题意列出方程组即可求解； 任务二：设竖式无盖纸盒个，横式无盖纸盒个，丙种纸板为张，根据题意列式再分析代入数值即可得到本题答案． 【详解】任务一：解：设做了竖式无盖纸盒个，横式无盖纸盒个， 依题意得， 解得， 答：做了竖式无盖纸盒30个，横式无盖的纸盒60个； （2）设做了竖式无盖纸盒个，横式无盖纸盒个，丙纸板有张， 依题意得， 解得：， 为非负整数，， 或5， 丙纸板有140张或145张． 题型十七 古代问题 65．（24-25七年级下·山东威海·期中）《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为，乙的钱数为，则列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据乙把一半的钱给甲，则甲的钱数为50；甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，列出方程组即可． 【详解】解：设甲的钱数为，乙的钱数为，根据题意得： ． 66．（24-25七年级下·河南驻马店·期中）古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数．三只栖一树，五只没去处；五只栖一树，闲了一棵树．若设有只乌鸦，棵树，由题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据三只栖一树，五只没去处；五只栖一树，闲了一棵树．设有只乌鸦，棵树，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设有只乌鸦，棵树，由题意可列方程组为， 故选：A 67．（25-26七年级下·河南南阳·期中）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”，如图1，从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x、y的系数与相应的常数项，即可表示方程，则图2表示的方程是_________，这两个方程组成的方程组的解为_________． 【答案】 【分析】先得到图二表示的方程，进而得到方程组求解即可． 【详解】解：∵从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x、y的系数与相应的常数项， ∴表示， ∴表示， ∴图2表示的方程是， 可得， 解得：． 68．（24-25七年级下·广东韶关·期中）综合与实践． 【主题】学习古籍中的二元一次方程组问题． 【材料】《张丘建算经》是一部数学问题集，其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，俗称“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？” 【翻译】为帮助同学们更好理解“百鸡问题”，实践小组成员在查阅相关书籍后，将该问题翻译如下：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 【假设】（1）①根据题意完成下列表格 母鸡 公鸡 小鸡 数量/只 x y 花费/文 （用含x，y的式子表示） ②根据买鸡100文，列出一个含有x，y的方程：_________； 【拓展】（2）若对“百鸡问题”增加一个条件：母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ （3）除了问题（2）中的解之外，请你再直接写出两组符合“百鸡问题”的解． 【答案】（1）①见解析②（2）母鸡有18只，公鸡有4只，小鸡有78只（3）公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只；或公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只 【分析】本题考查了二元一次方程的应用和二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）①由购买鸡的只数找出购买小鸡的只数；②找准等量关系，正确列出二元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）结合x、y均为整数求出二元一次方程的解． （1）①根据共买鸡100只，即可求出小鸡购买的只数，结合鸡的价格即可求出购买鸡的总花费； ②根据总价=单价×数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于x、y的二元一次方程； （2）根据（1）中②的结论结合母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）根据总价=单价×数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于x、y的二元一次方程，结合x、y均为整数，即可求出结论． 【详解】解：（1）①根据题意得买了只小鸡，则填表如下： 母鸡 公鸡 小鸡 数量/只 x y 花费/文 ②根据题意得： 故答案为：； （2）设母鸡有x只，公鸡有y只，则小鸡有只， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：母鸡有18只，公鸡有4只，小鸡有78只； （3）根据题意得：， 化简得：， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，，舍去． 所以，①公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只；②公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只；③公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；④公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只（①③④中任选两个即可）， 故答案为：公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只；或公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只． 题型十八 二元一次方程组的新定义问题 69．（24-25七年级下·湖南郴州·期中）对于实数a，b，定义关于“”的一种运算：，例如，若，且，则a，b的值分别为（    ） A．，1 B．2， C．，2 D．1， 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，解二元一次方程组，根据新定义建立关于a，b的方程组是解答本题的关键．根据新定义建立关于a，b的方程组，然后用加减消元法求解即可． 【详解】解：根据题意，得 整理，得， 得， ∴， 将代入②得，， ∴． 故选B． 70．（24-25七年级下·山东淄博·期中）对任意实数定义一种新运算T，即：（其中均为非零常数）．例如：．已知，下列结论：①；②若，则；③若，则有且仅有3组整数解．正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，正确理解题目所给的新定义是解题的关键．首先根据题意可得，求解即可判断结论①；由可得，结合即可判断结论②；由可得，整理可得，结合均为整数可知，进一步求得的值，即可判断结论③． 【详解】解：根据题意，， ∴， 解得，故结论①正确； ∵，即， ∵， ∴，故结论②正确； ∵，即， ∵， ∴， 又∵均为整数， ∴， ∴或， ∴满足条件的值为或，故结论③错误． 故选：C． 71．（24-25七年级下·浙江台州·期中）对于实数，我们定义如下运算：当时，则；当时，则．例如：． ①若时，___________． ②若关于的方程组满足，则此方程组的解为___________． 【答案】 或 【分析】本题主要考查新定义运算及解二元一次方程组，正确理解新定义的运算法则，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键． ①先根据新定义的运算法则得出，再根据当时，列方程计算即可得答案； ②先得出，，再分和两种情况，列方程组解答即可得答案． 【详解】解：①∵当时，； ∴， ∴当时，， ∵， ∴， ∵当时，则， ∴， 解得：． 故答案为： ②∵， ∴，， ∴， 当时，， ∴原方程组为， 解得：， 当时，， ∴原方程组为， 解得：， 综上所述：方程组的解为或． 故答案为：或 72．（24-25七年级下·河南南阳·期中）阅读理解： 已知，为有理数，且，若关于的一元一次方程的解为，我们就定义该方程为“和解方程”． 例如：方程的解为，因为，所以方程是“和解方程”．请根据上述定义解答下列问题： (1)方程______“和解方程”；（填“是”或“不是”） (2)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值； (3)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，且它的解是x=b，求，的值． 【答案】(1)不是 (2)m= (3) 【分析】（1）根据定义计算判断即可； （2）根据定义列方程求出m即可； （3）根据定义列方程组求解即可． 【详解】（1）解：方程3x=-6的解为x=-2， ∵-2≠-6+3， ∴方程3x=-6不是“和解方程”， 故答案为：不是； （2）由题意得， 解得m=； （3）由题意得， 解得， ∴． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，正确理解题意中的定义列得方程或方程组解决问题是解题的关键． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）下列各方程中是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二元一次方程需满足三个条件：是整式方程；含有两个未知数；所有含未知数的项的次数都是1，据此逐一验证选项即可． 【详解】A、中是分式，方程不是整式方程，不符合要求，故A错误； B、中项的次数为2，不符合次数都是1的要求，故B错误； C、中项的次数为2，不符合要求，故C错误； D、，含有，两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，且是整式方程，符合二元一次方程的定义，故D正确． 2．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若关于，的方程是二元一次方程，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程的定义求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵关于的方程是二元一次方程， ∴，， ∴． 3．（24-25七年级下·江苏南通·期中）已知方程组，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组．利用加减消元法两个方程相加，再利用整体法求解即可． 【详解】解：， ①+②得：， 两边同时除以4得：， 故选：B． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）某班37名学生在爱心图书捐赠活动中共捐92本书，其中男生平均每人捐3本，女生平均每人捐2本，设该班男生有x人，女生有y人．根据题意，所列方程组正确的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设该班男生有x人，女生有y人，根据全班一共37名学生可得方程，根据一共捐了92本书可得方程，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 5．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知方程组的解满足，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．掌握加减消元法是解题的关键． 把方程组中两个方程相减即可得到，继而得到关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】解：， 由得，， ∵， ∴， 解得：， 故选：D． 6．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）是方程的解，则______． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据方程的解满足方程，把解代入方程，可得关于a的一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得：， 故答案为：2． 7．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知二元一次方程，用含的代数式表示为_______． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程及等式变形，掌握等式的性质是解题的关键．运用等式的性质，将含字母的项放左边，其它项移到右边即可得答案． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 8．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若关于，的方程组   的解为 则 的值为 ______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解求代数式的值，根据二元一次方程组的解的定义求出字母的值是解题的关键． 将方程组的解代入求出，的值，即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知，方程组的解为， 所以， 解得：； 故； 故答案为： 9．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于m，n二元一次方程组的解为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握换元思想成为解题的关键．设，则关于，二元一次方程组可化为，即，然后代入确定m、n的值即可解答． 【详解】解：设，则关于，二元一次方程组可化为， ∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）若二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，解题的关键是根据方程组求出．先根据方程组求出，再根据，得出关于k的方程，解关于k的方程即可． 【详解】解：方程组， 得：， 整理得：， ， ， 解得：． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）解二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 把①代入②得：，解得， 把代入①得：， ∴原方程组的解为； （2）解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 12．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握解方程组的方法是关键； （1）原方程组利用代入消元法求解即可； （2）原方程组变形后利用加减消元法求解即可. 【详解】（1）解：， 由①，得③， 把③代入②，得， 解得：， 把代入③，得， ∴原方程组的解是； （2）解：原方程组可变形为， ，得， 解得， 把代入②，得， 解得， 所以原方程组的解是. 13．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）阅读下面解方程组的方法，然后解答下列问题． 解方程组时，如果我们直接考虑消元，那会很麻烦，而采用下面的解法求解会更方便．解：得，，所以， 将，得， ，得，从而可得， 所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组． (2)猜测关于x、y的方程组，的解，并说明理由． 【答案】(1) (2)；理由见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，模仿题干解题过程，进行作答即可； （2）结合题干解题过程以及式子的特征，进行作答即可； 【详解】（1）解： ，得， ∴， ∴，得， ∴，得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴原方程组的解是； （2）解：猜想关于x、y的方程组的解为， 理由如下： ， 得，， ∴， ，得， ，得 把代入，得， 解得， ∴原方程组的解是． 14．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同解方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般方法． （1）根据方程组和有相同的解，得出方程组的解即为它们的相同解，然后解方程组即可； （2）把（1）中所求的，分别代入和得：，解关于a、b的方程，求出a、b的值，代入得出答案即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 得：③， 得：， 把代入②得：， 方程组的解为：； （2）解：把（1）中所求的，分别代入和得：， 得：③， 得：， 把代入①得：， ． 15．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知，某医用材料厂商有甲、乙两条口罩生产线，在原有产能下，每天甲生产线比乙生产线少生产56万只，两条生产线3天共生产口罩336万只． (1)在原有产能下，求甲、乙两条生产线每天各生产口罩多少万只？ (2)该厂家收到订单，需要生产840万只口罩，两条生产线同时工作了2天后，该厂家加快了生产速度，又用5天时间完成了全部订单，求提升产能后，该厂家的日产量增加了多少万只？ 【答案】(1)甲、乙两条生产线每天分别生产口罩28万只、84万只； (2)提升产能后，该厂家的日产量增加了万只． 【分析】（1）设甲、乙两条生产线每天分别生产口罩x万只、y万只，根据“每天甲生产线比乙生产线少生产56万只，两条生产线3天共生产口罩336万只”列二元一次方程组，求解即可； （2）设提升产能后，该厂家的日产量增加了m万只，列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两条生产线每天分别生产口罩x万只、y万只， 由题意得：， 解得：， 答：甲、乙两条生产线每天分别生产口罩28万只、84万只； （2）解：设提升产能后，该厂家的日产量增加了m万只， 由题意得：， 解得：， 答：提升产能后，该厂家的日产量增加了万只． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，根据已知得出正确方程组或方程是解决本题的关键． 期中重难突破练（测试时间：15分钟） 16．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）下列是二元一次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，分别把各选项的值代入方程，判断方程的左边和右边是否相等即可求解，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：、当，时，方程左边右边， ∴不是方程的解； 、当，时，方程左边右边， ∴不是方程的解； 、当，时，方程左边右边， ∴是方程的解； 、当，时，方程左边右边， ∴不是方程的解； 故选：． 17．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．设鸡有只，兔有只，可列二元一次方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题，列二元一次方程组，根据上有三十五头，下有九十四足，列出方程组即可。 【详解】解：设鸡有只，兔有只，由题意，得： ， 故选A． 18．（2025七年级下·全国·专题练习）如果的解是整数，那么可能的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解法． 首先解方程组求得方程组的解，然后根据方程组的解是整数，把选项中的数据代入验证即可． 【详解】解：， 由①得：， 代入②得：， 则， 则， 即方程组的解是：， 则在可能的取值，，，中只有能使，的值是整数． 故选：． 19．（24-25七年级下·全国·期末）已知方程组的解满足x与y互为相反数，则k的值为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数性质，即互为相反数的两个数相加等于0；二元一次方程组的解，方程组的解即能使方程组中两方程成立的未知数的值．将k看作已知数，表示出，利用列出方程，即可求出k的值． 【详解】解：∵ ∴得：，即， ∵x，y互为相反数， ∴， ∴， 解得：． 故选：D． 20．（24-25七年级下·江苏南通·期中）利用边长为的正方形和两边长为的长方形，构造出如图所示的两个大正方形，则的值为（    ） A． B．25 C． D．30 【答案】D 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，熟练的利用图形性质建立方程组是解本题的关键． 根据题意得到，进而求解即可． 【详解】根据题意得， 整理得， ∴ 解得． 故选：D． 21．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若关于，的二元一次方程组，则________． 【答案】4 【分析】此题考查了二元一次方程组，两个方程相减后，即可得到答案． 【详解】解：， 得， 故答案为：4． 22．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）若关于的方程是二元一次方程，则的值等于___________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义求得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：关于、的方程是二元一次方程， ，， 解得：，， 则， 故答案为：． 23．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知，则________． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质、解二元一次方程组、代数式求值，熟练掌握绝对值的非负性是解答的关键．先根据绝对值的非负性得到，然后解方程组求得x、y值，进而代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴， 故答案为：． 24．（24-25七年级下·江苏南京·期中）若关于的二元一次方程组的解满足，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，把方程组中的两个方程相减得到，进而可得，解方程即可得到答案． 【详解】解： 得， ∴， ∵关于的二元一次方程组的解满足， ∴， ∴， 故答案为：． 25．（24-25七年级下·湖北·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的要求重新填数如图2所示，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用、求代数式的值，根据每个三角形的三个顶点上的数字之和相等得出，，得出，，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，， ，， ， 故答案为：． 26．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）解下列方程组． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法求解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， ，得：， 解得， 把代入①中，得， 所以方程组的解为； （2）解：， 原方程组可变为： ， 得：， 解这个方程得：， 把代入②中，得：， ∴方程组的解为． 【点睛】本题考查了用加减消元法解二元一次方程组，解二元一次方程组有两种消元方法，根据方程组的系数特点灵活选取消元的方法是解题的关键． 27．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）小明、小丽两人同时解方程组，请根据两人对话，求出的值．    【答案】 【分析】先把代入，再把代入，再解方程即可得到答案． 【详解】解：把代入， ∴， ∴， 把代入， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的错解问题，理解题意，利用代入法解方程是解本题的关键． 28．（24-25八年级上·河北邢台·期末）解方程组时，小卢由于看错了系数a，结果得到的解为，小龙由于看错了系数b，结果得到的解为，求的值． 【答案】4 【分析】把把代入求出，把代入求出，然后求出值即可． 【详解】解：∵小卢由于看错了系数a， ∴把代入得：， 解得：， ∵小龙由于看错了系数b， ∴把代入得：， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，代数式求值，解题的关键是熟练掌握方程组解的定义，准确计算． 29．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）为了在即将到来的体育中考中取得好成绩，某校准备在体育中考前将学校九年级的430名学生送到体育馆进行一次模拟考试，经学校和客车公司联系了解到：2辆大型客车和1辆中型客车可载客130人，1辆大型客车和3辆中型客车可载客140人．若要将这些学生一次性全部送到体育馆，且恰好坐满．根据以上信息，回答下面问题： (1)每辆大型客车和中型客车各载多少人？ (2)该校共有多少种租车方案？ (3)若每辆大型客车需租金1000元，每辆中型客车需租金800元，请你为该校提供一个最省钱的租车建议，并求出最少租车费用是多少？ 【答案】(1)每辆大型客车载50人，每辆中型客车载30人 (2)共有3种租车方案 (3)建议租8辆大型客车，1辆中型客车，最少租车费用为8800元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． （1）设每辆大型客车载x人，每辆中型客车载y人，根据“2辆大型客车和1辆中型客车可载客130人，1辆大型客车和3辆中型客车可载客140人”，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设租a辆大型客车，b辆中型客车，根据总人数为430名学生，若要将这些学生一次性全部送到体育馆，且恰好坐满，结合（1）的结论，列出二元一次方程，解方程得出整数解即可； （3）分别计算出各租车方案的费用，进行比较即可． 【详解】（1）解：设每辆大型客车载x人，每辆中型客车载y人， 根据题意，得， 解这个方程组，得， 答：每辆大型客车载50人，每辆中型客车载30人； （2）解：设租a辆大型客车，b辆中型客车． 根据题意，得， ∴， ∴， ∵a、b均为非负整数， ∴该方程组的非负整数解为或或， 答：共有3种租车方案； （3）解：有以下三种方案： ①当、时，（元）， ②当、时，（元）， ③当、时，（元）， ∵， ∴方案③最划算． 答：建议租8辆大型客车，1辆中型客车，最少租车费用为8800元． 30．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）阅读探索： 材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 解：设，原方程组可化为解得，即，解得； 材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为：； 根据上述材料，解决下列问题： (1)运用换元法解求关于，的方程组：的解； (2)若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． (3)已知、、，满足，试求y的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的特殊解法，掌握“换元法”，“整体代换”是关键． （1）根据题意，设，运用“换元法”求解即可； （2）把代入，结合所求方程组中相同字母的系数相同得到，由此即可求解； （3）根据题意变形，即，代入求解即可． 【详解】（1）解：设，则原方程组变形得， 解得，， ∴， 解得，； （2）解：关于，的方程组的解为， ∴， ∴， 解得，； （3）解：∵，， ∴， ∴， 解得，． 期中综合拓展练（测试时间：20分钟） 31．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）已知是二元一次方程组的解，则的值是（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了方程组的解、解二元一次方程组、代数式求值等知识点，理解方程组的解是满足所有方程的未知数的值成为解题的关键． 将代入方程组可得，再运用加减消元法求得、，最后代入计算即可． 【详解】解：将代入方程组，可得： 化简得： 将方程①和方程②相加，得：，解得：． 将代入方程②：，解得：； 所以，． 故选A． 32．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）设，，…，是从1，0，这三个数中取值的一列数，若，，则，，…，中为0的个数是（   ） A．120 B．220 C．200 D．620 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式及三元一次方程的解法，熟练掌握完全平方公式及三元一次方程的解法是解题的关键． 先得到，设有个1，个0，个，可得，解方程组即可． 【详解】解：∵， ， ∵， ， 设有个1，个0，个， ∴ ， 解得： ∴，，…，中为0的个数是220， 故选：B． 33．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）关于x．y的方程组的解为，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，先将方程组变形为，再根据题意得到，即可求出最后结果． 【详解】解：方程组可变为：， ∵关于x．y的方程组的解为， ∴， 由①得：， 解得：， 由②得：， ∴方程组的解是， 故选：B． 34．（24-25七年级下·湖北·期末）已知关于x，y的方程组的解为，则关于m、n的方程组的解为______； 【答案】/ 【分析】由题意可知，将代入计算即可． 【详解】解：根据题意可知， 解得， ∴关于m，n的方程组的解为 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解与整体思想的应用是解题的关键． 35．（25-26八年级上·陕西西安·期中）甲、乙两人同时解方程组甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得．原方程组的解为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解的意义．甲看错①中但②正确，乙看错②中但①正确，分别代入求解和，再解原方程组． 【详解】解：甲的解，代入②得，即， 解得； 乙的解，代入①得，即， 解得； 原方程组为， 由①得③， 将③代入②得，即， 解得， 将代入③得， ∴原方程组的解为． 故答案为：． 36．（24-25七年级下·广东广州·期中）对于两个整数和，定义一种新运算“”，若为偶数，则；若为奇数，则．若对整数和，有，且，则的值为________． 【答案】3 【分析】本题考查了列方程组及解二元一次方程组，解决本题的关键是要熟练掌握分类讨论解决问题，由题意进行讨论分别列出方程组，并进行求解，再验证即可． 【详解】解：由题意得，为奇数，为偶数，为奇数， ． 当为奇数时，为偶数， 为偶数，为偶数， 可得方程组， 解得，； 当为偶数时，为奇数， 为奇数，为奇数， 可得方程组， 解得，，不符合题意，舍去． 和为整数， ． 37．（24-25七年级下·四川内江·期中）解方程和方程组： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程组利用加减消元法求出解即可； （3）方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：； （2）解：， ，得：， 将代入①，得：， 解得：， 则方程组的解为； （3） 解：， 由得：， 把代入①得：，解得， 把，代入②得：，解得， 则方程组的解为． 38．（25-26八年级上·广东梅州·期中）对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法． 例如，解方程组．小华的解法是，把②代入①，得 (1)把小华的解法补充完整： 解：把②代入①，得： (2)请仿照小华的方法解方程组： 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）整体代入消去未知数，再求解即可； （2）先整理方程，观察两个方程特征，整体代入消去未知数，再求解即可； 【详解】（1）解：， 把②代入①，得：， 解得， 把代入②，得：， 解得， ∴原二元一次方程组的解为； （2）解：原方程组整理为， 把①代入②，得：， 解得， 把代入①，得：， 解得， ∴原二元一次方程组的解为． 【点睛】重点观察两个方程的特征，整体代入后能消去一个未知数． 39．（24-25七年级下·山东聊城·期中）某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，甲、乙两种商品的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 (1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件? (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折促销，若在本次销售过程中超市共获利2350元，则以五折售出的乙商品有多少件？ 【答案】(1)该超市购进甲商品150件，乙商品90件 (2)以五折售出的乙商品有70件 【分析】（1）设购进甲，乙商品分别为m，n件，根据题意列方程求解即可； （2）设以五折售出的乙商品有y件，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设购进甲，乙商品分别为m，n件， 依题意可知：， 解得：， 答：该超市第一次购进甲种商品件、乙种商品件； （2）解：设以五折售出的乙商品有y件， 根据题意得：， 解得：， 故以五折售出的乙商品有70件． 40．（24-25七年级下·广东江门·期中）阅读与思考：为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目． 解方程组：． 观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以更简便地解决问题． 设，则原方程组可化为， 解关于的方程组，得， 所以 解方程组，得． (1)材料中运用的数学思想是___________； A．数形结合思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．类比思想 (2)运用上述方法，解方程组； (3)已知关于的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解． (4)对于有理数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知．求的值． 【答案】(1)B (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了用换元法解比较复杂的二元一次方程组，解决本题的关键是读懂材料中的解题思路，仿照材料中的解题思路解答即可． （1）根据材料中的解题思路可知，材料中运用的数学思想是整体思想， （2）仿照材料中的解题思路，设，，则方程组可化为，解方程组求出，从而可得方程组，继续解方程组求出、的值即可； （3）首先把方程组，整理成的形式，根据方程组的解为，可得方程组，继续解方程组求出、的值即可； （4）根据新定义，列出关于的方程组，得出，进而根据新定义得出的值，即可求解． 【详解】（1）解：材料中把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，分别用字母、表示， 材料中运用的数学思想是整体思想， 故选：B； （2）解：设，， 则原方程组可化为， 解得：， ， 解得：； （3）解：整理方程组， 可得：， 可得方程组的解为， 解得：． （4）解：∵ ∴ ∴ ∴ 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04二元一次方程组（期中复习讲义） 内容导航 明。期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记。必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破。重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01二元一次方程的定义与解 题型02二元一次方程组的定义与解 题型03已知二元一次方程组的解求参数 题型04解二元一次方程组 题型05二元一次方程组的特殊解法 题型06二元一次方程组的错解复原问题 题型07构造二元一次方程组求解 题型08二元一次方程组的同解问题 题型09已知二元一次方程组解的情况求参数 题型10三元一次方程组的定义、解与应用 题型11方案问题 题型12行程问题 题型13工程问题 题型14分配问题 题型15销售利润问题 题型16几何问题 题型17古代问题 题型18二元一次方程组的新定义问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 明·期中考情 核心考点 复习目标 考情规律 二元一次方程的 掌握二元一次方程的定义、特征，能 基础常考题，一般是概念辨析问题，出现在 定义 准确判断并理解其解的含义。 小题中，分值2分左右 二元一次方程的 理解二元一次方程解的意义，能判断 基础常考题，题型主要是给出方程的解去求 解 解、求对应未知数的值，并知道其有 解，出现在小题中，分值2分左右 无数组解。 二元一次方程组 掌握二元一次方程组的定义，能判断 基础常考题，出现在小题中，分值2分左右 的定义与解 方程组，并理解其解的意义、会检验 组数是否为方程组的解。 解二元一次方程 理解并掌握代入消元法、加减消元法， 核心必考题，一般在计算题考查，难度不大， 1/36 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 组 能熟练解二元一次方程组，并检验解 分值在5分左右 的正确性。 二元一次方程组 掌握含参数的二元一次方程组的解 重要考点，含参问题一直是初中的难点， 的含参问题 法，能根据解的情况、同解等条件求 般会在小题中考查，分值在3分左右 参数的值或范围。 二元一次方程组 利用看错系数的错解反推原方程或 常考易错题，所有题型均可能考查，分值在 的错解复原问题 参数，还原并正确求解二元一次方程 3分左右，难度不大 组。 三元一次方程组 三元一次方程组的相关概念 基本常考题，一般出现在小题，分值3分 的相关概念 二元一次方程组 能从实际问题中提炼等量关系，列出 核心必考题，二元一次方组的实际应用是期 的实际问题 并求解二元一次方程组，解决配套、 中的必考题，注意各种题型的解题方法， 行程、工程、利润等常见应用题。 般分值在6分左右 记·必备知识 昼划知识点01二元一次方程 定义： 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程； 2.注意： (1)在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数； (2)“含有未知数的项的次数都是1”不可理解为两个未知数的次数都是1； (3)二元一次方程的左边和右边都是整式， 3.方法技巧 判断一个方程是不是二元一次方程要“三看”：一看原方程是不是整式方程；二看化简后的方程是否含有 两个未知数；三看含有未知数的项的次数是否都是1， 昼知识点02二元一次方程的解 定义： 2/36 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解， 2.注意： (1)在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二 元一次方程有无数解. (2)在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数 的值，再依次求出另一个的对应值 3.验证二元一次方程的解的方法 把数值代入原方程，验证等号左右两边是否相等： 简记为：一代，二算，三判断 4.一般情况下，一个二元一次方程有无数组解，但如果对其未知数的取值附加某些限制条件，那么也 可能有有限个特殊的解， 昼知识点3二元一次方程组的概念 1.二元一次方程组的定义： 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组， 2.注意： (1)二元一次方程组一共要含有两个未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数 (2)方程组中的各个方程，相同未知数必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起。 3.方法技巧： 判断一个方程组是二元一次方程组的方法 (1)方程组中各个方程都是整式方程： (2)方程组中一共含有两个不相同的未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数： (3)含未知数的项的次数都是1. 昼知识点04二元一次方程组的解 1.定义： 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解， 2.注意： 一般情况下二元一次方程组的解是唯一的.当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去， 通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数。 3.方法技巧： 3/36 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)方程组的解一定是方程组中每一个方程的解，但方程组中每一个方程的解不一定是这个方程组的解； (2)方程组的解要用大括号联立表示： (3)一般地，二元一次方程组的解只有一组，但也有特殊情况，代入检验法检验一对数值是否为某二元 次方程组的解的方法是将这对数值分别代入方程组中的每个方程，只有这对数值满足其中的所有方程时， 才能说这对数值是此方程组的解，如果这对数值不满妮其中的某一个方程，那么它就不是此方程组的解. 昼知识点05代入消元法 1.代入消元法的概念 将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代人另一个方程，消去这个未 知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法称为代入消元法，简 称代入法 2.用代入法解二元一次方程组的一般步骤： (1)变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代 数式表示出来。 (2)代入：将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程. (3)求解：解这个一元一次方程，求出x(或y)的值 (4)回代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值. (5)写解：把求得的x、y的值用大括号“(”联立起来，就是方程组的解. 3.方法技巧： 用代入消元法解二元一次方程组的关键是“消元”，即化“二元”为“一元”。应注意的问题： (1)找准消元对象，消元对象一般选取系数简单的（如系数的绝对值较小的，系数是士1的）未知数，使变形 后的方程比较简单或代入后比较容易化简， (2)在用代入法解二元一次方程组的一般步骤的“代入”中，必须理解“另一个”的含义，否则，若把y=r +b代入变形的原方程，必然得到一个恒等式 (3)用代入法求出一个未知数的值后，再求另一个未知数时，一般代入变形后得到的方程比较 简单。 屋知识点06加诚消元法 1.加减消元法的概念 把方程组的两个方程（或先做适当变形）的左、右两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解 二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法称为加减消元法，简称加减法。 4/36 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.用加减法解二元一次方程组的一般步骤： (1)变形：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘 方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数 (2)加减：把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程. (3)求解：解这个一元一次方程，求得未知数的值. (4)回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， (5)写解：把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用大括号“{”的形式表示. 3.用加减消元法解二元一次方程组应注意的问题： (1)化为标准形式·用加减消元法解二元一次方程组时，一般先把方程组整理成标准形式，再设法加减消元， 这样不易出错 (2)选准消元对象，当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该未知数较简单，如 果同一未知数的系数既不相等，也不互为相反数，那么可以利用等式的性质进行转化，使同一未知数的系 数变得相等或互为相反数· 4.加减消元法四大解题策略： 策略一：对于相同未知数的系数互为相反数的二元一次方程组，直接相加消元， 策略二：对于相同未知数的系数相同的二元一次方程组，直接相减消元 策略三：当二元一次方程组中有系数成倍数关系的相同未知数时，应适当变形后消去这个未知数。 策略四：当二元一次方程组不具备以上三种类型时，选择系数的绝对值较小的相同未知数作为“消元” 的目标更简便 屋知识点07三元一次方程组的概念、解与应用 1.三元一次方程组的定义： 方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫 做三元一次方程组， 2.三元一次方程组必须同时满足三个条件： (1)方程组中一共含有三个未知数，而不是每个方程都必须含有三个未知数； (2)含未知数的项的次数是1； (3)方程组中共有三个整式方程， 1.解三元一次方程组的基本思路 5/36 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方 程组，进而再转化为解一元一次方程 2.解三元一次方程组的方法： 解三元一次方程组时，先仔细观察三个方程中各个未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定消哪个 “元”，再灵活选用代入消元法或加减消元法将三元化为二元， 3.解三元一次方程组的一般步骤： ①消元：首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一 个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组 ②求解：然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值， ③回代：再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未 知数的一元一次方程。 ④求解：解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值， ⑤写解：最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可， 在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个 等量关系列几个方程 (1)把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础. (2)通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性. 昼知识点08二元一次方程组的实际应用 1.由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联 系起来，找出题目中的相等关系. 2.一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；② 同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符 3找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系. ②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等 量关系 ③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系.④图形问题，分析图形的长、宽，从中找 等量关系。 4.建立二元一次方程组的基本模型 6/36 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 实际向题设未知数、列方程组 数学问题 (仁元一次方程组) 解方代入法 程组加减法（请元 实际问题 数学阿题的解 的答案 检验 (二元一次方程组的解 (一)列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： (1)审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系. (2)设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来， (3)列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组. (4)求解. (5)检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答. (二)设元的方法：直接设元与间接设元 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元.无论怎样设元， 设几个未知数，就要列几个方程. 破·重难题型 题型一二元一次方程的定义与解 易|错|点|拨 定义易错：必须是整式方程，含两个未知数且次数都是1；分母有未知数、含y项都不是二元一次 方程。 解的易错：二元一次方程有无数组解；检验时要把一对数值同时代入验证；己知一个未知数求另一个， 注意移项计算别出错。 1. （24-25七年级下江苏无锡期中)下列方程中，是二元一次方程的是() A.xy=1 B.y=2x+1 c.1=3 D.x2+2x-5=0 y 2.(24-25七年级下江苏盐城期中)如果5x3m-2-2y-+11=0是二元一次方程，则2m-n=() A.-2 B.0 C.2 D.4 3.(25-26七年级下江苏期中)若方程mx+y2m-1=5是关于x,y的二元一次方程，则关于m,n的值判断 正确的是() 7/36 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.m=1,n=1B.m≠0，n=0 C.m≠0，n=1D.m=1,n≠0 4.(24-25七年级下-江苏苏州期未)若X1,是二元一次方程ax+by=3的一个解，则。-6的值等于（) y=-1 A.-3 B.-2 C.2 D.3 立题型二二元一次方程组的定义与解 易错|点拨 定义易错 必须满足：共含两个未知数，每个方程都是一次整式方程； 易错：出现y项、未知数在分母、出现三个未知数，都不是二元一次方程组； 解的易错 方程组的解要同时满足所有方程，只满足一个不算解： 不要和二元一次方程混淆：方程组一般只有一组解，不是无数组； :检验时易只代入一个方程验算，导致判断错误。 5.(24-25七年级下江苏南京，期中)表示二元一次方程组的是() x+y=3 x+y=5 C. x+y=3 0. x-y=4 A. B z+x=5 y2=4 y=2 2x+y=5 6.已知一个二元一次方程组的解是 x=-1 (y=-2 则这个方程组可以是() x+y=-3 x+y=-3 2x=y C D. x-y=1 A. B. x-y=1 x-2y=1 y-x=-3 2x-y=-4 x-(m-1y=5 7.(24-25七年级下江苏宿迁·期中)若 xm+(n-3)xy=3 是关于x,y的二元一次方程组，则m”= 8.(24-25七年级下江苏连云港期末)已知方程-2x+y=4的三个解为 =-1,x=0,x=方程 y=2;y=4;y=6, x+y=1的三个解 x=-2小x=-山x=0则方程组 -2x+y= y=3y=2;y=1. +y=1 ”的解为一 8/36 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型三己知二元一次方程组的解求参数 易错点拨 1方程组的解同时满足两个方程，不能只代入一个方程求参数： 2代入计算时，注意符号、系数不要抄错，避免移项、去括号出错： :3看清题目：是求参数的值，还是求含参数的代数式的值，不要答非所问； 4.求出参数后，可回代检验，防止计算错误。 9.(25-26七年级下江苏徐州期中)若 x=2 mx+ny =11 y=1 是二元一次方程组 r-2m=1的解，则6m+n的值是() A.18 B.20 C.22 D.25 10.（24-25七年级下江苏期中)已知 x=3 y=-1 是关于x,y的二元一次方程ax+y=8的一个解，则Q的值 为) A.6 B.4 C.3 D.1 x=1 ax+y=1 11.(24-25七年级下江苏常州期末)已知 y=-1 是关于x,y的二元一次方程组 2x-y=0的解，则 a+b= 2x+5y=2 12.（24-25七年级下·江苏南京·期中)已知关于x,y的二元一次方程 5x+2y=12的解满足x-y=m-1, 求m的值， 题型四解二元一次方程组 13.（24-25七年级下辽宁鞍山期中)解方程组 2y-8=-x (1)3 4x+3y=79 [3x-2y+20=0 22x+15y-3=0 14.（24-25七年级下·江苏连云港·期中)解方程组 9/36 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 [2x+3y=-4 (1) 3x-2y=7 （x+1=2y (2)3 2(x+1)-y=11 15.（25-26七年级下宁夏银川期中)解下列方程组： x+y=-1 (1)H 2x-3y=81 xy+1=1 (2)32 4x-(2y-5)=11 16.(25-26七年级下·广东深圳期中)解下列方程组： 2x-y=5 (1) 4x+3y=-10 (x+3_y-1 (2)23 2x-y=1 题型五二元一次方程组的特殊解法 17.(24-25七年级下广西南宁.期中)在解二元一次方程组时，有些方程组直接用我们学过的“代入法”和“消 元法”解决时计算量较大，容易出错.数学兴趣小组经过探索研究，发现了下面两种解决二元一次方程组的 新方法， x-y-1=0① 【整体代入法】例：解方程组 时，由①，得x-y=1③，然后再将③代入②，得 4(x-y)-y=5② x=0 4×1-y=5,解得y=-1.将y=-1代入③，得x=0,“该方程组的解 y=-1 根据上面方法，解决下面问题： (1)解方程组： x+y+3=10 4(x+y)-y=25 【轮换式解法】例：解方程组 19x+18y=17① 7x+16y=152时， ①-②，得2x+2y=2,x+y=1③. 10/36