专题05 利用正余弦定理解三角形（期末复习专项训练）高一数学下学期人教B版

专题05 利用正余弦定理解三角形 题型01余弦定理解三角形 题型06正弦定理判断三角形解的个数 题型02正弦定理解三角形 题型07正余弦定理的边角互化（重点） 题型03面积公式的应用 题型08利用正余弦定理计算距离、高度（重点） 题型04正余弦定理解三角形综合（重点） 题型09利用正余弦定理计算角度（重点） 题型05正余弦定理判定三角形形状 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型01余弦定理解三角形 1．在中，内角的对边分别为，若，则（    ） A．3 B． C． D． 2．在中，分别为内角所对的边，且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知钝角三角形的三边分别为，，，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知在中三条边上的高分别为，则该三角形的形状是______. 5．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则______． 题型02正弦定理解三角形 6．在中，内角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．或 7．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 8．在中，已知，，，则__________． 9．已知中，，，角A的平分线与交于点D，且，则__________． 10．在中，，，，则的面积为______. 题型03面积公式的应用 11．已知的面积为，若，，则（   ） A． B． C．3 D． 12．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，的面积为，则（    ） A． B． C． D． 13．已知的内角，，所对的边分别为，，，且，三角形面积为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 14．在中，已知，．为的中点，且，则的面积是 （    ） A． B． C． D． 15．记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 16．在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（ ） A． B． C． D． 题型04正余弦定理解三角形综合 17．如图，在四边形中，已知，，，，，则的长（     ） A． B． C． D． 18．（多选）在中，D在线段AB上，且，，若，，则（   ） A． B．的面积为8 C．的周长为 D．为钝角三角形 19．（多选）已知三条边是连续的正整数，且最小角的余弦值为，则（    ） A．是锐角三角形 B．的面积为 C．外接圆半径为 D．若是最大角，则 20．某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边，已知，，则的边长为___________． 21．如图，在平面四边形中，，，，． (1)求线段的长度； (2)求的值． 22．在△ABC中，，，，点D在边BC上，且． (1)求的值； (2)求线段的长． 题型05正余弦定理判定三角形形状 23．在中，若，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 24．在中，已知，试判断的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 25．已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若，，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 26．（多选）在中，已知，则的形状可能是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 27．已知的内角的对边分别为，且，，则的形状为______． 题型06正弦定理判断三角形解的个数 28．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，满足条件的有两解，则边长a的可能取值为（   ） A．3 B． C． D．4 29．在中，内角，若满足条件的三角形有且仅有两个，则边长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 30．（多选）在中，角的对边分别为．根据以下条件解三角形，恰有一解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 31．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的有两解，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 32．在中，角、、的对边分别为、、，若满足和的三角形有且仅有两个，则边的取值范围是_________． 题型07正余弦定理的边角互化 33．记△ABC的内角的对边分别为,已知，则（    ） A． B． C． D． 34．在中，内角的对边分别为，且，的面积为，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 35．已知的内角的对边分别为，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 36．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（    ） A． B． C． D． 37．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 38．记内角、、的对边分别为、、，． (1)求； (2)若，且，求的面积． 题型08利用正余弦定理计算距离、高度 39．，是海面上相距海里的两个观测点，位于的正东方向.现位于点北偏东45°方向，点北偏西60°方向的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°方向且与点相距8海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里/小时，则该救援船到达点所需的最短时间为（   ） A．0.2小时 B．0.3小时 C．0.4小时 D．0.5小时 40．为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，米，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为，，则塔高（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 41．如图，要在相距200 km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向.若A地正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置C在A地正东________km. 42．如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米．    43．海面上有一座小岛，一艘小船在观测点测得小岛在北偏西方向．小船从出发，沿北偏东方向匀速航行海里到达处，此时发现小岛正好在小船正西方向，则此时小船与小岛距离_________海里． 44．某长方体建筑可以近似看成长方体，点在的延长线上，是垂直于地面的测量标杆，高为m. 现测得长为m，在处测得点的仰角为， 点的仰角为. 若，则建筑物的高为______ m（答案精确到0.01） 题型09利用正余弦定理计算角度 45．已知，是两个暗礁群，将其视为质点，相距.为保障航行安全，欲在一条东西方向的航道（视为直线）上选取，点建两座灯塔，其中选取在距比距近的地方，且在灯塔处测得在它的南偏东方向，测得在它的南偏东方向.从灯塔沿航道向正东行驶可到灯塔，在灯塔处测得在它的南偏西方向，则在处测得在它的（    ） A．南偏西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 46．一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东，距离海里，灯塔C在A的北偏西，距离为海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东方向，则__________． 47．冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想．某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下．为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求．该同学取端点绘制了，测得AB=5，BD=6，AC=4，AD=3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算的值（    ） A． B． C． D． 48．（多选）某货轮在处时，灯塔位于货轮的北偏东，距离为海里，灯塔位于货轮的北偏西，距离为海里.该货轮自处向正北方向航行到处时，灯塔位于货轮的南偏东，则下列说法正确的是（ ） A．处在灯塔的西偏北 B．处与处之间的距离是海里 C．灯塔与处之间的距离是海里 D．灯塔在处的西偏南 49．如图，某斜面上有两根垂直于水平面放置的标杆，杆长均为1m，阳光可视为平行光.其中一根标杆竖直立于水平地面，影子落在水平面上，影长为；另一根标杆竖直立于斜面上，影子完全投射在斜面上，影长为． (1)求平行阳光与水平面所成锐角的正弦值； (2)求的值. $专题05 利用正余弦定理解三角形 题型01余弦定理解三角形 题型06正弦定理判断三角形解的个数 题型02正弦定理解三角形 题型07正余弦定理的边角互化（重点） 题型03面积公式的应用 题型08利用正余弦定理计算距离、高度（重点） 题型04正余弦定理解三角形综合（重点） 题型09利用正余弦定理计算角度（重点） 题型05正余弦定理判定三角形形状 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型01余弦定理解三角形 1．在中，内角的对边分别为，若，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【详解】在中由余弦定理得： ，则或（舍）. 2．在中，分别为内角所对的边，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，即， 故，又，所以． 3．已知钝角三角形的三边分别为，，，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知钝角三角形的三边分别为，，， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 4．已知在中三条边上的高分别为，则该三角形的形状是______. 【答案】钝角三角形 【详解】不妨设的三边上对应的高的长度分别为， 由，则， 设，， 则， 而，则为钝角，故为钝角三角形. 5．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则______． 【答案】或或 【详解】因为，，所以、均为方程的根， 对于方程，两根，，，， 所以当时，因为，所以为等边三角形， 则此时或， 当时，，，所以由余弦定理， 则，则此时. 题型02正弦定理解三角形 6．在中，内角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】由，，则，故， 由正弦定理，可得， 又，则，故或， 若，有，符合题意； 若，有，符合题意； 综上：或. 7．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：， 由正弦定理可得，. 8．在中，已知，，，则__________． 【答案】或 【详解】因为中，，由正弦定理， 得，因为，所以或， 因为，经检验，或均符合题意. 9．已知中，，，角A的平分线与交于点D，且，则__________． 【答案】 【详解】△中，由正弦定理得：， 因为为锐角，所以，从而，所以， 从而，△中，由正弦定理，所以. 10．在中，，，，则的面积为______. 【答案】 【详解】由正弦定理：，代入得. 而. 故. 因为，故为锐角，. . 面积 题型03面积公式的应用 11．已知的面积为，若，，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】由及正弦定理得，， 又，所以. 又，即， 所以. 12．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，，的面积为，得． 因为是锐角三角形，所以． 由余弦定理得，则． 13．已知的内角，，所对的边分别为，，，且，三角形面积为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据三角形面积公式 ，代入已知，； ，解得：， 根据余弦定理 ，代入， ​， 对式子变形： ，代入， 得： ，即 ，所以， 三角形周长为. 14．在中，已知，．为的中点，且，则的面积是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，， 则，即， 则，又，所以， 所以. 15．记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，由正弦定理得， 即，解得，而为三角形内角，所以， ，， 所以。 则.故选：B. 16．在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，由及的面积为，得， 即，解得， 由正弦定理，得， 因此，所以. 题型04正余弦定理解三角形综合 17．如图，在四边形中，已知，，，，，则的长（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，， 由余弦定理得 ∴ 整理得 ，解得 或 （边长为正，舍去）. ∵ ，∴ ， ∴ . 在中，，，， 由正弦定理得 ∴ . 18．（多选）在中，D在线段AB上，且，，若，，则（   ） A． B．的面积为8 C．的周长为 D．为钝角三角形 【答案】BCD 【详解】如图，在中，因，由余弦定理得， 则有，即，而，解得，， 在中由余弦定理得，故，故A错误； 在中由余弦定理得， 在中，由余弦定理得 ， ，的面积，B正确； 的周长为，C正确； 显然AB是最大边，，角为钝角，为钝角三角形，D正确； 19．（多选）已知三条边是连续的正整数，且最小角的余弦值为，则（    ） A．是锐角三角形 B．的面积为 C．外接圆半径为 D．若是最大角，则 【答案】BCD 【详解】设三边为连续正整数：（），最小角对最小边，记最小角为， 则，由余弦定理，化简分子得， 化简得.因此三边长为. 选项A.最大角对最大边，记最大角为，由余弦定理，为钝角， 故是钝角三角形，错误. 选项B.，则， 三角形面积，正确. 选项C.由正弦定理，外接圆半径，，则，， ，正确. 选项D.由二倍角公式，正确. 20．某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边，已知，，则的边长为___________． 【答案】 【详解】在中，， 又，则， 设，则， 在中，由正弦定理得，解得， 在中，由余弦定理得， 即， 又，解得，则. 21．如图，在平面四边形中，，，，． (1)求线段的长度； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由，得，在中，已知，， 由三角形面积公式 可得 解得：； （2）由余弦定理即 ， 解得 设，在由正弦定理，得， 在中，由正弦定理 ，得. 22．在△ABC中，，，，点D在边BC上，且． (1)求的值； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：在△ABC中，， 因为，，，所以. （2）解：由（1）知，，所以， 在中，，由正弦定理可得，即， 解得. 题型05正余弦定理判定三角形形状 23．在中，若，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【答案】A 【详解】正弦定理，，，即； ，，，即. ，，； 或； ，，，，； ，，即. 24．在中，已知，试判断的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【详解】因为，所以， 化简得，即， 因为，所以，所以是等腰直角三角形. 25．已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若，，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【答案】C 【详解】， ，即， 由正弦定理及余弦定理得，， ∵，∴， 又，，整理得， 因为，，所以， 所以，为等腰三角形． 故选：C． 26．（多选）在中，已知，则的形状可能是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】BD 【详解】将，（为外接圆的半径）代入已知条件， 得，则． 因为，所以， 所以，所以或， 所以或，故为等腰三角形或直角三角形． 27．已知的内角的对边分别为，且，，则的形状为______． 【答案】正三角形 【详解】由，得， 则，即， 所以，又， 所以. 所以. 则有. 又，所以， 从而. 所以为正三角形． 故答案为：正三角形 题型06正弦定理判断三角形解的个数 28．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，满足条件的有两解，则边长a的可能取值为（   ） A．3 B． C． D．4 【答案】C 【详解】若有两解，则，即：，所以. 29．在中，内角，若满足条件的三角形有且仅有两个，则边长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图所示，在中，内角，作于， 要使满足条件的三角形有且仅有两个，则，其中， 即，因此边长的取值范围为，故A正确. 30．（多选）在中，角的对边分别为．根据以下条件解三角形，恰有一解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BD 【详解】对于A，由，得， 因为为锐角，且，，即， 所以三角形有两解，A错误； 对于B，由，得， 因为，所以，故必为锐角，所以只有一解，B正确； 对于C，因为，则是的最大内角， 又由，得，所以无解，C错误； 对于D，由，得，，恰有一个解，D正确． 31．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的有两解，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，，， 由正弦定理可得： ， 因为，且时，时， 要使有两解， 则的取值有两个，一个锐角，一个钝角， 由于，且为三角形内角， 所以的取值范围是， 同时有两解时的取值要满足， 由，可得， 又因为，可得， 综上，的取值范围为. 32．在中，角、、的对边分别为、、，若满足和的三角形有且仅有两个，则边的取值范围是_________． 【答案】 【详解】由，得，显然， 在中，，而，则， 由正弦定理，得，由三角形有且仅有两个， 得，则，所以边的取值范围是. 题型07正余弦定理的边角互化 33．记△ABC的内角的对边分别为,已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，展开得， 由正弦定理，， 因， 代入可得， 即. 因为，所以，故， 则，又，所以. 34．在中，内角的对边分别为，且，的面积为，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】因为，由正弦定理得， 即， 所以， 又，所以， 所以，所以， 又，即， 由得， 所以，又，即， 所以， 所以的面积为，解得，所以. 35．已知的内角的对边分别为，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得 则，所以. 与联立，解得，. 所以. 又，所以. 36．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在△ABC中，，而， 由，得，又，，则， 由正弦定理得，解得，由，得， 所以． 37．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，由正弦定理得，， 所以，由余弦定理可得，， 即，所以， 即，又因为，所以. 38．记内角、、的对边分别为、、，． (1)求； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由及正弦定理知 故，即， 即， 又因为，则，所以， 又因为，所以. （2）由题知 ， 因为，所以，则，故，， 由正弦定理知：，即，得， 所以. 题型08利用正余弦定理计算距离、高度 39．，是海面上相距海里的两个观测点，位于的正东方向.现位于点北偏东45°方向，点北偏西60°方向的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°方向且与点相距8海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里/小时，则该救援船到达点所需的最短时间为（   ） A．0.2小时 B．0.3小时 C．0.4小时 D．0.5小时 【答案】C 【详解】过点作⊥于点， 在中，，，设，则， 所以，解得（海里）， 所以，故， 在中，，，， 由余弦定理得， 故（海里）， 故该救援船到达点所需的最短时间为（小时）. 故选：C 40．为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，米，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为，，则塔高（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【详解】设塔高为，已知平面，则均为直角三角形， 已知，则，故， 已知，则， 由余弦定理得，即 ，解得． 41．如图，要在相距200 km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向.若A地正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置C在A地正东________km. 【答案】 【详解】由题意可得，，，，则， 根据正弦定理可得，又，所以，所以地震的位置C在A地正东处. 42．如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米．    【答案】 【详解】由题意知，平面，，，，. 因为平面，所以，. 在中，，所以. 在中，，所以. 在中，由余弦定理得，， 即，整理得， 即，解得或. 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故. 43．海面上有一座小岛，一艘小船在观测点测得小岛在北偏西方向．小船从出发，沿北偏东方向匀速航行海里到达处，此时发现小岛正好在小船正西方向，则此时小船与小岛距离_________海里． 【答案】2 【详解】 由题意可得 小岛正好在小船正西方向， 由正弦定理可得：，即，解得. 44．某长方体建筑可以近似看成长方体，点在的延长线上，是垂直于地面的测量标杆，高为m. 现测得长为m，在处测得点的仰角为， 点的仰角为. 若，则建筑物的高为______ m（答案精确到0.01） 【答案】 【详解】 设建筑物高为，. 在线段上截取，则四边形为矩形， 在线段上截取，则四边形为矩形且四边形为矩形. 在直角三角形中，，，. 同理. 在直角三角形中，记，，即，解得. 题型09利用正余弦定理计算角度 45．已知，是两个暗礁群，将其视为质点，相距.为保障航行安全，欲在一条东西方向的航道（视为直线）上选取，点建两座灯塔，其中选取在距比距近的地方，且在灯塔处测得在它的南偏东方向，测得在它的南偏东方向.从灯塔沿航道向正东行驶可到灯塔，在灯塔处测得在它的南偏西方向，则在处测得在它的（    ） A．南偏西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 【答案】C 【详解】根据题意作出如图所示的示意图，在中，，，，则， 由正弦定理得，所以. 在中，，由余弦定理得， 即， 整理得，解得或， 因为，所以 在中，，则， 因为，所以，则， 所以在处测得在它的南偏西方向上. 46．一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东，距离海里，灯塔C在A的北偏西，距离为海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东方向，则__________． 【答案】/ 【详解】如图，在中，， 则， 因为，所以， 在中，， 则，所以， 则. 故答案为：. 47．冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想．某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下．为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求．该同学取端点绘制了，测得AB=5，BD=6，AC=4，AD=3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算的值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，在中，由余弦定理， ； 因为，所以， 在中，由正弦定理所以， 解得 由题意，因为为锐角，所以 故选：D. 48．（多选）某货轮在处时，灯塔位于货轮的北偏东，距离为海里，灯塔位于货轮的北偏西，距离为海里.该货轮自处向正北方向航行到处时，灯塔位于货轮的南偏东，则下列说法正确的是（ ） A．处在灯塔的西偏北 B．处与处之间的距离是海里 C．灯塔与处之间的距离是海里 D．灯塔在处的西偏南 【答案】BCD 【详解】作出示意图如下图所示： 对于A选项，由题意可知，故处在灯塔的西偏北，A错； 对于B选项，在中，，，，故， 由正弦定理得，故， 即处与处之间的距离是海里，B对； 对于C选项，在中，，，， 由余弦定理可得， 故，即灯塔与处之间的距离是海里，C对； 对于D选项，因为，则，故灯塔在处的西偏南，D对. 49．如图，某斜面上有两根垂直于水平面放置的标杆，杆长均为1m，阳光可视为平行光.其中一根标杆竖直立于水平地面，影子落在水平面上，影长为；另一根标杆竖直立于斜面上，影子完全投射在斜面上，影长为． (1)求平行阳光与水平面所成锐角的正弦值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图，分别为杆，为平行的光线，分别为杆的影子， 设光线与水平面所成角为，则，故， 则. （2）由（1），，， 在中，由正弦定理可得 即，故，则， 则， ， 故. $