第05课 花坛的周长（导学案）新六年级数学暑假自学课（北师大版·新教材）

第05课 花坛的周长 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 （1）巩固公式：进一步熟练掌握圆的周长计算公式 C=2πr 或 C=πd 。 （2）掌握策略：学会在缺少具体数据时，运用“假设法”（代入具体数值）和“代数法”（用字母表示数）来解决问题。 （3）发现规律：理解并掌握“同心圆周长差”的规律，即：当圆的半径增加a米时，周长增加 2πa 米。 2、重难点。 重点： （1）探究方法的掌握：重点在于引导学生如何使用“假设法”。 （2）规律的推导与理解：能够推导出外圆周长−内圆周长=2π×(R−r)=2π×路宽 。 难点： （1）突破直觉思维：学生很难相信“地球赤道外围加高1米”和“乒乓球外围加高1米”所增加的周长是一样多的。如何让学生从心理上接受这个反直觉的结论是难点。 （2）代数推导的理解： 理解2π(r+1)−2πr这一步运算的几何意义——即利用乘法分配律提取公因数 2π ，从而消去未知的半径r ，证明结果与r无关。 模块二 预习引导 1、 解决问题的策略（核心方法）： 1、假设法（特殊值法）， 2、代数法（字母表示数）。 二、圆环周长差的规律（核心结论）： 1、基本模型： 有一个小圆（内圆），半径为r。 外面套一个大圆（外圆），半径为R。 两圆之间的宽度（环宽）为d=R−r。 2、公式推导： 大圆周长 小圆周长 周长差 3、最终结论： 周长的增加量 = 2π×环宽（或者2π×半径增加量）。 重要性质： 圆的周长增加了多少，只取决于半径增加了多少，跟圆原来是大是小完全没有关系。 三、易错点提示： 1、混淆面积与周长： 如果是求面积增加多少，结果会跟原来的半径有关（圆越大，加宽1米增加的面积越多）。 但本题求的是周长，结果与原半径无关。 2、单位换算： 注意题目中给出的宽度单位（如1m）和最后要求的单位是否一致。 3、π的取值： 在推导规律时保留π最准确；如果在具体计算中，通常取π≈3.14，那么增加的长度就是 2×3.14=6.28米。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1、一个圆形花坛的半径是r米，在花坛周围修一条宽2米的小路。小路外侧大圆的半径是（ ）米。 A. r B. r−2 C. r+2 D. 2r 2、关于“花坛扩建”问题，下列说法错误的是（ ）。 A. 可以用假设具体数值的方法来寻找规律。 B. 无论花坛原来的半径是多少，只要路宽相同，增加的周长就相同。 C. 花坛原来的半径越大，扩建后增加的周长就越多。 D. 可以用字母r表示原半径来推导通用的公式。 3、一个圆的半径增加 1 cm，它的周长增加（ ）。 A. 1 cm B. 2 cm C. π cm D. 2π cm 4、小明用假设法探究花坛周长问题，他假设花坛半径为 5m，算出增加2πm；又假设半径为 100m，算出增加2πm。这说明了（ ）。 A. 他的计算可能出错了，应该再试一次。 B. 增加的周长与花坛原来的大小无关。 C. 只有当半径是 5m 或 100m 时，规律才成立。 D. 半径越大，周长增加得越慢。 5、如果用字母表示大圆周长，表示小圆周长，Δr表示半径的增加量（路宽），那么圆周长的增加量 ΔC可以表示为（ ）。 A. ΔC=π×Δr B. ΔC=2×Δr C. ΔC=2π×Δr D. ΔC=π×(Δr) 2 6、地球赤道是一个巨大的圆，假设我们在赤道上围一根绳子。现在把绳子延长 10 米，使绳子均匀地离开地面形成一个同心圆环。这个间隙（环宽）大约是（ ）。（提示：利用本课学到的规律逆推，ΔC=2π×环宽） A. 约 1.6 米 B. 约 3.14 米 C. 约 6.28 米 D. 无法确定，因为不知道地球半径 二、填空题 1、圆形花坛周边扩建出 1m宽的小路。我们要解决的问题实际上是求（ ）圆周长比（ ）圆周长多多少米。 2、在探究规律时，如果没有具体的半径数据，我们可以采用（ ）法，即假设几个具体的半径数值进行计算；也可以采用（ ）法，即用字母表示数进行推导。 3、根据教材中的推导过程：2π×(r+1)−2π×r=2πr+2π−2πr= （ ）。这说明结果中不包含字母 r，意味着结果与原半径（ ）（填“有关”或“无关”）。 4、一个圆的直径是10厘米，如果直径增加2厘米，那么周长增加（ ）厘米。（结果保留π） 5、两个同心圆，外圆半径比内圆半径多3分米，那么外圆周长比内圆周长多（ ）分米。（结果保留π） 6、判断题（对的打√，错的打×）： (1) 大圆的半径是小圆的2倍，那么大圆的周长也是小圆的2倍。（ ） (2) 两个圆的半径都增加 1 米，大圆增加的周长比小圆增加的周长要多。（ ） 三、解答题 1、一个圆形喷水池的半径是 5 米。现在要在喷水池周围修一条宽 1 米的环形石子路。 (1) 修好后，石子路外边缘的圆半径是多少米？ (2) 石子路外边缘的周长比喷水池的周长增加了多少米？（结果用含π的式子表示） 2、学校有一个圆形草坪，半径未知。体育老师想在草坪外围铺一圈宽 2 米的塑胶跑道。 (1) 学生甲说：“不知道半径没法算。” 学生乙说：“我可以假设半径是 10 米来算算看。” 学生丙说：“我可以设半径为r米来推导。” 请你分别用学生乙和学生丙的方法算出跑道外沿周长比草坪周长增加了多少米？ 3、杂技演员表演“独轮车走钢丝”，车轮的直径是 40 cm。 (1) 车轮滚动一周的距离是多少厘米？ (2) 如果给车轮加一个宽 5 cm 的轮胎保护圈（相当于半径增加 5 cm），那么保护圈外沿滚动一周的距离比原来增加了多少厘米？ 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05课 花坛的周长 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 （1）巩固公式：进一步熟练掌握圆的周长计算公式 C=2πr 或 C=πd 。 （2）掌握策略：学会在缺少具体数据时，运用“假设法”（代入具体数值）和“代数法”（用字母表示数）来解决问题。 （3）发现规律：理解并掌握“同心圆周长差”的规律，即：当圆的半径增加a米时，周长增加 2πa 米。 2、重难点。 重点： （1）探究方法的掌握：重点在于引导学生如何使用“假设法”。 （2）规律的推导与理解：能够推导出外圆周长−内圆周长=2π×(R−r)=2π×路宽 。 难点： （1）突破直觉思维：学生很难相信“地球赤道外围加高1米”和“乒乓球外围加高1米”所增加的周长是一样多的。如何让学生从心理上接受这个反直觉的结论是难点。 （2）代数推导的理解： 理解2π(r+1)−2πr这一步运算的几何意义——即利用乘法分配律提取公因数 2π ，从而消去未知的半径r ，证明结果与r无关。 模块二 预习引导 1、 解决问题的策略（核心方法）： 1、假设法（特殊值法）， 2、代数法（字母表示数）。 二、圆环周长差的规律（核心结论）： 1、基本模型： 有一个小圆（内圆），半径为r。 外面套一个大圆（外圆），半径为R。 两圆之间的宽度（环宽）为d=R−r。 2、公式推导： 大圆周长 小圆周长 周长差 3、最终结论： 周长的增加量 = 2π×环宽（或者2π×半径增加量）。 重要性质： 圆的周长增加了多少，只取决于半径增加了多少，跟圆原来是大是小完全没有关系。 三、易错点提示： 1、混淆面积与周长： 如果是求面积增加多少，结果会跟原来的半径有关（圆越大，加宽1米增加的面积越多）。 但本题求的是周长，结果与原半径无关。 2、单位换算： 注意题目中给出的宽度单位（如1m）和最后要求的单位是否一致。 3、π的取值： 在推导规律时保留π最准确；如果在具体计算中，通常取π≈3.14，那么增加的长度就是 2×3.14=6.28米。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1、一个圆形花坛的半径是r米，在花坛周围修一条宽2米的小路。小路外侧大圆的半径是（ ）米。 A. r B. r−2 C. r+2 D. 2r 【答案】C 解析：扩建是在外围，所以大圆半径 = 原半径 + 路宽，即r+1。题目中路宽是2米的情况选C，如果是原题图示2米则是r+2。这里题目文字改为2米，故选r+2 。 2、关于“花坛扩建”问题，下列说法错误的是（ ）。 A. 可以用假设具体数值的方法来寻找规律。 B. 无论花坛原来的半径是多少，只要路宽相同，增加的周长就相同。 C. 花坛原来的半径越大，扩建后增加的周长就越多。 D. 可以用字母r表示原半径来推导通用的公式。 【答案】C 解析： 本课核心结论是周长增加量只与路宽有关，与原半径大小无关。所以C说法错误。 3、一个圆的半径增加 1 cm，它的周长增加（ ）。 A. 1 cm B. 2 cm C. π cm D. 2π cm 【答案】D 解析： 根据公式ΔC=2π×Δr ，半径增加 1，周长增加2π×1=2π。 4、小明用假设法探究花坛周长问题，他假设花坛半径为 5m，算出增加2πm；又假设半径为 100m，算出增加2πm。这说明了（ ）。 A. 他的计算可能出错了，应该再试一次。 B. 增加的周长与花坛原来的大小无关。 C. 只有当半径是 5m 或 100m 时，规律才成立。 D. 半径越大，周长增加得越慢。 【答案】B 解析： 多次尝试结果一致，说明这是一个普遍规律，与原数值大小无关。 5、如果用字母表示大圆周长，表示小圆周长，Δr表示半径的增加量（路宽），那么圆周长的增加量 ΔC可以表示为（ ）。 A. ΔC=π×Δr B. ΔC=2×Δr C. ΔC=2π×Δr D. ΔC=π×(Δr) 2 【答案】C 解析： 这是本课推导出的核心代数模型。 6、地球赤道是一个巨大的圆，假设我们在赤道上围一根绳子。现在把绳子延长 10 米，使绳子均匀地离开地面形成一个同心圆环。这个间隙（环宽）大约是（ ）。（提示：利用本课学到的规律逆推，ΔC=2π×环宽） A. 约 1.6 米 B. 约 3.14 米 C. 约 6.28 米 D. 无法确定，因为不知道地球半径 【答案】A 解析：这是一个经典的数学趣题。根据ΔC=2π×环宽，则 环宽=ΔC÷2π。 10÷(2×3.14)≈1.59 米，约等于 1.6 米。这也验证了规律与地球半径（圆原本的大小）无关。 二、填空题（共6题） 1、圆形花坛周边扩建出 1m宽的小路。我们要解决的问题实际上是求（ ）圆周长比（ ）圆周长多多少米。 【答案】大（或外）；小（或内） 2、在探究规律时，如果没有具体的半径数据，我们可以采用（ ）法，即假设几个具体的半径数值进行计算；也可以采用（ ）法，即用字母表示数进行推导。 【答案】假设（或特值）；代数（或字母表示数） 3、根据教材中的推导过程：2π×(r+1)−2π×r=2πr+2π−2πr= （ ）。这说明结果中不包含字母 r，意味着结果与原半径（ ）（填“有关”或“无关”）。 【答案】2π ；无关 4、一个圆的直径是10厘米，如果直径增加2厘米，那么周长增加（ ）厘米。（结果保留π） 【答案】2π 解析：直径增加2，相当于半径增加1。周长增加2π×1=2π。或者直接用ΔC=π×Δd=π×2=2π 。 5、两个同心圆，外圆半径比内圆半径多 3 分米，那么外圆周长比内圆周长多（ ）分米。（结果保留π） 【答案】6π 解析：ΔC=2π×Δr=2π×3=6π。 6、判断题（对的打√，错的打×）： (1) 大圆的半径是小圆的2倍，那么大圆的周长也是小圆的2倍。（ ） (2) 两个圆的半径都增加 1 米，大圆增加的周长比小圆增加的周长要多。（ ） 【答案】(1) √；(2) × 解析： (1) C=2πr ，r变为2倍，C也变为2倍，正确。(2) 只要半径增加量相同，周长增加量就相同，与大圆小圆无关，故错误。 三、解答题 1、一个圆形喷水池的半径是 5 米。现在要在喷水池周围修一条宽 1 米的环形石子路。 (1) 修好后，石子路外边缘的圆半径是多少米？ (2) 石子路外边缘的周长比喷水池的周长增加了多少米？（结果用含π的式子表示） 【答案】解： (1) 5+1=6 （米） 答：修好后外边缘半径是 6 米。 (2) 方法一（直接套规律）： 2×π×1=2π（米） 方法二（常规计算）：2×π×6−2×π×5=12π−10π=2π（米） 答：周长增加了2π米（约6.28米）。 2、学校有一个圆形草坪，半径未知。体育老师想在草坪外围铺一圈宽 2 米的塑胶跑道。 (1) 学生甲说：“不知道半径没法算。” 学生乙说：“我可以假设半径是 10 米来算算看。” 学生丙说：“我可以设半径为r米来推导。” 请你分别用学生乙和学生丙的方法算出跑道外沿周长比草坪周长增加了多少米？ 【答案】解： 学生乙的方法（假设法）： 假设半径r=10米。 原周长：2×π×10=20π 新半径：10+2=12米 新周长：2×π×12=24π 增加量：24π−20π=4π （米） 学生丙的方法（代数法）： 设半径为r米。 增加量=2π(r+2)−2πr =2πr+4π−2πr =4π（米） 答：跑道外沿周长比草坪周长增加了4π米。 3、杂技演员表演“独轮车走钢丝”，车轮的直径是 40 cm。 (1) 车轮滚动一周的距离是多少厘米？ (2) 如果给车轮加一个宽 5 cm 的轮胎保护圈（相当于半径增加 5 cm），那么保护圈外沿滚动一周的距离比原来增加了多少厘米？ 【答案】解： (1) C=πd=40π（cm） (2) 题目已知半径增加5 cm（注意：题目说是加保护圈宽5cm，即Δr=5）。 根据规律：ΔC=2π×Δr ΔC=2×π×5=10π（cm） 答：(1) 滚动一周距离是40πcm；(2) 距离增加了10πcm（约31.4cm）。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $