专题01一元一次方程期末复习讲义(28大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年华东师大版七年级数学下册

专题01一元一次方程期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握方程、一元一次方程、方程的解等概念，能准确识别一元一次方程。 2.理解并活用等式基本性质，掌握方程变形依据。 3.熟记解一元一次方程的完整步骤，明晰每一步运算规则。 4.梳理常见应用题类型，掌握各类题型的等量关系。 1.熟练规范解方程，提升运算准确率，规避典型计算失误。 2.学会分析题意，精准挖掘题干中的等量关系。 3.掌握列方程解应用题的完整流程，初步形成数学建模思维。 4.能用方程思想解决生活中的实际问题。 1.选择、填空基础题稳拿分，概念辨析不出错。 2.解方程题型步骤完整、计算无误，格式规范。 3.熟练解答各类应用题，找准等量关系、正确列方程求解。 4.攻克含参数、变式拓展题型，减少审题、解题漏洞。 题型01.判断各式是否是方程 题型02.列方程 题型03.判断是否是方程的解 题型04.已知方程的解.求参数 题型05.等式性质1 题型06.等式性质2 题型07.判断是否是一元一次方程 题型08.判断是否是一元一次方程的解 题型09.合并同类项及移项 题型10.去括号 题型11.去分母 题型12.由一元一次方程的解,求参数 题型13.一元一次方程解的关系 题型14.绝对值方程 题型15.和差倍分问题 题型16.行程问题 题型17.销售盈亏问题 题型18.工程问题 题型19.配套问题 题型20.新定义运算 一、章节概述 本章是初中代数基础，分为解方程和列方程解应用题两大模块，计算与建模并重，是期末必考内容，也为后续方程、不等式、函数学习打基础。 知识点01:基础概念 1.方程：含有未知数的等式。 2.一元一次方程：只含一个未知数，未知数次数为 1，分母不含未知数的整式方程。标准形式：ax+b=0(a0) 3.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。 4.解方程：求方程解的全过程。 知识点02:等式的基本性质 分类 性质内容 易错警示 性质 1 等式两边同时加（减）同一个数或整式，等式仍成立 两边必须同时运算，不可只改动一侧 性质 2 等式两边同乘同一个数；或同除以不为 0的数，等式仍成立 除数不能为 0；去分母时所有项都要参与运算 知识点03:解一元一次方程（核心重点） 完整解题步骤及易错点 解题步骤 操作要求 高频易错点 1. 去分母 方程两边同乘所有分母的最小公倍数 常数项易漏乘公倍数 2. 去括号 依据乘法分配律展开括号 括号前为负号时，内部各项未全部变号；漏乘项 3. 移项 含未知数项移到左边，常数项移到右边 移项不变号；同侧交换位置错误变号 4. 合并同类项 化简为 ax=b 的形式 正负号运算出错 5. 系数化为 1 两边同时除以未知数的系数 分子分母颠倒、符号书写错 知识点04:含参数一元一次方程（选择、填空高频考点） 判定规则：形如 ax+b=0\的方程为一元一次方程⇔ a0 解题方法：已知方程的解求参数，直接将解代入原方程，转化为常规计算求解字母。 知识点05:列一元一次方程解应用题（期末大题重点） 1. 通用解题六步法（标准答题格式） 审（分析题意，找等量关系）→ 设（设未知数，分直接设、间接设）→ 列（根据等量关系列方程）→ 解（规范解方程）→ 验（检验结果是否符合实际）→ 答（完整书写答案） 2. 常考题型及等量关系 题型分类 核心公式 / 等量关系 备注 和差倍比问题 大数 = 小数 × 倍数 ± 差值 基础题型，理解数量关系即可 行程问题 路程 = 速度 × 时间 相遇：路程和 = 总路程 追及：路程差 = 初始距离 必考题型，注意行驶方向 利润销售问题 利润 = 售价−进价 利润率 =100% 售价 = 进价 ×(1 + 利润率) 期末高频大题 工程问题 工作总量=工作效率×工作时间常规设总工作量为 1 多人合作题型常考 配套问题 各部件数量比 = 题目规定的配套比 找准配比是关键 知识点06:全章高频易错点汇总 1.判定一元一次方程时，忽略 “分母不含未知数、未知数次数为 1” 两个条件； 2.解方程：去分母漏乘常数项、去括号变号错误、移项忘记变号； 3.系数化为 1 时，分子分母位置颠倒； 4.应用题审题不清，找不到等量关系，仍沿用算术思路解题； 5.解完应用题不检验，出现负数、非整数等不符合实际的结果。 题型01.判断各式是否是方程 1．下列式子属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查方程的定义，判断式子是否为方程需同时满足两个条件，一是含有未知数，二是等式，两个条件缺一不可，据此判断各选项即可. 【详解】解：含有未知数的等式叫做方程. ∵选项A 是等式，但不含未知数，∴A不符合要求； ∵选项B 含有未知数，但不是等式，∴B不符合要求； ∵选项C 含有未知数，但不是等式，属于不等式，∴C不符合要求； ∵选项D 是含有未知数的等式，符合方程的定义，∴D符合要求. 2．下列各式中，是方程的有__________．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了方程的判断， 根据方程的定义，含有未知数的等式称为方程，据此对各选项进行判断． 【详解】解：①是等式但不含未知数，不是方程； ②是等式且含未知数，是方程； ③不是等式，不是方程； ④是等式且含未知数，是方程， 所以正确的有②④． 故答案为：②④． 3．下列各式中，①；②；③；④；⑤，是方程的有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据含有未知数的等式叫做方程判断即可； 【详解】根据方程的定义可知：，是方程，有个． 题型02.列方程 4．代数式比代数式的值小，用方程表示为_______． 【答案】 【分析】根据题意找出等量关系，将题目中的文字描述转化为等式，代入对应代数式即可得到方程． 【详解】解：由题意可知，代数式比代数式的值小， 可得等量关系：等于减， 因此列方程得：． 5．根据图中给出的信息，可得正确的方程是______． 【答案】 【分析】此题主要考查了列一元一次方程，圆柱的体积公式，根据圆柱的体积公式得：左边一个圆柱形水瓶中水的体积为右边一个圆柱形水瓶中水的体积为，然后再根据两个水瓶里的水是同等体积列出方程即可，熟练掌握圆柱的体积公式是解决问题的关键． 【详解】解：∵大量筒的直径为，大量筒中水面的高为， ∴大量筒中水的体积为： ∵小量筒的直径为，小量筒中水面的高为 ∴小量筒的体积为：， ∵大小两个量筒中的水量相同， ， 故答案为：． 6．某数的3倍与5的差比这个数大9，设这个数为x，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设这个数为x， ∴， 故选：A ． 题型03.判断是否是方程的解 7．有一个方程的解为，则这个方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将依次代入各选项方程，验证方程左右两边是否相等，相等即为正确答案． 【详解】解：将代入选项A左边 ，右边， ，故A错误； 将代入选项B左边，右边，，故B错误； 将代入选项C左边 ，右边，左边右边，故C正确； 将代入选项D左边 ，右边，，故D错误． 8．已知代数式，当取一个值时，代数式对应的值如上表所示，则关于的方程的解为_____． 0 0.5 1 1 2 2.5 3 【答案】 【分析】本题考查方程的解，将方程两边同时除以2后，根据表格中数据，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 由表格可知，当时，， 故关于的方程的解为； 故答案为： 9．多项式和（为常数，）的值由的取值决定．下表是当取不同值时多项式对应的值．由此可知，关于的方程的解是（    ） 0 1 3 3 1 13 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的解，根据表格得出当时，，，即，从而得出方程的解． 【详解】解：由表格数据： 当 时，，，则，； ∴方程的解为， 故选：C． 题型04.已知方程的解.求参数 10．若是关于的分式方程的解，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题利用方程的解的定义解题，将已知解代入原分式方程，转化为关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵ 是分式方程 的解， ∴ 将 代入方程得 ，解得 ． 11．已知关于的方程（，为常数），无论为何值，它的解总是，则的值是______． 【答案】 17 【分析】将已知解代入原方程，整理为关于的等式，根据等式对任意恒成立，得到关于和的关系式，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：把代入方程得， 整理得， 因为无论为何值，方程的解总是，所以等式对任意恒成立， 因此， 解得：，， 将结果代入得． 12．解方程时，墨水把其中一个数字染成了，查阅答案方程的解为，则处的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程的解代入求参数即可． 【详解】 解：将代入原方程可得， 解得处的数为． 13．下图是苏科版教材七年级数学上册的部分内容． 求代数式的值，其中，． 卡通人物的话语中体现了“整体代换”的数学思想方法．“整体代换”能帮助我们把复杂的式子“打包”成一个整体，让运算变得简单清晰．请运用“整体代换”的思想方法解决以下问题． (1)解决上图中的问题； (2)当时，．当时，求代数式的值； (3)若关于的方程的解是，则关于的方程的解是______． 【答案】(1)代数式的值为； (2)代数式的值为； (3)． 【分析】本题主要考查了代数式求值，一元一次方程的解，根据已知条件进行整体代入法求解是解题的关键． （）把看成整体，利用合并同类项法则进行化简，然后把，代入即可； （）先求出，然后把代入，然后整体代入即可求解； （）由得，然后通过题意可得，从而求解． 【详解】（1）解： ， 当， 原式 ； （2）解：当时，， 整理得：， ∴当时， ， ； （3）解：由得， ∵关于的方程的解是， ∴关于的方程的解是， 解得：， 故答案为：． 题型05.等式性质1 14．解方程时，若要得到，应在方程两边同时（     ） A．加上3 B．减去3 C．加上 D．减去 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 移项的依据是等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立，据此判断变形过程即可． 【详解】解：由于原方程为， 根据等式的基本性质，等式两边同时减去 则左边得，右边得， 即变形后得到， 因此应在方程两边同时减去． 15．如果，，，那么的值为 _____． 【答案】12 【分析】设根据题意得到各图形之间的等量关系，利用等式代换，用x表示出★与□，再计算的值即可． 【详解】解：设 ∵， ∴， ∵，即， ∴． 16．下列变形，不正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】根据等式的基本性质，逐一分析判断各选项，即可解题． 【详解】解：根据等式的基本性质： ∵等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立，若，则， ∴A正确，不符合题意； ∵等式两边同时减去同一个数，等式仍然成立，如果，那么， ∴B正确，不符合题意； ∵若，时，无意义，等式不成立， ∴C错误，符合题意； ∵中分母为c，可得，等式两边同乘c，得， ∴D正确，不符合题意． 17．20个质量分别为1，2，3，…，19，20克的砝码放在天平两边，正好达到平衡． (1)试将砝码①，②，…，⑳（①，②，…分别代表1克，2克，…的砝码）分别放在天平两边，使之达到平衡，且可从每边各取下同样多的偶数个砝码，仍能使天平保持平衡 ； (2)试将砝码①，②，…，⑳（①，②，…分别代表1克，2克，…的砝码）分别放在天平两边，使之达到平衡，且从每边无论怎样取下同样多个砝码，都不能再使天平保持平衡 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等式的性质1．弄清天平两边正好达到平衡，每边的质量和为105克是解题的关键． （1）将砝码①，③，…，⑳放在天平一边，砝码②，④，…，19克放在天平另一边，根据等式的基本性质：①等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立，两边每次取质量和为21克的偶数个砝码即可； （2）将砝码①，②，…，14克放在天平一边，砝码15克，16克，17克，18克，19克，⑳放在天平另一边，根据等式的基本性质：①等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立，从每边无论怎样取下同样多个砝码，都不能再使天平保持平衡． 【详解】（1）解：天平一边是砝码①，③，…，⑳，天平另一边是砝码②，④，…，19克，两边每次取质量和为21克的偶数个砝码； （2）解：天平一边是砝码①，②，…，14克，天平另一边是砝码15克，16克，17克，18克，19克，20克，从每边无论怎样取下同样多个砝码，都不能再使天平保持平衡． 题型06.等式性质2. 18．根据等式的性质，下列变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】解：A选项，若，等式两边同除以得，∴A错误，不符合题意； B选项，若，等式两边同乘以得，∴B错误，不符合题意； C选项，若，则，不一定满足，∴C错误，不符合题意； D选项，若，分式有意义可推出，等式两边同乘以得，∴D正确，符合题意． 19．如图，将规格相同但重量不同的三种积木、、置于等臂天平两侧．若天平在图①所示的情况下处于平衡状态，则对图②、图③中天平的状态判断正确的是____（填序号）． 【答案】② 【分析】通过设未知数将天平平衡转化为等式，再利用等式性质验证图②、图③的平衡状态． 【详解】 解：设积木为，为，为， 据图①可知，当，即，则天平保持平衡； 图②左边重量为，右边重量为，由可得，所以天平处于平衡状态， 图③左边重量为，右边重量为，由图①可得，故天平不是平衡状态． 20．下列利用等式的基本性质变形，错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，等式的性质：性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．需根据等式的两条基本性质对每个选项逐一分析判断． 【详解】解：A、由两边除以，得，A选项变形正确，不符合题意； B、，即，由两边乘，得，B选项变形正确，不符合题意； C、由两边减6，得，C选项变形正确，不符合题意； D、当时，成立，但此时，故由直接得出是错误的，D选项变形错误，符合题意． 故选：D． 21．请判断下列各式的变形是否正确，并说明理由． (1)如果，那么． (2)如果，那么． (3)如果，那么． (4)如果，那么． 【答案】(1)错误 (2)错误 (3)错误 (4)正确 【分析】本题考查了等式的性质，需要注意除数不能为零． （1）根据等式的性质2判断即可； （2）根据等式的性质1判断即可； （3）根据等式的性质2判断即可； （4）根据等式的性质1判断即可． 【详解】（1）解：错误，理由是： 已知， 如果，则两边同时除以，得， 但如果，则且，此时和可以是任意值，不一定相等， 因此，变形不一定正确，故错误； （2）解：错误，理由是： 已知， 两边同时加上，得，即， 除非，否则， 因此，变形不一定正确，故错误； （3）解：错误，理由是： 已知， 如果，则两边同时除以，得， 但如果，则分母为零，无意义， 因此，变形不一定正确，故错误； （4）解：正确，理由是： 已知， ∵， ∴， ∴， 因此，变形正确，故正确． 题型07.判断是否是一元一次方程 22．下列各式中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，含有2次项，不是一元一次方程； B、，不是等式，不是一元一次方程； C、，含有两个未知数，不是一元一次方程； D、，是一元一次方程. 23．已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义，可得未知数的次数为1，且未知数的系数不为0，据此列出关于m的等式和不等式，求解即可得到m的值． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴， ∴， ， ∴． 24．下列各式；；；中，是一元一次方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：由一元一次方程的定义可得，只有是一元一次方程． 题型08.判断是否是一元一次方程的解 25．下列方程中，解为的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：，移项得，系数化为1得，不符合要求； 选项B：，移项得，系数化为1得，不符合要求； 选项C：，两边同乘3得，移项得，系数化为1得，符合要求； 选项D：，移项得，系数化为1得，不符合要求． 26．已知是一元一次方程的解，则的值为（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的解、代数式求值，理解方程的解满足方程是解答的关键． 将代入方程得到，再提取公因式2即可求解 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即， ∴， ∴． 故选：A． 27．若是关于的一元一次方程的解，则的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，代数式求值，先把是代入方程得，再将代数式变形得，然后代入计算即可，掌握方程的解，代数式求值是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴，即， ∴ ， 故答案为：． 题型09.合并同类项及移项 28．若代数式的值为5，则等于（     ） A．6 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】解：∵代数式的值为， ∴ ， 移项得， 解得． 29．若，且，则关于x的一元一次方程的解是______． 【答案】 【分析】先根据，判断异号，求出的值，再将代入给定的一元一次方程求解即可． 【详解】解：， 异号， 分两种情况讨论， 当时， ， 当时， ， 综上可得， 将代入原方程得，， 移项，合并同类项得，， 系数化为得，． 30．方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等号左边可变形为，通过裂项相消进行化简，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 解得． 31．解一元一次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：． 32．解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． （1）分母先化为整数，然后根据去分母，去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤求解即可； （2）根据去括号、去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤求解即可． 【详解】（1）解：分母化为整数，得， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：去括号，得． 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 题型10.去括号 33．老师在黑板上写有这样一个式子：，则“”所表示的数为________． 【答案】9 【分析】将看作未知数，按照解一元一次方程的步骤求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 34．已知关于的方程和的解相同，则的值为__________． 【答案】 【分析】先解第一个方程求出 的值，再代入第二个方程求解 的值．本题考查了同解方程，一元一次方程的求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：解方程 ， 移项得 ， 即 ， 解得 ． 将 代入方程 ， 得 ， 展开得 ， 即 ， 移项得 ， 即 ， 解得 ． 故答案为：． 35．，若，则的值为（     ） A． B．1 C．1或 D． 【答案】A 【分析】本题为定义新运算题，需根据新运算的分段规则，按和3的大小关系分情况讨论，代入对应公式解方程后，检验解是否满足前提条件，舍去不符合的解即可得到结果． 【详解】解：根据新运算规则，分两种情况讨论： 当，即时， 此时， ∴， 解得， ∵不满足，∴舍去该解； 当，即时， ∵此时， ∴， 整理得， 解得， ∵满足， ∴是符合条件的解． 综上，的值为． 36．计算或解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： ， ， 解得：； （4）解： ， 解得：． 题型11.去分母 37．方程的解为________． 【答案】3 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 38．下列解方程中变形步骤正确的有（     ） ①由得：；②由去分母得：； ③由去括号得 ：；④由得：． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据一元一次方程变形的移项、去分母、去括号、系数化为1的规则，逐一判断每个变形的正确性． 【详解】解：①对移项，正确结果应为，题目变形错误； ②对去分母，两边同乘得 ，整理得 ，题目变形错误； ③对去括号，正确结果应为，题目变形错误； ④ 对系数化为，得，题目变形错误； 综上，正确的变形共有个． 39．已知关于x的方程的解是整数，则符合条件的所有整数a的和为_____． 【答案】8 【分析】先把a看成已知，解关于x的一元一次方程即可用含a的代数式表示出x，然后根据方程的解是整数、a是整数可得符合题意的a的值，进而可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 当，即时，方程的解为x， ∵关于x的方程的解是整数，a为整数， ∴或或或， ∴或或或， ∴符合条件的所有整数a的和为． 40．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 题型12.由一元一次方程的解,求参数 41．已知关于的方程的解与方程的解相同，则的值为________． 【答案】 【分析】根据同解方程即两个方程的解相同，先求解不含参数的方程得到x的值，再将x代入含参数的方程，即可求出参数m的值． 【详解】解：解方程， 解得 ． 解方程， 解得 ． 两个方程的解相同， ，解得 ． 42．若关于的方程的解是负整数，且也是整数，则满足条件的所有的值为_________． 【答案】， 【分析】先解关于的一元一次方程，用含的代数式表示出，根据方程的解是负整数，为整数，可知是的负因数，进而求出所有满足条件的的值． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项合并同类项，得 解得 方程的解是负整数，是整数 是的负因数，即或 当时， 解得，符合题意 当时， 解得，符合题意 故满足条件的所有的值为，． 43．小明在解方程去括号时，忘记将括号中的第二项变号，求得方程的解为，那么方程正确的解为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目给出小明在解方程时犯了一个常见的符号错误：去括号时没有改变括号内第二项的符号．我们可以通过他错误的解反推出参数的值，然后将代入原方程，正确解出方程的解．关键在于理解错误操作下的方程形式，并据此建立等式求出． 【详解】解：因此他的错误方程为： ． 代入错误解， 解得： 代入原方程： 即： 解得： 44．已知代数式，，解答下列问题： (1)若，则为何值时，代数式与相等？ (2)若关于的方程的解使得，两个代数式的值互为相反数，求的值． 【答案】(1)的值为8时，这两个代数式的值相等 (2)的值为9 【分析】（1）根据题意，列出方程，即可求解； （2）先解出关于x的方程，再根据关于x的方程的解使得，两个代数式的值互为相反数，可得到关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得． 解这个方程，得．             答：的值为8时，这两个代数式的值相等． （2）解：解方程，得．             由代数式和的值互为相反数，得：．    将代入上式中，得 ．         解这个方程，得．             答：的值为9． 题型13.一元一次方程解的关系 45．若关于x的方程与的解相同，则___________． 【答案】1 【分析】先求解方程得到的值，再将该值代入方程，转化为关于的一元一次方程，进而求解的值. 【详解】解：解方程，得， 把代入， 得， 即， 解得. 46．若关于x的一元一次方程的解为，则关于t的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，利用换元思想，将待求解的方程变形为与已知方程结构相同的形式，再利用已知方程的解求解． 【详解】解：整理待求解方程， 移项得， 将变形为，代入得： ， 移项整理得：， 设，则该方程与已知方程结构相同， ∵已知方程的解为， ∴， 解得． 47．定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“美好方程”，例如：方程和为“美好方程”．若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，那么关于y的一元一次方程的解为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法及新定义“美好方程”的应用．先解出方程的解，利用“美好方程”的定义求出另一个方程的解；再将关于的方程变形为与该方程同形式的方程，通过换元法求出的值． 【详解】解：，得， ∵两方程为“美好方程”， ∴的解为 将关于的方程 整理为， 令，则方程为，此方程与形式相同，其解为， 即，解得． 故答案为：． 48．已知关于的一元一次方程的解与关于的一元一次方程的解互为相反数，求代数式的值． 【答案】 【分析】先分别解出两个一元一次方程，用、表示方程的解，根据解互为相反数得到、的关系式，再整体代入代数式计算即可． 【详解】解：， 移项得， 解得， ， 去分母得， 展开整理得， 解得， 两个方程的解互为相反数， ，即， 去分母得， 整理得， 两边同除以得， ． 题型14.绝对值方程 49．已知，，则n的值为__________ ． 【答案】或 【分析】先根据绝对值的性质求出m的所有可能值，再将m代入已知等式求解n即可． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，将m代入得：， 解得， 当时，将m代入得：， 解得 综上，n的值为或． 50．若实数a，b同时满足，，则的值为_____． 【答案】 【分析】先理解题意，结合，得出，又因为，故，则，再进行分类讨论，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 当时，则，整理得， ∴， 解得， ∴， ∴． 当时， ∵， ∴ 则，此为矛盾，此种情况不成立，舍去． ∴的值为． 51．关于的方程恰好有三个根，则实数的值为（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查含绝对值的方程，通过分析方程的解的情况，根据绝对值方程的性质，讨论参数的取值对根数量的影响． 【详解】解：由题意得， ∴， ∵方程恰好有三个根， ∴或， 当时，原方程化为或。 方程无解，方程有一解，故原方程只有1个根，不合题意； 当时，原方程化为或。 由得或；由得，故原方程有3个根，符合题意； 综上，， 故选：D． 52．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了解含绝对值的一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． （1）根据题意，分类讨论当时，当时，化简原方程求解即可； （2）根据题意，分类讨论当时，当时，当时，化简原方程求解即可． 【详解】（1）解：， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上，或； （2）解：， 当时，， 解得（不合题意，舍去）， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上，或． 53．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查的是含有绝对值符号的一元一次方程的解法．根据绝对值的性质分几种情况进行简化方程解答即可． 先找零点，为，再分段去绝对值． 【详解】解：当时， 原方程可化为：， 解得：，不符合题意，舍去； 当时， 原方程可化为：， 解得：，不符合题意，舍去， 当时， 原方程可化为：， 解得：x取的实数； 当时， 原方程可化为：， 解得：．不符合题意，舍去， 综上：． 题型15.和差倍分问题 54．为保障中国空间站的常态化运行，天舟系列货运飞船需为空间站（或空间实验室）运输补给物资和载荷、补加推进剂等．在一次补给任务中，运送物资中包含饮用水和食品．若每箱饮用水质量为20千克，每箱食品质量为30千克，此部分物资总质量为480千克．运送的饮用水箱数比食品箱数多4箱，则饮用水和食品各有多少箱？ 【答案】饮用水有12箱，食品有8箱 【分析】设食品有箱，则饮用水有箱，根据物资总质量为480千克列方程并解方程即可． 【详解】解：设食品有箱，则饮用水有箱， 由题可列， 整理得， 解得， ∴（箱）， 答：饮用水有12箱，食品有8箱． 55．自年月日起，我国开始实施《公共机构电动汽车充电基础设施配置及运行指南》（以下简称“指南”），“指南”要求公共机构充电车位配建比例宜不低于整体车位的．为解决某社区停车难问题，社区居委会联合相关部门划定一块面积为的公共停车场，需规划普通车位和充电车位，每个车位面积包含实际停车使用面积和公共通道分摊面积，其中充电车位另含充电桩占地面积．已知平均每个普通车位占地面积为，平均每个充电车位占地面积为，普通车位数量比充电车位数量的倍多个．判断充电车位数量是否满足“指南”要求，并说明理由． 【答案】解：满足，理由如下： 设充电车位的数量为x个，普通车位的数量为个， 则， 解得， 则， 所以车位的总数为． ∵且， ∴充电车位数量满足“指南”要求． 【分析】设充电车位的数量为x个，根据“平均每个普通车位占地面积为，平均每个充电车位占地面积为”求出充电车位和普通车位的个数，再求出充电车位配建比例即可． 【详解】略 56．幼儿园将一批水果分给大、中、小和小托四个班，先将全部水果的再减去千克给大班；再把余下的加上千克给中班；又把余下的一半给小班；最后把剩下的一半加上千克给小托班，这时幼儿园还剩6千克水果，则这批水果有多少千克？ 【答案】 【分析】设这批水果有千克，根据题意，逐步计算分给大班、中班、小班、小托班水果重量及剩下水果重量，再列方程求解即可． 【详解】解：设这批水果有千克， 所以分给大班千克，剩下千克， 分给中班千克，剩下千克， 分给小班千克，剩下千克， 分给小托班千克，剩下千克， ，解得， 答：这批水果有千克． 题型16.行程问题 57．为备战济宁马拉松比赛，小彬和小强每天坚持在学校的环形跑道上跑步，小彬每秒跑，小强每秒跑．如果两人在跑道上相距处，同时“背对背”出发，那么经过多少秒两人首次相遇？ 【答案】 【分析】设经过两人首次相遇，两人在跑道上相距处，同时“背对背”出发，方向相反，相对速度为速度之和，首次相遇时，总路程等于跑道周长减去，即可列出方程进行求解． 【详解】解：设经过两人首次相遇， 根据题意，得， 解得． 答：经过两人首次相遇． 58．今年五一假期期间，甲、乙两人从同一地点出发，前往距离出发点的新甫山景区旅游．甲骑自行车以的速度先出发，30分钟后，乙骑摩托车以的速度追赶甲．乙到达景区后立即返回，在返回途中与甲相遇．问：从开始出发到两人相遇，共经过了多长时间？ 【答案】从开始出发到两人相遇，共经过了小时 【分析】设从开始出发到两人相遇共经过了小时，根据“乙到达景区后立即返回，在返回途中与甲相遇”可知两人总的行驶路程，进而列方程求解即可． 【详解】解：设从开始出发到两人相遇共经过了小时． ∵乙到达景区后立即返回，在返回途中与甲相遇， ∴两人总的行驶路程， 因此可列方程：， 解得， 答：从开始出发到两人相遇，共经过了小时． 59．甲、乙两人设计了一个移动游戏： 游戏方式制定：如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和5的位置上，沿数轴做移动游戏．裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动． 移动规则制定：①若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位； ②若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位； ③若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位． 游戏中的数学思考： (1)经过第一次移动游戏，甲、乙两人相距 个单位； (2)从如图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错，且乙最终停留的位置对应的数为，求甲、乙两人分别猜对了几次？ (3)从如图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现有3次是甲、乙都猜对了，甲、乙共猜对了12次，甲最终停留的位置对应的数为1，求甲、乙两人分别猜对了几次？ 【答案】(1)6； (2)甲猜对了5次，乙猜对了5次； (3)甲猜对了5次，乙猜对了7次． 【分析】（1）利用规则分别求出甲对乙错、甲错乙对、甲乙都对或都错，两人相距的单位数，由此可得结论； （2）根据题意设乙猜对n次，则甲猜对次，利用平移规则列出方程并求解，即可推算出结果； （3）根据题意设甲猜对x次，则甲猜错次，乙猜对次，乙猜错(次)，再根据甲、乙都猜对3次，得出甲对乙错次，甲错乙对次，都错(次)，最后，再按照甲的平移规则及最终位置列出方程并解出即可． 【详解】（1）解：①若甲对乙错，则甲移动后的点表示的数为，则乙移动后的点表示的数为，此时，甲、乙两人相距 (个)单位； ②若甲错乙对，则甲移动后的点表示的数为，则乙移动后的点表示的数为，此时，甲、乙两人相距 (个)单位； ③若都对或都错，则甲移动后的点表示的数为，则乙移动后的点表示的数为，此时，甲、乙两人相距 (个)单位； 综上，经过第一次移动游戏，甲、乙两人相距6个单位； （2）解：由题意设乙猜对n次，则乙猜错次， 则有：，解得， ∴(次)， ∴甲猜对了5次，乙猜对了5次； （3）解：根据题意设甲猜对x次，则甲猜错次，乙猜对次，乙猜错(次) ． ∵甲、乙都猜对3次， ∴甲对乙错次，甲错乙对次，都错(次)， ∴，解得，则 (次)， ∴甲猜对了5次，乙猜对了7次． 【点睛】解题的关键是充分理解题意找出平移规则，按照平移规则及次数逐个分析，最后，列出方程解出即可． 题型17.销售盈亏问题 60．3月14日国际数学日（节），我校数学学科组筹办脑力闯关游园会，需统一采购用具，其中传统解锁益智九连环每套30元，竞速三阶魔方每套35元．本次采购传统解锁益智九连环比竞速三阶魔方的套数少2套，共花费1240元．此次活动中传统解锁益智九连环和竞速三阶魔方各采购了多少套？ 【答案】此次活动中传统解锁益智九连环采购了18套，竞速三阶魔方采购了20套． 【分析】设购买竞速三阶魔方套，则采购传统解锁益智九连环套，然后列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设购买竞速三阶魔方套，则采购传统解锁益智九连环套，根据题意得， 解得， （套） 答：此次活动中传统解锁益智九连环采购了18套，竞速三阶魔方采购了20套． 61．某商家在一次促销活动中，将A品牌服装按成本价加价作为标价，又以8折（即按标价的）优惠卖出，结果每件服装仍可获利15元．求该品牌服装每件成本为多少元？ 【答案】 125元 【分析】设该品牌服装每件成本为元，根据题意，列出一元一次方程，进行求解即可. 【详解】 解 设该品牌服装每件成本为元，按成本价加价后的标价为元，8折优惠卖出的售价为元， 由题意得， 解得， 答：该品牌服装每件成本为125（元）. 62．2021年元旦节临近，铜梁掀起购物狂潮，现有甲，乙、丙三个商场开展的促销活动如下表所示： 商场 优惠活动 甲 全场按标价的6折销售 乙 实行“满100元送100元的购物券”的优惠，购物券可以在再购买时冲抵现金比如：顾客购衣服220元，赠券200元，再购买裤子时可冲抵现金，不再送券） 丙 实行“满100元减50元的优惠”（比如，某顾客购物220元，他只需付款120元） 根据以上活动信息，解决以下问题： (1)三个商场同时出售一件标价290元的上衣和一条标价270元的裤子，王阿姨想买这一套衣服，她应该选择哪家商场？完成下表后就可以做出选择 商场 甲商场 乙商场 丙商场 实际付款（元） (2)黄先生发现在甲、乙商场同时出售一件标价380元的上衣和一条标价300多元的裤子，最后付款也一样，请问这条裤子的标价是多少元？ (3)丙商场又推出“先打折”，“再满100元减50元”的活动，张先生购买了一件标价为620元的上衣，张先生发现比不打折只参加“再满100元减50元”的活动还多付19元钱，问丙商场先打了多少折后再参加活动． 【答案】(1)表格见解析，选择丙商场最实惠 (2)这条裤子的标价为370元 (3)丙商场先打了9.5折后再参加活动 【分析】（1）按照不同的优惠方案算出实际花的钱数，再比较得出答案即可； （2）设这条裤子的标价为x元，按照优惠方案算出实际付款数，根据付款额一样，列方程求解即可； （3）先设丙商场先打了n折后再参加活动，根据打折后比没打折前多付了19元钱，列方程求解． 【详解】（1）解：选甲商场需付费用为（元）； 选乙商场需付费用为（元）； 选丙商场需付费用为（元）． 表格如下： 商场 甲商场 乙商场 丙商场 实际付款（元） ∵， ∴选择丙商场最实惠； （2）解：设这条裤子的标价为x元， 根据题意得：， 解得：， 答：这条裤子的标价为370元； （3）解：设丙商场先打了n折后再参加活动，则打折后的价格小于600元，不小于500元， 根据题意得：， 解得， 答：丙商场先打了9.5折后再参加活动． 题型18.工程问题 63．课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只写了“学校校办厂需要制作一块广告牌，请来两名工人，已知师傅单独完成需天，徒弟单独完成需天，”就因校长叫他听一个电话而离开了教室． (1)请你把题目补充完整并作出解答； (2)若先由徒弟做天，再两人合作，完成任务后共得到报酬元，如果按各人的工作量计算报酬，那么应如何分配？ 【答案】(1)见解析 (2)师傅徒弟每人均应得元 【分析】（1）补充“两人合作需要几天完成？”，设需要天可以完成，列出一元一次方程，进而求出的值； （2）徒弟先做一天，可求出第一天徒弟做了总工作量的，剩下了由徒弟与师傅共同完成，设徒弟师傅还需天完成剩余的，列出一元一次方程，进而求出的值，然后按工作量比例分配报酬即可． 【详解】（1）解：补充：问两人合作需要几天完成？ 设两人合作需天完成， ∵师傅单独完成需天，徒弟单独完成需天， ∴， 解得：， 答：两人合作需要天可完成． （2）解：设徒弟先做天后，师傅徒弟一起还要天能完成剩余工作量， ∵师傅单独完成需天，徒弟单独完成需天 ∴， 解得：， ∴徒弟共完成总工作量的，报酬为（元）； 师傅完成总工作量的，报酬为（元）． 答：师傅徒弟每人均应得元． 64．为打造智慧校园，学校安排小辰和小泽共同完成智能导览地图的点位标注工作．若小辰单独完成全部标注，需要6小时；若小泽单独完成，需要3小时．工作时，小辰先单独做了一段时间，之后去协助调试导览机器人，剩下的任务由小泽单独做完．从开始到完成全部任务，一共用了4小时．求小辰参与标注的时间是多少小时？ 【答案】2小时 【分析】设小辰参与标注的时间是x小时，依题意，列出一元一次方程，求出x的值即可． 【详解】解：设小辰参与标注的时间是x小时，依题意，得 ， 解得， 答：小辰参与标注的时间是2小时． 65．某科技公司要生产一批智能手表，计划由A、B两个工厂负责生产．已知A厂每天能生产12件，B厂每天能生产18件，A厂单独生产比B厂单独生产要多用15天． (1)求这批智能手表共有多少件？ (2)若A、B两厂生产一段时间后，A厂停止生产智能手表去为该公司生产其他产品，剩下的智能手表生产任务全部由B厂单独完成，经核算，B厂需将每天的生产件数提高．任务完成时，B厂生产智能手表的全部工作时间正好比A厂生产智能手表的时间的2倍多3天，求B厂生产智能手表共用多少天？ (3)如果在生产智能手表过程中，公司每天需要付给A厂100元，付给B厂150元，另外，每个工厂需要配备一名工程师进行生产技术指导，并由公司提供每天15元的午餐补助费． 经公司研究，拟定如下三种生产方案： 方案一，由A厂单独完成； 方案二，由B厂单独完成； 方案三，按（2）问方式完成． 请你通过计算，帮公司选择一种既省时又省钱的生产方案． 【答案】(1)540件 (2)21天 (3)选方案三 【分析】（1）设这批智能手表共有x件，根据“A厂单独生产比B厂单独生产要多用15天”列出一元一次方程，解方程即可求解； （2）设A厂工作y天，则B厂工作天，根据题意列一元一次方程，解方程即可求解； （3）应分为三种情况讨论：①由A厂单独完成；②由B厂单独完成；③按（2）问方式完成，分别比较三种情况下，所耗时间和花费金额，求出既省钱，又省时间的加工方案． 【详解】（1）解：设这批智能手表共有x件，根据题意列方程得， ， 解得：． 答：这批智能手表共有540件； （2）解：设A厂工作y天，则B厂工作天，根据题意列方程得， ， 解得：． 所以，（天）． 答：B厂共生产智能手表21天； （3）解：方案一：A厂单独完成，时间为天，费用为元． 方案二：B厂单独完成，时间为天，费用为元． 方案三：A厂工作9天，B厂工作21天，时间为21天，费用为元． 比较时间：；比较费用：． 所以，方案三既省时又省钱． 题型19.配套问题 66．某工厂车间共有21名工人，每人每天可以生产12个螺栓或18个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，车间应该分配生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 【答案】车间应该分配9名工人生产螺栓，分配12名工人生产螺母 【分析】设分配名工人生产螺栓，则分配名工人生产螺母，再根据“1个螺栓配2个螺母”的配套要求，得到螺母总数量是螺栓总数量的2倍这一等量关系，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设分配名工人生产螺栓，则分配名工人生产螺母， 根据题意，得 解得 则 ， 答：车间应该分配9名工人生产螺栓，分配12名工人生产螺母． 67．某工厂需要生产一批眼镜镜架，每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有45名工人，平均每人每天生产100个镜框或160个镜腿． (1)应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)某眼镜商店以每副80元的价格购进了100副镜架，提高后标价．在元旦假期期间，商店打七折售出了90副，若想在销售完这100副镜架后总获利，则剩余的镜架应打几折出售？ 【答案】(1)安排20名工人生产镜框，25名工人生产镜腿 (2)剩余的镜架应打九折出售 【分析】（1）设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿，根据等量关系为：每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成，把相关数值代入即可； （2）设剩余的镜架应打y折出售，再根据“销售完这100副镜架后总获利”进行列方程求解即可． 【详解】（1）解：设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿， 解得， （名）， 答：安排20名工人生产镜框，25名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； （2）解：设剩余的镜架应打y折出售， 根据题意得： 解得：， 答：剩余的镜架应打九折出售． 68．（列方程解应用题）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数的2倍还少19人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作收纳盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底22个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)男生27人，女生23人 (2)2名 【分析】（1）根据班级总人数和男生与女生的数量关系列一元一次方程求解即可； （2）根据配套要求，盒底数量是盒身数量的2倍，列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设七年级一班女生人数为人，则男生人数为 人， 根据题意，得 ， 解得， 则 ， 答：七年级一班有男生27人，女生23人； （2）解：设有名男生去支援女生，支援后，做盒身的人数为 人，做盒底的人数为 人， 盒身总数为 个，盒底总数为 个， 根据配套关系，得 ， 解得， 答：有2名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 题型20.新定义运算 69．定义运算“”，其规则为 ，则方程的解为______． 【答案】 【分析】根据题中新定义的运算规则，先计算括号内的，再将所得结果与按照运算规则转化为一元一次方程，解一元一次方程即可得到结果. 【详解】解：根据新定义运算规则，先计算括号内的： 原方程可化为，再根据新定义化简得： 整理得： 去分母得： 移项合并同类项得： 系数化为得：. 70．定义新运算：，则方程的解为________． 【答案】10 【分析】理解题目给出的新运算规则，将原方程转化为常规的一元一次方程求解． 【详解】解：根据定义新运算，可得，， 原方程转化为， 移项得 解得． 71．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．若关于的一元一次方程和是“美好方程”，则关于的一元一次方程的解为________． 【答案】 【分析】先解出方程的解，利用“美好方程”的定义求出另一个方程的解；再将关于的方程变形为与该方程同形式的方程，通过换元法求出的值． 【详解】解：，得， ∵两方程为“美好方程”， ∴的解为， 将关于的方程， 整理为， 令，则方程为，此方程与形式相同，其解为， 即，解得． 72．规定：，，例如，；下列结论正确的是：能使，成立的的值为或；若，则；若，则；的最小值是．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值表示的几何意义及绝对值非负数的性质是解题关键．结论通过解绝对值方程验证；结论根据的范围进行化简；结论利用绝对值非负性求和；结论通过绝对值表示的几何意义求最小值即可． 【详解】解：， 或， 解得或，故正确； ， ，， ，故正确； ， ，， ，， ，故正确； ，该式表示数轴上表示数的点到表示数和的两点的距离之和， 当时，最小值为，故错误； 综上，正确的结论有． 故选：A． 73．定义：若有理数、满足等式，则称、是“完美有理数对”，记作．如：数对，都是“完美有理数对”． (1)通过计算判断数对，是不是“完美有理数对”； (2)若是“完美有理数对”，求的值； (3)若是“完美有理数对”，求代数式的值． 【答案】(1)是“完美有理数对”， 不是“完美有理数对” (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，一元一次方程，解答本题的关键是会用新定义解答问题． （1）根据“完美有理数对”定义进行判断，即可； （2）根据新定义可得关于的一元一次方程，再解方程即可； （3）根据“完美有理数对”的定义得出，再代入原式计算即可 【详解】（1）解：∵，，， ∴是“完美有理数对”； ∵，，而 ∴不是“完美有理数对”； （2）解：∵是“完美有理数对” ∴， 解得：， ∴m的值为 （3）解：∵是“完美有理数对” ∴， ∴ ， ∴ ． 74．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们称这两个方程为“互逆方程”． 例如：方程和为“互逆方程”． (1)方程与 （填“是”或“不是”）“互逆方程”； (2)若关于x的方程与为“互逆方程”，求c的值； (3)若关于x的方程和为“互逆方程”，求m的值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】（1）分别求出方程的解，然后根据定义进行判断； （2）求出方程的解，然后根据定义得出方程的解，即可求出参数； （3）分别表示出两个方程的解，然后根据定义列出方程求解． 【详解】（1）解：方程与是“互逆方程”，理由如下： 解方程得，； 解方程得，； ∵和互为相反数， ∴方程与是“互逆方程”； （2）解：， 解得：； ∵两个方程为“互逆方程”， ∴的解为，代入方程可得， ∴； （3）解：， 解得； ， 解得； ∵两个方程为“互逆方程”， ∴， 解得． 75．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方程”，例如：方程和为“集团方程”． (1)若关于x的方程与方程是“集团方程”，则m的值为___________； (2)若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“集团方程”，直接写出关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1)6 (2)或 (3) 【分析】（1）先分别求解两个方程的解，再根据“集团方程”定义（解的和为1）列方程求m； （2）设两个解，利用“集团方程”解的和为1及差为6列方程求n； （3）先求已知方程的解，根据“集团方程”定义求另一个方程的解，再通过方程变形求y的值． 【详解】（1）解：解方程，得， 解方程，得， ∵关于x的方程与方程是“集团方程”， ∴， ∴． （2）解：∵“集团方程”的两个解的和为1，设其中一个解为n， ∴另一个解是， ∵两个解的差是6， ∴，即， ∴或， 解得或． （3）解：∵， ∴， ∵和是“集团方程”， ∴的解为， ∵可化为， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01一元一次方程期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握方程、一元一次方程、方程的解等概念，能准确识别一元一次方程。 2.理解并活用等式基本性质，掌握方程变形依据。 3.熟记解一元一次方程的完整步骤，明晰每一步运算规则。 4.梳理常见应用题类型，掌握各类题型的等量关系。 1.熟练规范解方程，提升运算准确率，规避典型计算失误。 2.学会分析题意，精准挖掘题干中的等量关系。 3.掌握列方程解应用题的完整流程，初步形成数学建模思维。 4.能用方程思想解决生活中的实际问题。 1.选择、填空基础题稳拿分，概念辨析不出错。 2.解方程题型步骤完整、计算无误，格式规范。 3.熟练解答各类应用题，找准等量关系、正确列方程求解。 4.攻克含参数、变式拓展题型，减少审题、解题漏洞。 题型01.判断各式是否是方程 题型02.列方程 题型03.判断是否是方程的解 题型04.已知方程的解.求参数 题型05.等式性质1 题型06.等式性质2 题型07.判断是否是一元一次方程 题型08.判断是否是一元一次方程的解 题型09.合并同类项及移项 题型10.去括号 题型11.去分母 题型12.由一元一次方程的解,求参数 题型13.一元一次方程解的关系 题型14.绝对值方程 题型15.和差倍分问题 题型16.行程问题 题型17.销售盈亏问题 题型18.工程问题 题型19.配套问题 题型20.新定义运算 一、章节概述 本章是初中代数基础，分为解方程和列方程解应用题两大模块，计算与建模并重，是期末必考内容，也为后续方程、不等式、函数学习打基础。 知识点01:基础概念 1.方程：含有未知数的等式。 2.一元一次方程：只含一个未知数，未知数次数为 1，分母不含未知数的整式方程。标准形式：ax+b=0(a0) 3.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。 4.解方程：求方程解的全过程。 知识点02:等式的基本性质 分类 性质内容 易错警示 性质 1 等式两边同时加（减）同一个数或整式，等式仍成立 两边必须同时运算，不可只改动一侧 性质 2 等式两边同乘同一个数；或同除以不为 0的数，等式仍成立 除数不能为 0；去分母时所有项都要参与运算 知识点03:解一元一次方程（核心重点） 完整解题步骤及易错点 解题步骤 操作要求 高频易错点 1. 去分母 方程两边同乘所有分母的最小公倍数 常数项易漏乘公倍数 2. 去括号 依据乘法分配律展开括号 括号前为负号时，内部各项未全部变号；漏乘项 3. 移项 含未知数项移到左边，常数项移到右边 移项不变号；同侧交换位置错误变号 4. 合并同类项 化简为 ax=b 的形式 正负号运算出错 5. 系数化为 1 两边同时除以未知数的系数 分子分母颠倒、符号书写错 知识点04:含参数一元一次方程（选择、填空高频考点） 判定规则：形如 ax+b=0\的方程为一元一次方程⇔ a0 解题方法：已知方程的解求参数，直接将解代入原方程，转化为常规计算求解字母。 知识点05:列一元一次方程解应用题（期末大题重点） 1. 通用解题六步法（标准答题格式） 审（分析题意，找等量关系）→ 设（设未知数，分直接设、间接设）→ 列（根据等量关系列方程）→ 解（规范解方程）→ 验（检验结果是否符合实际）→ 答（完整书写答案） 2. 常考题型及等量关系 题型分类 核心公式 / 等量关系 备注 和差倍比问题 大数 = 小数 × 倍数 ± 差值 基础题型，理解数量关系即可 行程问题 路程 = 速度 × 时间 相遇：路程和 = 总路程 追及：路程差 = 初始距离 必考题型，注意行驶方向 利润销售问题 利润 = 售价−进价 利润率 =100% 售价 = 进价 ×(1 + 利润率) 期末高频大题 工程问题 工作总量=工作效率×工作时间常规设总工作量为 1 多人合作题型常考 配套问题 各部件数量比 = 题目规定的配套比 找准配比是关键 知识点06:全章高频易错点汇总 1.判定一元一次方程时，忽略 “分母不含未知数、未知数次数为 1” 两个条件； 2.解方程：去分母漏乘常数项、去括号变号错误、移项忘记变号； 3.系数化为 1 时，分子分母位置颠倒； 4.应用题审题不清，找不到等量关系，仍沿用算术思路解题； 5.解完应用题不检验，出现负数、非整数等不符合实际的结果。 题型01.判断各式是否是方程 1．下列式子属于方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式中，是方程的有__________．（填序号） ①；②；③；④． 3．下列各式中，①；②；③；④；⑤，是方程的有（   ）个 A． B． C． D． 题型02.列方程 4．代数式比代数式的值小，用方程表示为_______． 5．根据图中给出的信息，可得正确的方程是______． 6．某数的3倍与5的差比这个数大9，设这个数为x，可列方程为（   ） A． B． C． D． 题型03.判断是否是方程的解 7．有一个方程的解为，则这个方程是（     ） A． B． C． D． 8．已知代数式，当取一个值时，代数式对应的值如上表所示，则关于的方程的解为_____． 0 0.5 1 1 2 2.5 3 9．多项式和（为常数，）的值由的取值决定．下表是当取不同值时多项式对应的值．由此可知，关于的方程的解是（    ） 0 1 3 3 1 13 A． B． C． D． 题型04.已知方程的解.求参数 10．若是关于的分式方程的解，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 11．已知关于的方程（，为常数），无论为何值，它的解总是，则的值是______． 12．解方程时，墨水把其中一个数字染成了，查阅答案方程的解为，则处的数为（    ） A． B． C． D． 13．下图是苏科版教材七年级数学上册的部分内容． 求代数式的值，其中，． 卡通人物的话语中体现了“整体代换”的数学思想方法．“整体代换”能帮助我们把复杂的式子“打包”成一个整体，让运算变得简单清晰．请运用“整体代换”的思想方法解决以下问题． (1)解决上图中的问题； (2)当时，．当时，求代数式的值； (3)若关于的方程的解是，则关于的方程的解是______． 题型05.等式性质1 14．解方程时，若要得到，应在方程两边同时（     ） A．加上3 B．减去3 C．加上 D．减去 15．如果，，，那么的值为 _____． 16．下列变形，不正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 17．20个质量分别为1，2，3，…，19，20克的砝码放在天平两边，正好达到平衡． (1)试将砝码①，②，…，⑳（①，②，…分别代表1克，2克，…的砝码）分别放在天平两边，使之达到平衡，且可从每边各取下同样多的偶数个砝码，仍能使天平保持平衡 ； (2)试将砝码①，②，…，⑳（①，②，…分别代表1克，2克，…的砝码）分别放在天平两边，使之达到平衡，且从每边无论怎样取下同样多个砝码，都不能再使天平保持平衡 ． 题型06.等式性质2. 18．根据等式的性质，下列变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 19．如图，将规格相同但重量不同的三种积木、、置于等臂天平两侧．若天平在图①所示的情况下处于平衡状态，则对图②、图③中天平的状态判断正确的是____（填序号）． 20．下列利用等式的基本性质变形，错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 21．请判断下列各式的变形是否正确，并说明理由． (1)如果，那么． (2)如果，那么． (3)如果，那么． (4)如果，那么． 题型07.判断是否是一元一次方程 22．下列各式中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 23．已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值为______． 24．下列各式；；；中，是一元一次方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型08.判断是否是一元一次方程的解 25．下列方程中，解为的方程是（    ） A． B． C． D． 26．已知是一元一次方程的解，则的值为（   ） A．4 B． C．8 D． 27．若是关于的一元一次方程的解，则的值是______． 题型09.合并同类项及移项 28．若代数式的值为5，则等于（     ） A．6 B． C．4 D． 29．若，且，则关于x的一元一次方程的解是______． 30．方程的解是（   ） A． B． C． D． 31．解一元一次方程： (1)； (2)． 32．解下列方程： (1)． (2)． 题型10.去括号 33．老师在黑板上写有这样一个式子：，则“”所表示的数为________． 34．已知关于的方程和的解相同，则的值为__________． 35．，若，则的值为（     ） A． B．1 C．1或 D． 36．计算或解方程： (1) (2) (3) (4) 题型11.去分母 37．方程的解为________． 38．下列解方程中变形步骤正确的有（     ） ①由得：；②由去分母得：； ③由去括号得 ：；④由得：． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 39．已知关于x的方程的解是整数，则符合条件的所有整数a的和为_____． 40．解方程： (1) (2) 题型12.由一元一次方程的解,求参数 41．已知关于的方程的解与方程的解相同，则的值为________． 42．若关于的方程的解是负整数，且也是整数，则满足条件的所有的值为_________． 43．小明在解方程去括号时，忘记将括号中的第二项变号，求得方程的解为，那么方程正确的解为（） A． B． C． D． 44．已知代数式，，解答下列问题： (1)若，则为何值时，代数式与相等？ (2)若关于的方程的解使得，两个代数式的值互为相反数，求的值． 题型13.一元一次方程解的关系 45．若关于x的方程与的解相同，则___________． 46．若关于x的一元一次方程的解为，则关于t的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 47．定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“美好方程”，例如：方程和为“美好方程”．若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，那么关于y的一元一次方程的解为________． 48．已知关于的一元一次方程的解与关于的一元一次方程的解互为相反数，求代数式的值． 题型14.绝对值方程 49．已知，，则n的值为__________ ． 50．若实数a，b同时满足，，则的值为_____． 51．关于的方程恰好有三个根，则实数的值为（   ） A． B．3 C．2 D． 52．解方程 (1)； (2)． 53．解方程：． 题型15.和差倍分问题 54．为保障中国空间站的常态化运行，天舟系列货运飞船需为空间站（或空间实验室）运输补给物资和载荷、补加推进剂等．在一次补给任务中，运送物资中包含饮用水和食品．若每箱饮用水质量为20千克，每箱食品质量为30千克，此部分物资总质量为480千克．运送的饮用水箱数比食品箱数多4箱，则饮用水和食品各有多少箱？ 55．自年月日起，我国开始实施《公共机构电动汽车充电基础设施配置及运行指南》（以下简称“指南”），“指南”要求公共机构充电车位配建比例宜不低于整体车位的．为解决某社区停车难问题，社区居委会联合相关部门划定一块面积为的公共停车场，需规划普通车位和充电车位，每个车位面积包含实际停车使用面积和公共通道分摊面积，其中充电车位另含充电桩占地面积．已知平均每个普通车位占地面积为，平均每个充电车位占地面积为，普通车位数量比充电车位数量的倍多个．判断充电车位数量是否满足“指南”要求，并说明理由． 56．幼儿园将一批水果分给大、中、小和小托四个班，先将全部水果的再减去千克给大班；再把余下的加上千克给中班；又把余下的一半给小班；最后把剩下的一半加上千克给小托班，这时幼儿园还剩6千克水果，则这批水果有多少千克？ 题型16.行程问题 57．为备战济宁马拉松比赛，小彬和小强每天坚持在学校的环形跑道上跑步，小彬每秒跑，小强每秒跑．如果两人在跑道上相距处，同时“背对背”出发，那么经过多少秒两人首次相遇？ 58．今年五一假期期间，甲、乙两人从同一地点出发，前往距离出发点的新甫山景区旅游．甲骑自行车以的速度先出发，30分钟后，乙骑摩托车以的速度追赶甲．乙到达景区后立即返回，在返回途中与甲相遇．问：从开始出发到两人相遇，共经过了多长时间？ 59．甲、乙两人设计了一个移动游戏： 游戏方式制定：如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和5的位置上，沿数轴做移动游戏．裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动． 移动规则制定：①若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位； ②若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位； ③若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位． 游戏中的数学思考： (1)经过第一次移动游戏，甲、乙两人相距 个单位； (2)从如图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错，且乙最终停留的位置对应的数为，求甲、乙两人分别猜对了几次？ (3)从如图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现有3次是甲、乙都猜对了，甲、乙共猜对了12次，甲最终停留的位置对应的数为1，求甲、乙两人分别猜对了几次？ 题型17.销售盈亏问题 60．3月14日国际数学日（节），我校数学学科组筹办脑力闯关游园会，需统一采购用具，其中传统解锁益智九连环每套30元，竞速三阶魔方每套35元．本次采购传统解锁益智九连环比竞速三阶魔方的套数少2套，共花费1240元．此次活动中传统解锁益智九连环和竞速三阶魔方各采购了多少套？ 61．某商家在一次促销活动中，将A品牌服装按成本价加价作为标价，又以8折（即按标价的）优惠卖出，结果每件服装仍可获利15元．求该品牌服装每件成本为多少元？ 62．2021年元旦节临近，铜梁掀起购物狂潮，现有甲，乙、丙三个商场开展的促销活动如下表所示： 商场 优惠活动 甲 全场按标价的6折销售 乙 实行“满100元送100元的购物券”的优惠，购物券可以在再购买时冲抵现金比如：顾客购衣服220元，赠券200元，再购买裤子时可冲抵现金，不再送券） 丙 实行“满100元减50元的优惠”（比如，某顾客购物220元，他只需付款120元） 根据以上活动信息，解决以下问题： (1)三个商场同时出售一件标价290元的上衣和一条标价270元的裤子，王阿姨想买这一套衣服，她应该选择哪家商场？完成下表后就可以做出选择 商场 甲商场 乙商场 丙商场 实际付款（元） (2)黄先生发现在甲、乙商场同时出售一件标价380元的上衣和一条标价300多元的裤子，最后付款也一样，请问这条裤子的标价是多少元？ (3)丙商场又推出“先打折”，“再满100元减50元”的活动，张先生购买了一件标价为620元的上衣，张先生发现比不打折只参加“再满100元减50元”的活动还多付19元钱，问丙商场先打了多少折后再参加活动． 题型18.工程问题 63．课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只写了“学校校办厂需要制作一块广告牌，请来两名工人，已知师傅单独完成需天，徒弟单独完成需天，”就因校长叫他听一个电话而离开了教室． (1)请你把题目补充完整并作出解答； (2)若先由徒弟做天，再两人合作，完成任务后共得到报酬元，如果按各人的工作量计算报酬，那么应如何分配？ 64．为打造智慧校园，学校安排小辰和小泽共同完成智能导览地图的点位标注工作．若小辰单独完成全部标注，需要6小时；若小泽单独完成，需要3小时．工作时，小辰先单独做了一段时间，之后去协助调试导览机器人，剩下的任务由小泽单独做完．从开始到完成全部任务，一共用了4小时．求小辰参与标注的时间是多少小时？ 65．某科技公司要生产一批智能手表，计划由A、B两个工厂负责生产．已知A厂每天能生产12件，B厂每天能生产18件，A厂单独生产比B厂单独生产要多用15天． (1)求这批智能手表共有多少件？ (2)若A、B两厂生产一段时间后，A厂停止生产智能手表去为该公司生产其他产品，剩下的智能手表生产任务全部由B厂单独完成，经核算，B厂需将每天的生产件数提高．任务完成时，B厂生产智能手表的全部工作时间正好比A厂生产智能手表的时间的2倍多3天，求B厂生产智能手表共用多少天？ (3)如果在生产智能手表过程中，公司每天需要付给A厂100元，付给B厂150元，另外，每个工厂需要配备一名工程师进行生产技术指导，并由公司提供每天15元的午餐补助费． 经公司研究，拟定如下三种生产方案： 方案一，由A厂单独完成； 方案二，由B厂单独完成； 方案三，按（2）问方式完成． 请你通过计算，帮公司选择一种既省时又省钱的生产方案． 题型19.配套问题 66．某工厂车间共有21名工人，每人每天可以生产12个螺栓或18个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，车间应该分配生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 67．某工厂需要生产一批眼镜镜架，每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有45名工人，平均每人每天生产100个镜框或160个镜腿． (1)应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)某眼镜商店以每副80元的价格购进了100副镜架，提高后标价．在元旦假期期间，商店打七折售出了90副，若想在销售完这100副镜架后总获利，则剩余的镜架应打几折出售？ 68．（列方程解应用题）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数的2倍还少19人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作收纳盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底22个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 题型20.新定义运算 69．定义运算“”，其规则为 ，则方程的解为______． 70．定义新运算：，则方程的解为________． 71．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．若关于的一元一次方程和是“美好方程”，则关于的一元一次方程的解为________． 72．规定：，，例如，；下列结论正确的是：能使，成立的的值为或；若，则；若，则；的最小值是．（    ） A． B． C． D． 73．定义：若有理数、满足等式，则称、是“完美有理数对”，记作．如：数对，都是“完美有理数对”． (1)通过计算判断数对，是不是“完美有理数对”； (2)若是“完美有理数对”，求的值； (3)若是“完美有理数对”，求代数式的值． 74．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们称这两个方程为“互逆方程”． 例如：方程和为“互逆方程”． (1)方程与 （填“是”或“不是”）“互逆方程”； (2)若关于x的方程与为“互逆方程”，求c的值； (3)若关于x的方程和为“互逆方程”，求m的值． 75．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方程”，例如：方程和为“集团方程”． (1)若关于x的方程与方程是“集团方程”，则m的值为___________； (2)若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“集团方程”，直接写出关于y的一元一次方程的解． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $