广西玉林市第一中学2025-2026学年高二下学期自主限时训练数学试卷（6.1）

**基本信息** 高二数学周测试卷，以导数几何意义、数列、概率统计等为核心，通过AI抽奖概率、成本收益回归分析等真实情境，考查数学抽象、逻辑推理与数据意识，适配阶段性巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|5题/25分|导数切线、等差数列求和、回归残差、二项式系数、古典概型|第5题结合AI生成奖券码，以数字之和为背景考查概率计算，体现情境时代性| |多选题|2题/10分|随机变量分布、独立重复试验概率|第7题通过有放回与无放回取球，对比考查全概率公式应用，强化推理能力| |填空题|3题/15分|正态分布、二项式定理余数、数列前n项和|第9题将2⁶⁰拆分为(3-1)⁶⁰用二项式定理求余数，培养数学抽象| |解答题|1题/15分|函数切线、单调性讨论、极值范围|分层设问，从切线方程到含参单调性再到极值条件，梯度提升逻辑推理能力|

玉林一中高二数学自主限时训练（6月1日） 一、单选题 1．已知曲线及其在点处切线的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D．5 2．已知等差数列的前n项和为，若，则（   ） A．36 B．32 C．24 D．18 3．现统计了某品牌新店开业前个月每个月的成本（万元）和收益（万元）的情况，计算可得：，，且与的经验回归方程为．已知第个月的成本为万元，实际收益为万元，则第个月收益的残差为（    ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 4．若，则（    ） A． B．0 C． D．4 5．某商场在有奖销售的抽奖环节，采用人工智能（AI）技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码．已知顾客甲参加了一次抽奖，则他的抽奖码是3的概率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．下列结论正确的有（   ） A．若随机变量，则 B．离散型随机变量服从两点分布，且，则 C．随机变量，若，则 D．已知随机变量，满足，若，则， 7．现口袋里共有4个红球，5个黄球和3个蓝球，它们除颜色外完全相同.现进行取球，则（    ） A．若取出球后放回口袋，每次只取一个球，则第4次取出黄球的概率为 B．若取出球后不放回口袋，每次只取一个球，则第2次取出黄球的概率为 C．若取出球后放回口袋，每次只取两个球，则第4次取出的两个球中至少有一个是黄球的概率为 D．若取出球后放回口袋，每次只取两个球，则第2次取出的两个球中至少有一个是黄球的概率为 三、填空题 8．已知随机变量，且，则______． 9．除以得到的余数是________ 10．已知数列的前项和为，数列是首项为1、公差为1的等差数列，若，则______. 四、解答题 11．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求a的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 玉林一中高二数学自主限时训练（6月1日）参考答案 1．A【详解】由图知切线过点与点，则曲线在点处切线的斜率为， 所以. 2．C【详解】等差数列中，由得，所以. 3．D【详解】解：由，知样本中心为，其必在回归直线上，则，解得，因此回归方程为.当时，万元，根据残差定义可得，第个月收益的残差为万元. 4．B【详解】二项式展开式中的系数为.因此中的系数为. 令，则，进而. 5．B【详解】根据题意可知，每次点击有3种选择，连续点击5次，共有种组合，当5个数字之和为3时，其组成方式为三个1和两个0；或者一个2，一个1，三个0，若为三个1和两个0，则共有种组合，若为一个2，一个1，三个0，则共有种组合，即数字之和为3时共有种组合，因此抽奖码是3的概率为. 6．BCD【详解】对于A，，，故A错误；对于B，因服从两点分布，则，又，联立解得，故B正确；对于C，因，且 ，则，故，故C正确； 对于D，由可得，因为，则，故，，故D正确.故选：BCD. 7．ABD【详解】对于A，显然其为独立重复试验，故第四次取出黄球的概率等价于第一次取出黄球的概率， 于是，故A正确；对于B，可分为第一次取出黄球与第一次未取出黄球，由全概率公式得，故B正确；对于C、D，从12个球中取出两个球，共有种，取出两个球没有黄球共有种，则取出两个球至少有一个黄球的概率为，故C错误、D正确. 8．0.3/【详解】由随机变量，得，而，则. 9．【详解】将改写为，由二项式展开得： ， 展开式中，除第一项外，其余所有项都含有因数，均为的倍数，因此余数就是第一项的. 10．【详解】因为是首项为1、公差为1的等差数列，故，而，故，故，而，故，符合该式，故， 故，所以，所，故， 11．【详解】（1）当时，，所以 所以切线方程为即， （2），若，可得时，，所以在上单调递增；若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增；综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，，又，所以 令，求导得，所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $