第01课 用字母表示数量关系（导学案）新六年级数学暑假自学课（北师大版·新教材）

第01课 用字母表示数量关系 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 （1）理解意义：进一步理解用字母表示数的意义，知道字母可以表示变化的数，也可以表示数量关系。 （2）掌握写法：学会用含有字母的式子表示常见的数量关系（如总价=单价×数量，路程=速度×时间等）。 （3）规范书写：掌握含有字母的乘法算式的简写规则（如a×4写作4a，1×a写作a）。 2、重难点。 重点： （1）建立模型：能用含有字母的式子正确表示生活中的数量关系。 （2）简写规则：掌握含有字母的乘法式子的简写方法（数字在前，字母在后，乘号省略）。 难点： （1）理解双重含义：理解含有字母的式子既可以表示一个数量关系（如6a+4b表示总人数的计算方法），也可以表示一个结果（当a,b确定时，它就是一个具体的数值）。 （2）区分变量：在具体情境中，能够根据题意区分不同的量，并用不同的字母表示（例如教材中提到的“投进球数”和“罚进球数”不能用同一个字母a表示，除非它们相等）。 模块二 预习引导 一、用字母表示数量关系（核心重点）： 1、篮球得分问题（基础模型）： 情境：投进1球得2分，罚进1球得1分。 文字关系：总得分 = 2 × 投进球数 + 1 × 罚进球数。 字母表示： 设投进球数为a，罚进球数为b 。 则总得分表示为：2a+b 。 2、租船问题（乘法分配律的雏形）： 情境：大船每条坐6人，小船每条坐4人。有a条大船，b条小船。 分析： 大船总人数 = 6×a=6a 。 小船总人数 = 4×b=4b 。 字母表示： 总人数 = 6a+4b 。 书写规范： 注意教材中提到的错误写法6b+4a ，这是因为把a（大船条数）和 b（小船条数）对应的系数搞反了。字母与数字对应要准确。 二、含有字母式子的简写规则： 1、乘号省略：在含有字母的式子里，数字和字母中间的乘号可以记作“ ·”，也可以省略不写。 2、数字在前：省略乘号时，一般要把数字写在字母前面。 3、1的省略：当字母前面的系数是1时，1通常省略不写。 三、解决实际问题（练一练解析）： 1、套圈游戏（加权求和）： 套中一种得2分，套中另一种得5分。 若套中第一种a次，第二种b次。 总分 = 2a+5b 。 2、卖早点（判断合理性）： 包子8元/屉，粥2元/碗。 式子8a+2a是否合理？ 3、相遇问题（路程、速度、时间）： 情境：甲车速度a，乙车速度b，总路程140km，相向而行。 数量关系：相遇时间 = 总路程÷速度和。 字母表示：t=140÷(a+b) 意义： 这是首次用字母表示除法关系（分数形式），是代数思维的高级应用。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．书店出售字典，每个n元。词典的价格比字典的2倍多5元，词典的价格是（    ）。 A．2n＋5 B．2n－5 C．n＋2×5 2．下列选项可以用2a＋8表示的是（    ）。 A．整条线段的长度 B．整条线段的长度 C．这个长方形的周长 3．（如图）将一个正方形的边长增加1.3厘米，得到一个新的正方形。用含有字母a的式子表示“增加的面积”，其中错误的是（    ）。 A．1.3a×2＋1.32 B．（a＋1.3）2－a2 C．1.3×（a＋1.3）×2 D．（2a＋1.3）×1.3 4．有两个数x、y，y减去x的4倍的差除15的算式是（    ）。 A．15÷（x－4y） B．15÷（y－4x） C．（y－4x）÷15 5．货车每小时行82千米，客车每小时行m千米，货车行驶5小时、客车行驶3小时后两车一共行驶了（    ）千米。 A．82＋m B．82×3＋5m C．82×5＋3m 6．下列选项中，能用2a＋6表示的是（    ）。 A．整条线段的长度： B．整条线段的长度： C．这个长方形的周长： D．这个图形的面积： 7．一个两位数，它的个位上的数字是a，十位上的数字是b，这个两位数是（    ）。 A．ba B．10a＋b C．10b＋a 二、填空题 8．一辆汽车在高速公路上t小时行驶了380km，在普通公路上的速度是每小时vkm。380÷t表示( )，380÷t－v表示( )。 9．新学期开学时，学校买来一批新的桌椅。已知1张桌子a元，1把椅子b元，那么买20张这样的桌子和70把这样的椅子一共( )元。 10．口算比赛中，小红一共做了x道题，小明做的题比小红做的2倍少3道。2x－3表示( )；2x－3＋x表示( )。 11．4月23日为“世界读书日”，学校开展“书香护我心，好书伴我行”读书活动，小青积极参与活动，看了一本动物小说《狼王梦》，他第一天看了a页，第二天看的比第一天的2倍少b页，小青两天一共看了( )页。 12．某班有男生28人，女生x人。全班平均分成8组，每组有( )人。 13．修一段路，已经修了8天，每天修y米，还剩m米。这段路长( )米。 14．粮店原来有x袋大米，又运来y袋。如果每袋大米重25千克，粮店现在一共有大米( )千克。 15．小冬看一本450页的书，前4天平均每天看y页，第5天看了36页。他已经看了( )页。 三、解答题 16．如图，从这张长方形纸中剪一个最大的正方形。 （1）用含有字母的式子表示剪去正方形后剩余部分的面积。 （2） 当a＝14时，剪去正方形后剩余部分的面积是多少平方厘米？ 17．小美有一张长xcm,宽ycm的长方形彩纸(x>y),她想从这张彩纸上剪下一个最大的正方形． (1)用含有字母的式子表示剩下图形的面积． (2)当x=25,y=20时,剩下图形的面积是多少? 18．甲、乙两地相距640千米,一辆汽车从甲地开往乙地,每小时行驶a千米,已经行驶了2.4小时． (1)用含有字母的式子表示距离乙地还有多少千米? (2)当a=75时,距离乙地还有多少千米? 19．剧场楼上有a排座位，每排22个，楼下有b个座位。 （1）用含有字母的式子表示这个剧场共有多少个座位。 （2）当a＝15、b＝720时，这个剧场一共有多少个座位？ 20． （1）用式子表示出苹果树比梨树少多少棵。 （2）当a＝4，b＝5时，苹果树比梨树少多少棵？ 21．现有红、白两种颜色的球若干个。已知白球的个数比红球少，但白球的2倍比红球多，若把每一个白球都记作数2，每个红球都记作3，则总数为60，求白球和红球的数量。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01课 用字母表示数量关系 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 （1）理解意义：进一步理解用字母表示数的意义，知道字母可以表示变化的数，也可以表示数量关系。 （2）掌握写法：学会用含有字母的式子表示常见的数量关系（如总价=单价×数量，路程=速度×时间等）。 （3）规范书写：掌握含有字母的乘法算式的简写规则（如a×4写作4a，1×a写作a）。 2、重难点。 重点： （1）建立模型：能用含有字母的式子正确表示生活中的数量关系。 （2）简写规则：掌握含有字母的乘法式子的简写方法（数字在前，字母在后，乘号省略）。 难点： （1）理解双重含义：理解含有字母的式子既可以表示一个数量关系（如6a+4b表示总人数的计算方法），也可以表示一个结果（当a,b确定时，它就是一个具体的数值）。 （2）区分变量：在具体情境中，能够根据题意区分不同的量，并用不同的字母表示（例如教材中提到的“投进球数”和“罚进球数”不能用同一个字母a表示，除非它们相等）。 模块二 预习引导 一、用字母表示数量关系（核心重点）： 1、篮球得分问题（基础模型）： 情境：投进1球得2分，罚进1球得1分。 文字关系：总得分 = 2 × 投进球数 + 1 × 罚进球数。 字母表示： 设投进球数为a，罚进球数为b 。 则总得分表示为：2a+b 。 2、租船问题（乘法分配律的雏形）： 情境：大船每条坐6人，小船每条坐4人。有a条大船，b条小船。 分析： 大船总人数 = 6×a=6a 。 小船总人数 = 4×b=4b 。 字母表示： 总人数 = 6a+4b 。 书写规范： 注意教材中提到的错误写法6b+4a ，这是因为把a（大船条数）和 b（小船条数）对应的系数搞反了。字母与数字对应要准确。 二、含有字母式子的简写规则： 1、乘号省略：在含有字母的式子里，数字和字母中间的乘号可以记作“ ·”，也可以省略不写。 2、数字在前：省略乘号时，一般要把数字写在字母前面。 3、1的省略：当字母前面的系数是1时，1通常省略不写。 三、解决实际问题（练一练解析）： 1、套圈游戏（加权求和）： 套中一种得2分，套中另一种得5分。 若套中第一种a次，第二种b次。 总分 = 2a+5b 。 2、卖早点（判断合理性）： 包子8元/屉，粥2元/碗。 式子8a+2a是否合理？ 3、相遇问题（路程、速度、时间）： 情境：甲车速度a，乙车速度b，总路程140km，相向而行。 数量关系：相遇时间 = 总路程÷速度和。 字母表示：t=140÷(a+b) 意义： 这是首次用字母表示除法关系（分数形式），是代数思维的高级应用。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．书店出售字典，每个n元。词典的价格比字典的2倍多5元，词典的价格是（    ）。 A．2n＋5 B．2n－5 C．n＋2×5 【答案】A 【分析】根据题意可知，词典的价格比字典的2倍多5元，即字典的价格×2＋5元＝词典的价格，据此解答。 【详解】n×2＋5 ＝（2n＋5）元 书店出售字典，每个n元。词典的价格比字典的2倍多5元，词典的价格是（2n＋5）元。 故答案为：A 2．下列选项可以用2a＋8表示的是（    ）。 A．整条线段的长度 B．整条线段的长度 C．这个长方形的周长 【答案】C 【分析】A．整条线段由三条线段组成，这三条线段的长度分别是2、a和8，整条线段的长度是这三条线段长度之和。 B．整条线段由三条线段组成，这三条线段的长度分别是a、8和8，整条线段的长度是这三条线段长度之和。 C．长方形的周长＝（长＋宽）×2，即可求出这个长方形的周长。 【详解】A．2+a+8=a+10，整条线段的长度为a+10。 B．a+8+8=a+16，整条线段的长度为a+16。 C．（4+a）×2=2a+8，这个长方形的周长为2a+8。 故答案为：C 3．（如图）将一个正方形的边长增加1.3厘米，得到一个新的正方形。用含有字母a的式子表示“增加的面积”，其中错误的是（    ）。 A．1.3a×2＋1.32 B．（a＋1.3）2－a2 C．1.3×（a＋1.3）×2 D．（2a＋1.3）×1.3 【答案】C 【分析】从图意可知：阴影部分的面积就是增加部分的面积。 方法一：阴影部的面积分可以看作： 方法二： 阴影部分的面积可以看作大正方形与空白正方形的面积之差。 方法三： 阴影部分的面积可以看作： 方法四：阴影部分的面积可以看作 分析四个选项，找出错误的即可。 【详解】根据分析，进行判断： A．1.3a×2＋1.32表示先求出增加的两个长方形（长为a厘米，宽为1.3厘米）的面积，再加上边长为1.3厘米的正方形的面积，可以求出增加的面积。 B．（a＋1.3）2－a2表示用扩大后正方形的面积减去原来的正方形的面积，就是增加的面积； C．1.3×（a＋1.3）×2表示两个长为（1.3＋a）厘米，宽为1.3厘米的长方形的面积之和，多加了一个边长为1.3厘米的正方形的面积，不正确。 D．（a＋a＋1.3）×1.3表示将增加的部分看成一个长为（a＋a＋1.3）厘米，宽为1.3厘米的长方形求面积，可以求出增加的面积。 故答案为：C 4．有两个数x、y，y减去x的4倍的差除15的算式是（    ）。 A．15÷（x－4y） B．15÷（y－4x） C．（y－4x）÷15 【答案】B 【分析】此题先求x的4倍，即为4x，再用y减4x，将这个减法写在小括号里，小括号外是除法，15作被除数，小括号中式子计算出的得数作为除数，据此列式。 【详解】y减去x的4倍的差除15的算式是15÷（y－4x）。 故答案为：B 5．货车每小时行82千米，客车每小时行m千米，货车行驶5小时、客车行驶3小时后两车一共行驶了（    ）千米。 A．82＋m B．82×3＋5m C．82×5＋3m 【答案】C 【分析】根据路程＝速度×时间，分成求出货车5小时行驶的路程，以及客车3小时行驶的路程。再把货车行驶的路程加上客车行驶的路程，即可解答。 【详解】82×5＋m×3＝（82×5＋3m）千米 货车行驶5小时、客车行驶3小时后两车一共行驶了（82×5＋3m）千米。 故答案为：C 6．下列选项中，能用2a＋6表示的是（    ）。 A．整条线段的长度： B．整条线段的长度： C．这个长方形的周长： D．这个图形的面积： 【答案】C 【分析】2a＋6表示2个相同的数量a与6的和，长方形周长是长的2倍与宽的2倍的和，面积等于长乘宽，据此逐项分析解答。 【详解】A．整条线段长是三小段线段长度的和2＋a＋6化简后是a＋8； B．整条线段长是三小段线段长度的和a＋6＋6化简后是a＋12； C．长方形的周长是2a＋3×2化简后是2a＋6； D．长方形的面积是2×a＋3×a化简后是5a。 故答案为：C 7．一个两位数，它的个位上的数字是a，十位上的数字是b，这个两位数是（    ）。 A．ba B．10a＋b C．10b＋a 【答案】C 二、填空题 8．一辆汽车在高速公路上t小时行驶了380km，在普通公路上的速度是每小时vkm。380÷t表示( )，380÷t－v表示( )。 【答案】这辆汽车在高速公路上每小时行驶的路程；这辆汽车在高速公路上比在普通公路上每小时多行驶的路程 【分析】380km表示t小时在高速公路上行驶的路程，根据路程÷时间＝速度可推出380÷t表示这辆汽车在高速公路上每小时行驶的路程；而v表示这辆汽车在普通公路上的速度，所以380÷t-v表示这辆汽车在高速公路上比在普通公路上每小时多行驶的路程。 【详解】一辆汽车在高速公路上t小时行驶了380km，在普通公路上的速度是每小时v km。380÷t表示（这辆汽车在高速公路上每小时行驶的路程），380÷t-v表示（这辆汽车在高速公路上比在普通公路上每小时多行驶的路程）。 9．新学期开学时，学校买来一批新的桌椅。已知1张桌子a元，1把椅子b元，那么买20张这样的桌子和70把这样的椅子一共( )元。 【答案】20a＋70b 10．口算比赛中，小红一共做了x道题，小明做的题比小红做的2倍少3道。2x－3表示( )；2x－3＋x表示( )。 【答案】 小明做多少道题 小红和小明一共做了多少道题 【分析】根据“小明做的题比小红做的2倍少3道”可得出数量关系：小红做的题数×2－3＝小明做的题数，据此得出2x－3表示的含义； 根据数量关系：小红做的题数＋小明做的题数＝两人一共做的题数，据此得出2x－3＋x表示的含义。 【详解】2x－3表示小明做多少道题； 2x－3＋x表示小红和小明一共做了多少道题。 11．4月23日为“世界读书日”，学校开展“书香护我心，好书伴我行”读书活动，小青积极参与活动，看了一本动物小说《狼王梦》，他第一天看了a页，第二天看的比第一天的2倍少b页，小青两天一共看了( )页。 【答案】3a－b 【分析】已知小青第一天看了a页，第二天看的比第一天的2倍少b页，则第二天看的页数＝第一天看的页数×2－b，据此先用含字母的式子表示第二天看的页数； 再根据数量关系：第一天看的页数＋第二天看的页数＝两天一共看的页数，据此用含字母的式子表示两天看的总页数。 【详解】a×2－b＋a ＝2a－b＋a ＝（3a－b）页 小青两天一共看了（3a－b）页。 12．某班有男生28人，女生x人。全班平均分成8组，每组有( )人。 【答案】（28＋x）÷8/（x＋28）÷8 【分析】男生人数＋女生人数＝全班总人数，全班总人数÷组数＝每组人数，据此用字母表示出每组人数。 【详解】某班有男生28人，女生x人。全班平均分成8组，每组有（28＋x）÷8人。 13．修一段路，已经修了8天，每天修y米，还剩m米。这段路长( )米。 【答案】8y＋m 【分析】根据：已修的天数×每天修的距离＋剩余的距离＝这段路的总长度，将字母和数值代入进行列式即可。 【详解】8×y＋m＝（8y＋m）米 所以，修一段路，已经修了8天，每天修y米，还剩m米。这段路长（8y＋m）米。 14．粮店原来有x袋大米，又运来y袋。如果每袋大米重25千克，粮店现在一共有大米( )千克。 【答案】25x＋25y 【分析】用每袋大米的重量乘大米的袋数，所得结果即为一共有大米多少千克。 【详解】25×（x＋y）＝（25x＋25y）千克 因此粮店现在一共有大米（25x＋25y）千克。 15．小冬看一本450页的书，前4天平均每天看y页，第5天看了36页。他已经看了( )页。 【答案】（4y＋36）/（36＋4y） 【分析】每天看的页数×天数＝相应天数看的页数，据此计算前4天看的页数，前4天看的页数＋第5天看的页数＝已经看的总页数，据此用字母表示出已经看了的页数。 【详解】y×4＋36＝（4y＋36）页 他已经看了（4y＋36）页。 三、解答题 16．如图，从这张长方形纸中剪一个最大的正方形。 （1）用含有字母的式子表示剪去正方形后剩余部分的面积。 （2）当a＝14时，剪去正方形后剩余部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）（11a－121）平方厘米 （2）33平方厘米 【分析】（1）从长方形中剪一个最大的正方形，这个正方形的边长就是长方形的宽，要求剪去正方形后剩余部分的面积，就是用长方形的面积减去正方形的面积即可解答； （2）把a＝14代入（1）中的式子中即可解答。 【详解】（1）11×a－11×11 ＝（11a－121）平方厘米 答：剪去正方形后剩余部分的面积是（11a－121）平方厘米 （2）当a＝14时 11a－121 ＝11×14－121 ＝154－121 ＝33（平方厘米） 答：当a＝14时，剪去正方形后剩余部分的面积是33平方厘米。 17．小美有一张长xcm,宽ycm的长方形彩纸(x>y),她想从这张彩纸上剪下一个最大的正方形． (1)用含有字母的式子表示剩下图形的面积． (2)当x=25,y=20时,剩下图形的面积是多少? 【答案】(1)xy-y2　(2)100cm2 18．甲、乙两地相距640千米,一辆汽车从甲地开往乙地,每小时行驶a千米,已经行驶了2.4小时． (1)用含有字母的式子表示距离乙地还有多少千米? (2)当a=75时,距离乙地还有多少千米? 【答案】(1)640-2.4a (2)460千米 19．剧场楼上有a排座位，每排22个，楼下有b个座位。 （1）用含有字母的式子表示这个剧场共有多少个座位。 （2）当a＝15、b＝720时，这个剧场一共有多少个座位？ 【答案】（1）（22a＋b）个 （2）1050个 【分析】（1）楼上每排座位数×排数＝楼上座位数，楼上座位数＋楼下座位数＝剧场座位总数，据此用字母表示出剧场座位总数； （2）求值时，要先看字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 【详解】（1）22×a＋b＝（22a＋b）个 答：这个剧场共有（22a＋b）个座位。 （2）22a＋b ＝22×15＋720 ＝330＋720 ＝1050（个） 答：这个剧场一共有1050个座位。 20． （1）用式子表示出苹果树比梨树少多少棵。 （2）当a＝4，b＝5时，苹果树比梨树少多少棵？ 【答案】（1）14（b－a）棵；     （2）14棵 【分析】（1）根据题意，先用乘法分别表示出苹果树的总棵数和梨树的总棵数，再用梨树的总棵数减去苹果树的总棵数即可解答，注意：结果要根据用字母表示数的书写规则写成最简形式； （2）把a＝4，b＝5代入（1）中的式子，并求出具体的值即可。 【详解】（1）14×b－14×a＝14（b－a）（棵） 答：苹果树比梨树少14（b－a）棵。 （2）当a＝4，b＝5时， 14（b－a） ＝14×（5－4） ＝14×1 ＝14（棵） 答：当a＝4，b＝5时，苹果树比梨树少14棵。 21．现有红、白两种颜色的球若干个。已知白球的个数比红球少，但白球的2倍比红球多，若把每一个白球都记作数2，每个红球都记作3，则总数为60，求白球和红球的数量。 【答案】白球有9个，红球有14个 【分析】可以设白球有a个，红球有b个。白球的个数比红球少，则a＜b。白球的2倍比红球多，2a＞b。每一个白球都记作数2，则白球的总数是2a，每个红球都记作数3，则红球的总数是3b，白球的总数＋红球的总数＝2a＋3b＝60。60是偶数，2a也是偶数，偶数＋偶数＝偶数，3b也应该是偶数。则b的值可能是2、4、6、8、10、12、14、16、18，将2a＋3b＝60变形为a=(60-3b)÷2得出a的值。 ①当b＝2时，a＝（60－3×2）÷2 ＝（60－6）÷2 ＝54÷2 ＝27，a＞b，不符合； ②当b＝4时，a＝（60－3×4）÷2 ＝（60－12）÷2 ＝48÷2 ＝24，a＞b，不符合； ③当b＝6时，a＝（60－3×6）÷2 ＝（60－18）÷2 ＝42÷2 ＝21，a＞b，不符合； ④当b＝8时，a＝（60－3×8）÷2 ＝（60－24）÷2 ＝36÷2 ＝18，a＞b，不符合； ⑤当b＝10时，a＝（60－3×10）÷2 ＝（60－30）÷2 ＝30÷2 ＝15，a＞b，不符合； ⑥当b＝12时，a＝（60－3×12）÷2 ＝（60－36）÷2 ＝24÷2 ＝12，a＝b，不符合； ⑦当b＝14时，a＝（60－3×14）÷2 ＝（60－42）÷2 ＝18÷2 ＝9，a＜b 2×9＝18，2a＞b，符合； ⑧当b＝16时，a＝（60－3×16）÷2 ＝（60－48）÷2 ＝12÷2 ＝6，a＜b 2×6＝12，2a＜b，不符合； ⑨当b＝18时，a＝（60－3×18）÷2 ＝（60－54）÷2 ＝6÷2 ＝3，a＜b 2×3＝6，2a＜b，不符合；据此解答即可。 【详解】设白球有a个，红球有b个，且a＜b，2a＞b。 2a＋3b＝60 2a＝60－3b a=(60-3b)÷2 当b＝14时， （60－3×14）÷2 ＝（60－42）÷2 ＝18÷2 ＝9（个） 答：白球有9个，红球有14个。 【点睛】找准红球和白球的数量关系和大小关系是解题关键。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $