学易金卷：高一数学下学期期末模拟卷（北师大版，范围：北师大版必修第二册）

**基本信息** 立足北师大版必修第二册，以折扇文化、足球场射门等真实情境为载体，通过分层设问考查数学抽象、逻辑推理与数学建模，适配高一期末综合评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数、三角函数、向量、立体几何|单选4题结合折扇文化考扇形面积，多选11题正方体动态轨迹提升空间观念| |填空题|3题/15分|斜二测画法、复数运算、三角函数图像|12题正三角形直观图面积考查几何直观| |解答题|5题/77分|解三角形、立体几何、三角函数性质|16题足球场射门张角问题体现数学建模，19题四棱锥外接球与线面角综合考查逻辑推理与创新意识|

西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 5 6 8 B B D A C D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9 10 11 ACD BD ABC 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.6 13.2√3 14.0或3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【解析】(I)由题意，在菱形ABCD中，BC=AD,CD=-AB,因为BC=2BE,所以E为BC的中点， 则8c=8c-D,因为Cr=3F0,所以CF-CD=-B, 因此F-C+CF-}而-B=-3B+)D,5分) 又因为示=xAB+yD,且B,D不共线，所以x:-3y 1 4 2, 故3x+2y=3× 3 (2)因为四边形ABCD为菱形，且|AB=6,∠BAD=60°， 所以4DHAB1=6,且AB.ADAB‖4D1cos60°=6×6×！=18，(9分) 2 由向量加法法则可知AC=AB+AD.(10分) 由(1)知EF=-3AB+}AD, 4 1/6 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以cF-(0+404+兮0-40+而-6-1s+6头 4 2 2 (13分) 16.(15分) 【解析】(1)AB=90=45,CE=606=27,BE=CE-BC=15,DE=DC+CE=33, 2 2 AE3,an∠DAE=DE-1 则an∠BAE=BE-1 AE15,(4分) 111 所以an∠DAB=tan(∠DAE-∠BAE)=l53=9 .11128 .(6分) 1+ 153 (2)设点P距离底线x米，过点P作PQ⊥BE,垂足为Q,PQ=x, 则B0=xiam∠BPQ=xan∠BME-若 CQ=CB+BQ=12+*,DQ-DB+BO=18+*, 3 3 m<c0-号-m∠m-8-甘a分 6 tanZDPC=tan(ZDPQ-∠CPO=i+tan∠DPg:tan∠CPg,7 /18,11210x+216+10 1+x+3人x3) 6 3 ≤ 0xx216+105+45,（13分) 29x 当10x=216时，即x=185时，等号成立， 9 由正切函数单调牲可知，当x-18,5时张角∠DPC最大(15分) 5 D B E 17.(15分) 【解析】(1)选①：在△ABC中，由2a=c+2 bcosC及正弦定理，得2sinA=sinC+2 sinBcosC, 2sin(B+C)=sinC+2sinBcosC,2sin BcosC+2cosBsinC sinC +2sin BcosC 整理得：2 cosBsinC=sinC,又sinC>0, 2/6 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 1 因此cosB=2又Be(0,, 所以8-骨(5分) 选②：由V3AB.BC+2S=0,得-V5 accosB+2.acsinB=0, 因为cosB≠0，所以tanB=√3，又Be(0,π， 所以8=号(5分) 选③：由(a+b+c(a-b+c)=3ac,得到a2+c2-b2=ac, 所以cosB=a2+c2-b21 2ac =21 又e0,到，所以B-号5分) 根据余弦定理b2=a2+c2-2 accosB,得72=a2+52-2×ax5×cos 3 即49=a2+25-5a,整理得a2-5a-24=0,解得a=8或a=-3(舍去). 所以a=8.(7分) a b =24V5 (2)sind sinB sinc sin 3 得a=43 3 sin4,c=45sinc,(8分y 3 医为8=京则44C=径C=经4 3 ac=mac0[告小 =4sinA+ 6: (12分) 因为△ABC为锐角三角形，所以 0c4号 则<A<，(13分) 2-A< 6 0< 所以25<46n4+s4,即a+c取雀范围为25，](15分) 18.(17分) 3/6 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【解析】1)T=→T=x=2红÷0=2.1分) 44 0 3(2分) f0)=4csp=1合4=2.f八)=2cos2x+}4分) （2）0g到=al1-sm3y-2sinx+号=-sinx-2sinr+。 设1=sin-g=4)=-am2-2+aa>0抛物线开口向下， 对称轴为1=-1<0， a 综合=次属数性顺，8因=A0=A=a-2+0=-1>a=4.10分 ②问题等价于g(x的值域是y=mf(x)+2值域的子集 由@g==4r-2+5训可得s的线为2 .(12分) f(x)e[-1,2].(13分) -m+2≤-1 当m>0时，mf(x)+2∈[-m+2,2m+2], 2m+2≥21→m≥3 4 2m+2≤-1 当m<0时，mf(x)+2∈[2m+2,-m+2, -m+2221→m5-13 4 4 综上，m≤-13或m≥3.（17分) 4 19.(17分) 【解析】(1)连接AC,取AD的中点0，连接0C, ◇ D B 因为AC=CD,所以OC⊥AD, 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD,OCc平面ABCD, 所以OC⊥平面PAD,又PAc平面PAD,所以PA⊥OC, 又PA⊥CD,CDOC=C,CD,OCC平面ABCD, 4/6 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以PA⊥平面ABCD;(4分) (2)连接OE,0F, 因为ADC平面ABCD,所以PA⊥AD, 所以PD=√PA2+AD2=V22+42=2V5, 又E为BC的中点，所以EP=ED=EA=√5， 由OC⊥平面PAD,OEc平面PAD,所以OC⊥OE, 又oE=PA=1,0C=D-2,所以EC=v0r+0C:4:5 2 所以E为三棱锥P-ACD的外接球的球心，且球的半径R=√5，(7分) 因为OEIIPA,所以OE⊥平面ABCD,FOc平面ABCD, 所以0E⊥0F,又OF=CD=D-22, 2 所以FE=V0F2+0E=22+P=3, 所以FE-R≤FQ≤FE+R,即3-V5≤FQ≤3+V5.(10分) (3)连接OG,由OE⊥平面ABCD,则∠EGO为直线EG与平面ABCD所成的角，即∠EGO=0, 所以sin8=E0-1 EGEG 取PA的中点M,连接ME,则MEAD且EM=AD=2, 又F为BC中点，所以AF⊥BC,又ADIIBC,所以AD⊥AF, 由PA⊥平面ABCD,AF,ADC平面ABCD,所以PA⊥AF,PA⊥AD, 又AF AP=A,AF,APC平面PAF,所以AD⊥平面PAF,则EM⊥平面PAF, 又AD∩AP=A,AD,APC平面PAD,所以AF⊥平面PAD, 连接MG,AB,则∠EGM为直线EG与平面PAF所成的角，即∠EGM=6,所以sin8,-EGEG ME 2 4EG为直线EG与平面PAD所成的角，即∠AEG=0,所以sin0,=G，(13分 所以sin0+sin0,+sin8,=EG+EG+EGEG 1,2,AG3+AG 又AE=5,设AG=x,0≤x≤25，所以EG=AG2+AE=√2+5， 所以sin0,+sin0,+sin8,=3+AC。3+x EGx2+5 ,(14分) 5/6 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 令f=3+r,则t∈[3,3+25]， 3+x 1 以-印行4g 因为e[3,3+25],所以[，1， t3+25'3' 1 近以造取城大信.欢为0 5 所以(sin0,+sin0+sin8,=V万.(17分) 5 6/6 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足，则复平面内表示复数的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 1．【答案】B 【解析】因为，所以，即复数在复平面内对应的点为， 所以复平面内表示复数的点位于第二象限. 故选：B. 2．化简：（   ） A． B． C． D． 2．【答案】B 【解析】依题意，. 故选：B. 3．已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．【答案】D 【解析】∵角θ的始边为x轴非负半轴，终边经过点， ∴， 则. 故选：D. 4．扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐成为主流.如图，折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形，其中，，则扇面（曲边四边形）的面积是（   ） A． B． C． D． 4．【答案】A 【解析】因为， 所以扇形的面积为； 扇形的面积为. 所以扇面（曲边四边形）的面积为. 故选：A. 5．将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于原点对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．【答案】A 【解析】由题意可知：函数的图像关于点对称， 则，解得， 且，解得，即， 所以当时，取到最小值是. 故选：A. 6．已知向量，满足，，则向量与的夹角余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．【答案】C 【解析】已知，则， ， ，设， ，， ． 故选：C. 7．在三棱锥中，平面，，，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．【答案】D 【解析】解法一：如图，分别取，，的中点，，，分别连结，，，， 则，，所以（或其补角）即为直线与所成角， 设，可得，，， ， 在中，由余弦定理可得，， 由于直线与所成角为锐角，故直线与所成角的余弦值为，故D正确. 解法二：如图，把三棱锥扩充为正方体，直线与所成角即为直线与所成角， 因为为等边三角形，所以直线与所成角为， 即直线与所成角的余弦值为，故D正确. 故选：D. 8．已知分别是轴正半轴上的两个动点，且，如图，以为边构造正方形，分别过点向轴作垂线，垂足依次为，当点由向左运动到原点的过程中，四边形周长取得最大值时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．【答案】D 【解析】设，因为正方形的边长， 所以， 四边形周长为， 其中，当时周长最大． 此时，则， 故点的坐标为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设、为两条直线，、为两个平面，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．【答案】ACD 【解析】A选项：根据线面平行的判定定理，可知A正确； B选项：若，则直线垂直于平面的一条直线，不满足线面垂直的判定定理，不能得出线面垂直，故B错误； C选项：根据线面平行的性质定理，可知C正确； D选项：若，因为，所以，则，故D正确． 故选：ACD. 10．设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．【答案】BD 【解析】对于A，由，是方程的两根，则， ，即，解得， 此时，符合题意，因此，A错误； 对于B，由，，得，， ，B正确； 对于C，由选项B及已知得，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：BD. 11．如图，正方体的棱长为，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（     ） A．若平面，则的轨迹长度为 B．过，，三点的平面截正方体所得截面面积是 C．三棱锥的体积为定值 D．三棱锥的外接球体积为 11．【答案】ABC 【解析】对于A：取的中点，连接， 因为是中点，是中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，，， 所以，又因为， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，，所以平面平面， 要想平面，只需在平面内运动即可，又因为在平面内运动， 所以点的轨迹为平面与平面在正方体内部的交线， ，即点的轨迹长为2，A正确； 对于B：，，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为，所以，且，所以四点共面， 所以截面即为梯形，并且，，， 所以等腰梯形的高， 故其面积，B正确； 对于C：，为定值， C正确； 对于D：三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球，半径， 所以体积，D错误. 故选：ABC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．是边长为2的正三角形，用斜二测画法得到的水平直观图是，则的面积是________. 12．【答案】 【解析】已知原图是边长为2的正三角形， 所以的面积， 所以的面积为. 故答案为：. 13．设复数，满足，且，则____________． 13．【答案】 【解析】解法一：设，，， 由，则， 则，即，， 则，， 即， 故， 又， 则 . 解法二：由复数模长性质可得， 则，故. 故答案为：. 14．已知，，，直线与函数，的图象的交点为．若对，的最小值为，最大值为，则________． 14．【答案】或 【解析】由，得，则或， 由，得直线与函数的图象相邻交点的最小距离为， 得，解得，则函数的最小正周期， 而，则， 于是或，，则可取或， 当时，，； 当时，，. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 如图，在菱形中，，． (1)若，求的值； (2)若，，求． 15．（13分） 【解析】（1）由题意，在菱形中，，因为，所以为的中点， 则，因为，所以， 因此，（5分） 又因为，且 不共线， 所以， 故．（7分） （2）因为四边形 为菱形，且 ， 所以，且 ，（9分） 由向量加法法则可知 ．（10分） 由（1）知 ， 所以. （13分） 16．（15分） 如图，某学校足球场长90米，宽60米，球门宽6米，球门位于底线中央（中点与底线中点重合）.是球场边线的中点，是底线上一点，且米，球员甲沿方向带球突进. (1)求的值； (2)若甲准备在线段上某一点处起脚射门，试问点距离底线多远时，对球门的张角（）最大？ 16．（15分） 【解析】（1），， 则，（4分） 所以.（6分） （2）设点距离底线米，过点作，垂足为， 则， ， ，（10分） ，（13分） 当时，即时，等号成立， 由正切函数单调性可知，当时张角最大.（15分） 17．（15分） 已知的面积记为.请在以下三个条件中，选择一个合适的条件，补充完成下题（只要写序号），并解答该题. ①；②；③ 内角，，的对边分别为，，，已知__________. (1)若，，求； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围. 17．（15分） 【解析】（1）选①：在中，由及正弦定理，得， 则，即， 整理得：，又， 因此，又， 所以.（5分） 选②：由，得， 因为，所以，又， 所以.（5分） 选③：由，得到， 所以， 又，所以.（5分） 根据余弦定理，得. 即，整理得，解得或（舍去）. 所以.（7分） （2）由， 得，，（8分） 因为，则，， 所以， ，（12分） 因为为锐角三角形，所以则，（13分） 所以，即取值范围为.（15分） 18．（17分） 已知函数的图象关于直线对称，点在的图象上，，且的最小值是． (1)求的解析式 (2)已知函数的最小值为； ①求的值； ②若对于任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 18．（17分） 【解析】（1）.（1分） （2分） .（4分） （2）①. 设抛物线开口向下， 对称轴为， 结合二次函数性质知，.（10分） ②问题等价于的值域是值域的子集. 由①可得的值域为.（12分） 设.（13分） 当时，. 当时，. 综上，或.（17分） 19．（17分） 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，，，，点E，F分别为棱，的中点，G为线段上一动点（含端点）. (1)证明：平面； (2)若，点Q是三棱锥的外接球上一动点，求的取值范围； (3)设直线与平面，平面，平面所成的角分别为，，，，求的最大值． 19．（17分） 【解析】（1）连接，取的中点，连接， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，，平面， 所以平面；（4分） （2）连接，， 因为平面，所以， 所以， 又E为的中点，所以， 由平面，平面，所以， 又，，所以, 所以为三棱锥的外接球的球心，且球的半径，（7分） 因为，所以平面，平面， 所以，又， 所以， 所以，即.（10分） （3）连接， 由平面，则为直线与平面所成的角，即， 所以， 取的中点，连接，则且， 又为中点，所以，又，所以， 由平面，平面，所以，， 又，平面，所以平面，则平面， 又，平面，所以平面， 连接，，则为直线与平面所成的角，即，所以， 为直线与平面所成的角，即，所以，（13分） 所以， 又，设，，所以， 所以，（14分） 令，则， 所以， 因为，所以， 所以当时取得最大值，且最大值为， 所以.（17分） 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) D F E A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) D B B A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) D G 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版必修第二册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足，则复平面内表示复数的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．化简：（   ） A． B． C． D． 3．已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐成为主流.如图，折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形，其中，，则扇面（曲边四边形）的面积是（   ） A． B． C． D． 5．将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于原点对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．已知向量，满足，，则向量与的夹角余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．在三棱锥中，平面，，，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 8．已知分别是轴正半轴上的两个动点，且，如图，以为边构造正方形，分别过点向轴作垂线，垂足依次为，当点由向左运动到原点的过程中，四边形周长取得最大值时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设、为两条直线，、为两个平面，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，正方体的棱长为，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（     ） A．若平面，则的轨迹长度为 B．过，，三点的平面截正方体所得截面面积是 C．三棱锥的体积为定值 D．三棱锥的外接球体积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．是边长为2的正三角形，用斜二测画法得到的水平直观图是，则的面积是________. 13．设复数，满足，且，则____________． 14．已知，，，直线与函数，的图象的交点为．若对，的最小值为，最大值为，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 如图，在菱形中，，． (1)若，求的值； (2)若，，求． 16．（15分） 如图，某学校足球场长90米，宽60米，球门宽6米，球门位于底线中央（中点与底线中点重合）.是球场边线的中点，是底线上一点，且米，球员甲沿方向带球突进. (1)求的值； (2)若甲准备在线段上某一点处起脚射门，试问点距离底线多远时，对球门的张角（）最大？ 17．（15分） 已知的面积记为.请在以下三个条件中，选择一个合适的条件，补充完成下题（只要写序号），并解答该题. ①；②；③ 内角，，的对边分别为，，，已知__________. (1)若，，求； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围. 18．（17分） 已知函数的图象关于直线对称，点在的图象上，，且的最小值是． (1)求的解析式 (2)已知函数的最小值为； ①求的值； ②若对于任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 19．（17分） 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，，，，点E，F分别为棱，的中点，G为线段上一动点（含端点）. (1)证明：平面； (2)若，点Q是三棱锥的外接球上一动点，求的取值范围； (3)设直线与平面，平面，平面所成的角分别为，，，，求的最大值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版必修第二册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足，则复平面内表示复数的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．化简：（   ） A． B． C． D． 3．已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐成为主流.如图，折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形，其中，，则扇面（曲边四边形）的面积是（   ） A． B． C． D． 5．将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于原点对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．已知向量，满足，，则向量与的夹角余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．在三棱锥中，平面，，，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 8．已知分别是轴正半轴上的两个动点，且，如图，以为边构造正方形，分别过点向轴作垂线，垂足依次为，当点由向左运动到原点的过程中，四边形周长取得最大值时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设、为两条直线，、为两个平面，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，正方体的棱长为，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（     ） A．若平面，则的轨迹长度为 B．过，，三点的平面截正方体所得截面面积是 C．三棱锥的体积为定值 D．三棱锥的外接球体积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．是边长为2的正三角形，用斜二测画法得到的水平直观图是，则的面积是________. 13．设复数，满足，且，则____________． 14．已知，，，直线与函数，的图象的交点为．若对，的最小值为，最大值为，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 如图，在菱形中，，． (1)若，求的值； (2)若，，求． 16．（15分） 如图，某学校足球场长90米，宽60米，球门宽6米，球门位于底线中央（中点与底线中点重合）.是球场边线的中点，是底线上一点，且米，球员甲沿方向带球突进. (1)求的值； (2)若甲准备在线段上某一点处起脚射门，试问点距离底线多远时，对球门的张角（）最大？ 17．（15分） 已知的面积记为.请在以下三个条件中，选择一个合适的条件，补充完成下题（只要写序号），并解答该题. ①；②；③ 内角，，的对边分别为，，，已知__________. (1)若，，求； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围. 18．（17分） 已知函数的图象关于直线对称，点在的图象上，，且的最小值是． (1)求的解析式 (2)已知函数的最小值为； ①求的值； ②若对于任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 19．（17分） 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，，，，点E，F分别为棱，的中点，G为线段上一动点（含端点）. (1)证明：平面； (2)若，点Q是三棱锥的外接球上一动点，求的取值范围； (3)设直线与平面，平面，平面所成的角分别为，，，，求的最大值． 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $