专题03 因式分解、分式混合运算14大题型培优突破（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材苏科版

**基本信息** 以因式分解与分式运算为核心，构建"方法-应用-创新"三阶训练体系，通过14类题型系统覆盖基础方法、综合应用及创新题型，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |因式分解方法|题型1/8/9/10（12题）|十字相乘法、分组分解法、配方法等进阶技巧|从提公因式/公式法到特殊方法，形成完整分解体系| |分式运算方法|题型2/4/5（11题）|化简求值步骤、裂项相消规律、规律探究思路|以分式性质为基础，逐步提升运算复杂度与技巧性| |综合应用|题型3/6/7/11-14（19题）|新定义问题转化、材料阅读迁移、实际问题建模|联结代数与几何（三角形形状判断）、数论（整除），体现应用意识|

专题03 因式分解、分式混合运算的培优突破 题型1因式分解、分式混合运算 题型8十字相乘法分解因式（难点） 题型2分式的化简求值问题（常考点） 题型9分组分解法分解因式 题型3与分式运算有关的新定义问题（重点） 题型10利用其它方法分解因式 题型4分式的裂项相消法运算（常考点） 题型11因式分解的应用（整除问题）（重点） 题型5与分式运算有关的规律探究问题 题型12因式分解的应用（化简问题） 题型6与分式运算有关的材料阅读类问题（重点） 题型13因式分解的应用（判断三角形形状）（常考点） 题型7因式分解在有理数简算中的应用 题型14利用因式分解解不等式（组）（难点） 题型一 因式分解、分式混合运算（共6小题） 1．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）分解因式： (1)； (2)． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）分解因式： (1) (2) 3．（25-26八年级下·河北张家口·期中）一次课堂练习，琪琪同学做了如下3道因式分解的题目． ①； ②； ③． (1)琪琪做错的或过程不完整的题目是_____（填序号）； (2)把你选出的（1）中题目的正确答案写在下面． 4．（25-26八年级下·重庆·期中）计算： (1)； (2)． 5．（25-26八年级下·河南南阳·期中）化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程： (1)甲同学解法的依据是___________，乙同学解法的依据是___________； (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 解：原式 解：原式 6．（25-26八年级下·甘肃天水·期中）上课时老师在黑板上书写了一个分式的正确化简结果，随后用手掌盖住了一部分，形式如下： (1)聪明的你请求出盖住部分的代数式； (2)当，等于何值时，原分式的值为5？ 题型二 分式的化简求值问题（共4小题） 7．（25-26八年级下·重庆·期中）先化简，再求值：，请从、0、1、2中选取一个合适的数作为的值代入并求值． 8．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）先化简，再求代数式的值，其中． 9．（25-26八年级下·河南周口·期中）已知分式，， (1)分式的值能否为0？若能，求出的值；若不能，请通过化简分式，说明理由． (2)请化简分式和，且当时，比较分式与的大小． 10．（25-26八年级下·河南周口·期中）小亮在作业本上看到一个化简题，但不小心被墨水遮住了原式的一部分： (1)小亮假设被遮住的式子是，请代入原式，先化简，再选取一个你喜欢的值代入求值（取值需使原式有意义）； (2)若这道题的答案是，则被遮住的式子应是什么？ 题型三 与分式运算有关的新定义问题（共4小题） 11．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）给出定义：若一个分式约分后分子是一个常数，分母是一个一次整式，则称这个分式为“好看分式”，例如，，则是“好看分式”．根据上述定义，解决问题． (1)分式、，其中是“好看分式”的是________． (2)①若分式（为常数且）是一个“好看分式”，求的值； ②若分式（为常数且）是一个“好看分式”，求的值； (3)若分式（、为常数且）是一个“好看分式”，且、都是正整数，直接写出的所有可能结果． 12．（24-25八年级下·福建福州·期中）定义1：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“阶分式”． 例如：，则分式与互为“3阶分式”． 定义2：若两个分式的和等于两个分式的积，即，那么就称分式与分式“互为友好分式”． 例如：分式与分式，因为，， 所以分式与分式“互为友好分式”． (1)分式与互为“______阶分式”． (2)分式与______互为“6阶分式”． (3)请通过计算判断分式与分式是不是“互为友好分式”？ 13．（24-25七年级下·浙江台州·期末）我们定义两种运算“”和“”，对于任意两个数，，有，． (1)因式分解：________； (2)若，求的值； (3)若，求，之间满足的数量关系． 14．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）【阅读材料】定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，．假分式可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式），如：． 【解决问题】 (1)将假分式化为带分式； (2)若的值为整数，求整数的值； 【拓展延伸】 (3)若，且、为正整数，求的值． 题型四 分式的裂项相消法运算（共3小题） 15．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）探究规律及应用 (1)【观察】；； 【猜想】若为正整数，请你猜想第个等式（用含的式子表示），并证明． (2)【拓展】 ①利用你发现的规律计算：； ②利用上述规律解答：若的值为，求n的值． 16．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）观察下列等式： ①； ②； ③； ．．． (1)根据以上规律写出第④个等式：___________； (2)用含字母（为正整数）的等式表示你发现的规律，并说明规律的正确性； (3)利用你发现的规律，计算：． 17．（24-25八年级下·宁夏中卫·期末）下面是按一定规律排列的一列等式： ①；②；③；④ (1)根据上面等式的规律补全等式：； (2)用含（为正整数）的式子表示上述第个等式：______； (3)请证明（2）中等式的正确性； (4)根据上述等式的规律，直接写出下面算式的计算结果： ． 题型五 与分式运算有关的规律探究问题（共4小题） 18．（25-26八年级上·山东淄博·期中）观察下列等式，根据其中的规律，猜想_______（用含的代数式表示）． 19．（2025·浙江杭州·模拟预测）按一定规律排列的一列数：，若表示这列数中的连续三个数，则满足的关系式是______． 20．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第4个等式：______； (2)试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明； (3)运用规律计算：． 21．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）《见微知著》中说到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 请观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并加以证明； (3)应用运算规律，计算： ． 题型六 与分式运算有关的材料阅读类问题（共4小题） 22．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察；整体设元；整体代入；整体求和等． 例如：，求证： 证明：左边 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”．很多类似问题和式子都满足以上特征． 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)若长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值； (4)若正数、满足，求的最小值． 23．（24-25八年级下·全国·课后作业）先阅读，再回答问题： 阅读：“要比较代数式A、B的大小，可以作差，比较差的取值．当时，有；当时，有；当时，有．”例如，当时，比较与的大小，可以观察．因为当时，，所以当时，． 当时，比较与的大小． 24．（22-23八年级下·山西临汾·月考）阅读与理解：阅读下列材料，完成后面的任务． 在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解：∵，∴，∴，∴． 任务：已知． (1)求的值． (2)求的值． 25．（25-26八年级上·福建莆田·期末）阅读材料：分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个不同单位分数之和，如：或．阅读下面拆分成几个不同单位分数之和的过程： 拆法一：设正整数满足：，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴∴∴． 拆法二：． (1)参考上述方法，直接写出拆分成几个不同单位分数相加的形式；（要求：写出三种拆分形式即可） (2)对于任意质数，将拆分成两个不同单位分数相加的形式． 题型七 因式分解在有理数简算中的应用（共4小题） 26．（25-26八年级下·江苏无锡·阶段检测）利用因式分解计算： (1)； (2)． 27．（25-26八年级上·山东威海·期末）利用因式分解计算：． 28．（2026八年级下·全国·专题练习）运用简便方法计算： (1)． (2)． (3) 29．（2026七年级下·全国·专题练习）计算：． 题型八 十字相乘法分解因式（共3小题） 30．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）将分解因式，我们可以按下面方法： ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”． 根据乘法原理：若，则或．所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得，所以原方程的解为，． 【解决问题】 (1)分解因式：（ ）（ ） (2)试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②． 31．（25-26八年级下·山东济南·期中）【阅读思考】 材料1：整式乘法与因式分解是相反的变形，如是整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 材料2：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“K”还原，得：原式． 请仔细阅读材料，回答下列问题： 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： __________________________ (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 32．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，大矩形是由三个小矩形和一个小正方形拼成的． (1)观察猜想： 请根据此图填空：（________）（________）． (2)说理验证： 事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （________）（________） （________）（________）． (3)迁移运用：请对下列多项式因式分解： ①填空：________； ②． 题型九 分组分解法分解因式（共3小题） 33．（25-26八年级上·山东临沂·期末）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组）（直接提公因式） 乙： （分成两组）（直接运用公式） 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，求式子的值． 34．（25-26八年级上·江西赣州·期末）阅读与思考： 分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例：“两两分组”： 解： 原式 例：“三一分组” 解：原式 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)因式分解： ； (2)已知，，是的三边长， 且满足．试判断的形状． 35．（25-26八年级上·重庆合川·期末）阅读下列材料：分解因式：． 方法一：原式； 方法二：原式． 对多项式进行因式分解，当不能提取公因式，也不能直接用公式法时，可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法分解因式． 请尝试利用材料中的方法分解因式： (1)； (2)． 题型十 利用其它方法分解因式（共3小题） 36．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且．则可以把因式分解成，例如： ①； ②． 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式． 上述解题用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 37．（24-25八年级上·四川泸州·期末）观察下列各式的计算结果与相乘的两个多项式之间的关系： ，， ， （1）你发现的规律是： ，并写出推理过程；类似地，你还可以得到如下规律： ； （2）用你发现的规律填空： ； ； ； ； （3）我们知道，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，请你尝试将下列多项式分解因式： ① ； ； ②拓展思考：把多项式分解因式． 38．（25-26八年级下·江苏常州·期中）对于二次三项式，可以直接用公式法分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使中的前两项与构成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，最后再用平方差公式进一步分解．于是．像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做配方法． (1)如果（   ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为 ； (2)用“配方法”分解因式：； (3)用“配方法”分解因式：． 题型十一 因式分解的应用（整除问题）（共3小题） 39．（2025·江苏扬州·一模）我们知道能被3整除的数的规律，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数就能被3整除． 例如，三位数108，，9可以被3整除，108就能被3整除． 【发现】将三位数去掉末尾数字得到两位数，再用减去的2倍所得的差为．若能被7整除，则三位数就能被7整除． 【验证】如，对于三位数364，，28可以被7整除，364就能被7整除． （1）用上述方法判断455能否被7整除？ 【探究】（2）请用含，，的代数式表示 ； （3）结合（2）论证“发现”中的结论正确． 【迁移】（4）下列结论正确的是 ．（填序号） ①在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ②在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ③在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； 40．（21-22八年级下·山东济南·期末）在小学，我们学习过能被3整除的数的规律，其实这个结论可以用因式分解的方法证明． (1)请你判断111222______（填能或不能）被3整除； (2)为什么可以用各数位上的数字之和判断一个数能不能被3整除呢？小明先选了一个能被3整除的四位数“1236”试着进行推理： ； ∵“”能被3整除， ∴当“”被3整除，原数就能被3整除． 现在，设是个四位数，其个位、十位、百位、千位上的数字分别是d，c，b，a，请你借鉴小明的思路，证明：若“”能被3整除，则能被3整除； (3)定义：一个自然数按从右往左的第1、3、5、7、…数位，我们称为奇位，按从右往左的第2、4、6、8、…数位，我们称为偶位．例如：一个四位数，其个位与百位即奇位，十位与千位为偶位．奇位和就是把所有位于奇位上的数字相加，偶位和就是把所有位于偶位上的数字相加．请证明，若的偶位和与奇位和的差是11的倍数，则能被11整除． 41．（24-25八年级下·江西九江·月考）追本溯源 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法，并完成题（2）． (1)两个连续的奇数的平方差能被8整除吗？为什么？ (2)①若k为任意整数，则的值总能________． A．被2整除    B．被3整除    C．被5整除    D．被7整除 ②必能被10和20之间某两个整数整除，求这两个数． 题型十二 因式分解的应用（化简问题）（共3小题） 42．（24-25八年级下·四川达州·期中）已知代数式． (1)化简A； (2)若，，求A的值． 43．（2023·河北石家庄·二模）已知，． (1)化简整式，并求时的值； (2)若． ①将因式分解； ②若为整数，直接写出整式能否被16整除． 44．（21-22八年级上·河南南阳·期中）先化简，再求值： []÷，其中． 题型十三 因式分解的应用（判断三角形形状）（共2小题） 45．（25-26九年级上·山东威海·期中）已知、、是三边的长． (1)若、、满足，试判断的形状，并说明理由； (2)若、、满足，试判断的形状，并说明理由． 46．（23-24八年级上·全国·课后作业）（1）的三边长满足等式，试判断的形状． （2）若的三边长为，，，且满足，试判断的形状． 题型十四 利用因式分解解不等式（组）（共2小题） 47．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）我们学习了一元一次不等式的解法，没有学习这样的一元二次不等式的解法．今天，一起来研究它的解法．解：原不等式可先化为，再化为，根据平方差公式最后化为，整理得．由“同号相乘得正”，可把原不等式化为不等式组①或不等式组②． 解不等式组①，得：解不等式组②，得．故原不等式的解集为或． (1)不等式：的解集是________． (2)请根据上面的解法解不等式：． 48．（25-26八年级下·广东佛山·期中）先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题： 例：解不等式． 解：， ∴原不等式可化为． 由有理数乘法法则：两数相乘，异号得负，得： ①，②． 解不等式组①得，解不等式组②无解， ∴原不等式的解集为． (1)不等式解集为______； (2)不等式解集为______； (3)解不等式． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 因式分解、分式混合运算的培优突破 题型1因式分解、分式混合运算 题型8十字相乘法分解因式（难点） 题型2分式的化简求值问题（常考点） 题型9分组分解法分解因式 题型3与分式运算有关的新定义问题（重点） 题型10利用其它方法分解因式 题型4分式的裂项相消法运算（常考点） 题型11因式分解的应用（整除问题）（重点） 题型5与分式运算有关的规律探究问题 题型12因式分解的应用（化简问题） 题型6与分式运算有关的材料阅读类问题（重点） 题型13因式分解的应用（判断三角形形状）（常考点） 题型7因式分解在有理数简算中的应用 题型14利用因式分解解不等式（组）（难点） 题型一 因式分解、分式混合运算（共6小题） 1．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 2．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式继续分解因式． （2）先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（25-26八年级下·河北张家口·期中）一次课堂练习，琪琪同学做了如下3道因式分解的题目． ①； ②； ③． (1)琪琪做错的或过程不完整的题目是_____（填序号）； (2)把你选出的（1）中题目的正确答案写在下面． 【答案】(1)②③ (2)； 【详解】（1）解：①； ②； ③， 故做错的或过程不完整的题目是②③． （2）解：； ． 4．（25-26八年级下·重庆·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】按照分式混合运算的顺序计算．先算乘方．再算乘除．有括号先计算括号内的．最后约分得到最简结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： 5．（25-26八年级下·河南南阳·期中）化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程： (1)甲同学解法的依据是___________，乙同学解法的依据是___________； (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 解：原式 解：原式 【答案】(1)分式的基本性质；乘法分配律； (2)见解析． 【分析】（1）根据两个同学的步骤分析即可； （2）选择一种解法，继续解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知甲同学第一步是通分，依据是分式的基本性质， 乙同学第一步是括号内的每一个分式乘以括号外的，依据是乘法分配律； （2）解：选择甲同学解答： 原式 ； 乙同学的解法： 原式 ． 6．（25-26八年级下·甘肃天水·期中）上课时老师在黑板上书写了一个分式的正确化简结果，随后用手掌盖住了一部分，形式如下： (1)聪明的你请求出盖住部分的代数式； (2)当，等于何值时，原分式的值为5？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据被减数、减数、差及因数与积的关系列式，然后化简分式求出盖住的部分即可； （2）根据时分式的值是5，得出关于y的方程，求解即可． 【详解】（1）解： ∴盖住部分化简后的结果为； （2）解：∵时，原分式的值为5，即， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， 所以当，时，原分式的值为5． 【点睛】本题考查了分式的混合运算及解分式方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． 题型二 分式的化简求值问题（共4小题） 7．（25-26八年级下·重庆·期中）先化简，再求值：，请从、0、1、2中选取一个合适的数作为的值代入并求值． 【答案】，时，原式 【详解】解：原式 ， ∵，， ， 当时， 原式 . 8．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】，． 【分析】根据分式的运算法则化简原式，再根据负整数指数幂和零指数幂的计算法则求出的值，代入化简后的式子计算即可得到结果． 【详解】解： ， ， ∴原式． 9．（25-26八年级下·河南周口·期中）已知分式，， (1)分式的值能否为0？若能，求出的值；若不能，请通过化简分式，说明理由． (2)请化简分式和，且当时，比较分式与的大小． 【答案】(1)的值不能为0，理由见解析 (2)，；当时， 【分析】（1）分式Q的值不能为0，化简后令，得到方程无解即可； （2）P与R化简后，把分别代入计算得到结果，比较即可． 【详解】（1）解：． 令，无解， 所以的值不能为0． （2）解：． ． 当时，，， 所以． 10．（25-26八年级下·河南周口·期中）小亮在作业本上看到一个化简题，但不小心被墨水遮住了原式的一部分： (1)小亮假设被遮住的式子是，请代入原式，先化简，再选取一个你喜欢的值代入求值（取值需使原式有意义）； (2)若这道题的答案是，则被遮住的式子应是什么？ 【答案】(1)，当时，原式（答案不唯一） (2) 【分析】（1）由题意得，然后按分式的运算顺序化简，再选取一个使原分式有意义的a的值代入化简后的式子进行计算即可解答； （2）由题意得，然后按分式的运算顺序计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ， ∵，， ∴，， ∴选取，原式； （2）解：由题意得： ， ． 题型三 与分式运算有关的新定义问题（共4小题） 11．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）给出定义：若一个分式约分后分子是一个常数，分母是一个一次整式，则称这个分式为“好看分式”，例如，，则是“好看分式”．根据上述定义，解决问题． (1)分式、，其中是“好看分式”的是________． (2)①若分式（为常数且）是一个“好看分式”，求的值； ②若分式（为常数且）是一个“好看分式”，求的值； (3)若分式（、为常数且）是一个“好看分式”，且、都是正整数，直接写出的所有可能结果． 【答案】(1) (2)①；② (3)1，2，3 【分析】本题主要考查了分式的约分，解题时要能根据所给新定义问题结合所学分式的知识进行化简是关键． （1）依据题意，由，分式分母无法在实数范围内分解，分子分母无公因式，无法约分为常数分子，进而可以判断得解； （2）①依据题意，分母分解：，结合题意分子需与分母中的或有公因式，从而，则，进而可以判断得解； ②依据题意，分母分解：需分解为，使常数项为，即，从而分母为，对应，即可判断得解； （3）依据题意，由分式分母分解：设，则，故需等于，即，从而此时分式化简为正整数解：①，则；②，则；③，则，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：∵， ∴，符合“好看分式”定义． 又 ∵分式分母无法在实数范围内分解，分子分母无公因式，无法约分为常数分子， ∴分式不符合“好看分式”定义． 故答案为：． （2）解：①由题意，分母分解：． 又 ∵分式为“好看分式”， ∴分子需与分母中的或有公因式． ∵，则， ∴此时分式化简为，符合定义． ∴． ②由题意，分母分解：需分解为，使常数项为，即， ∴分母为，对应． （3）解：由题意，∵分式分母分解： 设， 则． ∴需等于，即． ∴此时分式化简为， 正整数解： ①，则； ②，则 ； ③，则． ∴的可能值为． 12．（24-25八年级下·福建福州·期中）定义1：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“阶分式”． 例如：，则分式与互为“3阶分式”． 定义2：若两个分式的和等于两个分式的积，即，那么就称分式与分式“互为友好分式”． 例如：分式与分式，因为，， 所以分式与分式“互为友好分式”． (1)分式与互为“______阶分式”． (2)分式与______互为“6阶分式”． (3)请通过计算判断分式与分式是不是“互为友好分式”？ 【答案】(1)5 (2) (3)不是 【分析】本题考查了新定义，分式的加减以及分式的乘法运算． （1）把所给两个分式相加即可判断； （2）用6减去即可求解； （3）分别计算所给两个分式的和与差几颗判断． 【详解】（1）∵ ∴式与互为“5阶分式”． 故答案为：5； （2）由题意，得 故答案为：； （3）∵， ， ∴分式与分式不是“互为友好分式”． 13．（24-25七年级下·浙江台州·期末）我们定义两种运算“”和“”，对于任意两个数，，有，． (1)因式分解：________； (2)若，求的值； (3)若，求，之间满足的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了新定义运算，因式分解，分式的化简求值，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）仿照题干计算即可； （2）仿照题干计算得到，则，则因式分解为，得到，再代入进行分式的求值； （3）先由新定义计算得到，化简因式分解可得，则即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵ ∴， 即 ∴ （3）解：∵， ， 解得或． 14．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）【阅读材料】定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，．假分式可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式），如：． 【解决问题】 (1)将假分式化为带分式； (2)若的值为整数，求整数的值； 【拓展延伸】 (3)若，且、为正整数，求的值． 【答案】(1) (2)或1 (3)7 【分析】（1）仿照例题计算即可求解； （2）先化为带分式，根据分式的值为整数，得出为整式，进而求得的值； （3）法1：用含的式子表示出；法2：用含的式子表示出；进而同（2）的方法求解即可． 【详解】（1）解： （2）解：． ∴是整数，即或， ∴或1； （3）解：法1：， ∵、为正整数， ∴是正整数， ∴，解得：，则； 或，解得：（舍去）， ∴； 法2：， ∵、为正整数， ∴须为大于1的奇数， 又∵为正整数， ∴是的正约数， ∴，解得：，则， 或，解得：，则（舍去）， ∴． 题型四 分式的裂项相消法运算（共3小题） 15．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）探究规律及应用 (1)【观察】；； 【猜想】若为正整数，请你猜想第个等式（用含的式子表示），并证明． (2)【拓展】 ①利用你发现的规律计算：； ②利用上述规律解答：若的值为，求n的值． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①；②88 【分析】（1）由题意给的规律即可通过分式的减法进行证明； （2）①根据裂项，每项拆分为两个分数之差，将所有项相加，中间项相互抵消即可求解； ②根据题目的意思，裂项合并后，得到分式方程即可求解． 【详解】（1）解：第n个等式为：； 证明如下： ； （2）解：① ； ②∵ ， ∴， 解得， 经检验是分式方程的解， 的值为88． 16．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）观察下列等式： ①； ②； ③； ．．． (1)根据以上规律写出第④个等式：___________； (2)用含字母（为正整数）的等式表示你发现的规律，并说明规律的正确性； (3)利用你发现的规律，计算：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，列代数式，解答的关键是得出所给的数字的规律． （1）根据等式的规律写出第④个等式即可； （2）根据等式的规律写出第n个等式，把等式右边进行运算即可证明； （3）所求的式子变形为，利用发现的规律进行运算即可． 【详解】（1）解：第④个等式为：， 故答案为：． （2）解：①； ②； ③； ④； …… ∴第n个式子为：． 证明：∵右边左边， ∴成立． （3）解： ． 17．（24-25八年级下·宁夏中卫·期末）下面是按一定规律排列的一列等式： ①；②；③；④ (1)根据上面等式的规律补全等式：； (2)用含（为正整数）的式子表示上述第个等式：______； (3)请证明（2）中等式的正确性； (4)根据上述等式的规律，直接写出下面算式的计算结果： ． 【答案】(1)； (2) (3)证明见解析 (4) 【分析】本题考查规律性：数字的变化类， （1）通过给出的等式，发现：左边被减数的分母与右边第一个乘数相同，第二个乘数是第一个乘数加，减数的分母是被减数的分母加，减数与被减数的分子都是； （2）通过前几项的规律，用含的代数式表示第个等式； （3）将等式左边的式子通分并化简，再与等式右边的式子进行比较即可； （4）结合（2）的结论，将分式的和转化为连续项的差，利用抵消法简化计算； 解题的关键是找到规律，然后利用规律进行推理计算．也考查了分式的加减运算． 【详解】（1）解：∵等式左边被减数的分母为，则减数的分母为：，等式右边分母为， ∴等式为：， 故答案为：；； （2）根据给出的等式，发现规律：左边被减数的分母与右边第一个乘数相同，第二个乘数是第一个乘数加，减数的分母是被减数的分母加，减数与被减数的分子都是， ∴第个等式为：， 故答案为：； （3）证明：左边 ， ∴左边右边， ∴原等式成立； （4）解： ． 题型五 与分式运算有关的规律探究问题（共4小题） 18．（25-26八年级上·山东淄博·期中）观察下列等式，根据其中的规律，猜想_______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据已知数列的计算公式得出其循环周期是解题的关键．根据题意分别用含x的式子表示出、、、，从而得出数列的循环周期为3，据此即可得解答． 【详解】解：∵， ∴， ， ， …… ∴每3个数为一周期循环， ∵， ∴， 故答案为：． 19．（2025·浙江杭州·模拟预测）按一定规律排列的一列数：，若表示这列数中的连续三个数，则满足的关系式是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，同底数幂乘法计算，负整数指数幂，观察可得相邻三个数之间，前面两个数的指数之和等于最后面一个数的指数，据此可根据同底数幂乘法计算打得到． 【详解】解：由题意得，相邻三个数之间，前面两个数的指数之和等于最后面一个数的指数， 不妨设x、y、z的指数分别为a、b、c， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 20．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第4个等式：______； (2)试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明； (3)运用规律计算：． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3) 【分析】本题考查数字规律型，观察已知的式子总结规律是解题的关键． （1）观察题中的式子求解即可； （2）根据题中的等式进行归纳总结即可求解； （3）利用（2）中的规律，再裂项进行计算即可． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：； （2）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 第n个等式：； 左边， 右边 ， ∴左边右边； （3）解： ． 21．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）《见微知著》中说到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 请观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并加以证明； (3)应用运算规律，计算： ． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)1 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据题意得出第n个等式可表示为是解题的关键． （1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据（2）中的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …， 所以第n个等式可表示为：． 当时， 第7个等式为：． 故答案为：； （2）解：由（1）知， 第n个等式可表示为：． 证明如下： 左边右边， 所以此等式成立； （3）解：由（2）知， 当时， ， 所以， 则原式． 故答案为：1． 题型六 与分式运算有关的材料阅读类问题（共4小题） 22．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察；整体设元；整体代入；整体求和等． 例如：，求证： 证明：左边 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”．很多类似问题和式子都满足以上特征． 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)若长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值； (4)若正数、满足，求的最小值． 【答案】(1)1； (2)5； (3)12； (4)． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，读懂材料，理解题意并能运用是本题的关键． （1）将，代入式中可求值； （2）将代入可求解； （3）设此长方形的边长为a，b，则，由解答即可． （4）由，可得当取最小值时，M的值最小． 【详解】（1）解：， （2）解：，且， ， （3）解：设此长方形的边长为a，b，则， ，， ， 得，当且仅当时等号成立时，所以周长的最小值为12， （4）解：∵正数a，b满足 当时，有最小值，当且仅当时等号成立时， 则最小值为． 23．（24-25八年级下·全国·课后作业）先阅读，再回答问题： 阅读：“要比较代数式A、B的大小，可以作差，比较差的取值．当时，有；当时，有；当时，有．”例如，当时，比较与的大小，可以观察．因为当时，，所以当时，． 当时，比较与的大小． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算和代数式作差法比较大小，关键是运用相应的运算法则正确计算． 计算，先通分再加减得，再根据判断出，从而判断出结论． 【详解】 = = = ∵ ∴ ∴ ∴ 24．（22-23八年级下·山西临汾·月考）阅读与理解：阅读下列材料，完成后面的任务． 在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解：∵，∴，∴，∴． 任务：已知． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题主要考查了分式的性质，分式的化简求值，掌握分式的性质是解题的关键． （1）根据材料提示的倒数法计算即可求解； （2）根据材料提示的倒数法的方法计算即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，整理得，， ∴， ∵， ∴， ∴的值为． 25．（25-26八年级上·福建莆田·期末）阅读材料：分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个不同单位分数之和，如：或．阅读下面拆分成几个不同单位分数之和的过程： 拆法一：设正整数满足：，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴． 拆法二：． (1)参考上述方法，直接写出拆分成几个不同单位分数相加的形式；（要求：写出三种拆分形式即可） (2)对于任意质数，将拆分成两个不同单位分数相加的形式． 【答案】(1)，，； (2) 【分析】本题考查了分式规律性问题， 第一小题参考阅读材料中的拆法，通过解方程或选择乘数分解分子得到三种拆分形式； 第二小题仿照拆法一，利用因式分解推导出对于任意质数 的拆分公式． 【详解】（1）解：参考拆法一：设正整数满足：，则 ， 整理得 ， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴． 参考拆法二：选择分子分母同时乘 ，则 ，∵ ，且 均为 的因数，∴ ． 选择分子分母同时乘 ，则 ，∵ ，且 均为 的因数，∴ ， ∴ 可以拆分成为 ，，． （2）证明：设正整数满足 ， ∵ 为质数且 ， ∴， ∴ ∴， ∴ 的正因数对为 或 ，但， ∴ ，， ∴ 解得，． ∵ 为质数，∴ 为奇数， 为偶数， 和 均为整数． ∴ ． 题型七 因式分解在有理数简算中的应用（共4小题） 26．（25-26八年级下·江苏无锡·阶段检测）利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 27．（25-26八年级上·山东威海·期末）利用因式分解计算：． 【答案】 【分析】本题考查利用因式分解进行简算，利用平方差公式进行因式分解后，进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 28．（2026八年级下·全国·专题练习）运用简便方法计算： (1)． (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解的简便运算，涉及提取公因式、平方差公式、完全平方公式，掌握观察式子结构，通过提取公因式或凑乘法公式简化计算是解题的关键． （1）提取公因式，再用平方差公式因式分解简化计算． （2）将转化为，凑完全平方公式因式分解． （3）统一各项系数为，提取公因式后计算括号内的和． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 29．（2026七年级下·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确利用平方差公式进行因式分解． 利用平方差公式进行因式分解，再进行有理数的混合运算． 【详解】解： ． 题型八 十字相乘法分解因式（共3小题） 30．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）将分解因式，我们可以按下面方法： ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”． 根据乘法原理：若，则或．所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得，所以原方程的解为，． 【解决问题】 (1)分解因式：（ ）（ ） (2)试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②． 【答案】(1)1，4 (2)①，；②， 【分析】（1）根据十字相乘法分解即可； （2）根据十字相乘法求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①， ， ∴， ∴原方程的解为，； ②，     ， ∴， ∴原方程的解为，． 31．（25-26八年级下·山东济南·期中）【阅读思考】 材料1：整式乘法与因式分解是相反的变形，如是整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 材料2：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“K”还原，得：原式． 请仔细阅读材料，回答下列问题： 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： __________________________ (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）直接用十字相乘法分解二次三项式； （2）①将视为整体，用换元法转化为二次三项式，再用十字相乘法分解；②先对多项式整体换元，用十字相乘法分解后，再对分解结果中的二次三项式继续用十字相乘法或公式法分解． 【详解】（1）解： 中，常数项，一次项系数， ． （2）①解：令， 则原式 将还原，得 原式． ②解：令， 则原式 将还原，得： 原式 又 ，， 原式． 32．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，大矩形是由三个小矩形和一个小正方形拼成的． (1)观察猜想： 请根据此图填空：（________）（________）． (2)说理验证： 事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （________）（________） （________）（________）． (3)迁移运用：请对下列多项式因式分解： ①填空：________； ②． 【答案】(1)， (2)，，， (3)①；② 【分析】（1）根据等面积求解； （2）利用单项式乘多项式以及因式分解求解； （3）①利用代数方法变形因式分解； ②利用代数方法变形因式分解． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：①； ② ． 题型九 分组分解法分解因式（共3小题） 33．（25-26八年级上·山东临沂·期末）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组）（直接提公因式） 乙： （分成两组）（直接运用公式） 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，求式子的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查用分组分解法分解因式，分组分解时往往还要用到提公因式法和公式法，首先观察给出的多项式，将多项式进行适当的分组，使分成的各组中有公因式或可以用公式分解；然后要再用提公因式法或公式法进行分解，注意因式分解要分解到不能分解为止． （1）把前两项和第四项结合后利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式因式分解； （2）先对式子进行分组分解，把已知的两式相加得，最后整体代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵，， ∴， ∴原式． 34．（25-26八年级上·江西赣州·期末）阅读与思考： 分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例：“两两分组”： 解： 原式 例：“三一分组” 解：原式 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)因式分解： ； (2)已知，，是的三边长， 且满足．试判断的形状． 【答案】(1)①；② (2)是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了因式分解，三角形的三边关系，等腰三角形的定义，熟练掌握因式分解的方法是解题关键； （1）①两两分组进行因式分解；②三一分组进行因式分解； （2）移项后两两分组进行因式分解求得的关系即可． 【详解】（1）解：①原式 ； ②原式 ； （2）解：， ， ， ∴或， 即：或， ∴是等腰三角形． 35．（25-26八年级上·重庆合川·期末）阅读下列材料：分解因式：． 方法一：原式； 方法二：原式． 对多项式进行因式分解，当不能提取公因式，也不能直接用公式法时，可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法分解因式． 请尝试利用材料中的方法分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，掌握分组分解法是解题的关键． （）利用分组分解法解答即可； （）利用分组分解法解答即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十 利用其它方法分解因式（共3小题） 36．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且．则可以把因式分解成，例如： ①； ②． 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式． 上述解题用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】此题考查因式分解，将某多项式重新设定未知数，分解因式， （1）直接根据材料1，仿照例题即可求解； （2）①令，仿照例题即可求解； ②令，先计算乘法，再因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①令， 则原式， 所以； ②令， 则原式 ， 所以原式． 37．（24-25八年级上·四川泸州·期末）观察下列各式的计算结果与相乘的两个多项式之间的关系： ，， ， （1）你发现的规律是： ，并写出推理过程；类似地，你还可以得到如下规律： ； （2）用你发现的规律填空： ； ； ； ； （3）我们知道，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，请你尝试将下列多项式分解因式： ① ； ； ②拓展思考：把多项式分解因式． 【答案】（1），；（2）；；；；（3）①；；②． 【分析】本题考查了规律的探究，整式的运算，因式分解，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据多项式的乘法运算法则，仿照示例，可得到规律，根据所得到规律得； （2）根据（1）中的规律，即可求解； （3）①根据所得到的规律逆向运算，得到因式分解的结果， ②根据规律，分解因式即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ∴， 类似地，， 故答案为：，； （2）， ， ， ， 故答案为：；；；； （3）①； ； 故答案为：；； ② ． 38．（25-26八年级下·江苏常州·期中）对于二次三项式，可以直接用公式法分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使中的前两项与构成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，最后再用平方差公式进一步分解．于是．像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做配方法． (1)如果（   ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为 ； (2)用“配方法”分解因式：； (3)用“配方法”分解因式：． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）根据完全平方式的结构特征确定常数项； （2）按照题干给出的配方法，先凑出完全平方式，再利用平方差公式分解因式； （3）先提取公因式，利用配方法分解因式即可． 【详解】（1）解：设括号内的常数为， 由于是完全平方式， 则， 解得：， 因此，括号内的常数应为； （2）解： ； （3）解： ． 题型十一 因式分解的应用（整除问题）（共3小题） 39．（2025·江苏扬州·一模）我们知道能被3整除的数的规律，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数就能被3整除． 例如，三位数108，，9可以被3整除，108就能被3整除． 【发现】将三位数去掉末尾数字得到两位数，再用减去的2倍所得的差为．若能被7整除，则三位数就能被7整除． 【验证】如，对于三位数364，，28可以被7整除，364就能被7整除． （1）用上述方法判断455能否被7整除？ 【探究】（2）请用含，，的代数式表示 ； （3）结合（2）论证“发现”中的结论正确． 【迁移】（4）下列结论正确的是 ．（填序号） ①在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ②在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ③在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； 【答案】（1）455能被7整除；（2）；（3）见解析；（4）① 【分析】本题考查了数的整除、整式加减的应用、有理数的混合运算、列代数式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出，结合能够被整除即可得解； （2）根据题意表示出代数式即可； （3）由（2）可得，由题意可得（为整数），推出，表示出，即可得解； （4）仿照（3）的方式逐项分析即可得解． 【详解】解：（1）∵，能够被整除； ∴455能被7整除； （2）由题意可得：； （3）由（2）可得， ∵能被7整除， ∴（为整数）， ∴， ∴， ∴三位数能被7整除； （4）①， ∵是11的倍数， ∴（为整数）， ∴， ∴， ∴是11的倍数；故①正确； ②， ∵是11的倍数， ∴（为整数）， ∴， ∴，不一定是11的倍数，故②错误； ③， ∵是11的倍数， ∴（为整数）， ∴， ∴，不一定是11的倍数，故③错误； 综上所述，正确的是①． 40．（21-22八年级下·山东济南·期末）在小学，我们学习过能被3整除的数的规律，其实这个结论可以用因式分解的方法证明． (1)请你判断111222______（填能或不能）被3整除； (2)为什么可以用各数位上的数字之和判断一个数能不能被3整除呢？小明先选了一个能被3整除的四位数“1236”试着进行推理： ； ∵“”能被3整除， ∴当“”被3整除，原数就能被3整除． 现在，设是个四位数，其个位、十位、百位、千位上的数字分别是d，c，b，a，请你借鉴小明的思路，证明：若“”能被3整除，则能被3整除； (3)定义：一个自然数按从右往左的第1、3、5、7、…数位，我们称为奇位，按从右往左的第2、4、6、8、…数位，我们称为偶位．例如：一个四位数，其个位与百位即奇位，十位与千位为偶位．奇位和就是把所有位于奇位上的数字相加，偶位和就是把所有位于偶位上的数字相加．请证明，若的偶位和与奇位和的差是11的倍数，则能被11整除． 【答案】(1)能 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）将原数分解后判断即可； （2）仿照例题因式分解后得到3与某数相乘即可得到结论； （3）仿照（2）将原数分解因式，得到11与某数相乘即可得到结论． 【详解】（1）∵111222=111×100+111×2=111×102=111×3×34 ∴111222能被3整除， 故答案为：能； （2） = = = ∵能被3整除， ∴若“”能被3整除，则能被3整除． （3） = = = ∵能被11整除， ∴若“”能被11整除，即的偶位和与奇位和的差是11的倍数，则能被11整除． 【点睛】此题考查了因式分解的应用，正确掌握因式分解的方法及例题中的解题方法是解题的关键． 41．（24-25八年级下·江西九江·月考）追本溯源 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法，并完成题（2）． (1)两个连续的奇数的平方差能被8整除吗？为什么？ (2)①若k为任意整数，则的值总能________． A．被2整除    B．被3整除    C．被5整除    D．被7整除 ②必能被10和20之间某两个整数整除，求这两个数． 【答案】(1)两个连续的奇数的平方差能被8整除，理由见解析 (2)①C；②15和17 【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式、平方差公式． （1）设两个连续的奇数分别为和，m为任意整数，则两个连续的奇数的平方差为，利用完全平方公式展开，再合并同类项后得，即可得出结论； （2）①利用完全平方公式展开，再合并同类项后得，即可得出答案； ②利用平方差公式展开得，即可得出答案． 【详解】（1）解：两个连续的奇数的平方差能被8整除，理由如下： 设两个连续的奇数分别为和，m为任意整数， ， ∵m为任意整数， ∴是8的整数倍， 即两个连续的奇数的平方差能被8整除； （2）解：① ， ∵k为任意整数， ∴是整数， ∴的值总能被5整除， 故选：C； ② ， ∴这两个数是15和17． 题型十二 因式分解的应用（化简问题）（共3小题） 42．（24-25八年级下·四川达州·期中）已知代数式． (1)化简A； (2)若，，求A的值． 【答案】(1) (2)36 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，因式分解的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据去括号，合并同类项化简即可； （2）将A变形为，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ． 43．（2023·河北石家庄·二模）已知，． (1)化简整式，并求时的值； (2)若． ①将因式分解； ②若为整数，直接写出整式能否被16整除． 【答案】(1)， (2)①，②能 【分析】（1）去括号，合并同类项化简，后代入求值． （2）①运用先提取公因式，再套用公式分解即可． ②分为偶数和奇数分类证明即可． 【详解】（1） ． 当时原式． （2）①当，时， ． ②能，理由如下： 当为偶数时，设（k是整数）， 则， 故整式能被16整除． 当为奇数时，设（k是整数）， 则， 故整式能被16整除． 综上所述，整式能被16整除． 【点睛】本题考查了去括号，整式的加减，因式分解，整除，熟练掌握去括号，整式的加减，因式分解是解题的关键． 44．（21-22八年级上·河南南阳·期中）先化简，再求值： []÷，其中． 【答案】，-10 【分析】解法1：先将中括号里的提出来，再算中括号里的，最后进行计算即可得；解法2：先算出中括号里的各项，再将中括号里的公因式-8x提出来，进行计算即可得． 【详解】解法1：                          把代入上式，得原式．                 解法2： 原式 把代入上式，得原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握整式混合运算的运算法则． 题型十三 因式分解的应用（判断三角形形状）（共2小题） 45．（25-26九年级上·山东威海·期中）已知、、是三边的长． (1)若、、满足，试判断的形状，并说明理由； (2)若、、满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)等边三角形，理由见解析 (2)的形状是等腰三角形或直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，勾股定理逆定理，等边三角形的判定． （1）整理后得到，根据平方的非负性得到且，则，即为等边三角形； （2）整理后得到，分情况判断即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 且， ，即为等边三角形； （2）解：， ， ， ， 即或， 当即时，是直角三角形 当即时，是等腰三角形 综上所述：的形状是等腰三角形或直角三角形． 46．（23-24八年级上·全国·课后作业）（1）的三边长满足等式，试判断的形状． （2）若的三边长为，，，且满足，试判断的形状． 【答案】（1）为等腰三角形；（2）为等边三角形 【分析】（1）将等式移项为，再整理得，后两项提取公因式，再进行因式分解得到，根据可得，即可得出结论； （2）将等式整理为，根据完全平方公式得出，则，，，即可得出结论． 【详解】解：等式， 移项得， 整理得， 即， 分解因式得， 由，可得，即， 则为等腰三角形． （2）， ， ， ，，， ，，， ， 为等边三角形 【点睛】本题主要考查了因式分解，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，解题的关键是根据题意进行拆项，将原等式重新分组后进行因式分解． 题型十四 利用因式分解解不等式（组）（共2小题） 47．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）我们学习了一元一次不等式的解法，没有学习这样的一元二次不等式的解法．今天，一起来研究它的解法．解：原不等式可先化为，再化为，根据平方差公式最后化为，整理得．由“同号相乘得正”，可把原不等式化为不等式组①或不等式组②． 解不等式组①，得：解不等式组②，得．故原不等式的解集为或． (1)不等式：的解集是________． (2)请根据上面的解法解不等式：． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据有理数的乘法法则：“两数相乘，同号得正”，可得出不等式组，即可求出不等式的解集； （2）先把不等式整理为，根据有理数的乘法法则：“两数相乘，同号得正”，可得出不等式组，即可求出不等式的解集． 【详解】（1）解： ∴不等式可化为不等式组①或不等式组②， 解不等式组①得，， 解不等式组②得，， ∴不等式的解集为或． （2）解： ∴， ∴不等式可化为不等式组①或不等式组②， 解不等式组①得，， 解不等式组②得，， ∴不等式的解集为或． 48．（25-26八年级下·广东佛山·期中）先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题： 例：解不等式． 解：， ∴原不等式可化为． 由有理数乘法法则：两数相乘，异号得负，得： ①，②． 解不等式组①得，解不等式组②无解， ∴原不等式的解集为． (1)不等式解集为______； (2)不等式解集为______； (3)解不等式． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解，然后根据给定方法进行求解即可； （2）利用提公因式法进行因式分解，然后根据给定方法进行求解即可； （3）根据有理数的除法法则，异号得负，且除数不为0，对分子和分母的符号进行讨论，列出对应不等式组，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴原不等式可化为 ， 由有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，得 ①，②， 解不等式组①得，解不等式组②得， ∴原不等式的解集为或； （2）解：∵， ∴原不等式可化为 ， 由有理数乘法法则：两数相乘，异号得负，得 ①，②， 解不等式组①无解，解不等式组②得， ∴原不等式的解集为； （3）解：由有理数除法法则：两数相除，异号得负，且除数不为0，得 ①，②， 解不等式组①无解，解不等式组②，得， ∴原不等式的解集为． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $