专题13 概率与统计（期末专项训练）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦概率统计核心素养，以"统计基础-数据特征-概率应用-综合建模"为逻辑主线，通过分层题型设计实现从概念理解到复杂问题解决的能力进阶。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |统计基础|28题|抽样方法/图表应用|从数据收集（随机抽样）到整理（频率分布直方图）的完整统计流程| |数据特征|34题|数字特征计算与性质应用|围绕集中趋势（众数/中位数/平均数）与离散程度（方差/百分位数）构建量化分析体系| |概率应用|33题|事件关系/古典概型/独立事件|从随机事件定义到复杂概率计算，形成"概念-判断-计算"的逻辑链条| |综合应用|15题|统计与概率交汇解答题|通过真实情境问题，培养数据建模与统计推断的数学应用能力|

专题13 概率与统计 题型1 随机抽样 题型11 随机事件 题型2 频率分布直方图的应用（常考点） 题型12 事件的包含关系与运算 题型3 百分位数的计算（常考点） 题型13 互斥事件与对立事件（重点） 题型4 众数、中位数、平均数的计算（重点） 题型14 古典概型的概率（常考点） 题型5 用频率分布直方图计算百分位数、众数、中位数、平均数（常考点） 题型15 互斥事件与对立事件的概率（常考点） 题型6 方差和标准差的计算（常考点） 题型16 相互独立事件的判断 题型7 方差与标准差的实际应用（重点） 题型17 相互独立事件的概率 题型8 平均数和方差的性质（重点） 题型18 频率与概率问题 题型9 分层随机抽样的方差（常考点） 题型19 统计与概率解答题汇编（重点） 题型10 其它统计图表的应用 题型一 随机抽样（共6小题） 1．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）总体由编号为00，01，…，59的60个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个个体的编号为（ ） 5044664421 6606580562 6165543502 4235489632 1452415248 2266221586 2663754199 5842367224 A．42 B．16 C．56 D．06 【答案】C 【详解】由题意可知，从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字， 则选出来的个体编号依次为：64（舍去），42，16，60（舍去），65（舍去），80（舍去），56，26，16（舍去），55，43， 即选出的6个个体编号依次为：42，16，56，26，55，43，所以第3个个体的编号为56. 2．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）某校对高一新生进行了数学摸底测试，现利用随机数表从中抽取60名学生进行成绩分析，先将全体900名学生编号为001，002，003，…，900，从中抽取60个样本，并提供了随机数表的第1行到第2行，如下所示.若从该随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本的编号为（    ） 95226000　49840128　66175168　39682927　43772366　27096623 92580956　43890890　06482834　59741458　29778149　64608925 A．175 B．866 C．751 D．615 【答案】A 【详解】从随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，前5个数据依次是260，004，012，866，175，所以得到的第5个样本的编号为175. 3．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）“一尺一拳一寸间，科学用眼护双眼”，为保护青少年视力，培养科学健康的用眼习惯，某市疾控中心联合教育局开展“青少年视力健康监测与科学用眼宣传”．计划从全市三所高中（A校2400人、B校1800人、C校1200人）的所有学生中，按人数比例采用分层随机抽样的方法抽取270人进行视力检测与用眼习惯问卷调查，则A校应抽取的人数为（    ） A．60 B．90 C．120 D．150 【答案】C 【详解】因为A校2400人、B校1800人、C校1200人， 所以A校人数在三所高中人数中占比为， 所以按人数比例采用分层随机抽样的方法抽取270人时，A校应抽取的人数为. 4.（25-26高一下·河南·阶段检测）某科技研发公司芯片研发、软件开发、人工智能这三个部门的员工人数分别为180，240，360．现采用分层随机抽样的方法从这780名员工中抽取65人，调研员工对工作的满意度，则人工智能部门被抽取的人数与软件开发部门被抽取的人数之差是（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【详解】总员工数为780，抽取样本量为65，因此抽样比， 人工智能部门共360人，被抽取人数为， 软件开发部门共240人，被抽取人数为， 则人工智能部门被抽取的人数与软件开发部门被抽取的人数之差为. 5．（25-26高一下·宁夏银川·期中）高一某班有56名学生，其中男生24人，女生32人.按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从该班学生中抽取14人参加跳绳比赛，如果样本按比例分配，则应抽取的男生人数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】因为样本按比例分配，男女比例为， 所以应抽取的男生人数为. 6．（多选）（25-26高一下·广西柳州·阶段检测）在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本. 方法一：采用简单随机抽样的方法，将零件编号为00，01，…，99，用抽签法抽取20个. 方法二：采用分层抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个. 对于上述问题，下列说法中正确的有（    ） A．不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每个零件被抽到的概率都是 B．采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同 C．在上述两种抽样方法中，方法一抽到的样本比方法二抽到的样本更能反映总体的特征 D．在上述两种抽样方法中，方法二抽到的样本比方法一抽到的样本更能反映总体的特征 【答案】AD 【详解】选项A，. 选项B，方法一抽取时零件之间没有区别，抽取概率为. 方法二抽取时各分层概率也均为，因此两方法每一个零件被抽取概率相同. 选项C，方法二的分层抽样按照比例从不同级别的样品中抽取比随机抽样更能反映总体的特征. 选项D，和C同理. 题型二 频率分布直方图的应用（共5小题） 7．（25-26高一下·北京·期中）某校根据学生情况将物理考试成绩进行赋分，目的是为了更好地对新高考改革中不同选科学生的考试成绩进行横向对比，经过对全校300名学生的成绩统计，可得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学物理成绩大于等于80分的人数为（    ） A．60 B．90 C．120 D．150 【答案】B 【详解】由频率分布直方图的性质可得，， 解得. 这些同学物理成绩大于等于80分的人数为. 8．（24-25高一下·广西河池·期末）某校举办了一次环境保护知识竞赛，为了解学生的环境保护知识掌握程度，学校采用简单随机抽样从全校名学生中抽取了一个容量为的样本，已知样本的成绩全部分布在区间内，根据调查结果绘制学生成绩的频率分布直方图如图所示，则频率分布直方图中（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在频率分布直方图可知，所有直方图面积之和为， 所以，解得. 故选：B. 9．（2025·四川成都·一模）某校高三年级1000名学生参加体育健康标准测试，从中随机抽取部分学生的成绩（规定满分为100分），得到如图频率分布直方图，则估计该次考试成绩在区间内的学生人数为（    ） A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】C 【详解】根据题意，成绩在区间的频率为， 则估计成绩在区间的人数为：人， 故选：C. 10．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）一农庄的某种水果成熟后，质地较好的水果的重量在80～120g间，现随机抽查100个这种水果，将其质量（单位：g）分组为，，，，，，，，并绘制出频率分布直方图如图，则这100个水果质量在区间（单位：g）内的个数为（   ） A．66 B．68 C．70 D．72 【答案】C 【详解】由长方形的面积之和为1，得： ， 所以， 所以水果质量在区间（单位：g）内的个数为个. 11．（25-26高一上·北京西城·期末）为了解某校高三学生寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时)，现从该校高三年级随机抽取了部分同学进行调研，在获得这些同学每天平均学习的时间后，将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图，则 （1）______； （2）若样本中每天学习时间在区间上的同学恰有2人，则共抽取了______位同学调研． 【答案】 【详解】（1），解得； （2）设共抽取了位同学调研，则有，解得. 故答案为：； 题型三 百分位数的计算（共6小题） 12．（25-26高一下·重庆·期中）某校高二年级个班参加朗诵比赛的得分如下： 则这组数据的下四分位数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】比赛的得分升序排列为：， 由，可知下四分位数为第4项和第5项的平均数，即． 13．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）某班10名学生的数学测验成绩分别为85，88，90，92，95，96，98，100，105，105，则这组数据的第40百分位数是（    ） A．95 B．93.5 C．92.5 D．92 【答案】B 【详解】因为，所以10个数据的第40百分位数是第4个和第5个数的平均数， 即. 14．（25-26高一下·江苏南京·期中）某同学记录了当地4月最后8天每天的最低气温（单位：℃），分别为12，14，12，16，12，11，15，17，则该组数据的第70百分位数为（   ） A．12 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【详解】解：数据整理为11，12，12，12，14，15，16，17， 又，则该组数据的第70百分位数为第6个数15． 15．（25-26高一下·河南·阶段检测）某餐馆老板为了了解顾客对餐馆的满意情况，随机抽取了12名顾客进行调查，得到他们的满意度指数分别为7，8，6，9，5，8，7，9，6，8，9，8，则这组数据的第75百分位数是（   ） A．6.5 B．7 C．8.5 D．9 【答案】C 【详解】将12个满意度指数从小到大排序为：5，6，6，7，7，8，8，8，8，9，9，9. 因为， 所以， 因为为整数， 所以第75百分位数为排序第9项和第10项数据的算术平均值， 即，故选项C正确. 16．（25-26高三·全国·一轮复习）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某地面向全体中学生开展了以“铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来”为主题的知识竞赛活动．现从中随机抽取了100名学生的成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则估计这组数据的第85百分位数为（   ）    A．85 B．86 C．86.5 D．87 【答案】B 【详解】由，解得. 所以前4组频率和为，前5组频率和为， 设这组数据的第85百分位数为，则，解得． 17．（2026·江西九江·模拟预测）某新能源汽车电池研发团队测试了一款新型固态电池在0℃环境下的续航里程衰减情况．随机抽取部分测试数据，得到续航里程衰减率（单位：）的频率如下表： 续航里程衰减率 频率 0.10 0.30 0.40 0.15 0.05 据此估计，续航里程衰减率的第60百分位数约为（   ） A．15 B．13.75 C．12.5 D．11.25 【答案】C 【详解】由题意知，区间的累计频率为， 区间的累计频率为， 区间的累计频率为. 由于，因此续航里程衰减率的第60百分位数位于区间内. 所以估计续航里程衰减率的第60百分位数约为 . 题型四 众数、中位数、平均数的计算（共6小题） 18．（2026·湖南·三模）一组数据为50，40，20，19，16，16，14，10，则这组数据的众数与第60百分位数之和为（    ） A．40 B．39 C．36 D．35 【答案】D 【详解】将题中数据按从小到大排列为10，14，16，16，19，20，40，50，则众数为16， 因为，所以第60百分位数为19， 所以众数与第60百分位数之和为. 19．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）已知一组数据12，10，8，15，6，8，这组数据的中位数是（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【详解】将这组数据从小到大排列为6，8，8，10，12，15，中间的两个数为8和10， 则中位数为. 20．（2026·山西晋城·一模）已知五个数的平均数为50，则这五个数的中位数为（   ） A．45 B．47.5 C．50 D．52.5 【答案】C 【详解】由题意知，得， 若，则这五个数为45，50，50，50，55，中位数为50． 若，不妨设，则，又，所以这五个数的中位数仍是50． 21．（2026·河南开封·模拟预测）随着电视剧《沉默的荣耀》的热播，剧中人物原型吴石将军的故居——位于福州市仓山区螺洲镇，其成为游客追寻先烈足迹、缅怀革命精神的热门“红色打卡地”.其中连续10日的游客人数依次为872，963，742，682，1322，1244，674，548，884，993，则这组数据的中位数为（    ） A．872 B．878 C．884 D．1283 【答案】B 【详解】将这10个数据从小到大排列，依次为548，674，682，742，872，884，963，993，1244，1322， 所以这组数据的中位数为. 22．（25-26高一上·四川成都·开学考试）某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示，关于这60人的分数，下列说法正确的是（    ） A．众数是85 B．中位数是80 C．众数是21 D．中位数是12 【答案】A 【详解】从统计图中知，85分出现的次数最多，故众数是85； 把分数按大小排列，最中间的两个数是第30与31个数， 而，故中位数是； 故只有选项A正确； 故选：A． 23．（25-26高一下·浙江绍兴·期中）某校高一年级个班参加合唱比赛的得分如下：89，87，93，91，96，94，90，92，则这组数据的第25百分位数和平均数分别是（　　） A．89和 B．和 C．90和 D．和92 【答案】B 【详解】将这组数据按照从小到大的顺序排列为：， 因为，所以这组数据的第25百分位数为； 平均数为. 题型五 用频率分布直方图求百分位数、众数、中位数和平均数（共6小题） 24．（2026·河北·一模）为了给顾客提供更好的服务，某饭店对2025年的营业情况进行了盘点，发现顾客平均每次的消费金额(单位：元)都在内，整理统计数据得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论中正确的是（    ） A． B．顾客平均每次的消费金额的中位数小于元 C．顾客平均每次的消费金额的极差介于元至 元之间 D．顾客平均每次的消费金额的平均数为 元 【答案】C 【详解】对于A，因为，故，故A错误； 对于B，因为前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为， 故中位数在中，故中位数大于，故B错误； 对于C，设顾客平均每次的消费金额的极差，则， 故，故C正确； 对于D，顾客平均每次的消费金额的平均数为： （元）， 故D错误. 25．（25-26高三下·江西·阶段检测）为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（   ） A．对应矩形的高度为0.016 B．样本众数估计值为75 C．样本平均数估计值为77.4 D．样本成绩的第70百分位数落在内 【答案】D 【详解】设对应矩形的高度为，则，解得，A选项正确； 由图可知，的数据最多，众数的估计值为，B选项正确； 平均值为：，C选项正确； 样本数据的频率为， 样本数据的频率为， 故样本成绩的第70百分位数落在内，所以D选项错误. 26．（多选）（25-26高一下·湖南衡阳·期中）为落实“健康中国”行动，某校关注学生体质健康，随机抽取高一年级100名学生，统计其日均体育锻炼时长（单位：分），将所有数据分成六组后，得到如图所示的频率分布直方图（每组均为左闭右开区间），则（    ） A．样本中日均体育锻炼时长在内的学生人数为30 B．样本数据的极差一定小于100 C．样本数据的中位数约为53 D．估计日均体育锻炼时长不低于80分钟的学生人数占总人数的5% 【答案】AC 【详解】样本中日均体育锻炼时长在内的学生人数为（人），故A正确； 样本数据的分布在之间，且组距为20，所以极差不一定小于100，故B错误； ，（分），所以样本数据的中位数约为53，故C正确； 日均体育锻炼时长不低于80分钟的学生人数为（人），， 所以估计日均体育锻炼时长不低于80分钟的学生人数占总人数的10%，故D错误. 27．（多选）（25-26高三下·海南海口·阶段检测）某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图，下列说法中正确的是（    ） A．a=0.005 B．评分的众数估值为 70 C．评分的第25百分位数估值为 67.5 D．评分的平均数估值为76 【答案】AC 【详解】对于A，由频率之和为，得，故A正确； 对于B，评分的众数约为，故B错误； 对于C，因为，所以第百分位数在内，第百分位数约为，故C正确； 对于D，评分的平均数约为，故D错误. 28．（多选）（2026·陕西咸阳·三模）某校组织学生参加全市一项比赛，现将参加考核的160名学生的成绩分为5个小组，绘制如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（每组数据以区间的中点值为代表）（    ） A．的值为0.025 B．参加考核学生成绩的中位数约为71.4 C．参加考核学生成绩在区间的学生有104人 D．估计参加考核学生成绩的平均数约为69.5 【答案】ACD 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，成绩在的频率分别为，则成绩的中位数， ，解得，B错误； 对于C，成绩在的频率为， 由，得成绩在区间的学生有104人，C正确； 对于D，成绩的平均数，D正确. 29．（多选）（2026·河北张家口·二模）从工厂生产的零件中随机抽出100个，测量其直径（单位：），将所得数据分为5组：，并整理得到频率分布直方图如图，记这100个零件的直径的中位数为，平均数为，极差为，众数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由图可知，这5组的频率依次为， 则这5组的频数依次为， 将这100个零件的直径数据从小到大排序， 第31个数大于或等于5.18，第65个数小于5.28，第50与第51个数之和为， 所以，故A正确； 若每个区间中的数都取最大值， 平均数，故B正确； 极差是最大数减去最小的数，所以，故C正确； 众数是指这100个数中，相等的数的个数最多的那个， 而在中最多有30个数相等，中最多有35个数相等， 则众数，D错误. 题型六 方差和标准差的计算（共8小题） 30．（2026·浙江宁波·二模）某中学校园十佳歌手比赛中，7位评委对某歌手的评分分别为，记为数组，将数组中去掉一个最高分和一个最低分后保留的5个有效评分记为数组，对这两个数组进行比较，有（    ） A．极差相同 B．方差相同 C．分位数相同 D．平均数相同 【答案】D 【详解】去掉最高分和最低分后，数组B的数据为， 选项A：数组A的极差为， 数组B的极差为，故A错误； 选项B、D：数组A的平均数， 数组B的平均数，故D正确； 数组A的方差为 ， 数组B的方差为，故B错误； 选项C：，则数组A的分位数为， ，则数组B的分位数为，故C错误. 31．（25-26高一下·江西景德镇·阶段检测）已知一组数据由5个正整数组成，下列描述中，能确保这组数据中一定没有出现8的是（    ） A．平均数为4，中位数3 B．平均数为4，众数为4 C．平均数为4，方差为3.6 D．中位数为5，方差为3.6 【答案】C 【详解】对于选项A：例如1，1，3，7，8，平均数为4，中位数3，故A错误； 对于选项B：例如1，3，4，4，8，平均数为4，众数为4，故B错误； 对于选项D：例如2，5，5，5，8，中位数为5，方差为3.6，故D错误； 对于选项C：假设出现8，设5个正整数为，其平均数为4，方差为3.6， 则，即， 且，可得， 因为，，，，， 当且仅当时，等号成立， 则， 可得，即，显然不成立， 假设不成立，所以一定没有出现8，故C正确. 32．（2026·辽宁大连·三模）在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续7天，每天新增疑似病例不超过5人”．过去7日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，则一定符合该标志的是（   ） 甲地：总体平均数，且中位数为0； 乙地：中位数为2，3为众数； 丙地：总体平均数为2，且标准差； 丁地：总体平均数，且极差． A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地 【答案】D 【详解】甲地：需满足总体平均数，且中位数为0， 假设7天新增疑似病例为0，0，0，0，5，6，7，第6天、第7天新增疑似病例超过5人，不符合该标志. 乙地：假设7天新增疑似病例为0，1，2，2，3，3，7，满足中位数为2， 其中一个众数为3，但是第7天新增疑似病例超过5人，不符合该标志. 丙地：若7天新增疑似病例为1，1，1，1，2，2，6，满足平均数为2， 方差，，但不符合该标志. 丁地：由极差可知，若新增疑似病例最多超过5人，比如6人，那么最小值不低于4人 ，此时平均数 ，与矛盾，故每天新增疑似病例不超过5人，丁地符合该标志. 33．（多选）（25-26高一下·甘肃酒泉·期中）有一组样本数据，其平均数为5，方差为，中位数为．在这组数中，去掉一个最大的数10和一个最小的数1，余下8个数据的中位数为，方差为，极差为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】不妨设，则． 因为与的中位数都是， 所以，故A正确． 当时，，故B错误． ，故C错误． 由已知得． 因为，所以， 去掉一个最大的数10和一个最小的数1，余下8个数据的和为， 所以由 ， 所以余下8个数据的方差 所以，故D正确． 34．（多选）（25-26高一下·江苏南京·期中）若是样本数据：，，，的平均数（，，，不全相等），则（   ） A．，，，的极差等于，，，，的极差 B．，，，的平均数等于，，，，的平均数 C．，，，的中位数等于，，，，的中位数 D．，，，的标准差大于，，，，的标准差 【答案】ABD 【详解】不妨设，此时，A中极差均为，故A对； ，所以，故B对； C中前者中位数为，后者中位数为或或，故C错； D中前者标准差为， 后者标准差为，故D对. 35．（多选）（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）某公司欲对甲、乙、丙、丁四名实习生进行考核，考核规则为对连续五个工作日的工作情况进行打分，若每天的得分均不低于80分（所得分均为整数），则考核合格，否则视为不合格，四人连续五个工作日的得分记录如下. 甲:众数为83，平均数为82. 乙:中位数为82，众数为80. 丙:中位数为85，平均数为82. 丁:有个工作日得分为89，平均数为83，方差为9.2. 甲、乙、丙、丁四人中，考核一定合格的为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】BD 【详解】对于A：若甲有四个工作日的得分为，则剩余的那个工作日的得分为， 故甲的考核不一定合格，A错误； 对于B：将得分排序后，第三个为，且至少有两个，这两个必然是最小的两个数， 因此所有得分均不低于，故乙的考核一定合格，B正确； 对于C：丙的中位数为，平均数为，其得分可以为， 故丙的考核不一定合格，C错误； 对于D，由于丁有一个工作日的得分为，且平均数为， 若有一个工作日的得分为，由， 可知其方差必超过了，所以丁连续五个工作日的得分均不低于， 故丁的考核一定合格，D正确. 36．（25-26高一下·河南·阶段检测）为迎接校园文化节，某校举办了经典诵读比赛，五位评委对某位参赛选手的评分分别为，，，，．已知这组数据的平均数为，方差为，则__________． 【答案】 【详解】由题意，，整理得，解得， 又因为，化简为，即， 设，，则，且， 由完全平方公式，代入得，解得， 再由，代入得： ，故， 因此. 37．（25-26高一下·浙江金华·阶段检测）学校对高一学生期中考试的数学成绩进行调查，现抽取100人进行数据统计，绘制频率分布直方图如下， (1)求的值和该组数据的中位数： (2)若这100人中有女生40人，且男生平均分106，方差为16；女生平均分101，方差为36，求这100人的数学平均分和方差． 【答案】(1)，；(2)， 【详解】（1）， ，， 所以中位数在区间内，故． （2），． 所以这100人的数学平均分为，方差为. 题型七 方差和标准差的实际应用（共4小题） 38．（2026·四川资阳·三模）甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶80次，命中环数的频率分布条形图如下： 设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】根据图表知，甲､乙命中环数的众数均为7环，则； 甲运动员命中的环数比较分散，乙运动员命中的环数比较集中，则． 39．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）某烘焙店为调研某款全麦面包的质量情况，随机抽取了100个这款全麦面包，将称重后得到的数据分成六组，分别为[，，…，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值，并估计这100个样本数据的平均数；（同一组中的数据以该组所在区间的中点值为代表） (2)若样本在内的平均质量是65克，方差是6，在内的平均质量为75克，方差是3，求这两组质量的总方差． 【答案】(1)；；(2) 【详解】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得， 解得． 各组的组中值依次为，对应频率依次为， 所以数据的平均数 ， 所以估计这100个样本数据的平均数为． （2）解：由于样本数据在与内的频率之比为， 所以两组的总平均数为， 所以总方差． 40．（25-26高一下·宁夏银川·期中）在某中学举办的“校园好声音”歌手决赛中，由8名专业人士和8名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一名选手的打分： 小组：86    86    87    90    91    93    93    94 小组：69    84    90    91    92    93    94    99 (1)分别求两组评委打分的平均分； (2)判断小组A和小组B中哪一个更像是由专业人士组成，根据所学的统计知识，说明理由. 【答案】(1)90，89；(2)组更像，理由见解析 【详解】（1）记小组的数据依次为，小组的数据依次为，， 由题意可得：每组的平均数分别为：，. （2）组更像是由专业人士组成，理由如下： 两组的方差分别为：，. 由于专业人士给分更符合专业规则，相似程度更高，，， 因而，根据方差越大数据波动越大，因此组更像是由专业人士组成的． 41．（2026高一·全国·专题练习）甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示. (1)填写下表： 平均数 方差 中位数 命中9环及以上 甲 7 1.2 1 乙 5.4 3 (2)请从三个不同的角度对这次测试进行分析； ①由平均数和方差结合分析谁的成绩更稳定； ②由平均数和中位数结合分析谁的成绩好些； ③由折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力. 【答案】(1) 平均数 方差 中位数 命中9环及以上 甲 7 1.2 7 1 乙 7 5.4 7.5 3 (2)①甲的成绩更稳定；②乙射靶成绩比甲好；③乙更有潜力 【详解】（1）由题图可知，乙的射靶环数依次为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10， 所以. 乙的射靶环数从小到大排列为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10，所以中位数是. 甲的射靶环数从小到大排列为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，所以中位数为7. 于是填充后的表格如下表所示： 平均数 方差 中位数 命中9环及以上 甲 7 1.2 7 1 乙 7 5.4 7.5 3 （2）①甲、乙的平均数相同，均为7，但， 说明甲偏离平均数的程度小，而乙偏离平均数的程度大，故甲的成绩更稳定. ②甲、乙的平均水平相同，而乙的中位数比甲大， 故从平均数和中位数的角度分析乙射靶成绩比甲好. ③从折线图可以看出乙的成绩有明显进步，甲的较为稳定，所以乙更有潜力. 题型八 平均数和方差的性质（共6小题） 42．（2026·湖北·三模）已知一组样本数据有两层，第一层有N个数据，平均数为，第二层有M个数据，平均数为，两层数据合到一起计算出的平均数为，后来第一层又增加了n个数据，这n个数据的平均数为，则新的样本数据的平均数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】所有数据和为， 新的样本数据的平均数为. 43．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知样本数据，，……，的平均数为2，方差为3，设，，……，的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为样本数据，，……，的平均数为2， 所以，，……，的平均数为，因此选项AB均不正确. 因为样本数据，，……，的方差为3， 所以，，……，的方差为，因此选项C不正确，选项D正确. 44．（多选）（2026·安徽淮南·二模）已知一组大小不等的数据的平均数为，方差为，标准差为，极差为，若，则下列关于数据的结论正确的是（   ） A．平均数为 B．方差为 C．标准差为 D．极差为 【答案】AB 【详解】因为一组大小不等的数据的平均数为，而，所以数据的平均数为，所以A正确； 数据的方差为，由方差的性质可得数据的方差为，所以B正确； 标准差为方差的算术平方根，取非负数，所以数据的标准差为，所以C错误； 极差为最大值减最小值，所以原数据极差，新数据的极差应为，所以D错误. 45．（多选）（25-26高三上·山东青岛·期末）已知点（，）与点（，）关于点对称，若的平均数为，中位数为，方差为，极差为，则满足（    ） A．，，，…，的方差为 B．，，，…，的极差为 C．，，，…，的平均数为 D．，，，…，的中位数为 【答案】BC 【详解】由题意得，，则， 若的平均数为，中位数为，方差为，极差为， 则的平均数为，中位数为，方差为，极差为， 故，，，…，的方差为，极差为，故A错误，B正确； ，，，…，的平均数为，中位数为，故C正确，D错误. 故选：BC 46．（多选）（25-26高三下·安徽淮南·阶段检测）一组互不相等的数据从小到大排列为…，去掉后，则（   ） A．极差变大 B．平均数变大 C．中位数变小 D．分位数变大 【答案】BD 【详解】设数据为，去掉后数据为. A：原极差为，新极差为，由于，所以新极差变小，故A错误. B：原平均数为，新平均数为， 差值为，所以新平均数变大，故B正确. C：原中位数为，新中位数为，差值为，新中位数变大，故C错误. D：原分位数，，向上取整，所以为，新分位数则为，差值为，新分位数变大，故D正确. 47．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）已知样本数据，，，，的平均数为4，方差为2，则样本数据，，，，的平均数和方差分别为________和________． 【答案】 10 18 【详解】由题意知， . 所以 . . 题型九 分层随机抽样的方差（共5小题） 48．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）某校在一次考试后，对两班的数学成绩进行分析.已知班有人，平均成绩为分，方差为；班有人，平均成绩为分，方差为.则两班全部名同学数学成绩的方差是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】两班全部名同学数学成绩的平均数为， 方差. 49．（多选）（25-26高一上·江西景德镇·期末）我校AB两班同时参加了一次数学阶段性测试，其中A班50人，B班40人，A班的平均成绩为116分，方差是360；B班的平均成绩是102.5分，方差是450.下列说法正确的是（    ） A．A班最高分比班高 B．A班成绩比B班成绩更集中 C．AB两班全部人的平均成绩是110分 D．AB两班全部人的成绩方差是445 【答案】BCD 【详解】对于A，因题干中没有提及班级的最高分情况，故无法判断A正确； 对于B，因A班成绩的方差360小于B班成绩的方差450，则成绩更集中，故B正确； 对于C，AB两班全部人的平均成绩为，故C正确； 对于D，AB两班全部人的成绩方差为 ，故D正确. 故选：BCD. 50．（24-25高一下·湖北武汉·期末）湖州地区甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数之比为，三所学校共有数学强基学生48人，在一次统一考试中，所有学生的成绩平均分为117，方差为22.5，已知甲、乙两所学校的数学强基小组学生的学均分分别为118和114，方差分别为15和21，则丙学校的学生成绩的方差是__________. 【答案】18 【详解】甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数之比为， 三所学校共有数学强基学生48人， 甲校的数学强基小组人数24； 乙校的数学强基小组人数为16； 丙校的数学强基小组人数8， 把甲校的数学强基小组学生的平均分记为，方差记为； 把乙校的数学强基小组学生的平均分记为，方差记为； 把丙校的数学强基小组学生的平均分记为，方差记为； 把所有学生的平均分记为，方差记为． 根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系， 可得，即，解得， ， 即，解得. 故答案为：18. 51．（25-26高二下·重庆·期中）某校法联社团组织高一年级所有学生参加“感受法治内涵，争做法治宣传人”的主题知识比赛，旨在引导同学们深入学习法治知识，争当法治精神的传播者.比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分分，最低分分）中，随机调查了位同学的测试成绩，按、、、、分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图. (1)若规定成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ (2)已知落在内的平均成绩是分，方差是分，落在内的平均成绩是分，方差是分，求两组成绩合并后的平均数和方差. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为、、；、、，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差. 【答案】(1)；(2)， 【详解】（1）由题意可知，进入决赛的同学成绩的分数线为样本数据的第百分位数， 设样本数据的第百分位数为， 由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为可得， 解得， 前三个矩形的面积之和为， 前四个矩形的面积之和为，所以， 由百分位数的定义可得，解得， 故进入决赛的同学成绩应不低于分. （2）由题意可知，成绩落在的频率为， 成绩落在的频率为， 所以，， . 52．（25-26高一下·宁夏银川·期中）某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. (1)由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: (2)现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 【答案】(1)，85；(2)得分在内的平均数为81，方差为26.8. 【详解】（1）由题意得：，解得， 设第60百分位数为，则， 解得，第60百分位数为85. （2）由题意知，落在区间内的数据有个， 落在区间内的数据有个. 由题意，，则. 根据方差的定义， 故得分在内的平均数为81，方差为26.8. 题型十 其它统计图表的应用（共7小题） 53．（25-26高一下·甘肃武25．（2026·山西大同·一模）某校为了解学生的体育锻炼情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自体育锻炼所用时间的数据，结果用下面的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的锻炼时间为（    ） A．0.5h B．1h C．1.5h D．2h 【答案】B 【详解】平均每人的锻炼时间为. 54．（25-26高一上·安徽阜阳·开学考试）某校为了解学生的身高情况，随机对部分学生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，分组情况为（单位：），，，，，利用所得数据绘制如下统计图表： 根据图表提供的信息，可知样本数据中下列信息正确的是（    ） A．身高在区间的男生比女生多人 B．B组中男生和女生占比相同 C．超过一半的男生身高在以上 D．女生身高在组的人数有人 【答案】D 【详解】解析：抽取的男生总人数为（人）， 因为抽取的样本中，男生、女生人数相同， 所以抽取的女生总人数为人， 由直方图可知，身高在区间的男生人数为12人， 由扇形统计图可知，身高在区间的女生人数为（人）， 则身高在区间的男生比女生少3人，选项A错误； B组中男生和女生占比不相同，选项B错误； 男生身高在以上的占比为，则选项C错误； 女生中E组的人数为（人），则选项D正确； 故选：D. 55．（25-26高一下·甘肃酒泉·期中）随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从年月到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的比例，如图，则下列说法错误的是（   ） A．若调查的游客中青年人有人，则一共调查了人 B．估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的 C．用分层随机抽样的方法对所调查游客进行抽样，若老年人有人，则中年人有人 D．估计年月到该地旅游且选择自助游的游客中青年人不超过一半 【答案】D 【详解】设年月到该地旅游的游客总人数为． 由题意，游客中老年人、中年人、青年人的人数分别为， 其中选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数分别为． 对于A，，解得，即一共调查的游客人数是人，故A正确； 对于B，估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的，故B正确； 对于C，设中年人应抽取人，依题意得，解得，即中年人应抽取人，故C正确； 对于D，因为年月到该地旅游且选择自助游的游客的人数为，其中青年人的人数为，所以选择自助游的游客中青年人超过一半，故D错误． 56．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则下列说法中正确的是（   ） A．丁险种参保人数超过六成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C．54周岁以上人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元 【答案】D 【详解】对于A，由条形图可知丁险种参保比例为，故A错误； 对于B，由扇形图可知，41岁以上参保人数占比为，故B错误； 对于C，由扇形图与折线图可知18－29周岁人群参保人数占比，人均参保费用在元， 而54岁及以上人群参保比例虽只占，但人均参保费用为6000元，所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C错误； 对于D，由扇形图与折线图可知，人均参保费用约，故D正确. 57．（25-26高二上·四川成都·期中）某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图（图1）和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2），则下列说法中一定正确的是（    ）    A．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B．芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数和超过从事这两个行业总人数的25% C．芯片、软件行业从业者中，“90后”占比不超过50% D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数少 【答案】B 【详解】对于A，芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”人数占比为，占芯片、软件行业从业者的， 而芯片、软件行业从业者中“80后”占总人数的，但不知道从事技术岗位人数的比例， 故无法确定两者人数的多少，所以选项Ａ不一定正确； 对于B，芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数占比为， 所以超过从事这两个行业总人数的，所以选项Ｂ正确； 对于C，从饼图可看出芯片、软件行业从业者中，“90后”占比为，超过，所以选项C不正确； 对于D，芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数占比为， 占芯片、软件行业从业者的，“80前”占比，所以选项Ｄ错误. 故选：B. 58．（多选）（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）某调查研究小组收集并整理了南阳市2025年11月21日至30日每日最低气温与最高气温（单位：）的数据，并绘制了如图所示的折线图，则（    ） A．11月21日至30日的日最低气温的极差是 B．11月21日至30日的日最高气温的中位数是 C．在11月21日至30日中，有4天的日最低气温低于 D．在11月21日至30日中，11月24日的日温差（最高气温减最低气温）最大 【答案】BD 【详解】由图知11月21日至30日最低气温的最大值均小于，最小值为，则极差小于，故A不正确； 由图可知11月21日至30日的日最高气温共计10天， 从小到大排序的日期为：25日，26日，27日，22日，21日，24日，23日，28日，29日，30日， 所以日最高气温的中位数为21日，24日两天对应气温的平均值，即， 故11月21日至30日的日最高气温的中位数是，故B正确； 由图可知在11月21日至30日中，有24日，25日，26日共3天的日最低气温低于，故C不正确； 由11月21日的日温差为，11月22日的日温差约为， 11月23日的日温差约为，11月24日的日温差为， 11月25日的日温差约为，11月26日的日温差约为， 11月27日的日温差约为，11月28日的日温差约为， 11月29日的日温差约为，11月30日的日温差为， 所以11月24日的日温差（最高气温减最低气温）最大，故D正确. 故选：BD. 59．（多选）（2026·安徽安庆·一模）某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的统计图表如下（条形图为月累计值，折线图为与上年同月累计值的环比增长率）： 月份 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 累计收入（亿元） 43.88 66.57 83.96 96.87 134.69 150.09 161.05 191.67 213.39 同比增长率（%） 2 2.1 2.1 3 1 4.2 4.8 根据图表，下列说法正确的是（    ） A．该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B．2025年8月该地区的地方一般公共预算收入超过22亿元 C．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D．2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数高于20亿元 【答案】CD 【详解】对于A，由图表可知，3月的地方一般公共预算收入为（亿元）， 4月的地方一般公共预算收入为（亿元），故A错误； 对于B，8月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），故B错误； 对于C，由图表可知，2025年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元）， 而2025年9月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 2025年8月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长， 所以2024年8月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），比2025年9月少，故C正确； 对于D，由C选项可知，2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 所以2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数为（亿元），故D正确． 题型十一 随机事件（共4小题） 60．（25-26高二上·四川巴中·期末）在掷骰子试验中，记事件：朝上面的点数为3点，则该事件为（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上答案都不对 【答案】C 【详解】在掷骰子试验中， 朝上面的点数为3点，可能发生也可能不发生， 所以事件：朝上面的点数为3点，为随机事件. 故选：C 61．（25-26高二上·上海黄浦·期末）下列随机试验的样本空间为无限集的是（   ）. A．掷一颗骰子（每一面上分别标注数字1、2、3、4、5、6的质地均匀的小正方体），观察朝上的点数 B．从装有标号为1、2、3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察标号，不考虑标号顺序 C．连续抛掷一枚硬币，直到正面出现为止，观察抛掷的次数 D．做一道5选2的多选题（5个备选答案中只有2个正确答案），观察选择的答案组合 【答案】C 【详解】对于A，掷一颗骰子，观察朝上的点数这一随机试验的样本空间为，故是有限集，故A不合题意； 对于B，按要求依次取两个球不放回，观察标号，不考虑标号顺序这一随机试验的样本空间为，故是有限集，故B不合题意； 对于C，连续抛一枚硬币，直到正面出现为止，观察抛的次数这一随机试验，因不确定何时出现正面，故其样本空间为无限集，故C符合题意； 对于D，设这道5选2的多选题的5个备选答案分别为,则选择的答案组合的样本空间为, 故是有限集，即D不符合题意. 故选：C. 62．（25-26高一上·河北邯郸·开学考试）在一个不透明的袋子中装有形状、大小 、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球 C．摸出的球中至少有1个是黑球 D．摸出的是2个白球、1个黑球 【答案】C 【详解】A.摸出的是3个白球是不可能事件，不符合题意； B.摸出的是3个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意； C.摸出的球中至少有1个是黑球是必然事件，符合题意； D.摸出的是2个白球、1个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意. 故选：C. 63．（25-26高一上·江西南昌·期末）给出关于满足的非空集合的四个命题，其中错误的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 【答案】B 【详解】因为非空集合满足, 所以，对于A，根据子集的定义，任意必然有，这是必然事件，A选项正确； 对于B，当时，仍有可能，例，，取满足但，故B选项错误； 对于C，任取，则或都有可能，是随机事件，故C选项正确； 对于D，任取，则一定成立，是必然事件，故D选项正确. 故选：B 题型十二 事件的包含关系与运算（共4小题） 64．（25-26高二上·云南·开学考试）某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】连续射击两次，基本事件有A：“两次都中靶”，B：“两次都没中靶”，C：“第一次中靶且第二次没中靶”，D：“第一次没中靶且第二次中靶”. 事件“至少一次中靶”包含了A，C，D.事件“至多一次中靶”包含了B，C，D， 所以事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 65．（25-26高二上·福建泉州·期中）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不小于2”，“点数大于2”， “点数大于4”，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】用集合的形式表示事件，它们分别是，，. 显然，故A正确；，故B正确； ，故C正确；，故D错误. 故选：D 66．（25-26高三上·浙江杭州·期末）在一次随机试验中，三个事件，，发生的概率分别是，，，则下列选项正确的是（    ） A．是必然事件 B．与是互斥事件 C． D．可能为 【答案】C 【详解】对于A，若，则，故A不正确； 对于B，若，则， 此时与不是互斥事件，故B不正确； 对于C，由得，故C正确； 对于D，根据概率性质，故D不正确. 故选：C. 题型十三 互斥事件与对立事件（共6小题） 67．（25-26高二下·云南怒江·阶段检测）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚反面朝上”，“第二枚正面朝上”，则（   ） A．A包含B B．A与B互斥 C．A与B互为对立 D．A与B相互独立 【答案】D 【详解】A不包含B，A与B不互斥，也不互为对立. 又因为，，，， 所以A与B相互独立. 68．（24-25高一上·安徽淮北·期末）掷两枚骰子，设事件两骰子出现点数之和为奇数，两骰子出现点数之和为偶数，则（   ） A．事件和事件是互斥但不对立事件 B． C．事件和事件是对立事件 D．以上均不对 【答案】C 【详解】由互斥事件和对立事件的定义知，事件和事件互斥且对立，所以A错误，C正确， 又（必然事件），所以B错误. 69．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）从1∼6这6个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于4的数”，事件“抽到大于3的数”，事件“抽到大于2的偶数”，则（    ） A．A和B不互斥 B．A和B互斥且对立 C．A和C不互斥 D．A和C互斥且对立 【答案】B 【详解】从1∼6这6个整数中随机抽取1个数，样本空间为， 事件“抽到小于4的数”， ， 事件“抽到大于3的数”， ， 事件“抽到大于2的偶数”， ， ，和互斥，故选项A错误； ，和互斥且对立，故选项B正确； ，和C互斥，故选项C错误； ，和C不对立，故选项D错误. 70．（25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是3的倍数”， 事件D为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（    ） A．A与B B．A与C C．B与C D．A与D 【答案】D 【详解】由题设，样本空间，事件，事件，事件，事件， 所以是互斥事件，也是对立事件，、均不是互斥事件，是互斥事件，但不是对立事件. 故选：D 71．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为（    ） ①2张卡片都不是红色； ②2张卡片恰有1张是红色； ③2张卡片至少有1张是红色； ④2张卡片至多一张为红色. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】6张卡片中一次性任意取出2张卡片的情况有：“2张都是红色”、“2张都是蓝色”、“2张都是绿色”、“1张红色和1张蓝色”、“1张红色和1张绿色”、“1张蓝色和1张绿色”. “2张卡片都不是红色”与“2张卡片都为红色”是互斥而不对立事件； “2张卡片恰有1张是红色” 与“2张卡片都为红色”是互斥而不对立事件； “2张卡片至少有1张是红色”与“2张卡片都为红色”不是互斥事件； “2张卡片至多一张为红色” 与“2张卡片都为红色” 是对立事件. 所以事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为2. 故选：. 72．（2026·广东汕头·模拟预测）“”是“事件A与事件B互为对立事件”的（   ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【详解】投掷一枚硬币3次，满足,但不一定是对立事件， 如：事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“出现3次正面”， 则，，满足，但不是对立事件. 若事件A与事件B是对立事件，则为必然事件，再由概率的加法公式得； 所以“”是“事件A与事件B互为对立事件”的必要不充分条件； 故选：D 题型十四 古典概型的概率（共6小题） 73．（25-26高二上·山西太原·开学考试）甲､乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是， 所以获胜的概率. 故选：B 74．（24-25高一下·江苏无锡·期末）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，共有个样本点， 其中事件“点数和为”所包含的样本点为：、、、，共种， 故所求概率为. 75．（2026·陕西榆林·模拟预测）甲、乙两人玩游戏，游戏规则如下：两人同时从自己的袋子中随机取出一个球，若取出的球同色，则甲获胜，反之则乙获胜．已知甲的袋子中有3个黑球和3个红球，乙的袋子中有3个黑球和2个红球，则乙获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】总事件数为，乙获胜的事件数是， 则乙获胜的概率是． 76．（25-26高一上·江西九江·期末）某高中拟从校文艺部随机选一名学生参加当地社区的文艺汇演，选中高一学生的概率为，选中高二学生的概率为，则选中高三学生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设事件“选中高一学生”， “选中高二学生”， “选中高三学生”， 可得事件之间互为互斥事件，且， 所以， 所以选中高三学生的概率为. 故选：A. 77．（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）把一个正四面体的四个面按如下方案涂色：第一个面涂红色，第二个面涂黄色，第三个面涂蓝色，第四个面分成三块区域分别涂上述三种颜色，将该四面体抛掷在一个平面上，记事件“四面体有红色的面落在平面上”，记事件“四面体有黄色的面落在平面上”，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，正四面体的四个面中，有红色的面有2个，有黄色的面有2个， 所代表的事既有红色的面也有黄色的面落在平面上，仅有一个， 故． 78．（2026·陕西咸阳·二模）已知黑箱中共有（，）张完全相同的卡片，分别标有数字，每张卡片只标有一个数字，且数字都不相同，从中随机取出张，记录卡片上的数字为，，设，若，则的最大值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【详解】由题意可知，在张卡片中抽取张，所有可能情况有种， 当时，即，由于是在不同卡片上取出的数字，所以的情况不存在，即的情况不存在， 当时，则是相邻的两个数字，那么的可能情况有，共种情况， 当时，则相差，那么的可能情况有，共种情况， 所以的可能情况数有种， 根据古典概型概率公式得， 已知，即，由于，直接化简得，即，解得， 又因为为整数且，所以，因此的最大值是，故B正确. 题型十五 互斥事件与对立事件的概率（共3小题） 79．（24-25高一下·重庆·期末）已知事件，互斥，且事件发生的概率，且事件发生的概率，则事件，都不发生的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】事件A、B互斥，且事件A发生的概率，事件B发生的， 事件都不发生的对立事件是事件A、B至少有一个发生, 所以事件，都不发生的概率为：. 故选：B. 80．（2026·云南昭通·模拟预测）小明每周末都会在骑行和跑步中选择一个项目进行锻炼且只选择一项.如果选择跑步的概率为，则小明选择骑行的概率为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】设事件小明选择跑步为，则， 事件小明选择骑行可表示为， 所以， 小明选择骑行的概率为. 81．（25-26高一下·全国·课后作业）掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为．事件表示“小于5的奇数点出现”，事件表示“不大于5的点数出现”，则一次试验中，事件（表示事件的对立事件）发生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，表示“大于5的点数出现”，事件与事件互斥， 由概率的加法计算公式可得 故选：B. 题型十六 相互独立事件的判断（共3小题） 82．（25-26高二上·福建宁德·期末）在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，设事件“向上的点数是奇数”，事件“向上的点数是2或4”，事件“向上的点数是2或5”，则下列说法正确的是 （    ） A．与对立 B．与互斥 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】D 【详解】， 对于A：因为，所以不对立，A错误； 对于B：因为当向上的点数为时，事件同时发生，所以不互斥，B错误； 对于C：因为事件“向上的点数是2”，，， ，所以与不相互独立； 对于D：因为事件“向上的点数为”，，又， 所以，所以与相互独立. 故选：D. 83．（25-26高一上·山西忻州·期末）一个不透明的袋子中装有大小和质地相同的6个球，其中有2个红球，2个绿球，2个蓝球，从袋中一次性随机取出2个球，设事件“2个球颜色相同”，事件“2个球中至少有一个红球”，事件“2个球中至多有一个红球”，事件“2个都不是红球”，则（    ） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D． 【答案】D 【详解】将2个红球、2个绿球和2个蓝球分别记为， 则从袋中一次性随机取出2个球的样本空间为共15个样本点， 由题意共3个样本点，共9个样本点， 共14个样本点，共6个样本点， 所以，故A与D不互斥，故A错误； ，故B与C不互斥，故B错误； 因为，一个样本点， 所以，即，故C错误； ，故D正确. 故选：D 84．（2026·安徽淮北·二模）某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 【答案】B 【详解】由题意可得，，， 对于A，表示向下的面同时有数字1和2，即面4，所以，故A错误； 对于B，的情况只有面4，故， 又，满足，故B正确； 对于C，表示同时有数字1、2和3，即面4，所以，故C错误； 对于D，表示向下的面有数字2或3，包含面2、面3、面4，共3个面， 故，表示向下的面有数字1，且有数字2或3，即面4， 故，所以， 不满足独立事件定义，故D错误． 题型十七 相互独立事件的概率（共6小题） 85．（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）某商场举行抽奖活动，规则如下：从一个装有3个红球和2个白球的箱子中随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同则中奖，则中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若摸出的2个球颜色相同则中奖，则两个球的颜色依次为红红或白白， 所以中奖的概率为. 86．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）甲、乙两人进行三局两胜制的乒乓球比赛，每局比 赛甲获胜的概率均为，每局比赛彼此独立且没有平局，则乙获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，乙比赛两局直接获胜的概率为， 乙比赛完三局才获胜的概率为. 所以乙获胜的概率为. 87．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）甲、乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为，乙做对的概率为，两人做题互不影响，下列说法错误的是（ ） A．两人都做对的概率是 B．恰好有一人做对的概率是 C．两人都做错的概率是 D．至少有一人做对的概率是 【答案】C 【详解】设事件A表示“甲做对”，事件B表示“乙做对”，则，. 对于A，两人都做对的概率为，故A正确； 对于B，恰好有一人做对的概率为，故B正确； 对于C，两人都做错的概率为，故C错误； 对于D，至少有一人做对的概率为，故D正确． 88．（2026·重庆·三模）甲、乙两人进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（当一人赢得两局胜利时，该人获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为0.6（没有平局），且每局比赛结果相互独立，则两人进行第三局比赛的概率为（    ） A．0.16 B．0.36 C．0.48 D．0.52 【答案】C 【详解】只进行两局比赛结束的概率为， 则两人进行第三局比赛的概率为． 89．（25-26高二下·重庆·期中）甲、乙、丙三人轮流独立射击一个目标，三人的命中率分别为，射击顺序为甲、乙、丙，则目标在三次射击中恰好被击中两次的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设甲击中为事件A，乙击中为事件B，丙击中为事件C， 甲、乙、丙三人轮流独立射击，命中率分别为： 甲：，不命中 ， 乙：，不命中 ， 丙：，不命中 ， 所以共有3种可能的情况： 甲、乙击中，丙未击中概率为： ， 甲、丙击中，乙未击中概率为： ， 乙、丙击中，甲未击中概率为： ， 将三种情况的概率相加： . 90．（25-26高三下·河北·开学考试）在名男生，名女生中随机选取一名男生和一名女生，记“男生甲和女生乙入选”为事件，“男生甲入选”为事件，“女生乙入选”为事件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】显然男生甲是否入选不会影响女生乙是否入选，故事件相互独立，且， 于是，A错误，B正确； 事件包含“男生甲未入选，女生乙入选”、“男生甲入选，女生乙未入选”、“男生甲､女生乙都未入选”三种情况， 因此，则，所以C错误； 依题意，，， 而且，因此，即，D错误. 题型十八 频率与概率问题（共5小题） 91．（25-26高二上·四川资阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人进行象棋比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场 B．某商场一次抽奖活动的中奖率为10%，若前9人均未中奖，则第10个人一定中奖 C．随机试验的频率与概率相等 D．天气预报播报明天降水概率为90%，是指降水的可能性约为90% 【答案】D 【详解】对于A，此概率只表示事件发生的可能性大小，具有随机性，不能代表比赛5场必胜3场，所以A错误； 对于B，此中奖率只表示中奖的可能性，也具有随机性，不能代表10人必中奖1人，所以B错误； 对于C，随机试验的频率可以估计概率，并不等于概率，所以C错误； 对于D，预报播报明天降水概率为90%，是指降水的可能性约为90%，正确. 故选：D 92．（25-26高二下·安徽淮北·开学考试）下列说法正确的个数是（    ） 随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 在一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生 任意事件发生的概率总满足 若事件发生的概率趋近于，而，则是不可能发生的事件． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故 ①正确； 一次试验中的任意两个基本事件都是互斥的，故不可能同时发生，故 ②正确； 必然事件的概率为，不可能事件的概率为，随机事件的概率大于且小于， 任意事件发生的概率满足，故 ③错误； 若事件的概率趋近于，则事件是小概率事件，故 ④错误． 故说法正确的有2个． 93．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）在一副去掉大小王的扑克牌中任意取出1张牌记下牌的花色后，放回再洗匀，作为一次试验，反复进行一万次这样的试验，你估计随机事件“恰好摸到梅花”发生的频率接近（   ） A．1 B．0 C．0.5 D．0.25 【答案】D 【详解】一副去掉大小王的扑克牌有52张，其中梅花有13张， 所以取出一张恰好为梅花的概率为， 根据频率的稳定性，可估计随机事件“恰好摸到梅花”发生的频率. 故选：D. 94．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知某运动员每次投篮命中的概率为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中.如图，在R软件的控制台，输入“sample（0：999，20，replace=F）”，按回车键，得到0~999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在20个不重复的数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有633，309，016，543，247，062共6个， 所以据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为. 故选：A 95．（24-25高一下·贵州毕节·期中）某班学生在一次数学考试中成绩分布如下表： 分数段 人数 2 5 6 8 分数段 人数 12 6 4 2 那么分数在的频率和分数不满110分的频率分别是（精确到0.01）（   ） A．0.18，0.47 B．0.47，0.18 C．0.18，0.50 D．0.38，0.75 【答案】A 【详解】分数在的频率为：． 分数不满110分的频率为：． 故选：A． 题型十九 统计与概率解答题汇编（共15小题） 96．（25-26高一下·江西赣州·期中）不透明的袋子中装有红球、绿球各1个，黄球m个，这些球除颜色外完全相同，每次从袋子中有放回地随机取出1个球，且每次黄球被取出的概率为． (1)求m的值． (2)现进行两次取球． （ⅰ）求恰好有一次取出黄球的概率； （ⅱ）求这两次取出的球的颜色相同的概率． 【答案】(1)；(2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）由题可知每次黄球被取出的概率为，解得． （2）（ⅰ）因为每次黄球被取出的概率为，且两次取出的球的颜色相互独立. 所以恰有一次取出黄球的概率为． （ⅱ）由题可知，每次红球和绿球被取出的概率均为，且两次取出的球的颜色相互独立. 所以这两次取出的球的颜色相同的概率为． 97．（25-26高一下·贵州遵义·期中）某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的运行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)求这组数据的平均数与方差； (3)已知满意度评分值在内的男性人数与女性人数的比为.若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率. 【答案】(1)；(2)77；106；(3) 【详解】（1）由频率分布直方图可知各组频率依次为， 由，解得. （2）用每组区间的中点值为代表， 则平均数， 方差. （3）在的人数有人，其中男生3人，女生2人， 记三个男生分别为，两个女生分别为， 则从5人中随机抽取2人进行座谈所有样本点： ，，共10个； 恰有1名女生的样本点：，共6个； 所以从5人中随机抽取2人进行座谈恰有1名女生的概率为. 98．（2026高一·全国·专题练习）从含有两件正品和一件次品的三件产品中，每次任取一件． (1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； (2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本点有6个， 即． 其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．基本事件个数为6，而且可以认为这些样本点是等可能的． 设事件＝“取出的两件中恰有一件次品”， 所以，所以， 所以 （2）有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为共9个样本点组成． 由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些样本点的出现是等可能的． 设事件B＝“恰有一件次品”，则，所以， 所以. 99．（25-26高一下·四川内江·阶段检测）某校100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下： (1)求频率分布直方图中a的值； (2)估计这次考试的众数、平均数及中位数（中位数保留两位小数）． 【答案】(1)；(2)众数为，平均数为，中位数为. 【详解】（1）由频率直方图可得，解得. （2）由图可知，第三组的矩形最高，所以众数为； 平均数， 因为前2组的频率之和， 前3组的频率之和， 所以中位数位于区间内，则中位数为. 100．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）某校高一年级和高二年级分别有学生3 000名和2 000名，该校为了了解本校高一和高二两个年级的学生在五一假期期间的课外阅读情况，利用简单随机抽样的方法在两个年级分别抽取100名学生，记录每人假期期间每天的平均阅读时间（单位:分钟），得到如图所示的频率分布直方图: (1)求高一和高二两个年级的100名学生在五一假期期间阅读时间的第80百分位数（保留整数）. (2)两个年级的100名学生在五一假期期间平均每天阅读时间超过一个小时的百分比各是多少? (3)从众数和平均数两个角度来分析两个年级的阅读情况（每组的值用该组的中点值作代表）. 【答案】(1)82，77；(2)，；(3)答案见解析 【详解】（1）由题可知，， 所以. 设高一年级100名学生在五一假期期间阅读时间的第80百分位数为m，则，解得. 设高二年级100名学生在五一假期期间阅读时间的第80百分位数为n， 则，解得. （2）高一年级100名学生在五一假期期间，阅读时间超过一个小时的百分比为， 高二年级100名学生在五一假期期间，阅读时间超过一个小时的百分比为. （3）由频率分布直方图可知，高一年级100名学生在五一假期期间阅读时间的众数为75， 平均数为. 高二年级100名学生在五一假期期间阅读时间的众数为65， 平均数为. 由此可以看出，无论从阅读时间的众数来讲，还是从阅读的平均时间来看，高一年级都明显高于高二年级，所以高一学生的阅读情况要好于高二学生的阅读情况，这可能与高二的学业加重有关. 101．（25-26高一下·重庆·期中）市有关部门为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成，这五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表) (2)某工作人员使用简单随机抽样从中抽取部分再研究，其中成绩的答卷有2份，成绩的答卷有3份，再从这5份中随机抽取2份进行详细分析，求从这5份答卷中取2份时，既有的答卷也有的答卷的概率． 【答案】(1)平均数为100，方差为104；(2) 【详解】（1）由频率分布直方图得， 平均数， 方差 . （2）记这组三份答卷的编号为这组两份答卷的编号为， 故从5份答卷中随机抽取2份，共10种情况，为： 设事件“既有的答卷也有的答卷” 则，共6种情况． 故, 102．（25-26高一下·江西九江·期中）某校为了解高一学生的体能情况，进行了一次体能测试，共1000人参加本次测试（测试成绩均在内），将所得数据分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并估计这次体能测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)在某项体能测试中，甲、乙两人各自体能测试成绩为满分的概率分别是和，求至少有一人的体能测试成绩为满分的概率. 【答案】(1)，平均数为；(2) 【详解】（1）因为组距为，所以， 解得. 平均数为. （2）没人满分的概率为， 所以至少一人满分的概率为. 103．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）2026年的《政府工作报告》中有这样的描述：“培 育壮大新兴产业和未来产业.实施产业创新工程，鼓励央企国企带头开放应用场景，打造集成电路、航空航天、生物医药、低空经济等新兴支柱产业. 建立未来产业投入增长和风险分担机制，培育发展未来能源、量子科技、生物制造、具身智能、脑机接口、6G等未来产业.”某市科技馆为此推出“未来科技体验周”，设置6张外观完全相同的数字体验券，其中4张为“具身智能券”，2张为“航空航天券”. (1)若小明、小红两人从中各随机抽取1张体验券（抽取后不放回），求两人抽到的体验券类型恰好不同的概率； (2)若小华先从中随机抽取1张体验券，记录类型后放回并充分搅匀，再随机抽取1张，求小华两次抽取中至少有一次抽到“航空航天券”的概率； (3)该科技馆拟制定一项互动规则来决定“智能社”与“空天社”哪个社团优先体验新项目：从6张体验券中一次性随机抽取2张，若2张券类型相同，则“智能社”优先，若2张券类型不同，则“空天社”优先，请通过计算判断该规则是否公平，并说明理由. 【答案】(1)；(2)；(3)该规则不公平，理由见解析. 【详解】（1）记“两人抽到的体验券类型恰好不同”为事件A. 设4张“具身智能券”为，，，，2张“航空航天券”为，. 两人从中各随机抽取1张体验券，应用枚举法，可知样本空间为 ， 共有15个样本点， ，有8个样本点， 故. （2）记小华两次抽取中至少有一次抽到“航空航天券”为事件B，则小华两次都没有抽到“航空航天券”为. 小华抽取一次没有抽到“航空航天券”的概率为， 则， 所以. （3）该规则不公平. 理由如下： 一次性抽取2张相当于不放回抽样，由（1）知，“智能社”优先的概率为，“空天社”优先的概率为， 因为，所以该规则不公平. 104．（25-26高一上·陕西渭南·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数； (2)求样本成绩的众数、中位数和平均数； 【答案】(1)，第75百分位数是84 (2)样本成绩的众数、中位数和平均数分别约为，75，74 【详解】（1）因为频率分布直方图中所有矩形的面积和为1， 所以，解得. 样本成绩在内的频率为，在内的频率为， 所以第75百分位数，所以，解得，即样本成绩的第75百分位数是84. （2）因为最高矩形对应的区间为，所以样本成绩的众数约为； 由（1）知样本成绩在内的频率为，而成绩在内的频率为， 所以中位数，所以，解得，即样本成绩的中位数约为； 由得样本成绩的平均数约为74. 105．（25-26高一上·河南·阶段检测）某高校承办了地铁站的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了200名候选者的面试成绩（成绩均在内）并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并估计这200名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)现从第四组和第五组中用分层随机抽样的方法选取20人的成绩，若这20人中来自第四组候选者的测试成绩的平均数和方差分别为80和6.5，来自第五组候选者的测试成绩的平均数和方差分别为90和3.5，据此估计这次第四组和第五组所有参与测试的候选者的成绩的方差. 【答案】(1)，平均数为69.5；(2)21.9. 【详解】（1）由题意知，解得. 估计这200名候选者面试成绩的平均数，即估计这200名候选者面试成绩的平均数为69.5. （2）设第四组、第五组测试候选者成绩的平均数和方差分别为，，，， 则，，，， 且这两组的频率之比为4:1，则这两组的平均数， 所以第四组和第五组所有参与测试的候选者的测试成绩的方差 . 所以第四组和第五组所有参与测试的候选者的成绩的方差为21.9. 106．（25-26高一下·贵州·期中）为优化假期安排，调整学生学习节奏，提升综合素养，贵州省九个市州于2026年4月1号至3号首次实施春假制度.某中学为了解春假期间学生外出体验的情况，随机选取了该校高一及高二共100名同学并对其进行了问卷调查，将外出时间（单位：小时）数据按照，，，，分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图算出的值并估计该校学生春假外出时间的平均数（每组数据取区间的中点值作代表）、众数与中位数； (2)若外出时间在内的男女比例为3∶2，现利用分层随机抽样的方法选取5名同学进行访谈，然后再从这5名同学中随机选取2人在访谈会中发言，求发言的同学为一男一女的概率. 【答案】(1)，平均数为，众数为8，中位数为；(2) 【详解】（1）频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为 1，组距都是 2， ，解得； 平均数：； 众数是频率分布直方图中最高矩形的中点，故众数为8； 前两组的频率和， 前三组的频率和， 因此中位数在内，设中位数为， 则，解得，即中位数为； （2）在内的男女比例为3∶2，人数，其中男生18人，女生12人； 利用分层随机抽样的方法选取5名同学中，男生3人，女生2人， 记男生为，女生为，从5人中选2人的总选法为： 共10种； 其中“一男一女” 的选法为：共6种； 设事件“发言的同学为一男一女”，则. 故所求概率为. 107．（25-26高一下·甘肃酒泉·期中）近日，省足球青训中心建成投用，某校为了解学生对足球的热爱程度，随机抽取名学生对足球的“喜爱度”进行评分，将样本的成绩分成这五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计样本成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)求样本成绩的中位数（结果保留两位小数）； (3)已知落在内的平均成绩是分，方差是，落在内的平均成绩是分，方差是，求两组成绩合并后的平均数和方差． 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为，记两组数据总体的样本平均数为，则总体的样本方差． 【答案】(1)；(2)分；(3)平均数，方差 【详解】（1）由频率分布直方图得，样本成绩的平均数为． （2）设中位数为．由，，所以， 所以，解得， 所以样本成绩的中位数为分． （3）第一组的样本容量， 第二组的样本容量， 所以合并后的平均数， 合并后的方差． 108．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对名青年选手进行专项成绩考核（满分分），考核成绩的频率分布直方图如图所示． (1)从得分在中，按，分层，采用分层随机抽样的方法抽取人，再从人中随机抽取人进行考核，求至少有人分数低于分的概率； (2)现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为三个等级．若在两项考核中，至少一项为级，且另一项不低于级，则获得参赛资格．已知甲、乙的考核结果互相不受影响，且甲在每项考核中取得等级的概率分别是；乙在每项考核中取得等级的概率分别是．求甲、乙能同时获得参赛资格的概率． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由题意得，， 解得． 因为按、分2层，采用分层随机抽样的方法抽取5人， 所以从成绩在中抽出的人数为，分别记为M、N、Q， 从成绩在中抽出的人数为：，分别记为m、n， 从5人中抽取2人进行考核，样本空间为， 则，记“至少有1人分数低于80分”为事件R， 则． 即，因此． 故5人中至少有1人分数低于80分的概率为． （2）记甲获得参赛资格的概率为，乙获得参赛资格的概率为， 由题意可得，， ． 由于甲、乙的考核结果互相不受影响，所以甲获得参赛资格与乙获得参赛资格相互独立． 则甲、乙能同时获得参赛资格的概率为． 109．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）1934年-1936年红军完成伟大长征，该壮举实现了中国革命事业从挫折到胜利的伟大转折，是中华民族复兴进程中的丰碑.2026年恰逢红军长征胜利90周年，为传承长征精神，某校计划开展以“传承长征精神，续写时代华章”为主题的观影活动.同学们通过参加三个不同的游戏可以获得观影票，每个游戏需各玩一次且结果互不影响，每位同学可以自主安排参加这三个游戏的先后顺序，连胜两个游戏可以获得一张观影票，连胜三个游戏可以获得两张观影票，否则无法获得观影票.已知一个盒子中有5个大小质地完全相同的小球（编号为“”），这三个游戏的规则如下： 游戏一：从盒子中随机摸出一个小球，若这个小球的编号为“4”或“5”，则获胜； 游戏二：从盒子中有放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号均不小于“4”，则获胜； 游戏三：从盒子中不放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号之和为，则获胜. (1)分别求出同学参加游戏一，游戏二获胜的概率； (2)当时，同学如何安排游戏顺序，获得观影票的概率最大? (3)根据的不同取值，同学如何安排游戏顺序，获得观影票的概率最大？ 【答案】(1)游戏一，游戏二获胜的概率分别为，；(2)答案见解析；(3)答案见解析 【分析】（1）根据古典概型可得所求概率； （2）当时，可求出游戏三获胜的概率，记事件“同学按自己选定的顺序参加三个游戏，获得观影票”，事件“同学按自己选定的顺序参加第一个游戏，获胜”，事件“同学按自己选定的顺序参加第二个游戏，获胜”，事件“同学按自己选定的顺序参加第三个游戏，获胜”，且第一个游戏、第二个游戏、第三个游戏为游戏一、二、三的一个排列，则事件，依次表示这位同学按自己选定的顺序参加第一个游戏、第三个游戏没有获胜，讨论第二个游戏选择游戏几时获得观影票的概率，比较即可； （3）当时，同（2），当时，参考（2），比较即可. 【详解】（1）记事件“同学参加游戏一获胜”，事件“同学参加游戏二获胜”，事件“同学参加游戏三获胜”. 因为游戏一为从盒子中随机摸出一个小球，这个小球的编号为“4”或“5”，则获胜， 所以； 游戏二：从盒子中有放回地依次随机摸出两个小球，这两个小球的编号均不小于“4”，则获胜，即第一次摸出“4”或“5”，第二次也摸出“4”或“5”， 所以. （2）游戏三的所有样本点为共个， 当时，获胜的样本点为，有2个， 所以， 记事件“同学按自己选定的顺序参加三个游戏，获得观影票”， 事件“同学按自己选定的顺序参加第一个游戏，获胜”， 事件“同学按自己选定的顺序参加第二个游戏，获胜”， 事件“同学按自己选定的顺序参加第三个游戏，获胜”，且第一个游戏、第二个游戏、第三个游戏为游戏一、二、三的一个排列， 则事件，依次表示这位同学按自己选定的顺序参加第一个游戏、第三个游戏没有获胜. 所以，其中，，相互独立，，，两两互斥， 则 , 无论同学参加这三个游戏的先后顺序如何，都有. 所以. 所以，根据乘法交换律，第一个游戏和第三个游戏的位置不影响获得观影票的概率的大小， 其大小取决于第二个游戏的选择，下面以第二个游戏的选择为研究对象分三种情况进行讨论： ①若第二个游戏选择游戏一，则获得观影票的概率为 ； ②若第二个游戏选择游戏二，则获得观影票的概率为 ； ③若第二个游戏选择游戏三，则获得观影票的概率为 . 因为， 所以为使获得观影票的概率最大，同学应将游戏一放在第二个游戏的位置，第一个游戏可在游戏二、三中任选，进而确定第三个游戏. （3）考虑游戏三中的所有取值情况，如下表所示： 第一次第二次 1 2 3 4 5 1 3 4 5 6 2 3 5 6 7 3 4 5 7 8 4 5 6 7 9 5 6 7 8 9 由表格知，， ， 当时，同学按（2）将游戏一放在第二个游戏的位置，第一个游戏可在游戏二、三中任选，进而确定第三个游戏. 当时，， ①若第二个游戏选择游戏一，则获得观影票的概率为 ； ②若第二个游戏选择游戏二，则获得观影票的概率为 ； ③若第二个游戏选择游戏三，则获得观影票的概率为 . 因为，所以为使获得观影票的概率最大，同学仍应将游戏一放在第二个游戏的位置（中间位置），第一个游戏可在游戏二、三中任选，进而确定第三个游戏. 综上，无论取何值，都应将游戏一置于第二个游戏的位置（中间位置），第一个游戏可在游戏二、三中任选，进而确定第三个游戏. 110．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5. (1)现从盒子里随机取出2个小球，记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，当时，分别求事件的概率； (2)某班级为活跃班级氛围，组织了玩游戏送书签的活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书签，连胜三个游戏可以获得两张书签. 游戏一：从盒子中随机取出一个球，取到白球时获胜； 游戏二：从盒子中有放回地依次取出2个球，取出两个白球时获胜； 游戏三：从盒子中无放回地依次取出2个球，取出球编号之和为时获胜. 小明同学决定先玩游戏一， （i）当时，求接下来先玩游戏二获得书签的概率？ （ii）当n为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更大？ 【答案】(1)，；(2)（i）；（ii）5，6，7 【分析】（1）利用列举法求出样本空间，结合古典概型的概率公式即可得解； （2）（i）利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二获得书签的概率，再根据当时，即可得答案； （ii）同（i），求得先玩游戏三获得书签的概率，从而得到满足题意，再结合（1），讨论满足的的解即可. 【详解】（1）解：对于事件，有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为，所以， 所以. 对于事件，不放回地依次取出两个球的样本空间 ， 则，因为，所以， 所以. （2）解：（i）设“先玩游戏二时，获得书签”，“先玩游戏三时，获得书签”， 记事件“从盒子中随机取出一个球，取到白球”，的样本空间为， 则，所以． 则互斥，相互独立， 所以 由（1）知，当时，，， , 所以当时，接下来先玩游戏二获得书签的概率为. （ii）由（i）知． 同理，互斥，相互独立， ． 因为，所以，解得． 仿照（1）中的方法得，当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 所以，当对应的均为，大于，满足题意； 对应的均为，小于，不满足题意． 因此，符合题意的的取值为5，6，7． 1 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 概率与统计 题型1 随机抽样 题型11 随机事件 题型2 频率分布直方图的应用（常考点） 题型12 事件的包含关系与运算 题型3 百分位数的计算（常考点） 题型13 互斥事件与对立事件（重点） 题型4 众数、中位数、平均数的计算（重点） 题型14 古典概型的概率（常考点） 题型5 用频率分布直方图计算百分位数、众数、中位数、平均数（常考点） 题型15 互斥事件与对立事件的概率（常考点） 题型6 方差和标准差的计算（常考点） 题型16 相互独立事件的判断 题型7 方差与标准差的实际应用（重点） 题型17 相互独立事件的概率 题型8 平均数和方差的性质（重点） 题型18 频率与概率问题 题型9 分层随机抽样的方差（常考点） 题型19 统计与概率解答题汇编（重点） 题型10 其它统计图表的应用 题型一 随机抽样（共6小题） 1．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）总体由编号为00，01，…，59的60个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个个体的编号为（ ） 5044664421 6606580562 6165543502 4235489632 1452415248 2266221586 2663754199 5842367224 A．42 B．16 C．56 D．06 2．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）某校对高一新生进行了数学摸底测试，现利用随机数表从中抽取60名学生进行成绩分析，先将全体900名学生编号为001，002，003，…，900，从中抽取60个样本，并提供了随机数表的第1行到第2行，如下所示.若从该随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本的编号为（    ） 95226000　49840128　66175168　39682927　43772366　27096623 92580956　43890890　06482834　59741458　29778149　64608925 A．175 B．866 C．751 D．615 3．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）“一尺一拳一寸间，科学用眼护双眼”，为保护青少年视力，培养科学健康的用眼习惯，某市疾控中心联合教育局开展“青少年视力健康监测与科学用眼宣传”．计划从全市三所高中（A校2400人、B校1800人、C校1200人）的所有学生中，按人数比例采用分层随机抽样的方法抽取270人进行视力检测与用眼习惯问卷调查，则A校应抽取的人数为（    ） A．60 B．90 C．120 D．150 4.（25-26高一下·河南·阶段检测）某科技研发公司芯片研发、软件开发、人工智能这三个部门的员工人数分别为180，240，360．现采用分层随机抽样的方法从这780名员工中抽取65人，调研员工对工作的满意度，则人工智能部门被抽取的人数与软件开发部门被抽取的人数之差是（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 5．（25-26高一下·宁夏银川·期中）高一某班有56名学生，其中男生24人，女生32人.按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从该班学生中抽取14人参加跳绳比赛，如果样本按比例分配，则应抽取的男生人数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．（多选）（25-26高一下·广西柳州·阶段检测）在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本. 方法一：采用简单随机抽样的方法，将零件编号为00，01，…，99，用抽签法抽取20个. 方法二：采用分层抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个. 对于上述问题，下列说法中正确的有（    ） A．不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每个零件被抽到的概率都是 B．采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同 C．在上述两种抽样方法中，方法一抽到的样本比方法二抽到的样本更能反映总体的特征 D．在上述两种抽样方法中，方法二抽到的样本比方法一抽到的样本更能反映总体的特征 题型二 频率分布直方图的应用（共5小题） 7．（25-26高一下·北京·期中）某校根据学生情况将物理考试成绩进行赋分，目的是为了更好地对新高考改革中不同选科学生的考试成绩进行横向对比，经过对全校300名学生的成绩统计，可得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学物理成绩大于等于80分的人数为（    ） A．60 B．90 C．120 D．150 8．（24-25高一下·广西河池·期末）某校举办了一次环境保护知识竞赛，为了解学生的环境保护知识掌握程度，学校采用简单随机抽样从全校名学生中抽取了一个容量为的样本，已知样本的成绩全部分布在区间内，根据调查结果绘制学生成绩的频率分布直方图如图所示，则频率分布直方图中（   ） A． B． C． D． 9．（2025·四川成都·一模）某校高三年级1000名学生参加体育健康标准测试，从中随机抽取部分学生的成绩（规定满分为100分），得到如图频率分布直方图，则估计该次考试成绩在区间内的学生人数为（    ） A．100 B．200 C．300 D．400 10．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）一农庄的某种水果成熟后，质地较好的水果的重量在80～120g间，现随机抽查100个这种水果，将其质量（单位：g）分组为，，，，，，，，并绘制出频率分布直方图如图，则这100个水果质量在区间（单位：g）内的个数为（   ） A．66 B．68 C．70 D．72 11．（25-26高一上·北京西城·期末）为了解某校高三学生寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时)，现从该校高三年级随机抽取了部分同学进行调研，在获得这些同学每天平均学习的时间后，将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图，则 （1）______； （2）若样本中每天学习时间在区间上的同学恰有2人，则共抽取了______位同学调研． 题型三 百分位数的计算（共6小题） 12．（25-26高一下·重庆·期中）某校高二年级个班参加朗诵比赛的得分如下： 则这组数据的下四分位数为（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）某班10名学生的数学测验成绩分别为85，88，90，92，95，96，98，100，105，105，则这组数据的第40百分位数是（    ） A．95 B．93.5 C．92.5 D．92 14．（25-26高一下·江苏南京·期中）某同学记录了当地4月最后8天每天的最低气温（单位：℃），分别为12，14，12，16，12，11，15，17，则该组数据的第70百分位数为（   ） A．12 B．14 C．15 D．16 15．（25-26高一下·河南·阶段检测）某餐馆老板为了了解顾客对餐馆的满意情况，随机抽取了12名顾客进行调查，得到他们的满意度指数分别为7，8，6，9，5，8，7，9，6，8，9，8，则这组数据的第75百分位数是（   ） A．6.5 B．7 C．8.5 D．9 16．（25-26高三·全国·一轮复习）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某地面向全体中学生开展了以“铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来”为主题的知识竞赛活动．现从中随机抽取了100名学生的成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则估计这组数据的第85百分位数为（   ）    A．85 B．86 C．86.5 D．87 17．（2026·江西九江·模拟预测）某新能源汽车电池研发团队测试了一款新型固态电池在0℃环境下的续航里程衰减情况．随机抽取部分测试数据，得到续航里程衰减率（单位：）的频率如下表： 续航里程衰减率 频率 0.10 0.30 0.40 0.15 0.05 据此估计，续航里程衰减率的第60百分位数约为（   ） A．15 B．13.75 C．12.5 D．11.25 题型四 众数、中位数、平均数的计算（共6小题） 18．（2026·湖南·三模）一组数据为50，40，20，19，16，16，14，10，则这组数据的众数与第60百分位数之和为（    ） A．40 B．39 C．36 D．35 19．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）已知一组数据12，10，8，15，6，8，这组数据的中位数是（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 20．（2026·山西晋城·一模）已知五个数的平均数为50，则这五个数的中位数为（   ） A．45 B．47.5 C．50 D．52.5 21．（2026·河南开封·模拟预测）随着电视剧《沉默的荣耀》的热播，剧中人物原型吴石将军的故居——位于福州市仓山区螺洲镇，其成为游客追寻先烈足迹、缅怀革命精神的热门“红色打卡地”.其中连续10日的游客人数依次为872，963，742，682，1322，1244，674，548，884，993，则这组数据的中位数为（    ） A．872 B．878 C．884 D．1283 22．（25-26高一上·四川成都·开学考试）某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示，关于这60人的分数，下列说法正确的是（    ） A．众数是85 B．中位数是80 C．众数是21 D．中位数是12 23．（25-26高一下·浙江绍兴·期中）某校高一年级个班参加合唱比赛的得分如下：89，87，93，91，96，94，90，92，则这组数据的第25百分位数和平均数分别是（　　） A．89和 B．和 C．90和 D．和92 题型五 用频率分布直方图求百分位数、众数、中位数和平均数（共6小题） 24．（2026·河北·一模）为了给顾客提供更好的服务，某饭店对2025年的营业情况进行了盘点，发现顾客平均每次的消费金额(单位：元)都在内，整理统计数据得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论中正确的是（    ） A． B．顾客平均每次的消费金额的中位数小于元 C．顾客平均每次的消费金额的极差介于元至 元之间 D．顾客平均每次的消费金额的平均数为 元 25．（25-26高三下·江西·阶段检测）为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（   ） A．对应矩形的高度为0.016 B．样本众数估计值为75 C．样本平均数估计值为77.4 D．样本成绩的第70百分位数落在内 26．（多选）（25-26高一下·湖南衡阳·期中）为落实“健康中国”行动，某校关注学生体质健康，随机抽取高一年级100名学生，统计其日均体育锻炼时长（单位：分），将所有数据分成六组后，得到如图所示的频率分布直方图（每组均为左闭右开区间），则（    ） A．样本中日均体育锻炼时长在内的学生人数为30 B．样本数据的极差一定小于100 C．样本数据的中位数约为53 D．估计日均体育锻炼时长不低于80分钟的学生人数占总人数的5% 27．（多选）（25-26高三下·海南海口·阶段检测）某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图，下列说法中正确的是（    ） A．a=0.005 B．评分的众数估值为 70 C．评分的第25百分位数估值为 67.5 D．评分的平均数估值为76 28．（多选）（2026·陕西咸阳·三模）某校组织学生参加全市一项比赛，现将参加考核的160名学生的成绩分为5个小组，绘制如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（每组数据以区间的中点值为代表）（    ） A．的值为0.025 B．参加考核学生成绩的中位数约为71.4 C．参加考核学生成绩在区间的学生有104人 D．估计参加考核学生成绩的平均数约为69.5 29．（多选）（2026·河北张家口·二模）从工厂生产的零件中随机抽出100个，测量其直径（单位：），将所得数据分为5组：，并整理得到频率分布直方图如图，记这100个零件的直径的中位数为，平均数为，极差为，众数为，则（    ） A． B． C． D． 题型六 方差和标准差的计算（共8小题） 30．（2026·浙江宁波·二模）某中学校园十佳歌手比赛中，7位评委对某歌手的评分分别为，记为数组，将数组中去掉一个最高分和一个最低分后保留的5个有效评分记为数组，对这两个数组进行比较，有（    ） A．极差相同 B．方差相同 C．分位数相同 D．平均数相同 31．（25-26高一下·江西景德镇·阶段检测）已知一组数据由5个正整数组成，下列描述中，能确保这组数据中一定没有出现8的是（    ） A．平均数为4，中位数3 B．平均数为4，众数为4 C．平均数为4，方差为3.6 D．中位数为5，方差为3.6 32．（2026·辽宁大连·三模）在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续7天，每天新增疑似病例不超过5人”．过去7日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，则一定符合该标志的是（   ） 甲地：总体平均数，且中位数为0； 乙地：中位数为2，3为众数； 丙地：总体平均数为2，且标准差； 丁地：总体平均数，且极差． A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地 33．（多选）（25-26高一下·甘肃酒泉·期中）有一组样本数据，其平均数为5，方差为，中位数为．在这组数中，去掉一个最大的数10和一个最小的数1，余下8个数据的中位数为，方差为，极差为，则（   ） A． B． C． D． 34．（多选）（25-26高一下·江苏南京·期中）若是样本数据：，，，的平均数（，，，不全相等），则（   ） A．，，，的极差等于，，，，的极差 B．，，，的平均数等于，，，，的平均数 C．，，，的中位数等于，，，，的中位数 D．，，，的标准差大于，，，，的标准差 35．（多选）（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）某公司欲对甲、乙、丙、丁四名实习生进行考核，考核规则为对连续五个工作日的工作情况进行打分，若每天的得分均不低于80分（所得分均为整数），则考核合格，否则视为不合格，四人连续五个工作日的得分记录如下. 甲:众数为83，平均数为82. 乙:中位数为82，众数为80. 丙:中位数为85，平均数为82. 丁:有个工作日得分为89，平均数为83，方差为9.2. 甲、乙、丙、丁四人中，考核一定合格的为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 36．（25-26高一下·河南·阶段检测）为迎接校园文化节，某校举办了经典诵读比赛，五位评委对某位参赛选手的评分分别为，，，，．已知这组数据的平均数为，方差为，则__________． 37．（25-26高一下·浙江金华·阶段检测）学校对高一学生期中考试的数学成绩进行调查，现抽取100人进行数据统计，绘制频率分布直方图如下， (1)求的值和该组数据的中位数： (2)若这100人中有女生40人，且男生平均分106，方差为16；女生平均分101，方差为36，求这100人的数学平均分和方差． 题型七 方差和标准差的实际应用（共4小题） 38．（2026·四川资阳·三模）甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶80次，命中环数的频率分布条形图如下： 设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 39．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）某烘焙店为调研某款全麦面包的质量情况，随机抽取了100个这款全麦面包，将称重后得到的数据分成六组，分别为[，，…，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值，并估计这100个样本数据的平均数；（同一组中的数据以该组所在区间的中点值为代表） (2)若样本在内的平均质量是65克，方差是6，在内的平均质量为75克，方差是3，求这两组质量的总方差． 40．（25-26高一下·宁夏银川·期中）在某中学举办的“校园好声音”歌手决赛中，由8名专业人士和8名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一名选手的打分： 小组：86    86    87    90    91    93    93    94 小组：69    84    90    91    92    93    94    99 (1)分别求两组评委打分的平均分； (2)判断小组A和小组B中哪一个更像是由专业人士组成，根据所学的统计知识，说明理由. 41．（2026高一·全国·专题练习）甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示. (1)填写下表： 平均数 方差 中位数 命中9环及以上 甲 7 1.2 1 乙 5.4 3 (2)请从三个不同的角度对这次测试进行分析； ①由平均数和方差结合分析谁的成绩更稳定； ②由平均数和中位数结合分析谁的成绩好些； ③由折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力. 平均数 方差 中位数 命中9环及以上 甲 7 1.2 7 1 乙 7 5.4 7.5 3 平均数 方差 中位数 命中9环及以上 甲 7 1.2 7 1 乙 7 5.4 7.5 3 题型八 平均数和方差的性质（共6小题） 42．（2026·湖北·三模）已知一组样本数据有两层，第一层有N个数据，平均数为，第二层有M个数据，平均数为，两层数据合到一起计算出的平均数为，后来第一层又增加了n个数据，这n个数据的平均数为，则新的样本数据的平均数为（ ） A． B． C． D． 43．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知样本数据，，……，的平均数为2，方差为3，设，，……，的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 44．（多选）（2026·安徽淮南·二模）已知一组大小不等的数据的平均数为，方差为，标准差为，极差为，若，则下列关于数据的结论正确的是（   ） A．平均数为 B．方差为 C．标准差为 D．极差为 45．（多选）（25-26高三上·山东青岛·期末）已知点（，）与点（，）关于点对称，若的平均数为，中位数为，方差为，极差为，则满足（    ） A．，，，…，的方差为 B．，，，…，的极差为 C．，，，…，的平均数为 D．，，，…，的中位数为 46．（多选）（25-26高三下·安徽淮南·阶段检测）一组互不相等的数据从小到大排列为…，去掉后，则（   ） A．极差变大 B．平均数变大 C．中位数变小 D．分位数变大 47．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）已知样本数据，，，，的平均数为4，方差为2，则样本数据，，，，的平均数和方差分别为________和________． 题型九 分层随机抽样的方差（共5小题） 48．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）某校在一次考试后，对两班的数学成绩进行分析.已知班有人，平均成绩为分，方差为；班有人，平均成绩为分，方差为.则两班全部名同学数学成绩的方差是（   ） A． B． C． D． 49．（多选）（25-26高一上·江西景德镇·期末）我校AB两班同时参加了一次数学阶段性测试，其中A班50人，B班40人，A班的平均成绩为116分，方差是360；B班的平均成绩是102.5分，方差是450.下列说法正确的是（    ） A．A班最高分比班高 B．A班成绩比B班成绩更集中 C．AB两班全部人的平均成绩是110分 D．AB两班全部人的成绩方差是445 50．（24-25高一下·湖北武汉·期末）湖州地区甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数之比为，三所学校共有数学强基学生48人，在一次统一考试中，所有学生的成绩平均分为117，方差为22.5，已知甲、乙两所学校的数学强基小组学生的学均分分别为118和114，方差分别为15和21，则丙学校的学生成绩的方差是__________. 51．（25-26高二下·重庆·期中）某校法联社团组织高一年级所有学生参加“感受法治内涵，争做法治宣传人”的主题知识比赛，旨在引导同学们深入学习法治知识，争当法治精神的传播者.比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分分，最低分分）中，随机调查了位同学的测试成绩，按、、、、分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图. (1)若规定成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ (2)已知落在内的平均成绩是分，方差是分，落在内的平均成绩是分，方差是分，求两组成绩合并后的平均数和方差. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为、、；、、，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差. 52．（25-26高一下·宁夏银川·期中）某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. (1)由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: (2)现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 题型十 其它统计图表的应用（共7小题） 53．（25-26高一下·甘肃武25．（2026·山西大同·一模）某校为了解学生的体育锻炼情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自体育锻炼所用时间的数据，结果用下面的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的锻炼时间为（    ） A．0.5h B．1h C．1.5h D．2h 54．（25-26高一上·安徽阜阳·开学考试）某校为了解学生的身高情况，随机对部分学生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，分组情况为（单位：），，，，，利用所得数据绘制如下统计图表： 根据图表提供的信息，可知样本数据中下列信息正确的是（    ） A．身高在区间的男生比女生多人 B．B组中男生和女生占比相同 C．超过一半的男生身高在以上 D．女生身高在组的人数有人 55．（25-26高一下·甘肃酒泉·期中）随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从年月到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的比例，如图，则下列说法错误的是（   ） A．若调查的游客中青年人有人，则一共调查了人 B．估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的 C．用分层随机抽样的方法对所调查游客进行抽样，若老年人有人，则中年人有人 D．估计年月到该地旅游且选择自助游的游客中青年人不超过一半 56．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则下列说法中正确的是（   ） A．丁险种参保人数超过六成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C．54周岁以上人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元 57．（25-26高二上·四川成都·期中）某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图（图1）和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2），则下列说法中一定正确的是（    ）    A．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B．芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数和超过从事这两个行业总人数的25% C．芯片、软件行业从业者中，“90后”占比不超过50% D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数少 58．（多选）（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）某调查研究小组收集并整理了南阳市2025年11月21日至30日每日最低气温与最高气温（单位：）的数据，并绘制了如图所示的折线图，则（    ） A．11月21日至30日的日最低气温的极差是 B．11月21日至30日的日最高气温的中位数是 C．在11月21日至30日中，有4天的日最低气温低于 D．在11月21日至30日中，11月24日的日温差（最高气温减最低气温）最大 59．（多选）（2026·安徽安庆·一模）某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的统计图表如下（条形图为月累计值，折线图为与上年同月累计值的环比增长率）： 月份 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 累计收入（亿元） 43.88 66.57 83.96 96.87 134.69 150.09 161.05 191.67 213.39 同比增长率（%） 2 2.1 2.1 3 1 4.2 4.8 根据图表，下列说法正确的是（    ） A．该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B．2025年8月该地区的地方一般公共预算收入超过22亿元 C．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D．2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数高于20亿元 题型十一 随机事件（共4小题） 60．（25-26高二上·四川巴中·期末）在掷骰子试验中，记事件：朝上面的点数为3点，则该事件为（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上答案都不对 61．（25-26高二上·上海黄浦·期末）下列随机试验的样本空间为无限集的是（   ）. A．掷一颗骰子（每一面上分别标注数字1、2、3、4、5、6的质地均匀的小正方体），观察朝上的点数 B．从装有标号为1、2、3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察标号，不考虑标号顺序 C．连续抛掷一枚硬币，直到正面出现为止，观察抛掷的次数 D．做一道5选2的多选题（5个备选答案中只有2个正确答案），观察选择的答案组合 62．（25-26高一上·河北邯郸·开学考试）在一个不透明的袋子中装有形状、大小 、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球 C．摸出的球中至少有1个是黑球 D．摸出的是2个白球、1个黑球 63．（25-26高一上·江西南昌·期末）给出关于满足的非空集合的四个命题，其中错误的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 题型十二 事件的包含关系与运算（共4小题） 64．（25-26高二上·云南·开学考试）某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 65．（25-26高二上·福建泉州·期中）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不小于2”，“点数大于2”， “点数大于4”，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 66．（25-26高三上·浙江杭州·期末）在一次随机试验中，三个事件，，发生的概率分别是，，，则下列选项正确的是（    ） A．是必然事件 B．与是互斥事件 C． D．可能为 题型十三 互斥事件与对立事件（共6小题） 67．（25-26高二下·云南怒江·阶段检测）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚反面朝上”，“第二枚正面朝上”，则（   ） A．A包含B B．A与B互斥 C．A与B互为对立 D．A与B相互独立 68．（24-25高一上·安徽淮北·期末）掷两枚骰子，设事件两骰子出现点数之和为奇数，两骰子出现点数之和为偶数，则（   ） A．事件和事件是互斥但不对立事件 B． C．事件和事件是对立事件 D．以上均不对 69．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）从1∼6这6个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于4的数”，事件“抽到大于3的数”，事件“抽到大于2的偶数”，则（    ） A．A和B不互斥 B．A和B互斥且对立 C．A和C不互斥 D．A和C互斥且对立 70．（25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是3的倍数”， 事件D为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（    ） A．A与B B．A与C C．B与C D．A与D 71．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为（    ） ①2张卡片都不是红色； ②2张卡片恰有1张是红色； ③2张卡片至少有1张是红色； ④2张卡片至多一张为红色. A．1 B．2 C．3 D．4 72．（2026·广东汕头·模拟预测）“”是“事件A与事件B互为对立事件”的（   ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 题型十四 古典概型的概率（共6小题） 73．（25-26高二上·山西太原·开学考试）甲､乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 74．（24-25高一下·江苏无锡·期末）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（   ） A． B． C． D． 75．（2026·陕西榆林·模拟预测）甲、乙两人玩游戏，游戏规则如下：两人同时从自己的袋子中随机取出一个球，若取出的球同色，则甲获胜，反之则乙获胜．已知甲的袋子中有3个黑球和3个红球，乙的袋子中有3个黑球和2个红球，则乙获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 76．（25-26高一上·江西九江·期末）某高中拟从校文艺部随机选一名学生参加当地社区的文艺汇演，选中高一学生的概率为，选中高二学生的概率为，则选中高三学生的概率为（   ） A． B． C． D． 77．（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）把一个正四面体的四个面按如下方案涂色：第一个面涂红色，第二个面涂黄色，第三个面涂蓝色，第四个面分成三块区域分别涂上述三种颜色，将该四面体抛掷在一个平面上，记事件“四面体有红色的面落在平面上”，记事件“四面体有黄色的面落在平面上”，则的值为（     ） A． B． C． D． 78．（2026·陕西咸阳·二模）已知黑箱中共有（，）张完全相同的卡片，分别标有数字，每张卡片只标有一个数字，且数字都不相同，从中随机取出张，记录卡片上的数字为，，设，若，则的最大值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 题型十五 互斥事件与对立事件的概率（共3小题） 79．（24-25高一下·重庆·期末）已知事件，互斥，且事件发生的概率，且事件发生的概率，则事件，都不发生的概率是（    ） A． B． C． D． 80．（2026·云南昭通·模拟预测）小明每周末都会在骑行和跑步中选择一个项目进行锻炼且只选择一项.如果选择跑步的概率为，则小明选择骑行的概率为（    ） A． B． C． D．1 81．（25-26高一下·全国·课后作业）掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为．事件表示“小于5的奇数点出现”，事件表示“不大于5的点数出现”，则一次试验中，事件（表示事件的对立事件）发生的概率为（   ） A． B． C． D． 题型十六 相互独立事件的判断（共3小题） 82．（25-26高二上·福建宁德·期末）在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，设事件“向上的点数是奇数”，事件“向上的点数是2或4”，事件“向上的点数是2或5”，则下列说法正确的是 （    ） A．与对立 B．与互斥 C．与相互独立 D．与相互独立 83．（25-26高一上·山西忻州·期末）一个不透明的袋子中装有大小和质地相同的6个球，其中有2个红球，2个绿球，2个蓝球，从袋中一次性随机取出2个球，设事件“2个球颜色相同”，事件“2个球中至少有一个红球”，事件“2个球中至多有一个红球”，事件“2个都不是红球”，则（    ） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D． 84．（2026·安徽淮北·二模）某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 题型十七 相互独立事件的概率（共6小题） 85．（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）某商场举行抽奖活动，规则如下：从一个装有3个红球和2个白球的箱子中随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同则中奖，则中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 赛甲获胜的概率均为，每局比赛彼此独立且没有平局，则乙获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 87．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）甲、乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为，乙做对的概率为，两人做题互不影响，下列说法错误的是（ ） A．两人都做对的概率是 B．恰好有一人做对的概率是 C．两人都做错的概率是 D．至少有一人做对的概率是 88．（2026·重庆·三模）甲、乙两人进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（当一人赢得两局胜利时，该人获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为0.6（没有平局），且每局比赛结果相互独立，则两人进行第三局比赛的概率为（    ） A．0.16 B．0.36 C．0.48 D．0.52 89．（25-26高二下·重庆·期中）甲、乙、丙三人轮流独立射击一个目标，三人的命中率分别为，射击顺序为甲、乙、丙，则目标在三次射击中恰好被击中两次的概率为（   ） A． B． C． D． 90．（25-26高三下·河北·开学考试）在名男生，名女生中随机选取一名男生和一名女生，记“男生甲和女生乙入选”为事件，“男生甲入选”为事件，“女生乙入选”为事件，则（    ） A． B． C． D． 题型十八 频率与概率问题（共5小题） 91．（25-26高二上·四川资阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人进行象棋比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场 B．某商场一次抽奖活动的中奖率为10%，若前9人均未中奖，则第10个人一定中奖 C．随机试验的频率与概率相等 D．天气预报播报明天降水概率为90%，是指降水的可能性约为90% 92．（25-26高二下·安徽淮北·开学考试）下列说法正确的个数是（    ） 随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 在一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生 任意事件发生的概率总满足 若事件发生的概率趋近于，而，则是不可能发生的事件． A．0 B．1 C．2 D．3 93．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）在一副去掉大小王的扑克牌中任意取出1张牌记下牌的花色后，放回再洗匀，作为一次试验，反复进行一万次这样的试验，你估计随机事件“恰好摸到梅花”发生的频率接近（   ） A．1 B．0 C．0.5 D．0.25 94．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知某运动员每次投篮命中的概率为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中.如图，在R软件的控制台，输入“sample（0：999，20，replace=F）”，按回车键，得到0~999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（    ） A． B． C． D． 95．（24-25高一下·贵州毕节·期中）某班学生在一次数学考试中成绩分布如下表： 分数段 人数 2 5 6 8 分数段 人数 12 6 4 2 那么分数在的频率和分数不满110分的频率分别是（精确到0.01）（   ） A．0.18，0.47 B．0.47，0.18 C．0.18，0.50 D．0.38，0.75 题型十九 统计与概率解答题汇编（共15小题） 96．（25-26高一下·江西赣州·期中）不透明的袋子中装有红球、绿球各1个，黄球m个，这些球除颜色外完全相同，每次从袋子中有放回地随机取出1个球，且每次黄球被取出的概率为． (1)求m的值． (2)现进行两次取球． （ⅰ）求恰好有一次取出黄球的概率； （ⅱ）求这两次取出的球的颜色相同的概率． 97．（25-26高一下·贵州遵义·期中）某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的运行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)求这组数据的平均数与方差； (3)已知满意度评分值在内的男性人数与女性人数的比为.若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率. 98．（2026高一·全国·专题练习）从含有两件正品和一件次品的三件产品中，每次任取一件． (1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； (2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率． 99．（25-26高一下·四川内江·阶段检测）某校100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下： (1)求频率分布直方图中a的值； (2)估计这次考试的众数、平均数及中位数（中位数保留两位小数）． 100．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）某校高一年级和高二年级分别有学生3 000名和2 000名，该校为了了解本校高一和高二两个年级的学生在五一假期期间的课外阅读情况，利用简单随机抽样的方法在两个年级分别抽取100名学生，记录每人假期期间每天的平均阅读时间（单位:分钟），得到如图所示的频率分布直方图: (1)求高一和高二两个年级的100名学生在五一假期期间阅读时间的第80百分位数（保留整数）. (2)两个年级的100名学生在五一假期期间平均每天阅读时间超过一个小时的百分比各是多少? (3)从众数和平均数两个角度来分析两个年级的阅读情况（每组的值用该组的中点值作代表）. 101．（25-26高一下·重庆·期中）市有关部门为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成，这五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表) (2)某工作人员使用简单随机抽样从中抽取部分再研究，其中成绩的答卷有2份，成绩的答卷有3份，再从这5份中随机抽取2份进行详细分析，求从这5份答卷中取2份时，既有的答卷也有的答卷的概率． 102．（25-26高一下·江西九江·期中）某校为了解高一学生的体能情况，进行了一次体能测试，共1000人参加本次测试（测试成绩均在内），将所得数据分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并估计这次体能测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)在某项体能测试中，甲、乙两人各自体能测试成绩为满分的概率分别是和，求至少有一人的体能测试成绩为满分的概率. 育壮大新兴产业和未来产业.实施产业创新工程，鼓励央企国企带头开放应用场景，打造集成电路、航空航天、生物医药、低空经济等新兴支柱产业. 建立未来产业投入增长和风险分担机制，培育发展未来能源、量子科技、生物制造、具身智能、脑机接口、6G等未来产业.”某市科技馆为此推出“未来科技体验周”，设置6张外观完全相同的数字体验券，其中4张为“具身智能券”，2张为“航空航天券”. (1)若小明、小红两人从中各随机抽取1张体验券（抽取后不放回），求两人抽到的体验券类型恰好不同的概率； (2)若小华先从中随机抽取1张体验券，记录类型后放回并充分搅匀，再随机抽取1张，求小华两次抽取中至少有一次抽到“航空航天券”的概率； (3)该科技馆拟制定一项互动规则来决定“智能社”与“空天社”哪个社团优先体验新项目：从6张体验券中一次性随机抽取2张，若2张券类型相同，则“智能社”优先，若2张券类型不同，则“空天社”优先，请通过计算判断该规则是否公平，并说明理由. 104．（25-26高一上·陕西渭南·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数； (2)求样本成绩的众数、中位数和平均数； 105．（25-26高一上·河南·阶段检测）某高校承办了地铁站的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了200名候选者的面试成绩（成绩均在内）并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并估计这200名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)现从第四组和第五组中用分层随机抽样的方法选取20人的成绩，若这20人中来自第四组候选者的测试成绩的平均数和方差分别为80和6.5，来自第五组候选者的测试成绩的平均数和方差分别为90和3.5，据此估计这次第四组和第五组所有参与测试的候选者的成绩的方差. 106．（25-26高一下·贵州·期中）为优化假期安排，调整学生学习节奏，提升综合素养，贵州省九个市州于2026年4月1号至3号首次实施春假制度.某中学为了解春假期间学生外出体验的情况，随机选取了该校高一及高二共100名同学并对其进行了问卷调查，将外出时间（单位：小时）数据按照，，，，分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图算出的值并估计该校学生春假外出时间的平均数（每组数据取区间的中点值作代表）、众数与中位数； (2)若外出时间在内的男女比例为3∶2，现利用分层随机抽样的方法选取5名同学进行访谈，然后再从这5名同学中随机选取2人在访谈会中发言，求发言的同学为一男一女的概率. 107．（25-26高一下·甘肃酒泉·期中）近日，省足球青训中心建成投用，某校为了解学生对足球的热爱程度，随机抽取名学生对足球的“喜爱度”进行评分，将样本的成绩分成这五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计样本成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)求样本成绩的中位数（结果保留两位小数）； (3)已知落在内的平均成绩是分，方差是，落在内的平均成绩是分，方差是，求两组成绩合并后的平均数和方差． 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为，记两组数据总体的样本平均数为，则总体的样本方差． 108．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对名青年选手进行专项成绩考核（满分分），考核成绩的频率分布直方图如图所示． (1)从得分在中，按，分层，采用分层随机抽样的方法抽取人，再从人中随机抽取人进行考核，求至少有人分数低于分的概率； (2)现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为三个等级．若在两项考核中，至少一项为级，且另一项不低于级，则获得参赛资格．已知甲、乙的考核结果互相不受影响，且甲在每项考核中取得等级的概率分别是；乙在每项考核中取得等级的概率分别是．求甲、乙能同时获得参赛资格的概率． 109．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）1934年-1936年红军完成伟大长征，该壮举实现了中国革命事业从挫折到胜利的伟大转折，是中华民族复兴进程中的丰碑.2026年恰逢红军长征胜利90周年，为传承长征精神，某校计划开展以“传承长征精神，续写时代华章”为主题的观影活动.同学们通过参加三个不同的游戏可以获得观影票，每个游戏需各玩一次且结果互不影响，每位同学可以自主安排参加这三个游戏的先后顺序，连胜两个游戏可以获得一张观影票，连胜三个游戏可以获得两张观影票，否则无法获得观影票.已知一个盒子中有5个大小质地完全相同的小球（编号为“”），这三个游戏的规则如下： 游戏一：从盒子中随机摸出一个小球，若这个小球的编号为“4”或“5”，则获胜； 游戏二：从盒子中有放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号均不小于“4”，则获胜； 游戏三：从盒子中不放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号之和为，则获胜. (1)分别求出同学参加游戏一，游戏二获胜的概率； (2)当时，同学如何安排游戏顺序，获得观影票的概率最大? (3)根据的不同取值，同学如何安排游戏顺序，获得观影票的概率最大？ 第一次第二次 1 2 3 4 5 1 3 4 5 6 2 3 5 6 7 3 4 5 7 8 4 5 6 7 9 5 6 7 8 9 110．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5. (1)现从盒子里随机取出2个小球，记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，当时，分别求事件的概率； (2)某班级为活跃班级氛围，组织了玩游戏送书签的活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书签，连胜三个游戏可以获得两张书签. 游戏一：从盒子中随机取出一个球，取到白球时获胜； 游戏二：从盒子中有放回地依次取出2个球，取出两个白球时获胜； 游戏三：从盒子中无放回地依次取出2个球，取出球编号之和为时获胜. 小明同学决定先玩游戏一， （i）当时，求接下来先玩游戏二获得书签的概率？ （ii）当n为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更大？ 1 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $