8.2 特殊的平行四边形期末复习训练 2025-2026学年苏科版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形判定与性质，通过概念辨析、动态问题及综合证明，系统覆盖矩形、菱形、正方形核心考点，渗透几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择1-5、8|判定条件正误判断|从平行四边形到特殊图形的条件递进| |性质应用|选择6-7、填空9-16|对角线/边长/面积计算|特殊四边形性质与勾股定理结合| |综合证明与计算|解答17-27|折叠/动点/判定证明|性质与判定综合应用，渗透转化思想|

盐城市北蒋实验学校八年级数学导学活动单 八年级数学•下学期•期末复习 八年级数学期末复习（3）——特殊的平行四边形（课时作业） 班级 姓名 作业时间 一．选择题： 1．（2026春•渝中区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形； B．有一组邻边相等的四边形是菱形； C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形； D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 2．（2026•黄岩区二模）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，若∠ADB＝30°，则∠E的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 3．（2026春•海州区期中）如图，已知长方形纸条ABCD，点E、G在AD边上，点F、H在BC边上．将纸条分别沿着EF、GH折叠，如图，当DC恰好落在EA′上时，∠1与∠2的数量关系是（　　） A．∠1+∠2＝135° B．∠2﹣∠1＝15° C．∠1+∠2＝90° D．∠2﹣∠1＝90° 4．（2026•沈阳模拟）如图，在矩形ABCD中，点E是边AD的中点，且AE＝4，连接BE，线段BE的垂直平分线MN恰好经过点C，则矩形的边AB的长为（　　） A．4 B． C．5 D． 5．（2026春•大兴区期中）如图，点P是正方形ABCD内一点，连接AP，BP，CP，AC．若△APB是等边三角形，则∠ACP的度数为（　　） A．75° B．60° C．30° D．15° 6．（2026春•宝山区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A、B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝16，BD＝12，则EF的最小值为（　　） A．4.8 B．2.4 C．10 D．5 第6题图 第7题图 第8题图 7．（2026春•东阿县月考）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形 ③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．其中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2026春•蓬江区校级期中）如图所示，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF， 分别交AB、BC于E、F，下列结论中：①△OBE≌△OCF；②OF＝OE；③四边形OEBF的面积总等于 ；④EF的最小值为；⑤EF2＝AE2+FC2．，正确的结论是（　　） A．①②③④ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 二．填空题： 9．（2025秋•南岸区期末）菱形的两条对角线长分别为6，8，则这个菱形的面积为　 　 ． 10．（2026春•宝山区校级期中）如图，矩形ABCD中，∠DAC＝40°，延长AB至点E，使BE＝AC，那么∠E＝　 　 ． 第10题图 第11题图 第12题图 11.（2026•西宁校级一模）如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P在线段BC上从点B向点C运动，同时，点Q在线段DC上从点D向点C运动，已知点P的运动速度是2cm/s．则点Q运动速度为　 　 cm/s时，△BPE与△CQP全等． 12．（2026春•东莞市期中）如图，在平行四边形ABCD中，增加一个条件后，平行四边形ABCD就成为矩形，这个条件可以是　 　 ． 13．（2026春•常州期中）小丽用一段宽为4cm的矩形绸缎制作了一条如图所示的丝带，若∠BAD＝30°，则重叠部分ABCD的面积为　 　 cm2． 第13题图 第14题图 第15题图 第16题图 14．（2026春•大连期中）如图，分别以Rt△ABC的三边边长向外侧作正方形，面积分别记为S1、S2、S3． 若S3+S2﹣S1＝40，则图中阴影部分的面积为　 　 ． 15．（2026•南陵县二模）如图，O为矩形ABCD内的一点，且满足OA＝OC＝4，若OB＝3，则OD＝　 　 ． 16．（2026春•西宁期中）已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点 D是OA的中点，动点P在射线CB上以每秒1个单位长的速度运动．设动点P的运动时间为t秒，当 t＝　 　 时，以P、O、D、B为顶点的四边形为平行四边形． 三．解答题： 17．（2026春•越秀区校级期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，DP∥AC，CP∥BD． （1）求证：四边形OCPD是矩形； （2）若AC＝6，BD＝8，求OP的长． 18．（2025秋•台江区校级期末）如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，F为AD边上的点，且AB＝AF，连接BF、EF． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）连接CF，若CE＝1，，AB＝2，求BF的长． 19．（2026•河南模拟）如图，△ABC为锐角三角形，AD平分∠BAC． （1）请用无刻度的直尺和圆规分别在AB，AC上取点E，F，使得DE∥AC，DF∥AB．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求证：四边形AEDF是菱形． 20．（2026•新平县一模）如图，在▱ABCD中，延长AD到点E，使AE＝2BC．连接BE交CD于点F，连接BD、CE，恰有BD⊥AE． （1）求证：四边形BCED是矩形； （2）若∠ABD＝30°，AB＝8，求点F到线段AE的距离． 21．（2024春•云溪区期中）如图所示，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足分别为点E，F． （1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并说明理由． （2）在（1）中，当P点运动到什么位置时，矩形PEMF为正方形，为什么？ 22．（2026春•罗定市期中）如图，在△ABC中，BD为△ABC的中线，E为BD的中点，过点B作BF∥AC，交CE延长线于点F，连接DF． （1）求证：四边形BCDF是平行四边形； （2）连接AF，当△ABC满足不同条件时，四边形AFBD可能是矩形或菱形．请从以下两个结论中选择一个，先填写△ABC应满足的条件，再进行证明． 结论①：当△ABC满足　 　 时，四边形AFBD是矩形； 结论②：当△ABC满足　 　 时，四边形AFBD是菱形． 23．（2026春•香洲区校级期中）如图，过菱形ABCD的对角线AC的中点O作两条互相垂直的直线，分别交AB，BC，CD，DA于E，F，G，H四点，连接EF，FG，GH，HE． （1）判断四边形EFGH的形状，并说明理由． （2）若AB＝2，∠DAB＝60°，AE＝AH，求四边形EFGH的面积． 24．（2026春•合川区期中）在矩形ABCD中，BD为矩形对角线，E在AD边上，连接EC． （1）如图1，若∠DCE＝45°，BC＝CE，CD＝1，求BD； （2）如图2，CF⊥EC，CF＝CD，连接BF交EC于H，当H为BF的中点时，求证：DE＝2HC． 25．（2024春•蒸湘区期末）观察下列图形的变化过程，解答以下问题： 如图，在△ABC中，D为BC边上的一动点（D点不与B、C两点重合）．DE∥AC交AB于E点，DF∥AB交AC于F点． （1）试探索AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，并说明理由； （2）在（1）的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形．为什么？ 26．（2024春•黔东南州期中）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图①，在△ABC中，DE∥BC，且CD⊥BE，CD＝3，试求BC+DE的值． 小明发现，过点E作EF∥DC，交BC的延长线于点F，经过推理得到▱DCFE，再计算就能够使问题得到解决（如图②）　 　 ，并写出推理和计算过程． 参考小明思考问题的方法，请你解决如下问题： 如图③，已知▱ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，求∠AGF的度数． 27．（2024春•衡阳期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； （2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． 八年级数学期末复习（3）——特殊的平行四边形（课时作业）（答案） 班级 姓名 作业时间 一．选择题： 1．（2026春•渝中区校级期中）下列说法正确的是（　D　） A．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形； B．有一组邻边相等的四边形是菱形； C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形； D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 2．（2026•黄岩区二模）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，若∠ADB＝30°，则∠E的度数是（　A　） A．15° B．20° C．25° D．30° 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 3．（2026春•海州区期中）如图，已知长方形纸条ABCD，点E、G在AD边上，点F、H在BC边上．将纸条分别沿着EF、GH折叠，如图，当DC恰好落在EA′上时，∠1与∠2的数量关系是（　A　） A．∠1+∠2＝135° B．∠2﹣∠1＝15° C．∠1+∠2＝90° D．∠2﹣∠1＝90° 解：∵将长方形纸条，分别沿着EF，GH折叠，DC恰好落在EA′上， ∴，∠ED′G＝90°，∴∠D′EG+∠D′GE＝90°， ∴∠A′EA+∠D′GD＝180°﹣∠D′EG+180°﹣∠D′GE＝360°﹣90°＝270°， ∴，故选：A． 4．（2026•沈阳模拟）如图，在矩形ABCD中，点E是边AD的中点，且AE＝4，连接BE，线段BE的垂直平分线MN恰好经过点C，则矩形的边AB的长为（　D　） A．4 B． C．5 D． 解：如图，在矩形ABCD中，点E是边AD的中点，且AE＝4，连接CE， ∴AB＝CD，AD＝BC，∠D＝90°，DE＝AE＝4， ∴AD＝2AE＝8，∴BC＝AD＝8， ∵MN垂直平分BE，∴CE＝BC＝8， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：， ∴．故选：D． 5．（2026春•大兴区期中）如图，点P是正方形ABCD内一点，连接AP，BP，CP，AC．若△APB是等边三角形，则∠ACP的度数为（　C　） A．75° B．60° C．30° D．15° 解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AB，∠CBA＝90°，∴∠ACB＝45°， ∵△PAB是等边三角形，∴∠PBA＝∠APB＝60°，PB＝AB，∴∠CBP＝30°，PB＝BC， ∴∠BCP（180°﹣∠CBP）＝75°，∴∠ACP＝∠BCP﹣∠ACB＝30°．故选：C． 6．（2026春•宝山区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A、B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝16，BD＝12，则EF的最小值为（　A　） A．4.8 B．2.4 C．10 D．5 第6题图 第7题图 第8题图 7．（2026春•东阿县月考）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形 ③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．其中，正确的有（　D　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：∵DE∥CA，DF∥BA， ∴四边形AEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），选项①正确； 若∠BAC＝90°，∴平行四边形AEDF为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），选项②正确； 若AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD（角平分线的定义），又DE∥CA， ∴∠EDA＝∠FAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，∴平行四边形AEDF为菱形，选项③正确； 若AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC， 同理可得平行四边形AEDF为菱形，选项④正确，则其中正确的个数有4个．故选：D． 8．（2026春•蓬江区校级期中）如图所示，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，下列结论中：①△OBE≌△OCF；②OF＝OE；③四边形OEBF的面积总等于；④EF的最小值为；⑤EF2＝AE2+FC2．，正确的结论是（　C　） A．①②③④ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 解：∵在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点， ∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°， ∵OE⊥OF，∴∠EOF＝∠BOC＝90°，∴∠BOE＝∠COF，∴△OBE≌△OCF（SAS），故①正确， ∴OE＝OF，S△BOE＝S△COF，故②正确； ∴，故③正确； 在Rt△OEF中，由勾股定理得EF2＝OE2+OF2＝2OE2，∴当OE最小时，EF最小， ∴当OE⊥AB时，EF最小，∴此时，∴，即，故④错误； ∵△OBE≌△OCF，∴BE＝CF， ∵AB＝BC，∴AE＝BF， 在Rt△EFB中，由勾股定理得EF2＝BE2+BF2，∴EF2＝AE2+FC2，故⑤正确；故选：C． 二．填空题： 9．（2025秋•南岸区期末）菱形的两条对角线长分别为6，8，则这个菱形的面积为　 24 　 ． 10．（2026春•宝山区校级期中）如图，矩形ABCD中，∠DAC＝40°，延长AB至点E，使BE＝AC，那么∠E＝　 25° 　 ． 第10题图 第11题图 第12题图 11.（2026•西宁校级一模）如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P在线段BC上从点B向点C运动，同时，点Q在线段DC上从点D向点C运动，已知点P的运动速度是2cm/s．则点Q运动速度为　 18或 　 cm/s时，△BPE与△CQP全等． 解：分两种情况： ①当EB＝PC，BP＝QC时，△BPE≌△CQP， ∵AB＝20cm，AE＝6cm，∴EB＝14cm，∴PC＝14cm， ∵BC＝16cm，∴BP＝2cm， ∵点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C运动， ∴t＝2÷2＝1（s），∴CQ＝BP＝2cm，∴DQ＝20﹣2＝18（cm），∴Q点运动速度为18÷1＝18（cm/s）； ②当BP＝CP，BE＝QC时，△BEP≌△CQP， 由题意得：2t＝8，解得：t＝4（s），∴BE＝CQ＝20﹣6＝20﹣4v，∴Q点运动速度为6÷4（cm/s）； 故答案为：18或． 12．（2026春•东莞市期中）如图，在平行四边形ABCD中，增加一个条件后，平行四边形ABCD就成为矩形，这个条件可以是　 ∠ABC＝90°（答案不唯一） 　 ． 13．（2026春•常州期中）小丽用一段宽为4cm的矩形绸缎制作了一条如图所示的丝带，若∠BAD＝30°，则重叠部分ABCD的面积为　 32 　 cm2． 第13题图 第14题图 第15题图 第16题图 14．（2026春•大连期中）如图，分别以Rt△ABC的三边边长向外侧作正方形，面积分别记为S1、S2、S3． 若S3+S2﹣S1＝40，则图中阴影部分的面积为　10　 ． 解：∵Rt△ABC是以AC为斜边的直角三角形，∴AB2+BC2＝AC2， ∵分别以Rt△ABC的三边边长向外侧作正方形，面积分别记为S1、S2、S3，∴S1+S2＝S3， ∵S3+S2﹣S1＝40，∴（S1+S2）+S2﹣S1＝40，解得S2＝20，∴，故答案为：10． 15．（2026•南陵县二模）如图，O为矩形ABCD内的一点，且满足OA＝OC＝4，若OB＝3，则OD＝ ． 解：如图，过点O作EF⊥AB于点F，交CD于点E，GH⊥BC于点G，交AD于点H， 由条件可知AB∥CD，BC∥AD，AB⊥BC，AB⊥AD，BC⊥CD，AD⊥CD， ∴四边形AFOH，BFOG，CEOG，DEOH均为矩形， ∴AF＝DE，OF＝BG，CE＝OG，CG＝OE， 设BG＝OF＝a，OG＝CE＝b，CG＝OE＝x，DE＝AF＝y， ∵AF2+OF2＝OA2，OG2+CG2＝OC2，OE2+DE2＝OD2，BG2+OG2＝OB2OA＝OC＝4，OB＝3， ∴，解得：x2+y2＝23，∴．故答案为：． 16．（2026春•西宁期中）已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点 D是OA的中点，动点P在射线CB上以每秒1个单位长的速度运动．设动点P的运动时间为t秒，当 t＝　 5 　 时，以P、O、D、B为顶点的四边形为平行四边形． 解：∵O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4）， ∴PB∥OD，AB＝OC＝4，BC＝OA＝10， ∵点D是OA的中点，∴OD＝ADOA＝5， ∵CP＝t，∴PB＝BC﹣CP＝10﹣t， ∵以P、O、D、B为顶点的四边形为平行四边形，PB∥OD， ∴PB＝OD＝5，∴10﹣t＝5，解得：t＝5，故答案为：5． 三．解答题： 17．（2026春•越秀区校级期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，DP∥AC，CP∥BD． （1）求证：四边形OCPD是矩形； （2）若AC＝6，BD＝8，求OP的长． （1）证明：∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC ∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠BAC＝∠ACB，∴AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°， ∵DP∥AC，CP∥BD，∴四边形OCPD是平行四边形，∴四边形OCPD是矩形； （2）解：由题意可得： ∴OCAC＝3，ODBD＝4，AC⊥BD， ∴∠COD＝90°，CD5， ∵DP∥AC，CP∥BD，∠COD＝90°，∴四边形OCPD是矩形，∴OP＝CD＝5． 18．（2025秋•台江区校级期末）如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，F为AD边上的点，且AB＝AF，连接BF、EF． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）连接CF，若CE＝1，，AB＝2，求BF的长． （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， ∵AE平分∠BAD交BC于点E，F为AD边上的点，AB＝AF， ∴∠FAE＝∠BAE，∠FAE＝∠BEA，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝EB，∴AF＝EB， ∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形． （2）解：连接CF， ∵四边形ABEF是菱形，∴EF＝AB＝BE＝2， ∵CE＝1，CF，∴CE2+CF2＝EF2＝4，BC＝BE+CE＝3， ∴△CEF是直角三角形，且∠ECF＝90°， ∴BF2，∴BF的长是2． 19．（2026•河南模拟）如图，△ABC为锐角三角形，AD平分∠BAC． （1）请用无刻度的直尺和圆规分别在AB，AC上取点E，F，使得DE∥AC，DF∥AB．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求证：四边形AEDF是菱形． （1）解：如图，点E，F即为所求作； （2）证明：由（1）知 DE∥AF，AE∥DF， ∴四边形AEDF为平行四边形． 又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD， ∵DE∥AF，∴∠EDA＝∠DAC． ∴∠EAD＝∠EDA．∴AE＝DE． ∴平行四边形AEDF为菱形． 20．（2026•新平县一模）如图，在▱ABCD中，延长AD到点E，使AE＝2BC．连接BE交CD于点F，连接BD、CE，恰有BD⊥AE． （1）求证：四边形BCED是矩形； （2）若∠ABD＝30°，AB＝8，求点F到线段AE的距离． （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC， ∵延长AD到点E，∴AE∥BC， ∵AE＝2BC，∴AD＝DE，AE＝2AD，∴DE＝BC，∴四边形BCED是平行四边形， ∵BD⊥AE，∴∠BDE＝90°，∴四边形BCED是矩形； （2）解：∵BD⊥AE，∴∠BDE＝90°， ∵∠ABD＝30°，AB＝8，∴， ∴， 如图，过点F作FG⊥DE于点G，则FG∥BD， 则线段FG的长即为点F到线段AE的距离， ∵四边形BCED是矩形，∴，CD＝BE，， ∴DF＝EF，F是线段BE的中点， ∵GF⊥DE，∴DG＝EG，∴G是线段DE的中点，∴FG是△BDE的中位线， ∴，∴点F到线段AE的距离为． 21．（2024春•云溪区期中）如图所示，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足分别为点E，F． （1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并说明理由． （2）在（1）中，当P点运动到什么位置时，矩形PEMF为正方形，为什么？ 解：（1）矩形ABCD的长与宽满足AD＝2AB时，四边形PEMF为矩形．理由如下： ∵AD＝2AB，M点为AD的中点， ∴AB＝AM＝DM＝CD， ∴△ABM和△CDM为全等的等腰直角三角形， ∴∠AMB＝45°，∠DMC＝45°，∴∠BAC＝90°， ∵PE⊥MC，PF⊥BM，∴∠PEM＝∠PFM＝90°， ∴四边形PEMF为矩形； （2）当P点运动到BC的中点时，矩形PEMF变为正方形．理由如下： ∵P点为BC的中点，∴MP为等腰三角形MBC的顶角的平分线， ∴PE＝PF，∴矩形PEMF变为正方形． 22．（2026春•罗定市期中）如图，在△ABC中，BD为△ABC的中线，E为BD的中点，过点B作BF∥AC，交CE延长线于点F，连接DF． （1）求证：四边形BCDF是平行四边形； （2）连接AF，当△ABC满足不同条件时，四边形AFBD可能是矩形或菱形．请从以下两个结论中选择一个，先填写△ABC应满足的条件，再进行证明． 结论①：当△ABC满足 AB＝BC 时，四边形AFBD是矩形； 结论②：当△ABC满足　∠ABC＝90°　 时，四边形AFBD是菱形． （1）证明：∵BF∥AC，∴∠FBE＝∠CDE， ∵E是BD的中点，∴BE＝DE， 在△BFE和△DCE中，，∴△BFE≌△DCE（ASA）， ∴BF＝DC， ∵BD为△ABC的中线，∴D是AC的中点，∴AD＝DC， ∴BF＝DC，∵BF∥DC，∴四边形BCDF是平行四边形； （2）解：①连接AF，如图， ∵BD是中线，且AB＝BC，∴BD⊥AC，即∠ADB＝90°， 由（1）知，BF∥AC且BF＝DC， ∵D是AC中点，∴DC＝AD，∴BF＝AD，∴四边形AFBD是平行四边形， ∵∠ADB＝90°，∴平行四边形AFBD是矩形， ∴当△ABC满足AB＝BC时，四边形AFBD是矩形，故答案为：AB＝BC； ②∵∠ABC＝90°，BD是中线，∴BD＝AD＝DC， 由（1）知，BF∥AC且BF＝DC，∴BF＝AD，∴四边形AFBD是平行四边形， ∵BD＝AD，∴平行四边形AFBD是菱形． ∴当△ABC满足∠ABC＝90°时，四边形AFBD是菱形， 故答案为：∠ABC＝90°． 23．（2026春•香洲区校级期中）如图，过菱形ABCD的对角线AC的中点O作两条互相垂直的直线，分别交AB，BC，CD，DA于E，F，G，H四点，连接EF，FG，GH，HE． （1）判断四边形EFGH的形状，并说明理由． （2）若AB＝2，∠DAB＝60°，AE＝AH，求四边形EFGH的面积． 解：（1）过菱形ABCD的对角线AC的中点O作两条互相垂直的直线，分别交AB，BC，CD，DA于E，F，G，H四点， 由菱形ABCD可得AB∥CD，OA＝OC，∴∠OAE＝∠OCG， ∵∠AOE＝∠COG，∴△OAE≌△OCG（ASA），∴OE＝OG．同理可得OF＝OH， ∴四边形EFGH是平行四边形． 又∵EG⊥FH，∴四边形EFGH是菱形． （2）设AE＝x，则BE＝2﹣x， ∵AE＝AH，∵∠OAE＝∠OAH，OA＝OA，则△OAE≌△OAH（SAS），∴OE＝OH， ∵，∴EG＝FH．∴菱形EFGH是正方形， ∵OA＝OC，∠HOA＝∠FOC，OH＝OF，∴△AOH≌△COF（SAS），∴AH＝CF， ∵AH＝AE，∴AE＝CF，∴AB﹣AE＝CB﹣CF，∴BE＝BF， ∵∠HAE＝60°，AE＝AH，∴∠EBF＝120°，△AEH是等边三角形，∴EH＝x， ∴∠FEB＝∠EFB＝30°， 过点B作BM⊥EF于点M，∴BMBE（2﹣x）， ∴BM（2﹣x）．∴，∴， ∵0＜x＜3，∴．∴， ∴四边形EFGH的面积为． 24．（2026春•合川区期中）在矩形ABCD中，BD为矩形对角线，E在AD边上，连接EC． （1）如图1，若∠DCE＝45°，BC＝CE，CD＝1，求BD； （2）如图2，CF⊥EC，CF＝CD，连接BF交EC于H，当H为BF的中点时，求证：DE＝2HC． （1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝∠BCD＝90°， ∵∠DCE＝45°，∴∠DEC＝∠DCE＝45°， ∴ED＝CD＝1， ∴BC＝CECD， ∴BD，∴BD的长是． （2）证明：如图2，作BP⊥CE于点P，则∠CDE＝∠BPC＝90°， ∵CF⊥EC，∴∠FCH＝∠BPH＝90°， ∵AD∥CB，∴∠DEC＝∠PCB， ∵H为BF的中点，∴FH＝BH， 在△CHF和△PHB中，，∴△CHF≌△PHB（AAS）， ∴CF＝PB，HC＝HP，∴PC＝2HC， ∵CF＝CD，∴CD＝PB， 在△DEC和△PCB中，，∴△DEC≌△PCB（AAS），∴DE＝PC， ∴DE＝2HC． 25．（2024春•蒸湘区期末）观察下列图形的变化过程，解答以下问题： 如图，在△ABC中，D为BC边上的一动点（D点不与B、C两点重合）．DE∥AC交AB于E点，DF∥AB交AC于F点． （1）试探索AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，并说明理由； （2）在（1）的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形．为什么？ 解：（1）当AD平分∠EAF时，四边形AEDF为菱形， ∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF为平行四边形， ∴∠EAD＝∠FDA， ∵AD平分∠EAF， ∴∠EAD＝∠FAD， ∴∠FAD＝∠FDA， ∴AF＝DF， ∴四边形AEDF为菱形； （2）当△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°时，四边形AEDF为正方形， 理由：由（1）知，四边形AEDF为菱形， ∵∠BAC＝90°， ∴四边形AEDF为正方形． 26．（2024春•黔东南州期中）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图①，在△ABC中，DE∥BC，且CD⊥BE，CD＝3，试求BC+DE的值． 小明发现，过点E作EF∥DC，交BC的延长线于点F，经过推理得到▱DCFE，再计算就能够使问题得到解决（如图②）　 　 ，并写出推理和计算过程． 参考小明思考问题的方法，请你解决如下问题： 如图③，已知▱ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，求∠AGF的度数． 解：∵DE∥BC，EF∥DC， ∴四边形DCFE是平行四边形， ∴EF＝CD＝3，CF＝DE， ∵CD⊥BE，∴EF⊥BE， ∴， 故答案为：； 解决问题：连接AE，CE， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC， ∵四边形ABEF是矩形，∴AB∥FE，BF＝AE，∴DC∥FE， ∴四边形DCEF是平行四边形，∴CE∥DF， ∵AC＝BF＝DF，∴AC＝AE＝CE，∴△ACE是等边三角形，∴∠ACE＝60°， ∵CE∥DF，∴∠AGF＝∠ACE＝60°． 27．（2024春•衡阳期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； （2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． （1）证明：能． 理由如下：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，∴DF＝2t， 又∵AE＝2t，∴AE＝DF， ∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF， 又∵AE＝DF，∴四边形AEFD为平行四边形， 当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形， 即60﹣4t＝2t，解得t＝10． ∴当t＝10秒时，四边形AEFD为菱形． （2）①当∠DEF＝90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形 ，∴EF∥AD，∴∠ADE＝∠DEF＝90°， ∵∠A＝60°，∴∠AED＝30°， ∴ADAE＝t， 又AD＝60﹣4t，即60﹣4t＝t， 解得t＝12； ②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°， ∴AD＝2AE，即60﹣4t＝4t，解得t． ③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在． 综上所述，当t或12秒时，△DEF为直角三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $