精品解析：安徽合肥一六八中学2026届高三下学期规范性训练（二）数学试题

2026届高三规范性训练（二） 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的模是（ ） A. B. 2 C. D. 1 3. 已知，，且与垂直，则的值是（ ） A. B. 2 C. 0 D. 1 4. 已知，都是锐角，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，把容器的容积（单位：）表示为（单位：cm）的函数，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在上的最大值为4，则的取值范围为（ ） A. B. C. [1，15] D. [1，17] 7. 函数的图象关于点对称，且直线与函数图象的相邻两个交点的距离为，则正实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数满足：，且，当时，，则的最大值与最小值的差为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 样本数据13，15，24，12，18，27，21，26，19，23的第70百分位数为23 B. 若一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60 C. 若随机变量服从二项分布，则 D. 若随机变量服从正态分布，且，则 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为的极大值点 B. 若，且，则 C. 若，则对，都有 D. 对，，使得有3个零点 11. O为坐标原点，抛物线的准线与x轴的交点为M，直线l与x轴交于点N，与抛物线C交于A，B两点，满足，作于D，则（ ） A. N的横坐标是4 B. C. 直线斜率的最大为 D. 当直线与C相切时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的右焦点为，则双曲线的渐近线方程为__________. 13. 若直线是曲线的切线，则___________． 14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，求的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 16. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 17. 在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点． （1）求直线AB与DE所成角的余弦值； （2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值． 18. 某从业资格考试共分3级，考生必须从第1级考试开始，每级考试次数不限，通过后即进入下一级考试，直至第3级考试通过，考试终止并取得从业资格．已知甲参加一次第1，2，3级考试通过的概率分别为，，，且每次考试相互独立．记甲第次考试后取得从业资格为事件． （1）求，； （2）求的表达式； （3）甲第次考试恰通过2级为事件，比较与的大小，并根据你的理解说明其含义． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求a的取值范围； （3）已知，为的两个零点，当时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三规范性训练（二） 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】， 所以. 2. 已知，则的模是（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】由题意知， 所以 3. 已知，，且与垂直，则的值是（ ） A. B. 2 C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】由题设，且，， 所以，可得. 4. 已知，都是锐角，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，结合同角三角函数关系，余弦的差角公式求解即可. 【详解】因为，都是锐角，所以, 因为，， 所以，， 所以. 5. 如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，把容器的容积（单位：）表示为（单位：cm）的函数，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥，结合图形，求出其高，即可得解. 【详解】 如图：由题意及正四棱锥的性质可知，做平面于， 设，则，， 所以正四棱锥的高为， 所以容积. 6. 若函数在上的最大值为4，则的取值范围为（ ） A. B. C. [1，15] D. [1，17] 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式画出函数图象，数形结合即可求出的取值范围. 【详解】可知在单调递增，在单调递增， 且，画出函数图象， 观察图象可知，要使在上的最大值为4，需满足. 故选：C. 【点睛】本题考查已知分段函数的最值求参数范围，属于基础题. 7. 函数的图象关于点对称，且直线与函数图象的相邻两个交点的距离为，则正实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直线与函数图象的相邻两个交点的距离为，得到最小正周期，从而求出的值，再根据正切函数的对称性求出，进而即可求出的最小值． 【详解】因为直线与函数图象的相邻两个交点的距离为， 所以函数的最小正周期为， 所以，解得． 又函数的图象关于点对称， 则，即． 所以正实数的最小值为． 8. 定义在上的函数满足：，且，当时，，则的最大值与最小值的差为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知推得是周期为8的周期函数，结合对称性求得，利用导数研究函数的区间单调性，应用周期性、对称性求最值，即可得. 【详解】因为定义在上的函数满足： ，所以的图象关于直线对称， ，所以的图象关于点对称， 所以，， 所以，则， 所以，则， 故是周期为8的周期函数，的定义域为， 所以对称中心在的图象上，可得，所以， 当时，，则， 当或时，；当时，． 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，极大值，极小值， 因为，，所以，， 因为的图象关于点对称，所以时，，． 当时，，． 由于的图象关于直线对称，故时，，． 因为是周期为8的周期函数，故当时，，． 因此的最大值与最小值的差为． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 样本数据13，15，24，12，18，27，21，26，19，23的第70百分位数为23 B. 若一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60 C. 若随机变量服从二项分布，则 D. 若随机变量服从正态分布，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据百分位数的求解步骤求解；对于B，由方差可得这组数的均值，据此得到总和即可；对于C，根据二项分布求出，再利用方差的线性关系计算即可；对于D，根据正态分布的对称性计算概率即可． 【详解】对于A，样本数据13，15，24，12，18，27，21，26，19，23共10个数， 从小到大排列为12，13，15，18，19，21，23，24，26，27， 由于，故第70百分位数为第7和第8个数的平均数， 即，故A错误； 对于B，由方差的公式可知，这组样本数据的平均数是6，这组样本数据的总和为，故B正确； 对于C，易得，则，故C正确； 对于D，若服从正态分布， 则，故D正确． 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为的极大值点 B. 若，且，则 C. 若，则对，都有 D. 对，，使得有3个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，通过求导判断函数的单调性，进而可确定其极大值点； 对于选项B，根据导函数的二次函数的对称性即可判断； 对于选项C，通过计算，即可判断； 对于选项D，结合函数的单调性和极值情况即可判断其零点个数. 【详解】由，可得， 对于A选项，令，可解得或， 因为，所以当时，恒成立，函数单调递增， 当时，恒成立，函数单调递减， 当时，恒成立，函数单调递增，所以为的极大值点，故A正确； 对于B选项，因为，为开口向上的二次函数，对称轴为， 又，且，所以根据二次函数的对称性，可得，故B正确； 对于C选项，当时，， 则， 所以， 当时，即，可得，故C错误； 对于D选项，由前面分析可得，当时，为极大值点，为极小值点， 所以，， 当时，；当时，， 所以， 因为，所以，即， 所以对，，使且，所以有3个零点，故D正确. 故选：ABD 11. O为坐标原点，抛物线的准线与x轴的交点为M，直线l与x轴交于点N，与抛物线C交于A，B两点，满足，作于D，则（ ） A. N的横坐标是4 B. C. 直线斜率的最大为 D. 当直线与C相切时， 【答案】AD 【解析】 【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，结合向量垂直的坐标表示求出点坐标判断A；求出直线为切线时，直线的方程及点坐标求解判断BCD. 【详解】依题意，点，直线不垂直于，设其方程为，， 由，得，，，， 由，得直线不过原点，且，，解得， 对于A，直线与x轴交于点，A正确； 由对称性不妨令，直线，由消去， 得，当直线与C相切时， ，解得，此时直线，， 对于BD，点，， 因此，B错误，D正确； 对于C，当直线与C相切时，直线，由，解得， 即点，直线的斜率，C错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的右焦点为，则双曲线的渐近线方程为__________. 【答案】 【解析】 【详解】由题设，可得，而， 所以双曲线的渐近线方程为. 13. 若直线是曲线的切线，则___________． 【答案】6 【解析】 【分析】通过令曲线导数等于切线斜率求出切点横坐标，再代入曲线和直线方程即可求解. 【详解】设切点为，，则， 由题意得，即，解得， 将其代入到，则，即切点为， 将其代入到，即，解得. 14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，求的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用条件消去，结合余弦定理和面积公式将目标式转化为关于的函数，再通过换元转化为二次函数的最值问题求解. 【详解】由条件，得. 由余弦定理，. 三角形面积，故. 由，代入的表达式， 得 因此，. 令，则， 代入得 设（），则， 代入分子得 故. 令，则. 设（），则， 这是开口向下的二次函数，对称轴为. 当时，取得最大值，故. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式； （2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得. 【小问1详解】 ∵，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； 【小问2详解】 ∴ 16. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. 【小问1详解】 因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. 【小问2详解】 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 17. 在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点． （1）求直线AB与DE所成角的余弦值； （2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果； （2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果. 【详解】 （1）连 以为轴建立空间直角坐标系，则 从而直线与所成角的余弦值为 （2）设平面一个法向量为 令 设平面一个法向量为 令 因此 【点睛】本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题. 18. 某从业资格考试共分3级，考生必须从第1级考试开始，每级考试次数不限，通过后即进入下一级考试，直至第3级考试通过，考试终止并取得从业资格．已知甲参加一次第1，2，3级考试通过的概率分别为，，，且每次考试相互独立．记甲第次考试后取得从业资格为事件． （1）求，； （2）求的表达式； （3）甲第次考试恰通过2级为事件，比较与的大小，并根据你的理解说明其含义． 【答案】（1）， （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式即可求解； （2）分析出事件发生分两步：第次考试后恰好通过第2级考试，概率为，第次至次参加第3级考试没有通过，第次通过，概率为，由全概率公式及错位相减法即可求解； （3）由题意表示出，由条件概率公式及作差法得出，构造数列，得出的大小情况，进而得出与的大小． 【小问1详解】 依题意，， ． 【小问2详解】 事件发生分两步： 第一步，第次考试后恰好通过第2级考试，概率为， 第二步，第次至次参加第3级考试没有通过，第次通过，概率为； 由全概率公式得，， 设， 则， 两式相减得， ， 所以，所以． 【小问3详解】 依题意，， 又因为，， 所以， 令，则， 因为，所以， 故数列在时递增，又，， 故当，4时，， 故，即， 说明甲取得从业资格的前一次考试2级刚过的概率较大， 当时，，故，即， 说明甲取得从业资格的前一次考试2级刚过的概率较小． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求a的取值范围； （3）已知，为的两个零点，当时，证明：． 【答案】（1）时，在上递减；时，在递减，在递增． （2） （3）证明：当时， 由（1）知，此时的极小值点为 ，且在单调递减，在单调递增. 不妨设，要证，即证. ，且在单调递减， 只需证，又， 即证. 令， ， ， 令，当且仅当时等号成立， 而，所以. 则， 则，所以可化为， 即，这是一个开口向上的二次函数，对称轴， 而，所以，也即， 所以在上单调递增，而，所以， 即，故， 从而，结合单调性得，即. 【解析】 【分析】（1）先求得，然后对进行分类讨论，由此求得的单调区间. （2）对进行分类讨论，结合零点存在性定义求得的取值范围. （3）将要证明的不等式转化为证明，利用构造函数法，结合导数证得不等式成立. 【小问1详解】 ，恒成立． 当时，，则，在单调递减； 当时，令得. 时，；时，． 综上：时，在上递减； 时，在递减，在递增． 【小问2详解】 时，单调递减，最多1个零点，不符. 时，． 有两个零点需且． 设，，在（递增. ，则． 综上，a的取值范围是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $