广东江门市鹤山市鹤华中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

**基本信息** 以中国灯笼、疫情防控等文化与现实情境为载体，覆盖数列、导数、排列组合等高二核心知识，通过基础题、能力题、创新应用题的梯度设计，考查数学抽象、运算推理及建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|等差数列性质（2）、函数极值（7）|结合中国灯笼文化考查分步计数原理（1）| |多选|3/18|导数应用（9）、排列组合（10）|通过导函数图象分析函数单调性（9）| |填空|3/15|等比数列运算（12）、二项式定理（13）|疫情防控志愿者分配考查分组分配问题（14）| |解答|5/77|导数综合（15、19）、数列求和（16）|企业投资收益优化问题考查数学建模（17）|

广东省江门市鹤山市鹤华中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（　　） A．34种 B．43种 C．3×2×1种 D．4×3×2种 2．（5分）在等差数列{an}中，若其前n项和为Sn，已知a4+a5+a6＝15，则S9＝（　　） A．25 B．35 C．45 D．55 3．（5分）二项式的展开式中，常数项等于（　　） A．448 B．900 C．1120 D．1792 4．（5分）已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则＝（　　） A．4 B．2 C． D． 5．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），若，则f′（2）＝（　　） A．﹣1 B．1 C． D． 6．（5分）已知数列{an}是公差为2的等差数列，且a4＝3a7，则数列{|an|}的前20项之和为（　　） A．80 B．208 C．680 D．780 7．（5分）已知函数f（x）＝x（x﹣c）2在x＝2处有极大值，则实数c的值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 8．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣4x+4在[0，a]上的最大值为4，则实数a的取值范围为（　　） A．（0，1] B．（0，] C．（0，2] D．（0，2] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 （多选）9．（6分）如图所示是y＝f（x）的导数y＝f'（x）的图象，下列结论中正确的有（　　） A．f（x）在区间（﹣3，1）上是增函数 B．x＝﹣1是f（x）的极小值点 C．f（x）在区间（2，4）上是减函数，在区间（﹣1，2）上是增函数 D．x＝2是f（x）的极小值点 （多选）10．（6分）将四大名著《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》，诗集《唐诗三百首》《徐志摩诗集》和戏曲《中华戏曲》7本书放在一排，则（　　） A．戏曲书放在正中间位置的不同放法有种 B．诗集相邻的不同放法有种 C．四大名著互不相邻的不同放法有种 D．四大名著不放在两端的不同放法有种 （多选）11．（6分）设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若a3＝12，S12＞0，S13＜0，则下列结论正确的是（　　） A．数列{an}是递增数列 B．S5＝60 C． D．S1，S2，⋯，S12中最大的是S6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知等比数列{an}的各项均为正数，且a3＝27，则log3a1+log3a2+log3a3+log3a4+log3a5＝　 　 ． 13．（5分）的展开式中，含x﹣1y4项的系数为﹣15，则a＝　 　 ． 14．（5分）2022年9月3日某市新冠疫情暴发以来，某住宿制中学为做好疫情防控工作，组织5名教师组成志愿者小组，分配到高中三个年级教学楼楼门口配合医生给学生做核酸，由于高二年级学生人数较多，要求高二教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数，若每栋教学楼门至少分配1名志愿者，每名志愿者只能在1个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为　 　 ．（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx在及x＝1处取得极值． （1）求a，b的值； （2）求函数y＝f（x）在[0，2]上的最大值与最小值． 16．（15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是公比为3的等比数列，且Sn＝n2（n∈N*），b1＝a1． （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）令cn＝（an+1）•bn，求数列{cn}的前n项和Tn． 17．（15分）某企业计划对甲、乙两个项目共投资200万元，且每个项目至少投资10万元．依据前期市场调研可知，甲项目的收益p（t）（单位：万元）与投资金额t（单位：万元）满足关系式p（t）＝at3+21t；乙项目的收益g（t）（单位：万元）与投资金额t（单位：万元）满足关系式g（t）＝﹣2a（t﹣b）2（b＜200）．设对甲项目投资x万元，两个项目的总收益为f（x）（单位：万元），且当对甲项目投资30万元时，甲项目的收益为180万元，乙项目的收益为120万元． （1）求f（x）的解析式． （2）试问如何安排甲、乙这两个项目的投资金额，才能使总收益f（x）最大？并求出f（x）的最大值． 18．（17分）已知数列{an}满足a1＝2，an+1＝2an+2，bn＝an+2． （1）证明：数列{bn}是等比数列，并求数列{bn}的通项公式； （2）记，若数列{cn}的前n项和为Tn，求证：． 19．（17分）已知函数． （1）若a＝2，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）讨论f（x）的单调性； （3）当a＜0时f（x）≤b﹣ln（﹣a）﹣a恒成立，求实数b的最小值． 2025-2026学年广东省江门市鹤山市鹤华中学高二（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C C A A B D D 二．多选题（共3小题） 题号 9 10 11 答案 BC ABC BD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（　　） A．34种 B．43种 C．3×2×1种 D．4×3×2种 【答案】A 【分析】每人都有3种选法，结合分步计数原理即可求解． 【解答】解：由题可知，每名同学都有3种选法，故不同的选购方式有34种，经检验只有A选项符合． 故选：A． 2．（5分）在等差数列{an}中，若其前n项和为Sn，已知a4+a5+a6＝15，则S9＝（　　） A．25 B．35 C．45 D．55 【答案】C 【分析】由等差数列的性质及a4+a5+a6＝15可求a5，代入等差数列的求和公式＝9a5即可求． 【解答】解：∵{an}是等差数列， ∴a4+a5+a6＝3a5＝15， ∴a5＝5， ∴＝9a5＝45． 故选：C． 3．（5分）二项式的展开式中，常数项等于（　　） A．448 B．900 C．1120 D．1792 【答案】C 【分析】根据二项式的展开式的通项公式可解． 【解答】解：二项式的展开式的通项公式为Tr+1＝28﹣rx8﹣2r， 令8﹣2r＝0，则r＝4， 则常数项等于1120． 故选：C． 4．（5分）已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则＝（　　） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由已知结合等比数列的通项公式及等差数列的性质列式求解q，则答案可求． 【解答】解：设等比数列{an}的公比为q（q＞0）， 由题意，即， ∵a1≠0，∴5q2﹣8q﹣4＝0，解得q＝﹣（舍去），或q＝2． ∴＝． 故选：A． 5．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），若，则f′（2）＝（　　） A．﹣1 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导函数，再令x＝2计算可得． 【解答】解：因为， 所以， 所以，解得f′（2）＝﹣1． 故选：A． 6．（5分）已知数列{an}是公差为2的等差数列，且a4＝3a7，则数列{|an|}的前20项之和为（　　） A．80 B．208 C．680 D．780 【答案】B 【分析】根据题意求出等差数列{an}的首项，可得到通项公式以及前n项和，再根据通项公式判断出前20项中，前8项为负数，后12项为正数，故所求数列的前20项之和为S20﹣2S8，代入计算即可得到答案． 【解答】解：因为a4＝3a7，所以a1+3d＝3（a1+6d），即a1+3×2＝3（a1+6×2），解得a1＝﹣15， 所以an＝﹣17+2n，前n项和， 则数列{an}满足，1≤n≤8时，an＜0，n＞8时，an＞0， 所以|a1|+|a2|+⋯+|a20|＝﹣a1﹣a2﹣⋯﹣a8+a9+a10+⋯+a20＝S20﹣2S8 ＝202﹣16×20﹣2×（82﹣16×8）＝208． 故选：B． 7．（5分）已知函数f（x）＝x（x﹣c）2在x＝2处有极大值，则实数c的值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由题意可得f′（2）＝0，解出c的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得极大值的充分条件． 【解答】解：函数f（x）＝x（x﹣c）2的导数为f′（x）＝（x﹣c）2+2x（x﹣c） ＝（x﹣c）（3x﹣c）， 由f（x）在x＝2处有极大值，即有f′（2）＝0，即（c﹣2）（c﹣6）＝0 解得c＝2或6， 若c＝2时，f′（x）＝0，可得x＝2或， 由f（x）在x＝2处导数左负右正，取得极小值， 若c＝6，f′（x）＝0，可得x＝6或2 由f（x）在x＝2处导数左正右负，取得极大值． 综上可得c＝6． 故选：D． 8．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣4x+4在[0，a]上的最大值为4，则实数a的取值范围为（　　） A．（0，1] B．（0，] C．（0，2] D．（0，2] 【答案】D 【分析】由题意，对函数f（x）进行求导，利用导数得到函数的单调性和极值，结合端点值即可得到实数a的取值范围． 【解答】解：易知f（x）的定义域为R， 可得f′（x）＝x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）， 当x＜﹣2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增； 当﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减； 当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 所以当x＝2时，f（x）取得极小值，极小值f（2）＝﹣， 因为函数f（x）在[0，a]上的最大值为4， 又f（0）＝4，f（2）＝4， 所以0＜a≤2． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 （多选）9．（6分）如图所示是y＝f（x）的导数y＝f'（x）的图象，下列结论中正确的有（　　） A．f（x）在区间（﹣3，1）上是增函数 B．x＝﹣1是f（x）的极小值点 C．f（x）在区间（2，4）上是减函数，在区间（﹣1，2）上是增函数 D．x＝2是f（x）的极小值点 【答案】BC 【分析】利用y＝f（x）的导数y＝f'（x）的图象，对ABCD四个选项逐一判断即可． 【解答】解：由y＝f（x）的导数y＝f'（x）的图象，可得， 当x∈（﹣3，﹣1）∪（2，4）时，f'（x）＜0， 当x∈（1，2）∪（4，5）时，f'（x）＞0， ∴f（x）在区间（﹣3，﹣1），（2，4）上是减函数， f（x）在区间（﹣1，2），（4，5）上是增函数， ∴x＝﹣1是f（x）的极小值点，x＝2是f（x）的极大值点， 故B，C正确，A，D错误； 故选：BC． （多选）10．（6分）将四大名著《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》，诗集《唐诗三百首》《徐志摩诗集》和戏曲《中华戏曲》7本书放在一排，则（　　） A．戏曲书放在正中间位置的不同放法有种 B．诗集相邻的不同放法有种 C．四大名著互不相邻的不同放法有种 D．四大名著不放在两端的不同放法有种 【答案】ABC 【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合相邻问题捆绑法及不相邻问题插空法求解即可． 【解答】解：对于选项A，戏曲书放在正中间位置的不同方法有种，即选项A正确； 对于选项B，诗集相邻的不同方法有＝种，即选项B正确； 对于选项C，四大名著互不相邻，先将四大名著全排，然后将另外3本书排在四大名著之间的3个空中即可，即不同方法有种，即选项C正确； 对于D，四大名著不放在两端，先将四大名著排在中间5个位置，然后将其他3本全排列， 所以不同的方法有种，故D错误． 故选：ABC． （多选）11．（6分）设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若a3＝12，S12＞0，S13＜0，则下列结论正确的是（　　） A．数列{an}是递增数列 B．S5＝60 C． D．S1，S2，⋯，S12中最大的是S6 【答案】BD 【分析】利用等差数列的前n项和公式和等差数列的性质得到a7＜0，a6+a7＞0，再利用等差数列的通项公式求得d的范围可判断AC；进而得可判断B；利用a6＞0＞a7可判断D，从而得解． 【解答】解：等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若a3＝12，S12＞0，S13＜0， 对于AC：因为， 且， 所以a6+a7＞0，a7＜0，又因为a3＝12， 所以，解得； 所以等差数列{an}是递减数列，故AC错误； 对于B：因为a3＝12，所以，故B正确； 对于D：因为等差数列{an}是递减数列， 且a7＜0，a6+a7＞0，则a6＞0，a7＜0， 所以S1＜S2＜...＜S5＜S6，S6＞S7＞...＞S12，故D正确． 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知等比数列{an}的各项均为正数，且a3＝27，则log3a1+log3a2+log3a3+log3a4+log3a5＝　15　 ． 【答案】15． 【分析】由等比数列性质得a1a5＝a2a4＝a32，再结合对数运算性质可解决此题． 【解答】解：因为等比数列{an}的各项均为正数，且a3＝27， 根据等比数列性质得a1a5＝a2a4＝a32， ∴log3a1+log3a2+log3a3+log3a4+log3a5＝log3（a1a2a3a4a5） ＝log3275＝15． 故答案为：15． 13．（5分）的展开式中，含x﹣1y4项的系数为﹣15，则a＝　±1　 ． 【答案】±1． 【分析】根据二项式定理求解即可． 【解答】解：由题可得：展开式中含x﹣1y4项的系数为：（﹣1）וa2＝﹣15，可得a2＝1，解得a＝±1． 故答案为：±1． 14．（5分）2022年9月3日某市新冠疫情暴发以来，某住宿制中学为做好疫情防控工作，组织5名教师组成志愿者小组，分配到高中三个年级教学楼楼门口配合医生给学生做核酸，由于高二年级学生人数较多，要求高二教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数，若每栋教学楼门至少分配1名志愿者，每名志愿者只能在1个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为　80　 ．（用数字作答） 【答案】80． 【分析】根据题意分1，1，3和1，2，2两类可解． 【解答】解：根据题意，5名教师组成志愿者小组，分配到高中三个年级教学楼楼门口配合医生给学生做核酸， 则可分为1，1，3和1，2，2两类， 第一类，按1，1，3分组，有＝10种分组方法，再分到三个教学楼且高二教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数， 则3人组去高二，则有种分配方法， 则共有10×2＝20种方法； 第二类，按1，2，2，有＝15种分组方法，再分到三个教学楼且高二教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数， 则2人组去高二，则有＝4种分配方法， 则共有15×4＝60种方法， 则不同的分配方法共有20+60＝80种． 故答案为：80． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx在及x＝1处取得极值． （1）求a，b的值； （2）求函数y＝f（x）在[0，2]上的最大值与最小值． 【答案】（1）； （2）最大值为2，最小值为0． 【分析】（1）因为函数f（x）在及x＝1处取得极值，所以和x＝1是导函数f'（x）的零点，即，然后求解即可． （2）当时，f'（x）＞0，所以f（x）在上单调递增；当时，f'（x）＜0，所以 f（x）在上单调递减；当 x∈（1，2）时，f'（x）＞0，所以f（x）在（1，2）上单调递增，然后求最值即可． 【解答】解：（1）已知f（x）＝x3+ax2+bx， 则f'（x）＝3x2+2ax+b， 因为函数f（x）在及x＝1处取得极值，所以和x＝1是导函数f'（x）的零点， 即， 即； （2）由（1）可知f（x）＝x3﹣2x2+x，f'（x）＝3x2﹣4x+1， 则当时，f'（x）＞0，所以f（x）在上单调递增； 当时，f'（x）＜0，所以 f（x）在上单调递减； 当 x∈（1，2）时，f'（x）＞0，所以f（x）在（1，2）上单调递增． 又f（0）＝03﹣2×02+0＝0，，f（1）＝13﹣2×12+1＝1﹣2+1＝0，f（2）＝23﹣2×22+2＝8﹣8+2＝2， 则函数y＝f（x）在[0，2]上的最大值为2，最小值为0． 16．（15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是公比为3的等比数列，且Sn＝n2（n∈N*），b1＝a1． （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）令cn＝（an+1）•bn，求数列{cn}的前n项和Tn． 【答案】（1）an＝2n﹣1，bn＝3n﹣1；（2）Tn＝． 【分析】（1）由数列的通项与求和的关系，可得an；由等比数列的通项公式，可得bn； （2）由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和． 【解答】解：（1）数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2（n∈N*）， 可得a1＝S1＝1， 当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1（对n＝1也成立）， 即有an＝2n﹣1，n∈N*； 数列{bn}是公比为3的等比数列，b1＝a1＝1， 可得bn＝3n﹣1； （2）cn＝（an+1）•bn＝2n•3n﹣1， 则数列{cn}的前n项和Tn＝2•30+4•31+6•32+...+2n•3n﹣1， 3Tn＝2•31+4•32+6•33+...+2n•3n， 相减可得﹣2Tn＝2+2（31+32+...+3n﹣1）﹣2n•3n＝2+2•﹣2n•3n＝（1﹣2n）•3n﹣1， 化为Tn＝． 17．（15分）某企业计划对甲、乙两个项目共投资200万元，且每个项目至少投资10万元．依据前期市场调研可知，甲项目的收益p（t）（单位：万元）与投资金额t（单位：万元）满足关系式p（t）＝at3+21t；乙项目的收益g（t）（单位：万元）与投资金额t（单位：万元）满足关系式g（t）＝﹣2a（t﹣b）2（b＜200）．设对甲项目投资x万元，两个项目的总收益为f（x）（单位：万元），且当对甲项目投资30万元时，甲项目的收益为180万元，乙项目的收益为120万元． （1）求f（x）的解析式． （2）试问如何安排甲、乙这两个项目的投资金额，才能使总收益f（x）最大？并求出f（x）的最大值． 【答案】（1）f（x）＝﹣（x3﹣2x2﹣900x﹣16200），x∈[10，190]； （2）对甲项目投资18万元，对乙项目投资182万元，才能使总收益f（x）取得最大值453.6万元． 【分析】（1）根据题意求出a，b，结合题意可得f（x）＝﹣x3+21x+[（200﹣x）﹣110]2＝﹣（x3﹣2x2﹣900x﹣16200），x∈[10，190]； （2）令h（x）＝x3﹣2x2﹣900x﹣16200，x∈[10，190]，利用导数求出h（x）的最小值，可得f（x）的最大值，即可得出答案． 【解答】解：（1）由题意得27000a+630＝180，解得， 当对甲项目投资30万元时，对乙项目投资170万元， 则，解得b＝110， 设对甲项目的投资金额为x万元，则对乙项目的投资金额为（200﹣x）万元， 则，解得10≤x≤190， 故f（x）＝﹣x3+21x+[（200﹣x）﹣110]2＝﹣（x3﹣2x2﹣900x﹣16200），x∈[10，190]； （2）设h（x）＝x3﹣2x2﹣900x﹣16200，x∈[10，190]， 则h'（x）＝3x2﹣4x﹣900＝（3x+50）（x﹣18）， 当x∈[10，18）时，h'（x）＜0，当x∈（18，190]时，h'（x）＞0， 则h（x）在[10，18）上单调递减，在（18，190]上单调递增， 则h（x）min＝h（18）＝﹣27216， 故f（x）max＝f（18）＝453.6， 故对甲项目投资18万元，对乙项目投资182万元，才能使总收益f（x）取得最大值453.6万元． 18．（17分）已知数列{an}满足a1＝2，an+1＝2an+2，bn＝an+2． （1）证明：数列{bn}是等比数列，并求数列{bn}的通项公式； （2）记，若数列{cn}的前n项和为Tn，求证：． 【答案】（1）证明：根据题意可得an+1+2＝2（an+2）， 所以bn+1＝2bn，又b1＝a1+2＝4≠0， 所以数列{bn}是以b1＝a1+2＝4为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以数列{bn}的通项公式为； （2）证明：由（1）知， 由得， 所以 因为得，数列{Tn}为单调递增数列， 所以， 所以． 【分析】（1）根据等比数列的定义求证等比数列，再利用通项公式求解； （2）求出数列{cn}的通项公式，再根据裂项相消求出Tn，结合其单调性即可证明． 【解答】证明：（1）根据题意可得an+1+2＝2（an+2）， 所以bn+1＝2bn，又b1＝a1+2＝4≠0， 所以数列{bn}是以b1＝a1+2＝4为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以数列{bn}的通项公式为； （2）由（1）知， 由得， 所以 因为得，数列{Tn}为单调递增数列， 所以， 所以． 19．（17分）已知函数． （1）若a＝2，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）讨论f（x）的单调性； （3）当a＜0时f（x）≤b﹣ln（﹣a）﹣a恒成立，求实数b的最小值． 【答案】（1）y＝﹣2． （2）当a≤0时，函数f（x）的递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞）； 当0＜a＜1时，函数f（x）的递增区间为，递减区间为； 当a＝1时，函数f（x）的递增区间为（0，+∞）； 当a＞1时，函数f（x）的递增区间为，递减区间为． （3）ln2﹣2． 【分析】（1）把a＝2代入，求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程． （2）求出导数，再按a≤0，0＜a＜1，a＝1，a＞1分类求出函数的单调区间． （3）由（2）的信息，求出函数f（x）的最大值，再由已知建立恒成立的不等式并分离参数，构造函数并利用导数求出最大值即可． 【解答】解：（1）当a＝2时，函数f（x）＝x2﹣3x+lnx，， 则f′（1）＝0，又f（1）＝﹣2， 所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣2． （2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），， 当a≤0时，由f′（x）＞0，得0＜x＜1；由f′（x）＜0，得x＞1， 函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减； 当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，得0＜x＜1或；由f′（x）＜0，得， 函数f（x）在上单调递增，在上单调递减； 当a＝1时，f′（x）≥0恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增； 当a＞1时，由f′（x）＞0，得或x＞1；由f′（x）＜0，得， 函数f（x）在上单调递增，在上单调递减， 综上所述：当a≤0时，函数f（x）的递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞）； 当0＜a＜1时，函数f（x）的递增区间为，递减区间为； 当a＝1时，函数f（x）的递增区间为（0，+∞）； 当a＞1时，函数f（x）的递增区间为，递减区间为． （3）由（2）知当a＜0时，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 则， 依题意，，即恒成立， 令函数，， 当a＜﹣2时，g′（a）＞0，g（a）单调递增；当﹣2＜a＜0时，g′（a）＜0，g（a）单调递减， 即g（a）max＝g（﹣2）＝ln2﹣2，因此b≥ln2﹣2， 所以b最小值为ln2﹣2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $