吉林长春市汽车经济技术开发区第九中学2025-2026学年 八年级下学期期中数学试卷

**基本信息** 以非遗文化、物理测量等真实情境为载体，分层考查二次根式、平行四边形、函数与统计等核心知识，突出数学抽象与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题24分|二次根式、统计量、一次函数图象|第2题以饮品销售数据考查众数应用，体现数据意识| |填空题|6题18分|函数意义、箱线图、矩形性质|第13题结合物理浮力测量，构建函数关系模型| |解答题|10题78分|几何作图、统计分析、动态探究|第21题通过正方形双动点问题，培养转化与推理能力；第16题非遗文创采购方案，渗透模型观念|

2025-2026学年吉林省长春市汽车经济技术开发区第九中学八年级（下）期中数学试卷 一、单选题：（每题3分，共24分） 1．（3分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）如表是某饮品店统计了某段时间店内甲、乙、丙、丁四种口味饮品的销售情况， 口味 甲 乙 丙 丁 销售量（杯） 186 479 217 90 根据表中数据，该饮品店决定增加乙种口味饮品食材的购进数量，影响其决策的统计量是（　　） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 3．（3分）若点P在第二象限，且到x轴的距离是2，到y轴的距离是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件（　　） A．①，对角相等 B．②，有一组邻边相等 C．③，对角线互相垂直 D．④，有一个角是直角 5．（3分）已知一次函数y＝kx﹣3，若y随x的增大而减小，则它的图象经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 6．（3分）如图所示，在△PBC中，EF为三角形中位线，垂足为Q，将△PBC分割后拼接成矩形ABCD．若EF＝8，则矩形ABCD的面积是（　　） A．48 B．24 C．72 D．96 7．（3分）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，连接PB、PD．若图中阴影部分的面积为8，则AE•PF的值为（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 8．（3分）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上（x＜0）的图象上，AB∥x轴，△ABC的面积为3，则k的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 二、填空题：（每题3分，共18分） 9．（3分）若有意义，则x的取值范围是　 　 ． 10．（3分）如图是某少年足球队全体队员年龄的箱线图（单位：岁），则这组数据的上四分位数是　 　 岁． 11．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，且BC+AD＝12，则BC的长为　 　 ． 12．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AE⊥BD，垂足为点E，则AE的长为 　 　 ． 13．（3分）在学习物理《浮力》一章后，小明为测量一长方体铁块所受浮力大小的情况，在一个20cm高的水杯里装一些水，在这过程中，弹簧测力计的示数F（N）（cm）之间的关系如图所示．则当弹簧测力计的示数为15N时，此时铁块底面距离杯底 　 　 cm． 14．（3分）如图，在正方形纸片ABCD中，点P是边BC上一点，将正方形沿AP折叠，点B落在点E处，连结AQ、CE．给出以下结论： ①△AEQ≌ADQ； ②PQ＝BP+DQ； ③△PEC与△QEC的面积相等； ④若BP＝CP，则CQ＝2DQ． 上述结论中，正确结论的序号有　 　 ． 三、解答题：（共10道题，共78分） 15．（6分）先化简，再求值：，其中x＝1 16．（6分）为传承云南本土非遗文化，某学校开展“非遗文化进校园”主题活动，计划采购A、B两种非遗文创用品（A为傣族织锦书签，蕴含对称、比例等数学元素；B为永子围棋迷你摆件，承载传统工艺中的数学配比智慧），购进A种文创用品的费用y元与购进数量x件之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）现学校准备购进A、B两种非遗文创用品共200件，其中购进A种非遗文创用品不少于60件，且不超过B种非遗文创用品件数的3倍，设购进两种非遗文创用品的总费用为W元，那么应该如何设计购买方案 17．（6分）如图，△ABC为锐角三角形，AD平分∠BAC． （1）请用无刻度的直尺和圆规作AD的垂直平分线、分别交AB，AC于点E，F，连接DE、DF．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求证：四边形AEDF是菱形． 18．（7分）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．四边形ABCD的四个顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，保留作图痕迹． （1）图①中，点E是格点，在线段BC上作点F，使EF∥AB； （2）图②中，点F是非格点，在线段BC上作点G； （3）图③中，点E是格点，连接BD，连接EH，使EH∥BD． 19．（7分）在同一路线上，依次有A、B、C三地，甲、乙两人分别从A，他们离A地的路程y（千米）随时间x（时），根据图象解答下列问题： （1）A，B两地的路程为 　 　 千米； （2）求乙离A地的路程y（千米）关于时间x（时）的函数解析式；（不必写出自变量的取值范围） （3）求甲、乙两人在途中相遇时距离B地多少千米？ （4）直接写出甲出发多长时间在行驶途中与乙相距10千米． 20．（7分）某社区举办“和谐共建”主题演讲比赛，比赛分为初赛和决赛两个阶段． （1）初赛由10名专业评委和50名大众评委给每位选手打分（百分制），对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．专业评委打分：92，87，93，91，92，92，99 b．大众评委打分的不完整频数分布直方图（如图所示）： 数据分6组：第1组82≤x＜85，第2组85≤x＜88，第3组88≤x＜91，第5组94≤x＜97，第6组97≤x＜100． c．评委打分的平均数、中位数、众数如表： 平均数 中位数 众数 专业评委 92 92 m 大众评委 91 n 93 根据以上信息，回答下列问题： ①填空：m的值为　 　 ，n的值位于大众评委打分数据分组的第　 　 组； ②补全频数分布直方图； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的选手排序靠前，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 92 95 93 94 91 乙 93 93 92 93 93 丙 94 90 91 95 95 通过计算说明，甲、乙、丙三位选手中排在第一位的是谁． （参考数据：，，） 21．（8分）【问题呈现】小明在数学小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在正方形ABCD中，AB＝2，且DM＝CN，试探究线段MN长度的最小值． 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径 【问题解决】如图②，过点D、N分别作MN、AD的平行线，并交于点P 在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）求证：NC＝NP． （2）∠DCP的大小为　 　 度，线段MN长度的最小值为　 　 ． 【方法运用】如图③，在菱形ABCD中，AB＝2，点E、F分别在边AD、CD上，且DE＝CF　 　 ． 22．（9分）某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数y＝|x﹣2|的图象和性质进行了探究．探究过程如下，请补充完整． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 0 1 n 3 … （1）自变量x的取值范围是全体实数，表格是y与x的几组对应值，则m＝　 　 ，n＝　 　 ； （2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以表格中各对应值为坐标的点； ①观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是　 　 ； ②当x＜2时，y随x的增大而减小；当x≥2时　 　 ； （3）结合图象回答： ①关于x的方程|x﹣2|＝3的解是　 　 ； ②关于x的不等式|x﹣2|≥4的解集是　 　 ． 23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义： a．当一个点的横坐标、纵坐标均为整数时，称这个点为整点； b．直线t，直线r与y轴围成的三角形区域（不含边界点）称为try域． 根据阅读材料，解决下列问题： （1）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线t：y＝2x﹣5与y轴交于点A，两直线交于点C． ①在这个try域中有 　 　 个整点； ②求try域的面积． （2）过（1）中纵坐标最大的整点作直线l分别交try域两边AB，BC于点M，N，求直线l的表达式； （3）若直线t：y＝2x﹣5，直线r：y＝﹣x+n与y轴围成的try域内恰好有3个整点，请直接写出n的取值范围． 24．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，点M为边AB中点，动点P从点A开始，连结PM，以PM为直角边，使∠PMQ＝90°，设点P的运动时间为t秒． （1）当点P在边DC上运动（不与点D重合）时，则DP的长度为 　 　 ；（用含t的代数式表示） （2）当点P在边AD上运动时，求证：点Q到直线DC的距离始终不变； （3）当点Q到直线DC的距离是点Q到直线AB距离的3倍时，求t的值； （4）连结CQ，当时，直接写出t的值． 2025-2026学年吉林省长春市汽车经济技术开发区第九中学八年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、单选题：（每题3分，共24分） 1．【分析】根据同类二次根式的定义，化成最简二次根式后，被开方数相同的叫做同类二次根式，即可解答． 【解答】解：A、∵＝＝， ∴与不是同类二次根式； B、∵＝＝， ∴与是同类二次根式； C、∵＝2， ∴5与不是同类二次根式； D、∵＝2， ∴与不是同类二次根式． 故选：B． 2．【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的乙种口味饮品食材就是这组数据的众数． 【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该经销商决策的统计量是众数． 故选：B． 3．【分析】设点P的坐标是（x，y），x＜0，y＞0，根据题意列出方程，即可得出答案． 【解答】解：设点P的坐标是（x，y），y＞0， ∵|y|＝2，|x|＝， ∴x＝，y＝2． 故选：D． 4．【分析】根据矩形的判定、菱形的判定以及正方形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、对角相等的平行四边形不一定是矩形； B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形； C、对角线互相垂直的矩形是正方形； D、有一个角是直角的菱形是正方形； 故选：A． 5．【分析】先根据一次函数y＝kx﹣3中，y随x的增大而减小判断出k的符号，再根据一次函数的性质判断出此函数的图象所经过的象限，进而可得出结论． 【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣3中，y随x的增大而减小， ∴k＜0， ∴此函数图象必过二、四象限； ∵b＝﹣6＜0， ∴此函数图象与y轴相交于负半轴， ∴此函数图象经过二、三、四象限． 故选：D． 6．【分析】利用全等三角形的性质证明AB＝PQ＝6，再利用三角形中位线定理求出BC可得结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， 在△PBC中，EF为三角形中位线， ∴EP＝EB，BC＝2EF＝16， ∵PQ⊥AD， ∴∠PQE＝∠A＝90°， ∵∠AEB＝∠QEP， ∴△AEB≌△QEP（AAS）， ∴AB＝PQ＝6， ∴矩形ABCD的面积＝16×4＝96． 故选：D． 7．【分析】由矩形的性质可证明S△PEB＝S△PFD＝4，根据三角形的面积公式即可求解． 【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N． 则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形BEPN， ∴AE＝DF，S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN， ∴S四边形DFPM＝S四边形PEBN， ∴S△DFP＝S△PBE， ∵S阴影＝S△DFP+S△BEP＝8， ∴S△DFP＝4，即， ∴AE•PF＝5． 故选：B． 8．【分析】连接OA，OB、如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝3，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到+|k|＝3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值． 【解答】解：连接OA，OB， ∵AB⊥y轴， ∴OC∥AB， ∴S△OAB＝S△ABC＝3， ∴+|k|＝3， ∵k＜0， ∴k＝﹣2． 故选：D． 二、填空题：（每题3分，共18分） 9．【分析】二次根式有意义即被开方数为非负数，由此计算即可． 【解答】解：根据题意得2﹣3x≥7， 解得x≤， 故答案为：x≤． 10．【分析】根据箱线图的结构解答即可． 【解答】解：根据箱线图的结构特征可知：14是上四分位数． 故答案为：14． 11．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，再根据已知条件即可解答． 【解答】解：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：． ∵BC+AD＝12， ∴， ∴BC＝8， 故答案为：4． 12．【分析】先证明△AEB和△AEO全等得AO＝AB＝8，再根据矩形性质得AO＝BO，进而得△ABO是等边三角形，则BE＝OE＝4，然后再由勾股定理即可求出AE的长 【解答】解：∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠OAE， ∵AE⊥BD， ∴∠AEB＝∠AEO＝90°， 在△AEB和△AEO中， ， ∴△AEB≌△AEO（ASA）， ∴AO＝AB＝8， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝BO， ∴AO＝BO＝AB＝8， ∴△ABO是等边三角形， ∴BE＝OE＝BO＝4， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE＝＝＝． 故答案为：． 13．【分析】根据函数图象待定系数法求得线段AB的解析式，再把F＝15代入计算即可． 【解答】解：当6≤x≤12时，设AB所在直线的函数表达式为：F＝kh+b（k≠0）， 则， 解得， ∴F＝﹣3h+32， 当F＝15时，﹣2h+32＝15， ∴当弹簧测力计的示数为15N时，此时铁块底面距离杯底：20﹣8.3＝11.5（cm）． 故答案为：11.5． 14．【分析】由正方形的性质得AD＝AB，由折叠得AE＝AB，EP＝BP，∠AEP＝∠B＝90°，所以AE＝AD，∠AEQ＝90°，而AQ＝AQ，即可根据“HL”证明Rt△AEQ≌Rt△ADQ，可判断①正确；由EP＝BP，EQ＝DQ，得PQ＝EP+EQ＝BP+DQ，可判断②正确；假设△PEC与△QEC的面积相等，则EP＝EQ，所以BP＝DQ，可证明△ABP≌△ADQ，得∠PAB＝∠QAD，推导出∠PAB＝22.5°，与已知条件不符，可判断③不正确；设EQ＝DQ＝x，CB＝CD＝6m，则CQ＝6m﹣x，EP＝BP＝CP＝3m，所以PQ＝x+3m，由勾股定理得（3m）2+（6m﹣x）2＝（x+3m）2，求得x＝2m，则DQ＝2m，CQ＝4m，所以CQ＝2DQ，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB＝CB＝CD，∠B＝∠BAD＝∠D＝∠BCD＝90°， 由折叠得AE＝AB，EP＝BP， ∴AE＝AD， ∵延长PE交CD于点Q， ∴∠AEQ＝90°， 在Rt△AEQ和Rt△ADQ中， ， ∴Rt△AEQ≌Rt△ADQ（HL）， 故①正确； ∴EQ＝DQ， ∴PQ＝EP+EQ＝BP+DQ， 故②正确； 假设△PEC与△QEC的面积相等，则EP＝EQ， ∴BP＝DQ， ∵∠PAE＝∠PAB＝∠BAE∠DAE， ∴∠PAQ＝∠PAE+∠QAE＝∠PAB+∠QAD＝（∠BAE+∠DAE）＝， 在△ABP和△ADQ中， ， ∴△ABP≌△ADQ（SAS）， ∴∠PAB＝∠QAD， ∴5∠PAB＝45°， ∴∠PAB＝22.5°，与已知条件不符， ∴△PEC与△QEC的面积不一定相等， 故③不正确； 设EQ＝DQ＝x，CB＝CD＝6m，EP＝BP＝CP＝， ∴PQ＝x+3m， ∵CP3+CQ2＝PQ2， ∴（2m）2+（6m﹣x）5＝（x+3m）2， ∴x＝8m， ∴DQ＝2m，CQ＝6m﹣2m＝4m， ∴CQ＝2DQ， 故④正确， 故答案为：①②④． 三、解答题：（共10道题，共78分） 15．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x，y的值代入进行计算即可． 【解答】解：原式＝1+ ＝8+ ＝ ＝， 当x＝1，y＝4时＝﹣1． 16．【分析】（1）根据函数关系图示，分别求y与x之间的函数关系式即可； （2）根据题意求得自变量x的取值范围，再利用一次函数的增减性求得最少总费用即可． 【解答】解：（1）当0≤x≤50时，设y与x之间的函数关系式是y＝kx（k≠0）， 把（50，1500）代入得， 50k＝1500， 解得k＝30， ∴当2≤x≤50时，y＝30x； 当x≥50时，设y＝ax+b（a≠0）， 则， 解得， ∴当x≥50时，y＝10x+1000． ∴； （2）现学校准备购进A、B两种非遗文创用品共200件，且不超过B种非遗文创用品件数的8倍， 由题意可得： ， 解得60≤x≤150， ∴W＝10x+1000+60（200﹣x）＝﹣50x+13000， ∵﹣40＜0， ∴W随x的增大而减小． ∴当x＝150时，W最小， B种非遗文创用品：200﹣150＝50（件）． 答：购买A种非遗文创用品150件，B种非遗文创用品50件，最少费用为5500元 17．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可； （2）证明DE∥AF，AE∥DF，得到四边形AEDF为平行四边形，根据菱形的判定定理得到结论． 【解答】（1）解：图形如图所示： （2）证明：∵EF垂直平分线段AD， ∴EA＝ED，FA＝FD， ∴∠EAD＝∠EDA， ∵又∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴∠ADE＝∠DAC， ∴DE∥AC， 同法可证DF∥AB， ∴四边形AEDF为平行四边形． ∵EA＝ED， ∴四边形AEDF为菱形． 18．【分析】（1）在BC上取格点F，使BF＝AE＝2，连接EF即可； （2）连接AC、BD，则AC、BD交于点O，连接FO，并延长FO，交BC于点G，则点G即为所求； （3）取格点M，连接EM交AB于点H，则EH即为所求． 【解答】解：（1）如图，EF即为所求； ∵AE∥BF，AE＝BF， ∴四边形ABFE为平行四边形， ∴EF∥AB； （2）如图，点G即为所求； ∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴AO＝CO， ∵AD∥BC， ∴∠AFO＝∠CGO，∠FAO＝∠GCO， ∴△AOF≌△COG， ∴CG＝AF； （3）如图，EH即为所求； ∵BM＝ED＝1，BM∥ED， ∴四边形DEMB为平行四边形， ∴EH∥BD． 19．【分析】（1）根据函数图象中的数据可以解答本题； （2）根据图中数据，用待定系数法求出函数解析式即可； （3）先求出甲离A地的路程y（千米）关于时间x（时）的函数表达式，再联立方程组，解方程组距离A地的距离，然后结合题意求得距离B地的距离； （4）利用距离A地的路程差为10km列出方程计算即可． 【解答】解：（1）A，B两地的路程为30千米， 故答案为：30； （2）设乙离A地的路程y（千米）关于时间x（时）的函数表达式是y＝ax+b， 则， 解得， ∴乙离A地的路程y（千米）关于时间x（时）的函数表达式是y＝30x+30； （3）设甲离A地的路程y（千米）关于时间x（时）的函数解析式为y＝kx，把（3 4k＝150， 解得k＝50， ∴甲离A地的路程y（千米）关于时间x（时）的函数解析式为y＝50x， 联立方程组得， 解得， 75﹣30＝45（千米）， 答：当甲、乙两人在途中相遇时距离B地的路程为45千米； （4）根据题意得，甲乙两人距离A地的路程差为10km可列方程为： 30x+30﹣50x＝10或50x﹣30x﹣30＝10， 解得x＝5或x＝2， ∴甲出发1时或6小时，两人相距10千米． 20．【分析】（1）①根据中位数和众数的定义求解即可；②求出第5组94≤x＜97的人数，再补全频数分布直方图即可； （2）先求出甲、乙、丙三个选手得分的平均数，结合方差比较即可得出结果． 【解答】解：（1）计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的选手排序靠前，则方差较小的选手排序靠前， ①由题意可得，专业评委打分中92出现的次数最多； 50名大众评委打分数据的中位数是第25个数据和第26个数据的平均数，且2+3+14＝24， 故n的值位于大众评委打分数据分组的第4组； ②第5组94≤x＜97的人数为：50﹣8﹣8﹣14﹣12﹣4＝10（人）， 补全频数分布直方图如图所示． 故答案为：92，8； （2）甲选手得分的平均数为． 乙选手得分的平均数为． 丙选手得分的平均数为． ∵，，， ∴甲、乙、丙三位选手中排在第一位的是甲． 21．【分析】（1）过点D、N分别作MN、AD的平行线，并交于点P，作射线CP，利用平行四边形的判定与性质得到MN＝PD，MD＝NP，利用等量代换的性质即可得出结论； （2）利用正方形的性质，平行线的性质和等腰直角三角形的性质即可得出结论；再利用垂线段最短的性质和等腰直角三角形的性质解答即可； 【方法运用】过点D、F分别作EF、AD的平行线，并交于点P，作射线CP，利用平行四边形的判定与性质和等式的性质得到FC＝FP，利用菱形的性质和平行线的性质得到∠PFC＝60°，则△PFC为等边三角形，利用垂线段最短的性质和含30°角的直角三角形的性质解答即可求得EF的最小值，利用三角形的周长的定义和等式的性质得到△DEF周长＝EF+DE+DF＝EF+CF+DF＝EF+CD＝2+EF，则结论可求． 【解答】（1）证明：过点D、N分别作MN，并交于点P，如图， 则四边形MNPD为平行四边形， ∴MN＝PD，MD＝NP， ∵DM＝CN， ∴NC＝NP． （2）解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ADC＝90°， ∵MD∥NP， ∴∠DNP＝∠ADC＝90°， ∴∠NCP＝90°， ∵NC＝NP， ∴△NCP为等腰直角三角形， ∴∠DCP＝45°． 故答案为：45； 由题意：点P为CP上一动点， ∴当DP⊥CP时，DP取得最小值为＝， ∵MN＝PD， ∴线段MN长度的最小值为． 故答案为：； 【方法运用】解：过点D、F分别作EF，并交于点P，如图， 则四边形EFPD为平行四边形， ∴PD＝EF，DE＝FP， ∵DE＝CF， ∴FC＝FP． ∵四边形ABCD为菱形，AB＝6， ∴AB＝CD＝2，AB∥CD， ∴∠A+∠ADC＝180°， ∴∠ADC＝120°， ∵DE∥FP， ∴∠PFD＝∠ADC＝120°， ∴∠PFC＝60°， ∴△PFC为等边三角形， ∴∠FCP＝60°， 由题意：点P为CP上一动点， ∴当DP⊥CP时，DP取得最小值为， ∵PD＝EF， ∴EF的最小值为． ∵△DEF周长＝EF+DE+DF＝EF+CF+DF＝EF+CD＝8+EF， ∴△DEF周长的最小值为2+． 故答案为：4+． 22．【分析】（1）根据函数y＝|x﹣2|，计算出x＝﹣1和x＝3＝4对应的函数值，从而可以求得m、n的值； （2）根据（1）中表格的数据，可以画出相应的函数图象，①②根据函数图象即可求得； （3）观察函数图象，可以得到方程|x﹣2|＝3的解以及不等式|x﹣2|≥4的解集． 【解答】解：（1）当x＝﹣1时，y＝|x﹣2|＝5， ∴m＝3， 当x＝4时，y＝|x﹣5|＝2， ∴n＝2， 故答案为：7；2 （2）画出该函数图象的另一部分如图， ①观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是（2； ②当x＜6时，y随x的增大而减小，y随x的增大而增大． 故答案为：（2，0）； （3）观察图象可知， ①关于x的方程|x﹣8|＝3的解是x＝﹣1或x＝7． 故答案为：x＝﹣1或x＝5． ②关于x的不等式|x﹣6|≥4的解集是x≥6或x≤﹣2． 故答案为：x≥6或x≤﹣2． 23．【分析】（1）①求得A、B、C点的坐标根据图象即可求解； ②利用三角形面积公式求解即可； （2）求得直线l的解析式，与直线r的解析式联立求得N点的横坐标，M点的纵坐标，利用三角形面积公式求得k的值即可； （3）若直线t：y＝2x﹣5，直线r：y＝﹣x+n与y轴围成的try域内恰好有3个整点，则整点为（1，0），（1，﹣1），（1，﹣2）或（﹣1，﹣8），（﹣1，﹣9），（﹣1，﹣10），利用待定系数法求得b的值，结合图象即可求得． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝2x﹣4＝﹣5， ∴点A（0，﹣8）， 当x＝0时，y＝﹣x+1＝5， ∴点B（0，1）， 联立解得 ∴点C（2，﹣8）， ①在这个try域中有（1，﹣1）和（3， 故答案为：2． ②try域面积； （2）如图，try域内有两个整点：（5，（1， ∵﹣1＞﹣7， ∴直线l过点（1，﹣1）， 设直线l的表达式为y＝kx+b， ﹣3＝k×1+b， ∴b＝﹣k﹣1， ∴直线l的表达式为y＝kx﹣k﹣4， ∵直线l分别交AB，BC于点M，N， 联立， 解得， 当x＝0时，y＝kx﹣k﹣7＝﹣k﹣1， ∴yM＝﹣k﹣1， ∴， 解得k＝2， ∴直线l的表达式为y＝2x﹣5； （3）若直线t：y＝2x﹣5，直线r：y＝﹣x+n与y轴围成的try域内恰好有7个整点，0），﹣1），﹣6）或（﹣1，（﹣1，（﹣3， 整点为（1，0），﹣5），﹣2）时， 把（1，2）代入y＝﹣x+n得， 把（1，1）代入y＝﹣x+n得， ∴3＜n≤2， 整点为（﹣1，﹣4），﹣9），﹣10）， 把（﹣1，﹣10）代入y＝﹣x+n得， 把（﹣8，﹣11）代入y＝﹣x+n得， ∴﹣12≤n＜﹣11， ∴当1＜n≤2或﹣12≤n＜﹣11时，try域内恰好有3个整点． 24．【分析】（1）根据AD＝4，SP＝2t求得结果； （2）作QE⊥AB于E，可证得△AMP≌△EQM，从而EQ＝AM＝3，从而得出结果； （3）可判断出点P在CD上，作PF⊥AB于F，作QE⊥AB于E，类比可得△PFM≌△MEQ，从而FM＝EQ＝1，从而PD＝AF＝AM﹣FM＝2，进一步得出结果； （4）分两种情形：当点P在AD上时，作QE⊥AB，交CD于F，可求得FQ＝4﹣3＝1，从而得出BE的值，从而得出AP＝EM＝BM﹣BE＝1，从而得出结果；当点P在CD上，作PW⊥AB于W，作QE⊥AB于V，作QG⊥BC于G，同样方法得出结果． 【解答】∵解：（1）∵AD＝4，SP＝2t， ∴DP＝2t﹣4， 故答案为：2t﹣2； （2）如图1， ∵M是AB的中点，AB＝6， ∴AM＝BM＝5， 作QE⊥AB于E， ∴∠QEM＝90°， ∴∠EQM+∠QME＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， ∴∠A＝∠QEM， ∵△PQM是等腰直角三角形， ∴∠PMQ＝90°，PQ＝PM， ∴∠AMP+∠QME＝90°， ∴∠AMP＝∠MQE， ∴△AMP≌△EQM（AAS）， ∴EQ＝AM＝3； ∴当点P在边AD上运动时，点Q到直线DC的距离始终不变； （3）解：如图2﹣4， 当点Q在AB上方时， 由（1）知， 当点P在AD时，Q到AB的距离是3，故点P在CD上， 作PF⊥AB于F，作QE⊥AB于E， ∵点Q到直线DC的距离是点Q到直线AB距离的3倍， ∴EQ＝6， 由（2）知， △PFM≌△MEQ， ∴FM＝EQ＝1， ∴PD＝AF＝AM﹣FM＝2， ∴P点运动的路程是6+2＝6， ∴t＝5， 如图2﹣2， 当点Q在AB下方时， ∵点Q到直线DC的距离是点Q到直线AB距离的8倍， ∴EQ＝2， 同理可得：FM＝EQ＝2， ∴DP＝AF＝AM+FM＝4+2＝5， ∴P点运动的路程是7+5＝9， ∴t＝， 综上所述：t＝3或； （4）如图3， 当点P在AD上时，作QE⊥AB， 由（2）知， EQ＝7，AP＝EM， ∴FQ＝4﹣3＝2， ∴BE＝CF＝＝＝2， ∴AP＝EM＝BM﹣BE＝1， ∴t＝， 如图4， 当点P在CD上，作PW⊥AB于W，作QG⊥BC于G， 由（2）知， MV＝PW＝6， ∴CG＝BV＝MV﹣BM＝1， ∴CG＝2， ∴WM＝QV＝BG＝8， ∴PD＝AW＝AM﹣WM＝1， ∴点P运动的路程是4+6＝5， ∴t＝， 综上所述：t＝或． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/2 9:16:22；用户：聂伟；邮箱：15284038568；学号：44743775 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $