期末培优：几何法求线面角问题、几何法求二面角问题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦几何法求线面角与二面角，通过精选例题与变式构建空间角计算的系统性训练，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何法求线面角|3例+3变式|涉及四棱锥、长方体等几何体，考查线面角构造与正弦值计算，含动点问题|以线面垂直判定为基础，通过作射影转化线面角，衔接点面距离等关联知识| |几何法求二面角|3例+3变式|涵盖矩形与半圆面、正三棱柱等情境，需构造二面角平面角并求三角函数值|基于面面垂直性质，利用三垂线法或定义法作平面角，体现空间几何性质到角计算的推理链条|

期末培优：几何法求线面角问题、几何法求二面角问题专项训练 期末培优：几何法求线面角问题、几何法求二面角问题专项训练 考点目录 几何法求线面角问题 几何法求二面角问题 考点一 几何法求线面角问题 例1．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点.    (1)若为线段上的动点，证明：平面； (2)若为的中点，是上靠近的四等分点， （i）求和平面夹角的正弦值； （ii）求点到平面的距离. 例2．（25-26高一下·山西忻州·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点.    (1)求证：平面 (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 例3．（25-26高一下·福建三明·期中）已知菱形的边长为2，，平面ABCD外一点P在平面上的射影是与的交点O，是等边三角形． (1)求证：平面； (2)求点D到平面的距离； (3)若点E是线段上的动点，问：点E在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段的长． 变式1．（25-26高二下·湖南邵阳·阶段检测）如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 变式2．（25-26高一下·广西南宁·期中）在长方体中，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 变式3．（25-26高二上·云南迪庆·期末）如图，是的直径，垂直于所在的平面，点是圆周上的点且，在线段上且，是的中点．    (1)求证：直线平面； (2)已知，求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使得平面？若存在，则求的值；若不存在，请说明理由． 考点二 几何法求二面角问题 例1．（25-26高二下·浙江·阶段检测）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在的平面垂直，M是弧CD上异于C，D的点，，． (1)证明：平面BMC； (2)当三棱锥体积最大时，求二面角平面角的大小． 例2．（25-26高一下·山东青岛·期中）如图，在四棱锥中，，，，，，设，其中. (1)求证：平面平面； (2)若，求二面角的余弦的取值范围； (3)当时，求三棱锥的外接球体积的最小值. 例3．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，且． (1)证明：． (2)证明：平面平面． (3)若，求平面与平面夹角的正切值． 变式1．（25-26高一下·浙江金华·阶段检测）三棱锥中，，，，面面，（坐标法不给分） (1)证明：； (2)若，求二面角的正切值． 变式2．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，、分别是、的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值． 变式3．（25-26高二上·广东潮州·期末）如图，、是互相垂直的异面直线，直线分别与、交于点，，且，，点、在上，点在上，． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：几何法求线面角问题、几何法求二面角问题专项训练 期末培优：几何法求线面角问题、几何法求二面角问题专项训练 考点目录 几何法求线面角问题 几何法求二面角问题 考点一 几何法求线面角问题 例1．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点.    (1)若为线段上的动点，证明：平面； (2)若为的中点，是上靠近的四等分点， （i）求和平面夹角的正弦值； （ii）求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【详解】（1）证明：因为底面，且底面所以， 因为为正方形，所以， 因为，又平面，所以平面， 因为平面，所以. 由为线段的中点，可知， 因为且平面，所以平面． （2）取的中点，连接．    因为为中点，为中点，所以是的中位线， 故，且． 又底面，所以底面， 因此是在底面内的射影，即为直线与平面所成的角． 由题意，是的四等分点，，故． 又是中点，，故． 在中，． 在中，． 因此，． （ii）利用等体积法，设点到平面的距离为． 由(1)知平面，故平面，即点到平面的距离为． 在等腰中，，，， 故． 因此，． 由(1)知平面，故，即为直角三角形． 又，，故． 由，得：，，解得． 例2．（25-26高一下·山西忻州·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点.    (1)求证：平面 (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接交于，连接，由线面平行的判定定理证明可得； （2）先由线面垂直证明，再由线面垂直的判定定理证明可得； （3）取中点为，连接，利用等体积法可得. 【详解】（1）证明：连接交于，连接，   是三角形中边上的中位线，， 又平面，平面，平面. （2）证明平面，平面，， 又四边形是矩形，，，，平面， 平面，平面，， 又是的中点，，， ，，平面，平面. （3）如图，取中点为，连接，    在中，，分别为线段，的中点， 故，，平面，平面， ， 由（2）得平面，平面，， ，，，又，， ， 设点到平面的距离为，直线与平面所成角为， 则，解得，故， 直线与平面所成角的正弦值为. 例3．（25-26高一下·福建三明·期中）已知菱形的边长为2，，平面ABCD外一点P在平面上的射影是与的交点O，是等边三角形． (1)求证：平面； (2)求点D到平面的距离； (3)若点E是线段上的动点，问：点E在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)点E在线段上靠近点D的四等份点处，此时最大角的正弦值， 【分析】（1）由题可得平面，故，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）由已知可得，与都是边长为2的等边三角形，可求出，做，即可求出，结合即可求解； （3）由线面平行的判定定理可得平面，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交平面于点，要使角最大，则需使最小，此时， 由余弦定理可求，即可求得，从而求解． 【详解】（1）∵点P在底面上的射影是与的交点O， 所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形为菱形，所以， 因为，⊂平面， 所以平面． （2）由题意可得，与都是边长为2的等边三角形， ， 则 ， 所以， 作，所以， 则， 设点D到平面的距离为， 由，则 即 解得 故点D到平面的距离为 ； （3）设直线与平面所成的角为， 因为平面， 所以E到平面的距离即为D到平面的距离， 过E作垂线平面交平面于点，则， 此时 ,要使最大，则需使最小，此时 由题意可知 ， ∵平面，且 ， 所以 在△PAD中，由余弦定理可得： ， 所以 ， 则 ，， ，， 即点E在线段上靠近点D的4等份点处，此时. 变式1．（25-26高二下·湖南邵阳·阶段检测）如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形为菱形得，再结合长方体性质得，进而证平面，最终推出； （2）由面面垂直性质确定点在平面上的投影位置，得到线面角，再通过计算三角形边长，利用余弦定理求出该角的余弦值； 【详解】（1）证明：连接交于点，， ，故为菱形， 故，由长方体得平面， 由平面，知； 由，平面，平面， 知平面，由平面，知. （2）如图所示，连接，由（1）知，平面， 又由平面，平面平面，交线为， 故点在平面上的投影必在直线上， 故直线与平面所成角即为， 在中，， ，， 故由余弦定理得， 即直线与平面所成角的余弦值为． 变式2．（25-26高一下·广西南宁·期中）在长方体中，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，可知，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）分析可知是与平面所成角的平面角，结合题中数据运算求解. 【详解】（1）连接交于点，则点为的中点， 连接，则， 且平面，平面，所以平面． （2）因为平面，可知是与平面所成角的平面角， 在三角形中，， 可得，所以直线与平面所成角的正弦值为． 变式3．（25-26高二上·云南迪庆·期末）如图，是的直径，垂直于所在的平面，点是圆周上的点且，在线段上且，是的中点．    (1)求证：直线平面； (2)已知，求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使得平面？若存在，则求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）利用线面垂直的性质和判定证明即可； （2）根据线面角的概念可知即为直线与平面所成角的平面角，利用勾股定理求出的边长即可得解； （3）构造平行四边形，由线面平行的判定定理得平面，确定. 【详解】（1）因为垂直于所在的平面，所在的平面，所以， 又是的直径，点是圆周上的点，所以， 因为，平面， 所以平面． （2）由（1）可知平面， 所以即为直线与平面所成角的平面角， 因为垂直于所在的平面，所在的平面，所以， 又因为，，所以， 因为，所以， 所以在中， 因为平面，所以， 在中， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为． （3）在线段上存在点，使得平面，且， 理由如下： 取的三等分点为（靠近），在中过点作，， 则，且， 因为是中点，是中点，所以，且， 又，所以， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面, 故线段上存在点，使得平面，且.    考点二 几何法求二面角问题 例1．（25-26高二下·浙江·阶段检测）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在的平面垂直，M是弧CD上异于C，D的点，，． (1)证明：平面BMC； (2)当三棱锥体积最大时，求二面角平面角的大小． 【答案】(1)由题设知，平面平面ABCD，交线为CD， 因为，平面ABCD，所以平面CMD， 故，因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以， 又，所以，平面BMC． (2) 【分析】（1）使用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理证明； （2）当三棱锥体积最大时，M在弧CD的中点，使用二面角的定义求解. 【详解】（1）略 （2）由题意得：当三棱锥体积最大时，M在弧CD的中点， 取AB中点N，过M作，垂足为O，连接ON，MN， 因为三角形为等腰三角形，， 所以，因为，，所以，所以即为所求． 在直角三角形MNO中，，所以． 例2．（25-26高一下·山东青岛·期中）如图，在四棱锥中，，，，，，设，其中. (1)求证：平面平面； (2)若，求二面角的余弦的取值范围； (3)当时，求三棱锥的外接球体积的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用线面垂直去证明面面垂直即可； （2）找到二面角的平面角，由余弦定理可求解； （3）由于是不规则四面体的外接球，转化为过三角形外接圆圆心作该面的垂线必过球心，来研究外接球半径即可. 【详解】（1）（1）因为，所以，则 且平面平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）由，知二面角的平面角即为. 在中，,，则由余弦定理得 ， 在中，由且，结合，可得， 故， 所以，所以， 所以的范围是， 即二面角的余弦的取值范围是. （3） 设和的外接圆圆心分别为和， 则球心为过点和且分别垂直于平面、平面的两直线的交点， 在中，因为，由余弦定理得， 再由正弦定理得的外接圆半径. 在中，由余弦定理得， 再由正弦定理得的外接圆半径. 过点作于，连接，设，显然四边形为矩形， 所以.所以， 即， 所以， 故当时，取得最小值，即， 此时三棱锥外接球的体积最小值为，此时 例3．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，且． (1)证明：． (2)证明：平面平面． (3)若，求平面与平面夹角的正切值． 【答案】(1)方法一：在正三棱柱中，平面，平面， 所以． 因为为正三角形，为的中点，所以． 又因为，，平面，所以平面． 因为平面，所以． 方法二：在正三棱柱中，平面平面． 因为是正三角形，为的中点，所以． 因为平面平面，平面， 所以平面． 因为平面，所以． (2)如图，连接，交于点，连接，． 因为，分别为，的中点，所以且． 又因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，则． 由（1）知平面，所以平面． 又因为平面，所以平面平面． (3) 【分析】（1）根据正三棱柱的性质可证平面，进而可证； （2）连接，交于点，通过平行四边形的性质可证，结合平面，可证平面，由面面垂直的判定定理可证结论； （3）取的中点，可证平面，过点作的垂线，垂足为点，则为平面与平面夹角的平面角，解三角形即可求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，取的中点，连接，则． 因为平面，平面，所以． 因为，，平面， 所以平面． 又因为平面，所以． 如图，过点作的垂线，垂足为点，连接． 因为，，平面，所以平面． 又因为平面，所以， 所以为平面与平面夹角的平面角． 设． 因为为的中点，，所以为的中点，所以． 又因为为的中点， 所以，，． 在中，， 所以． 在中，由等面积法，得， 则． 所以， 所以平面与平面夹角的正切值为． 变式1．（25-26高一下·浙江金华·阶段检测）三棱锥中，，，，面面，（坐标法不给分） (1)证明：； (2)若，求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作于点，再利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，继而得到为中点即可证明； （2）利用体积求出，作于点，作于点，连，利用线面垂直的判定定理和性质定理得到为二面角的平面角，再求解即可. 【详解】（1）作于点， ∵平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，所以， ，为中点． ，． ，，． （2），，为三棱锥的高， ， 作于点，作于点，连． 平面，平面， ． ，又，平面， 平面，平面， 所以． ，平面，， 平面，又平面， 所以，故为二面角的平面角． ，， ． 变式2．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，、分别是、的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，证明，原题即得证； （2）作交的延长线于点，连接，则，所以即为二面角的平面角，再解三角形得解． 【详解】（1）证明：取的中点，连接，， 则，且， 又为的中点，在矩形中，且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面； （2）解：作交的延长线于点，连接， 则， 所以即为二面角的平面角， 由，则， 所以，故二面角的正切值为． 变式3．（25-26高二上·广东潮州·期末）如图，、是互相垂直的异面直线，直线分别与、交于点，，且，，点、在上，点在上，． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）借助线面垂直判定定理可得平面，再利用线面垂直性质定理可得，由可得，即可得平面； （2）连接，可得即为平面与平面的夹角，求出即可得解. 【详解】（1）由，故，即； 由，，且，、平面， 故平面，又平面，故， 又，、平面，故平面； （2）连接，由，，故， 由平面，、平面，故，， 故，则， 故即为平面与平面的夹角， 由，故， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $