安徽省合肥一六八中学2026届高三下学期规范性训练数学试题

姓名」 座位号 (在此卷上答题无效) 2026届高三规范性训练 数学 (考试时间：120分钟 满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，务 必擦净后再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的. 1.已知复数2=石，则2+2-（ A.-2 B.-2i C.2 D.2i 2已知集合A={x|<x<2},B=[xx-ad<2},若AcB,则实数a的取值范围是() A(o,) B[,] c[2] D（2,) 3.(人教A版必修第一册复习参考题5复习巩固T4改编)若8cos2a-3sin2a+1=0,则tana=() A.3 B时 C.2 时 4.(人教A版必修第二册习题6.3拓广探索T15改编)定义平面斜坐标系xoy,记∠xoy=120°，e,e2分别 为x轴、y轴正方向上的单位向量.若O丽=xe+ye2,则称(x,y)为P的斜坐标.已知A,B的斜坐标分别为 (1,2),(2,1),则AB=（） A.1 B.2 C.3 D.7 5.正多面体的研究始于古希腊柏拉图学派，正四面体与正八面体是其中最具代表性的两 类.将正四面体的棱的中点相连，内部会形成一个完美的正八面体，这一结构是空间对 称性的经典体现.如图，在正四面体ABCD中，连接各棱的中点构造出正八面体PMNEFQ, 若该正八面体的相对顶点连线PQ=2√2，则正四面体ABCD的高为( A.4v6 B.26 C.4w6 D.2V6 3 3 2026届高三规范性训练第1页共4页 6数时) e-x-ex 的大致图象为() 头 7.等比数列{a}的前n项和为S,则下列说法不正确的是( A.若a2a7+a3a6=6,则a1a2a3ag=81 B.若{a}是递减数列，则公比q满足0<q<1 C.若S3=7,56=63,则公比q=2 D.若Sn=2n+t(t为常数)，则t=-1 8.已知定义在R上的函数f(x)满足对Vx∈R,有f(1-x)+f(3+x)=f(2),且对Vx1≠x2,都有 f)f包>0.设g()=f0x+1)+4x+e-1-e1-,若对vx∈(0，+m),都有g(xex+ax+lm0≤4恒 X1-X2 成立，则实数a的取值范围为() A[,+o) B.(∞，-] c(-∞，-3] D.[a,+∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.(人教A版必修第二册P224复习参考题9T2改编)1名同学掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根 据该同学的统计结果，可以判断可能出现点数为6的是( A.平均数为3，中位数为2 B.中位数为3，众数为2 C.平均数为2，方差为2.4 D.中位数为3，方差为2.8 10.设三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+1,其中a>0,则下列说法正确的是() A当a=1时，若函数f)的对称中心为(1，号)，则f(-1)=- B.当b=0时，函数f(x)的图象关于点(O,1)中心对称 C.当a=1时，若f(x)的两个极值点为x1,x2(x1<x2),且x2=2x1,则27c=8b2 D.当b=1时，若f()有三个相异且成等差数列的零点，则实数知的取值范围为(0，等) 2026届高三规范性训练第2页共4页 知椭圆C+Q>h>0,其左有焦点分别为R,离心率为©，过左焦点乃的直线与C区 于A,B两点，若点A在x轴上方，且AF·AF,=0,则下列说法正确的是() Aec[) B.SA40B=b2(0为坐标原点) C.点A在第一象限，则 A到73 BR D.若E为C的下顶点，则AE22b 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(人教A版选择性必修三复习参考题6复习巩固T5)(x2+x+y)5的展开式中x5y2的系数 为 13已知a>0,b>0,且b=1,则十2办十的最小值为 2a atb 14平面直角坐标系中，曲线x2=y(x>0)上有一系列点C1(xy),Cz(x2,y2),….对Vm∈N,以Cn为 圆心的圆Cn与x轴都相切，且圆Cm与圆Cn+1彼此外切.若x+1<x,且x1=1,记数列{xnxn+1}的前n项的 和为S。,则使得S。<。恒成立的最小正整数m为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosB=c+bc0s2A. (1)求A: (2)若D为BC的中点，AD=3,△ABC的面积为3V3,求a. 16.(15分)AI手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、智能机器人等共同纳 入国家发展战略，某商场为了解顾客的购买意愿，随机调查了200位顾客购买AI手机的情况，得到数据 如表. 购买AI手机 购买无AI技术的手机 总计 男性顾客 45 65 110 女性顾客 56 34 90 总计 101 99 200 (1)根据表中数据，判断是否有99%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关？并说明理由： 2026届高三规范性训练第3页共4页 (2)为促进AI手机的销量，该商场为购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项， 分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为号和号，其余情况不中奖.每位顾客 允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立.记某位顾客两次抽中的奖金之和为X元，求随机变量X的数学 期望。 参考公式及数据：①X2= n(ad-bc)2 其中n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ②P(x2≥6.635)≈0.01，P(x2≥5.024≈0.025，P(x2≥3.841)≈0.05，P(x2≥2.706)≈0.1. 17,(15分)（人教A版选择性必修一习题3.2拓广探索13、T14改编）已知双曲线”二-1. 416 (1)试问过点N(1,I)能否作一条直线与双曲线交于S、T两点，使N为线段ST的中点，如果存在，求出 其方程：如果不存在，说明理由； (2)直线l:y=kx+m(k≠士2)与双曲线有唯一的公共点M,过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y 轴于A(,0),B(0,,)两点.当点M运动时，求点P(x,%)的轨迹方程 18.(17分)如图，在三棱锥P-ABC中，PA=1,PB=2V3,PC=3,AB=3,BC=V6,AC=V7,点M,N 分别是棱PB,PC上的点，且直线PA⊥平面AMN. (1)求MN的长： (2)求三棱锥P-ABC的体积； (3)求直线BC与平面PAB所成角的正弦值。 19.(17分)已知函数f(x)=lm(x+1),g(x)=e. (1)关于x的不等式g(x)<f(x)+a有解，求a的取值范围： (2)m∈R,n∈(0，+oo),有g(m=f()成立，证明：n-m>1; (3)s,t∈(0，+)，令p(x)=f(x)g(x),证明：p(s+t)>p(s)+p(t) 2026届高三规范性训练第4页共4页2026届高三规范性训练答案·数学 一、单项选择题 1.C2.B3.A4.C5.A6.A a 【解析】5.设正四面体ABCD的棱长为a,连接各棱中点形成的正八面体PMNEFC9的棱长为2 根据题意，正八面体相对顶点连线P吧=2√5，由于正八面体可内接于正方体， 其体对角线（相对顶点连线）等于楼长的V5侣，故有，吧-三5-2 ,解得a=4 h=V6 h=4V6 正四面体的高公式为”=3“，将a=4代入得：3。 7.B8.B 【解析】由题意，令x=-1,则f(2)+f(2)=f(2),所以f(2)=0,f(x)关于(2,0)中心对称，且函数在 R上单调递增.又因为g(x)+g(2-x)=f(x+1)+4x+e-1-e1-x+f(3-x)+4(2-x)+e1-x- ex-1=8,所以g(x)关于(1,4)中心对称，又4x-4+e-1-e2-x在R上单调递增，所以g()在R 上单调递增. 若对x∈(0，+o),都有g(xer+ax+lnx)≤4恒成立，4=g(1),所以g(xear+ax+lnx)≤g(1)· 所以xeax+ax+lnx≤1对任意正实数x恒成立，所以ear+x+ax+lnx≤1，记h(x)=ex+x,所以 h(x)在R上单调递增，且h(o)=1.于是h(ax+lnx)≤1恒成立，等价于ax+lnx≤0对任意正实 数成立.即-a≥，对x>0.记p()=,则p()=,所以p()在区间(0，e)上单调递 增，在e+四)上单调递减所以-a之pnx=p(e-日.所以解得：a≤- 二、多项选择题 9.ABD 10.BCD 11.ACD 【解析】9.解：对于A,当掷骰子出现的结果为1,1,2,5,6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点6，所以A正确： 对于B,当掷骰子出现的结果为2,2,3,4,6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点6，所以B正确： 对于C,若平均数为2，且出现点数6，则方差s2>-2)2=3.2>24,所以当平均数为2，方差为2.4时，一定不会出现点数6， 所以C错误； 对于D,当掷骰子出现的结果为1,2,3,3,6时，满足中位数为3，则平均数为x=(1+2+3+3+6)=3,方差 为g=2[0-3)+2-3》+6-3》+6-3》+(6-3》]=28，所以可以出现点6，所以D正确，故选：ABD 【解析】10.对于A:由a=1可得f()=x3+bx2+cx+1,因为函数f)的对称中心为（1，)， 所以对x∈Rf(1-)+f(1+x)=专，即(6+2)x2+2+2b+2C+2=号， 所以6+2b=0,解得b=-3,又2-6+2c+2=专，解得c=号 第1页共9页 所以f)=x3-3x2+号x+1,故f(-)=-号，A错误： 对于B:当b=0时，f(x)=ax3+cx+1, 因为y=Qx+cx是奇函数，关于点(0,0)对称， 所以函数f(x)的图象关于点(0,1)中心对称，故B正确： 对于C:由a=1可得f(x)=x3+bx2+cx+1,f(x)=3x2+2bx+c, 则x,x2是方程3x2+2bx+c=0的两根，所以x1+x2=-台x2=后， 又2=2，所以x1=-号=号，所以c=智-警，即27c=862,故C正确： 对于D:因为b=1,所以f(x)=ax3+x2+cx+1, 设三个相异且成等差的零点为m-d,m,m+d(d>0), f(x)=alx-(m-d)](x-m)[x-(m+d)]=ax3-3max2+(3m2-d2)ax-ma(m2-d2), 所以-3am=1,得m=-六，又-ma(m2-d)=1,所以a2=a-3, 由京-3>0得-号<a<号，又a>0,所以0<a<号， 即a的取值范围为(O,,故D正确.故选：BCD. 【解析】11.根据条件，可得A耳⊥AF,根据勾股定理、椭圆的定义及面积公式，可得△AE面积的表达式，即可得A点纵坐标 b2 y4=2,根据yA≤b,结合ab,c的关系，整理计算，可判断A的正误；根据S△4s>S△AO5,分析可判断B的正误：根据余弦 A 定理，可得A、B的表达式，即可得 B 的表达式，结合A的范围，分析求解，可判断C的正误；由条件，可得|AEP 的表达式，进而可得|AEP-4b?的表达式及范围，整理化简，即可判断D的正误 【详解】选项A由A·A区=0，得A1A5,则A+A=R=4c2, 由椭圆的定义得A+A引=2a,则(0A+AF=A+A+2AlA引=4a, 所以4c2+2AAF=4a2,则ARAF=2a2-2c2=2b2, 所以85=h]sn子b, 2 又8-6线：92=，则g 第2页共9页 又4sb,所以sb,则bsc,所以≤c2,则d-c2sc, 所y2c2,则2即e之2'解特含≤e1,放4正确 2 选项3a>5后子，故5始民 选项C:若点A在第一象限，则A>B, 设∠=0e0) 设A=m|Bf=n, 由余弦定理得(2a-m2=m2+4c2-2m.2cc0s0, 则4a2+2-4amL=m2+4c2-41ccos0,整理得ad2-c2=ml-ccos0=b2, b2 所以m= a-ccose =A,同理可得n=B= b2 a+ccos0 1+e AF 则H a+ccos0 1+ecose FE 1+Al 20 BF a-c cos0 1-ecos0 1-e A 1-A☒ RE 2a 由点4在第-象限知a<A<a+c,则}s1+e, 22a22 设t-Ae+）,则A-1+:-1+,2 2a22+2)则1 BF 1-t 1+231) 所以2>3，故c正确： b3)2 选项D:由A项知y4= ,所以x=d1- b2 2(c2-b2) b 14f=+46_g-,度+8+b6-n+6e+e+e2+b-0_6+e2+25-b9. 则AB-4的.e+。2+2b-6c）46:_6-P2b+20,所以1AB2b,故D正确 第3页共9页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.30 13.4 a+b+8 【解析】根据已知条件，将所求的式子化为2+b,利用基本不等式即可求解。 【f1a>0b>0a+b>0.=1云六+。会费。-62 +bx8=4 当且仅当a地=4时取等号，结合ab=1,解得a=2-5,b=2+5,或a=2+5,b=2-5时，等号成立.故答案为：4 【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题， 14.507 【解析】因为点Cn(xnyn)在曲线x2=y(x>0)上，故yn=2x员；因为圆Cn与x轴都相切，故圆Cn的半径为yn,由圆Cn 与圆Cn+1彼此外切，得到Vcn-xn+i)2+yn-yn+1)2=yn+yn+1,则(xn-x+1)2=yn+yn+1)2-0yn-y+1)2=4ynyn+1= 16品1，因为太>+1，所以名-+1=，x+1,即品名=4，数列侣}是以=1为首项4为公差的等差数列，即 去=4n-3,故x=,S.=x2+x24++x文+1=(-)<京，且mS.=京，故m22026×号=5065，最小正 1 整数m为507. 四、解答题 15.(13分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosB=c+bcos2A. (1)求A; (2)若D为BC的中点，AD=3,△ABC的面积为3V3,求Q. 16.AI手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、智能机器人等共同纳入国家发展战略.某商场为了解顾 客的购买意愿，随机调查了200位顾客购买AI手机的情况，得到数据如表. 购买AI手机 购买无AI技术的手机 总计 男性顾客 45 65 110 女性顾客 56 34 90 总计 101 99 200 (1)根据表中数据，判断是否有99%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关？并说明理由； (2)为促进AI手机的销量，该商场为购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元 手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和好，其余情况不中奖。每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立.记某位顾 客两次抽中的奖金之和为X元，求随机变量X的数学期望。 n(ad-bc)2 参考公式及数据：①x=a+C0a9o+可其中a=ab+c+d ②P(f≥6.635)≈0.01，P(≥5.024)≈0.025，P(≥3.841)≈0.05，P(≥2.706)≈0.1. 【解答】解：(1)假设购买AI手机与顾客性别无关， 根据公式x2=20x5x3465x56≈8.995，因为8.995>6.635，所以假设不成立， 110×90×101×99 即我们有99%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关，此判断犯错误概率不超过0.01； (2)r可能取的值为0,100,200,300,400， 每次抽奖不中的奖的概率为1-。京中10元概率为号中20元概率为 第4页共9页 PX=0)=2- PX=100)=2×写×号= PX=20)=(2+2××6+日 PK=30)=2,x×-吉 PK=400)=(台2=6 所以r的分布列为： 0 100 200 300 400 1-4 19 18 36 期望为(0=0×2+10×分+200×音+300×行+400×第=智 17.八教A版选择性必修一习题3.2拓矿探索13、14改编（15分)已知双曲线女-二-1. 416 (1)试问过点N(1,1)能否作一条直线与双曲线交于S,T两点，使N为线段ST的中点，如果存在，求出其方程；如果不存在，说 明理由； (2)直线l:y=x+m(k≠±2)与双曲线有唯一的公共点M,过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于A(x,0), B(O,)两点.当点M运动时，求点P(,)的轨迹方程. 【答案】(1)不能，理由见解析： 2x2 =1,y≠0. '10025 【分析】(1)设出直线ST的方程，与双曲线方程联立，由判别式及给定中点坐标计算判断作答. (2)联立直线l与双曲线的方程，由给定条件得到2=4(k2-4),求出M的坐标及过点M与直线l垂直的直线方程，即可求解作 答 【详解】(1)点N不能是线段ST的中点， 假定过点N(1,1)能作一条直线与双曲线交于s,T两点，使N为线段ST的中点， 显然，直线ST的斜率存在，设直线ST的方程为y-1=n(x-1),即y=-n+1, 而双曲线y =1渐近线的斜率为士2，即n≠±2， 416 [y=nx-n+1 由仁--1符(4-r)r+201-1x-m--16=0,则有-1，解行m=4, 4-n2 416 此时△'=4m(-1)2-4(m-4)[n-1)2+16]=4×16×9-4×12×25<0,即方程组无解， 所以过点N(1,1)不能作一条直线与双曲线交于S,T两点，使N为线段ST的中点. 第5页共9页 x2 y2 (2)依题意，由4161消去y整理得(4-R2)-2-(㎡2+16)=0， y=kx+m 因为k≠±2，且M是双曲线与直线l唯一的公共点， 则有△=(-2k02+4(4-k2)(m+16=0,即m2=4k2-4,点M的横坐标为m=-4址 94-2=m 点M(4华，-16)，≠0，过点M与直线1垂直的直线为y+6= 161,4k、 。(x+), mm m k m 因此0二 20,为=20.￡发=4状16=49-1，为≠0， m’10025m22-m2 所以点P)的轨迹方程为005=1。v≠0 18.(本小题满分17分)如图，在三棱锥P-ABC中，PA=1,PB=2√5，PC=3,AB=3,BC=√6，AC=√7，点 M,N分别是棱PB,PC上的点，且直线PA⊥平面AMN, (1)求N的长； (2)求三棱锥P-ABC的体积； (3)求直线BC与平面PAB所成角的正弦. 【详解】(1)在aPAC中，由余弦定理，得cos∠APC=PA+PC-AC2_1+9-7L 2PA.PC 2x1x3-21 在aPAB中，由余弦定理，得cos∠APB=P4+PB-AB21+12-9V5 2PA.PB 2x1x2W331 因为PA⊥平面AMN,AM,ANC平面AN, 所以PA⊥AM,PA⊥AN, 在RPsZ4 PM-P PM-P43 cos∠APMV5 3 在APA中，w∠AFN-PNo1N士2 2 在△PBC中，由余弦定理，得cos∠BPC-PB+PC-BC_12+9-65V3 2PB.PC 2x23x3 12 第6页共9页 所以在aPMN中，由余弦定理，行N=VPM+PN-2 PM.PN-MPN-=3+4-2xBx2x5-5 12 (2)所以在RtAPAM中，AM=VPM-PA=V2, 在Rt△PAN中，AN=√PN2-PA=V3, 在aMN中，由余弦定理，得cs∠MN=M+4-W-2+3-2V6 2MA·NA 2×√2×√34 所以sin∠MAN=V1-cos2∠MAN √10 4 设点A到平面PBC的距离为h, 由三棱锥的体积公式和性质， 1 .4_'AL= L.h.S. 3 PM.PN-sin /MPN 5x2 1 得 V-ABC VA-PBC .h-S.pBc PB.PC.sin∠MPN 23x33所以 3 2 -Ac=3-Ar=3X3 PAAM.AN.sir∠MN=23√0 3 2 44 (3)由上可知：MA=N,取AN的中点O,显然OM⊥AN, 因为PA⊥平面AMN,OMc平面AMN, 所以PA⊥OM, 因此以OM,ON所在的直线为x轴和y轴，过O与PA平行的直线为二轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 40oa99wa月 由上可知：M是棱PB中点，PN=2NVC, u小cf-引c-(59到 设平面PAB的法向量为=(x,y,), pA=(0,0,-1),PB=(N5,5,-2) 第7页共9页 m.PA=-2=0 03=0 所以 m PB=V5x+3y-2=05x+3y=0' 所以取该平面的一个法向量为m=(√3，-√5,0）， 设直线BC与平面PAB所成角为日， 所以sin0=cos(BC,m BC·i v5 2 35 BC园 3+x3+5 8 5+ 44 19.(本小题满分17分)已知函数f(x)=lh(x+1)，g(x)=e. (1)关于x的不等式g(x)<f(x)+a有解，求a的取值范围： (2)meR,ne(0,+oo),有8()=f(m)成立，证明：n-m>1: (3)s,t∈(0，+o),令p(x)=f(x)g(x),证明：p(s+t)>p(s)+p(t). 【答案】(1)a>1 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】(1)将不等式有解问题转化为函数最值问题，通过构造(x)=g()-f(x)并利用导数分析单调性，求出最小值后直接得到 参数a的取值范围. (2)通过引入中间变量t,将-m转化为关于t的函数F(),再利用导数研究其单调性与最小值，结合隐零点技巧完成证明. (3)采用固定变量、构造辅助函数H()的方法，通过分析其导数的符号判断单调性，再结合端点值完成不等式证明. 【详解】(1)8(x)<f(x)+a有解，即需a>[g(x)-f(x)lim,设h(x)=g(x)-f(x)=e-n(x+1), hx)=e-1,h在(-10上小于0，在(0，+四上大于0， x+1 .h(x)在(-1,0)上单调递减，(0，+o)上单调递增， .hx)mn=h(0)=1,故a>1. (2)令8(=f(m)=t,t∈(0，+o),m=lnt,n=e-1. F()=n-m=e-1-Int,(t)=e_1 P'(四在(Q+)上单调递增。：r0,F四>0， 第8页共9页 根据零点存在定理， 上存在唯一，使得F'()=0, 即0-上=0,6e0=1,两边取对数有6+1n6=0, F'()在(0，)上小于0，在(，+0)上大于0， Ft)在(0，右)上单调递减，(t,+o)上单调递增， Fea=F6）=-1=名6-b1，即m-m>1 (3)原命题p(S+t)>p(S)+p()等价于p(S+)-p(S)-p()>0, 令H()=p(S+t)-p(s)-pt),将s看作定值，t看作变量. H(t)=e+n(s+t+1)-en(s+1)-en(t+1). 0=er[a(e+-0+-6-y-4 事r0-teh6)h),周 第一部分：en(s+t+1)-nt+1)>0, 因为s>0,所以e°>1，且s+t+1>t+1>1,lh函数单调递增， 故n(s+t+1)>ln(t+1)>0,因此：en(s+t+1)>ln(s+t+1)>n(t+1), 即en(s+t+1)-nt+1)>0; 第二部分：，e，1>0, s+t+1t+1 利用经典不等式e>x+1(x>0),得e>5+1,因此：e一>5+1 5+t+1s+t+1 又因为8t>0,交叉相乘易证G+10+)>5+1+1,即+1>1 s+t+1t+1 故：、e 、1e°1 :8+t+i>t+i9s+t+1t+ >0, 两部分均为正，故H'(t)>0,即H()在(0，+∞)上单调递增，H(0)=p(s)-p(s)-p(0)=0, H(t)>H(O)=0恒成立，故原命题成立，证毕. 第9页共9页