第03课 探索规律（二）（导学案）新六年级数学暑假自学课（北师大版·新教材）

第03课 探索规律（二） 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 （1）发现规律：能通过观察、操作（画图或列表），发现桌子张数与可坐人数之间的数量变化规律。 （2）符号表达：能用含有字母的式子表示出不同拼法下的数量关系（如2n+2或4n−2(n−1)）。 （3）逆向思维：能根据给定的总人数，利用规律反推需要的桌子张数。 （4）模型应用：能区分并应用“长边拼接”和“短边拼接”两种不同的数学模型解决实际问题。 2、重难点。 重点： （1）归纳通项公式：能够找出桌子张数（n）与人数之间的线性关系，并正确写出含有字母的式子（重点是2n+2）。 （2）理解式子含义：理解公式中常数项（如+2）和系数（如2n）在实际情境中的几何意义。 难点： （1）多种表达式的理解：理解为什么4n−2(n−1)和2n+2是等价的。 模块二 预习引导 一、发现图形排列的规律（核心重点）： 1、拼桌子问题（基础模型）： 情境：餐厅拼桌子，1张桌子坐4人，2张拼在一起坐6人，3张拼在一起坐8人…… 数据观察： 1张桌子：4人 2张桌子：6人（4+2） 3张桌子：8人（4+2+2） ... 规律总结：每增加1张桌子，座位数增加2个。 2、两种不同的思考角度： 角度一（淘气的思路 - 减法思维）： 先假设每张桌子都独立坐4人，然后减去拼接处重叠少坐的人。 公式推导：4n−2(n−1) 含义：4n 代表n张桌子原本能坐的人数，(n−1)是拼接的接口数，每个接口少坐2人。 角度二（笑笑的思路 - 加法思维）：把第1张桌子看作“2人+2人”，后面每加一张桌子只看作增加了“2人”。或者理解为：上下两边每张桌子各坐1人（共2n），左右两端永远各坐1人（共2）。 公式推导：2n+2 含义：2n代表上下两边的总人数，2代表左右两端的固定人数。 结论： 两种方法虽然列式不同，但计算结果是一样的（化简后都是2n+2）。 二、用字母表示规律（代数表达）： 将发现的数字规律转化为通用的数学语言。 设未知数：通常用n表示桌子的张数。 写表达式：根据上面的分析，拼n张桌子可以坐的人数为2n+2 。 代入求值： 题目问“10张桌子可以坐多少人？” 解法：把n=10 代入公式，即 2×10+2=22 （人）。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．如图，摆一个正五边形用5根小棒，摆两个用9根小棒，摆a个正五边形需要（    ）根小棒。 A．4a＋1 B．5a－1 C．5a＋1 D．5a 2．如图摆1个三角形用3根小棒，摆2个三角形用5根小棒，摆3个三角形用7根小棒。照这样，摆12个三角形用（    ）根小棒。 A．25 B．24 C．36 3．如图，将一些小圆点按如图规律摆放，前4个图形中分别有小圆点6个，10个，16个，24个，依此规律，第20个图形中，小圆点有（    ）个。 A．462 B．384 C．420 D．424 4．按下图的规律拼图，用10个小等腰梯形拼成的图形的周长是（    ）厘米。 A．50 B．15 C．35 D．32 5．按一定规律摆图案（如下图），第1个图用了8根火柴棒，第2个图用了14根火柴棒，第3个图用了20根火柴棒，…，照此规律摆下去，第9个图用了（    ）根火柴棒。 A．29 B．42 C．56 D．69 6．学校手工社团在义卖活动中用彩色卡纸制作装饰卡片，卡片上用白色和黑色小纸片拼贴图案（如图），按照这样的规律摆下去，第n个图形中有（    ）个白色的小正方形。 A．3n＋1 B．3n＋2 C．3n＋3 二、填空题 7．如图，用同样规格的灰、白两种正方形瓷砖铺设长方形地面。第七个图形一共有( )块白色瓷砖。 8．手工课上，乐乐摆了一些类似梅花图案，如下图所示，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成……第n个图案由( )个基础图形组成。 9．如图：65根小棒能摆( )个五边形，摆n个五边形需要( )根小棒。 10．“长桌宴”是侗寨最为隆重的待客礼仪。每当有受到全寨尊敬的客人来侗寨时，各家便会摆上长条桌，拼菜成席，共同款待客人，让客人一次性领略全寨各家各户的盛情。长条桌的摆放方式及座位如图。 (1)按这样摆放下去，4张长条桌摆放在一起可坐( )人。 (2)要想坐30人，需要摆放( )张长条桌。 11．根据图片中的规律，填一填。 照这样的规律排下去，第12幅图中白色三角形有( )个，灰色三角形有( )个。 12．如下图，用灰色和白色的小正方形拼成大正方形。（每个小正方形的边长为1） (1)像这样拼下去，当大正方形边长为8时，需要( )个白色小正方形和( )个灰色小正方形。 (2)像这样拼下去，当大正方形边长为n时，需要( )个白色小正方形和( )个灰色小正方形。 13．古希腊毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是数是宇宙万物的要素，他们常把数描绘成沙滩上的点子或小石子，根据点子或小石子排列的形状把整数进行分类。例如排列成如图系列图形，点子数分别是4，7，10…照这样的排列规律，第5个图形的点子数是( )；第n个图形的点子数是( )。 三、解答题 14．小明用火柴棒搭首尾相连的“小鱼”（如图），请完成下面的问题。 小鱼个数 1 2 3 4 火柴棒个数 8 14 20 （1）将表格补充完整。 （2）仔细观察，搭n条这样的小鱼需要用多少根火柴棒？ （3）算一算，要搭20条首尾相连的“小鱼”，共需要多少根火柴棒？ 15．春风小学教导主任接到校长的紧急通知，让学校舞蹈队参加一个演出。学校舞蹈队共有30人，如果一对一进行传达，每分钟通知1人。教导主任怎样才能尽快通知到所有人？ （1）教导主任一个一个地通知需要（    ）分钟。 （2）小南设计了上面的分组法。 ①请在括号里填出每个小组完成通知的时间。 ②所有人接到通知，一共需要（    ）分钟。 （3）小宇设计了如下方案（如图），请把下表填写完整。 第几分钟 1 2 3 4 5 … n 新通知的人数 1 2 … 一共通知的人数 1 3 … 由上表可知，通知30人只需要（    ）分钟。 （4）小南和小宇的方案相比，（    ）设计的方案更快，因为每个人都（    ），所以用的时间最少。 16．用同样长的火柴棒依次摆出下面的图形。 （1）探索规律，把下表填写完整。 次数 第1次 第2次 第3次 …… 第6次 火柴棒的根数 7根 根 根 …… 根 （2）王老师摆到第（    ）次时用到了52根火柴棒。 17．用灰、白两种正方形瓷砖拼成大的正方形。（如下图所示） （1）填表。 白瓷砖拼成的正方形每边的块数 1 2 3 4 5 … 灰瓷砖的块数 8 … （2）当白瓷砖拼成的正方形每边的块数为10时，灰瓷砖有多少块？ （3）当白瓷砖拼成的正方形每边的块数为a时，灰瓷砖有多少块？ 18．笑笑用小棒摆五边形（如下图），她惊喜地发现图形中蕴含着规律，于是她用表格记录规律。 （1）你看懂笑笑的想法了吗？请你把表格接着往下填。 （2）照这样摆，65根小棒可以摆多少个五边形？ 1 5 2 5＋4 3 4 …… …… 7 19．某网店销售服装，快递公司计费标准：全国区域内统一为2千克及以内收费a元，超过2千克的部分，每千克收费b元。（不足1千克的按1千克算） (1)若寄出重5千克的快递，用含有字母的式子表示需要支付快递费( )元。 (2)若该网店要寄出的1件快递重m千克（m为大于0的整数），当a＝12，b＝3时，需要支付快递费36元，这件快递重多少千克？ 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03课 探索规律（二） 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 （1）发现规律：能通过观察、操作（画图或列表），发现桌子张数与可坐人数之间的数量变化规律。 （2）符号表达：能用含有字母的式子表示出不同拼法下的数量关系（如2n+2或4n−2(n−1)）。 （3）逆向思维：能根据给定的总人数，利用规律反推需要的桌子张数。 （4）模型应用：能区分并应用“长边拼接”和“短边拼接”两种不同的数学模型解决实际问题。 2、重难点。 重点： （1）归纳通项公式：能够找出桌子张数（n）与人数之间的线性关系，并正确写出含有字母的式子（重点是2n+2）。 （2）理解式子含义：理解公式中常数项（如+2）和系数（如2n）在实际情境中的几何意义。 难点： （1）多种表达式的理解：理解为什么4n−2(n−1)和2n+2是等价的。 模块二 预习引导 一、发现图形排列的规律（核心重点）： 1、拼桌子问题（基础模型）： 情境：餐厅拼桌子，1张桌子坐4人，2张拼在一起坐6人，3张拼在一起坐8人…… 数据观察： 1张桌子：4人 2张桌子：6人（4+2） 3张桌子：8人（4+2+2） ... 规律总结：每增加1张桌子，座位数增加2个。 2、两种不同的思考角度： 角度一（淘气的思路 - 减法思维）： 先假设每张桌子都独立坐4人，然后减去拼接处重叠少坐的人。 公式推导：4n−2(n−1) 含义：4n 代表n张桌子原本能坐的人数，(n−1)是拼接的接口数，每个接口少坐2人。 角度二（笑笑的思路 - 加法思维）：把第1张桌子看作“2人+2人”，后面每加一张桌子只看作增加了“2人”。或者理解为：上下两边每张桌子各坐1人（共2n），左右两端永远各坐1人（共2）。 公式推导：2n+2 含义：2n代表上下两边的总人数，2代表左右两端的固定人数。 结论： 两种方法虽然列式不同，但计算结果是一样的（化简后都是2n+2）。 二、用字母表示规律（代数表达）： 将发现的数字规律转化为通用的数学语言。 设未知数：通常用n表示桌子的张数。 写表达式：根据上面的分析，拼n张桌子可以坐的人数为2n+2 。 代入求值： 题目问“10张桌子可以坐多少人？” 解法：把n=10 代入公式，即 2×10+2=22 （人）。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．如图，摆一个正五边形用5根小棒，摆两个用9根小棒，摆a个正五边形需要（    ）根小棒。 A．4a＋1 B．5a－1 C．5a＋1 D．5a 【答案】A 【分析】观察图形可知，摆1个正五边形用5根小棒，摆2个正五边形用9根小棒，摆3个正五边形用13根小棒……发现规律：5＝4×1＋1，9＝4×2＋1，13＝4×3＋1……；据此找到规律并解答。 【详解】摆1个正五边形用5根小棒，5＝4×1＋1； 摆2个正五边形用9根小棒，9＝4×2＋1； 摆3个正五边形用13根小棒，13＝4×3＋1； …… 规律：摆a个正五边形需要（4a＋1）根小棒。 故答案为： A 2．如图摆1个三角形用3根小棒，摆2个三角形用5根小棒，摆3个三角形用7根小棒。照这样，摆12个三角形用（    ）根小棒。 A．25 B．24 C．36 【答案】A 【分析】根据题意，摆1个三角形用3根小棒，摆2个三角形用5根小棒，摆3个三角形用7根小棒……发现：每增加一个三角形，小棒的数量增加2根，据此找出规律，并按规律解答。 【详解】观察图形可知： 摆1个三角形用3根小棒，3＝2×1＋1； 摆2个三角形用5根小棒，5＝2×2＋1； 摆3个三角形用7根小棒，7＝2×3＋1； …… 规律：摆n个三角形用（2n＋1）根小棒。 当n＝12时 2n＋1 ＝2×12＋1 ＝24＋1 ＝25（根） 摆12个三角形用25根小棒。 故答案为：A 3．如图，将一些小圆点按如图规律摆放，前4个图形中分别有小圆点6个，10个，16个，24个，依此规律，第20个图形中，小圆点有（    ）个。 A．462 B．384 C．420 D．424 【答案】D 【分析】先观察每个图形的最外侧都有四个小圆点，再观察每个图形内部圆点的行数和列数，发现列数等于行数加1，第一个图形内部的小圆点2列1行，第二个图形内部的小圆点3列2行，第三个图形内部的小圆点4列3行，依此规律，第n个图形内部的小圆点（n+1）列n行，据此解答。 【详解】第1个图形中有小圆点： （个） 第2个图形中有小圆点： （个） 第3个图形中有小圆点： （个） 第4个图形中有小圆点： （个） 第个图形中有小圆点： 个 当时， （个） 所以第n个图形内部的小圆点有424个。 故答案为：D 4．按下图的规律拼图，用10个小等腰梯形拼成的图形的周长是（    ）厘米。 A．50 B．15 C．35 D．32 【答案】D 【分析】根据图示发现：1个等腰梯形的周长为：1＋1＋1＋2＝1×3＋2＝5（厘米） 2个等腰梯形拼成的图形比前一个图形的周长增加（1＋2）厘米，周长为：5＋3＝8（厘米） 3个等腰梯形拼成的图形比前一个图形的周长增加（1＋2）厘米，周长为：5＋3＋3＝8＋3＝11（厘米） 4个等腰梯形拼成的图形比前一个图形的周长增加（1＋2）厘米，周长为：5＋3＋3＋3＝8＋3＋3＝11＋3＝14（厘米） …… n个等腰梯形拼成的图形比前一个图形的周长增加（1＋2）厘米，周长为：5＋（n－1）×3＝5＋3n－3＝3n＋2，求用10个小等腰梯形拼成的图形的周长，即把n＝10，代入求解即可。 【详解】由分析可知：n个等腰梯形拼成的图形周长为：（3n＋2）厘米。 当n＝10时，3n＋2＝3×10＋2＝30＋2＝32 所以10个小等腰梯形拼成的图形的周长是32厘米。 故答案为：D 5．按一定规律摆图案（如下图），第1个图用了8根火柴棒，第2个图用了14根火柴棒，第3个图用了20根火柴棒，…，照此规律摆下去，第9个图用了（    ）根火柴棒。 A．29 B．42 C．56 D．69 【答案】C 【分析】观察图形可知，第1个、2个、3个图分别用了8根、14根、20根火柴棒，发现：每增加一个图形，火柴棒的数量就增加6根，据此发现规律，并按规律解答。 【详解】观察图形可知： 第1个图用了8根火柴棒，8＝6×1＋2； 第2个图用了14根火柴棒，14＝6×2＋2； 第3个图用了20根火柴棒，20＝6×3＋2； …… 规律：第n个图用了（6n＋2）根火柴棒。 当n＝9时 6n＋2 ＝6×9＋2 ＝54＋2 ＝56（根） 第9个图用了56根火柴棒。 故答案为：C 6．学校手工社团在义卖活动中用彩色卡纸制作装饰卡片，卡片上用白色和黑色小纸片拼贴图案（如图），按照这样的规律摆下去，第n个图形中有（    ）个白色的小正方形。 A．3n＋1 B．3n＋2 C．3n＋3 【答案】B 【分析】观察图形可知，第1个、2个、3个图形中分别有5个、8个、11个白色的小正方形……发现：每增加1个图形就增加3个白色的小正方形，据此得出规律。 【详解】观察图形可知： 第1个图形中有5个白色的小正方形，5＝1×3＋2； 第2个图形中有8个白色的小正方形，8＝2×3＋2； 第3个图形中有11个白色的小正方形，11＝3×3＋2； …… 规律：第n个图形中有（3n＋2）个白色的小正方形。 故答案选:B 二、填空题 7．如图，用同样规格的灰、白两种正方形瓷砖铺设长方形地面。第七个图形一共有( )块白色瓷砖。 【答案】56 【分析】观察图形可知： 第1幅图有2块白色正方形瓷砖，2＝1×2＝1×（1＋1）； 第2幅图有6块白色正方形瓷砖，6＝2×3＝2×（2＋1）； 第3幅图有12块白色正方形瓷砖，12＝3×4＝3×（3＋1）； …… 规律：第n幅图有n×（n＋1）块白色正方形瓷砖； 按此规律解答。 【详解】规律：第n幅图有n×（n＋1）块白色正方形瓷砖。 当n＝7时 n×（n＋1） ＝7×（7＋1） ＝7×8 ＝56（块） 第七个图形一共有56块白色瓷砖。 8．手工课上，乐乐摆了一些类似梅花图案，如下图所示，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成……第n个图案由( )个基础图形组成。 【答案】3n＋1/1＋3n 【分析】观察图形可知，第1个、2个、3个图案分别由4个、7个、10个基础图形组成，发现：每增加一个图案，基础图形就增加3个，据此得出规律。 【详解】观察图形可知： 第1个图案由4个基础图形组成，4＝3×1＋1； 第2个图案由7个基础图形组成，7＝3×2＋1； 第3个图案由10个基础图形组成，10＝3×3＋1； …… 所以，第n个图案由（3n＋1）个基础图形组成。 9．如图：65根小棒能摆( )个五边形，摆n个五边形需要( )根小棒。 【答案】 16 4n＋1/1＋4n 【分析】由图可知，摆1个五边形需要5根小棒，摆2个五边形需要（5＋4×1）根小棒，摆3个五边形需要（5＋4×2）根小棒，摆4个五边形需要（5＋4×3）根小棒……每次增加4根小棒，则摆n个五边形需要[5＋4（n－1）]根小棒，最后解方程求出含有字母的式子值为65时n的值，据此解答。 【详解】5＋4（n－1） ＝5＋（4n－4） ＝5＋4n－4 ＝4n＋5－4 ＝（4n＋1）根 4n＋1＝65 解：4n＋1－1＝65－1 4n＝64 4n÷4＝64÷4 n＝16 所以，65根小棒能摆16个五边形，摆n个五边形需要（4n＋1）根小棒。 10．“长桌宴”是侗寨最为隆重的待客礼仪。每当有受到全寨尊敬的客人来侗寨时，各家便会摆上长条桌，拼菜成席，共同款待客人，让客人一次性领略全寨各家各户的盛情。长条桌的摆放方式及座位如图。 (1)按这样摆放下去，4张长条桌摆放在一起可坐( )人。 (2)要想坐30人，需要摆放( )张长条桌。 【答案】(1)18 (2)7 【分析】（1）观察可知，1张长条桌可以坐6人，2张长条桌可以坐（6＋4×1）人，3张长条桌可以坐（6＋4×2）人……以此类推，每次增加4人，那么4张长条桌可以坐（6＋4×3）人； （2）由（1）可知，n张长条桌可以坐[6＋4（n－1）]人，解方程求出含有字母的式子值为30时n的值就是需要摆放长条桌的数量，据此解答。 【详解】（1）6＋4×3 ＝6＋12 ＝18（人） 所以，4张长条桌摆放在一起可坐18人。 （2）n张长条桌可以坐的人数：6＋4（n－1） ＝6＋（4n－4） ＝6＋4n－4 ＝4n＋6－4 ＝（4n＋2）人 4n＋2＝30 解：4n＋2－2＝30－2 4n＝28 4n÷4＝28÷4 n＝7 所以，要想坐30人，需要摆放7张长条桌。 11．根据图片中的规律，填一填。 照这样的规律排下去，第12幅图中白色三角形有( )个，灰色三角形有( )个。 【答案】 91 78 【分析】由图可知，第一幅图中有灰色三角形1个，第二幅图中有灰色三角形1＋2＝3（个），第三幅图中有灰色三角形1＋2＋3＝6（个），第四幅图中有灰色三角形1＋2＋3＋4＝10（个），按照这个规律排下去，第n幅图中灰色的三角形个数有（1＋2＋3＋4＋……＋n）个；第一幅图中有白色三角形个数是3个，比灰色三角形个数多1＋1＝2（个）；第二幅图中白色三角形个数是6个，比灰色三角形个数多2＋1＝3（个）；第三幅图中白色三角形个数是10个，比灰色三角形个数多3＋1＝4（个）；第四幅图中白色三角形个数是15个，比灰色三角形个数多4＋1＝5（个），照这样的规律排下去，第n幅图中白色三角形个数灰色三角形个数多（n＋1）个。据此解答。 【详解】当n＝12时， 1＋2＋3＋4＋……＋n ＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12 ＝（1＋12）＋（2＋11）＋（3＋10）＋（4＋9）＋（5＋8）＋（6＋7） ＝13＋13＋13＋13＋13＋13 ＝13×6 ＝78（个） 78＋（n＋1） ＝78＋12＋1 ＝90＋1 ＝91（个） 所以， 照这样的规律排下去，第12幅图中白色三角形有91个，灰色三角形有78个。 12．如下图，用灰色和白色的小正方形拼成大正方形。（每个小正方形的边长为1） (1)像这样拼下去，当大正方形边长为8时，需要( )个白色小正方形和( )个灰色小正方形。 (2)像这样拼下去，当大正方形边长为n时，需要( )个白色小正方形和( )个灰色小正方形。 【答案】(1) 28 36 (2) 4n－4/4（n－1） （n－2）2 【分析】由图可知，大正方形的边长是从3开始，依次增加1，中间灰色部分正方形的边长是从1开始，依次增加1。灰色小正方形的个数是灰色正方形边长的平方，白色小正方形的个数是大正方形边长的4倍再减4个小正方形。 【详解】（1）第1个图：大正方形边长为3，灰色小正方形是个，总小正方形数，白色小正方形个； 第2个图：大正方形边长为4，灰色小正方形是个，总小正方形数，白色小正方形个； 第3个图：大正方形边长为5，灰色小正方形是个，总小正方形数，白色小正方形个； 当边长为8时： 白色个数：，灰色个数：。 当大正方形边长为8时，需要28个白色小正方形和36个灰色小正方形。 （2）当大正方形的边长为n时，需要（4n－4）个白色小正方形和（n－2）2个灰色小正方形。 13．古希腊毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是数是宇宙万物的要素，他们常把数描绘成沙滩上的点子或小石子，根据点子或小石子排列的形状把整数进行分类。例如排列成如图系列图形，点子数分别是4，7，10…照这样的排列规律，第5个图形的点子数是( )；第n个图形的点子数是( )。 【答案】 16 3n＋1/1＋3n 【分析】观察图形：第1个、第2个、第3个图形的点子数分别是4、7、10，发现每个图形的点子数比前一个图形多3个，由此得出规律，并按规律解答。 【详解】观察图形发现： 第1个图形的点子数是4，4＝1×3＋1； 第2个图形的点子数是4＋3＝7，7＝2×3＋1； 第3个图形的点子数是4＋3×2＝10，10＝3×3＋1； …… 第n个图形的点子数是（3n＋1）。 当n＝5时 3n＋1 ＝3×5＋1 ＝15＋1 ＝16 三、解答题 14．小明用火柴棒搭首尾相连的“小鱼”（如图），请完成下面的问题。 小鱼个数 1 2 3 4 火柴棒个数 8 14 20 （1）将表格补充完整。 （2）仔细观察，搭n条这样的小鱼需要用多少根火柴棒？ （3）算一算，要搭20条首尾相连的“小鱼”，共需要多少根火柴棒？ 【答案】（1）26 （2）（6n＋2）根 （3）122根 【分析】（1）观察图形可知，搭1条、2条、3条小鱼需要火柴棒的数量分别是8根、14根、20根，发现：每增加一条个小鱼，火柴棒的数量增加6根，据此得出搭4条小鱼需要火柴棒的数量。 （2）由第（1）题发现规律：6×1＋2＝6＋2＝8（根），6×2＋2＝12＋2＝14（根），6×3＋2＝18＋2＝20（根）……；据此规律用含字母的式子表示搭n条这样的小鱼需要用火柴棒的数量。 （3）把n＝20代入第（2）题的式子中计算出得数即可。 【详解】（1）搭1条小鱼需要火柴棒：8根； 搭2条小鱼需要火柴棒：8＋6＝14（根） 搭3条小鱼需要火柴棒：14＋6＝20（根） 搭4条小鱼需要火柴棒：20＋6＝26（根） 填表如下： 小鱼个数 1 2 3 4 火柴棒个数 8 14 20 26 （2）观察图形可知： 搭1条小鱼需要火柴棒：8根，6×1＋2＝6＋2＝8（根）； 搭2条小鱼需要火柴棒：14根，6×2＋2＝12＋2＝14（根）； 搭3条小鱼需要火柴棒：20根，6×3＋2＝18＋2＝20（根）； 搭4条小鱼需要火柴棒：26根，6×4＋2＝24＋2＝26（根）； 搭n条小鱼需要火柴棒：（6n＋2）根，6×n＋2＝（6n＋2）（根）； 答：搭n条这样的小鱼需要用（6n＋2）根火柴棒。 （3）当n＝20时 6n＋2 ＝6×20＋2 ＝120＋2 ＝122（根） 答：共需要122根火柴棒。 15．春风小学教导主任接到校长的紧急通知，让学校舞蹈队参加一个演出。学校舞蹈队共有30人，如果一对一进行传达，每分钟通知1人。教导主任怎样才能尽快通知到所有人？ （1）教导主任一个一个地通知需要（    ）分钟。 （2）小南设计了上面的分组法。 ①请在括号里填出每个小组完成通知的时间。 ②所有人接到通知，一共需要（    ）分钟。 （3）小宇设计了如下方案（如图），请把下表填写完整。 第几分钟 1 2 3 4 5 … n 新通知的人数 1 2 … 一共通知的人数 1 3 … 由上表可知，通知30人只需要（    ）分钟。 （4）小南和小宇的方案相比，（    ）设计的方案更快，因为每个人都（    ），所以用的时间最少。 【答案】（1）30 （2）①6；7；8；9；10 ②10 （3）4；8；16；2n－1 7；15；31；2n－1 5 （4）小宇；不空闲 【分析】（1）教导主任一个一个地通知，每分钟通知1人，30人需通知30分钟。 （2）小南设计的分组法，30人分成5组，每组一个组长和5个组员，教导主任先通知组长，组长再分别通知5个组员，可得出通知每组需要的时间，进而得出所有人接到通知，一共需要的时间。 （3）小宇设计的方案： 第1分钟新通知1人； 第2分钟新通知2人，2＝21＝22－1；接到通知的共有：1＋2＝3（人），3＝22－1； 第3分钟新通知4人，4＝22＝23－1；接到通知的共有：3＋4＝7（人），7＝23－1； …… 规律：第n分钟新通知2n－1人，接到通知的共有（2n－1）人。 按此规律解答。 （4）比较小南和小宇的方案用的时间，得出结论。 【详解】（1）1×30＝30（分钟） 教导主任一个一个地通知需要30分钟。 （2）①小南设计的分组法： ②所有人接到通知，一共需要10分钟。 （3）小宇设计的方案： 第几分钟 1 2 3 4 5 … n 新通知的人数 1 2 4 8 16 … 2n－1 一共通知的人数 1 3 7 15 31 … 2n－1 由上表可知，通知30人只需要5分钟。 （4）5＜10 小南和小宇的方案相比，小宇设计的方案更快，因为每个人都不空闲，所以用的时间最少。 16．用同样长的火柴棒依次摆出下面的图形。 （1）探索规律，把下表填写完整。 次数 第1次 第2次 第3次 …… 第6次 火柴棒的根数 7根 根 根 …… 根 （2）王老师摆到第（    ）次时用到了52根火柴棒。 【答案】（1）12；17；32 （2）10 【分析】（1）从图中可知，摆第1次用到火柴棒7根，摆第2次用到火柴棒12根，摆第3次用到火柴棒17根……，发现：每次的火柴棒都比前一次多5根，由此可得到第6次用到的火柴棒数量，把表格补充完整。 （2）由上一题可得出规律：摆第n次用到火柴棒是（5n＋2）根，那么n＝（火柴棒的总数－2）÷5，把火柴棒的总数＝52代入式子中，求出n的值。 【详解】（1）摆第1次用到火柴棒的根数： 5×1＋2 ＝5＋2 ＝7（根） 摆第2次用到火柴棒的根数： 5×2＋2 ＝10＋2 ＝12（根） 摆第3次用到火柴棒的根数： 5×3＋2 ＝15＋2 ＝17（根） 摆第6次用到火柴棒的根数： 5×6＋2 ＝30＋2 ＝32（根） 填表如下： 次数 第1次 第2次 第3次 …… 第6次 火柴棒的根数 7根 12根 17根 …… 32根 （2）规律：摆第n次用到火柴棒有（5n＋2）根，摆的次数n＝（火柴棒总数－2）÷5。 （52－2）÷5 ＝50÷5 ＝10（次） 王老师摆到第10次时用到了52根火柴棒。 17．用灰、白两种正方形瓷砖拼成大的正方形。（如下图所示） （1）填表。 白瓷砖拼成的正方形每边的块数 1 2 3 4 5 … 灰瓷砖的块数 8 … （2）当白瓷砖拼成的正方形每边的块数为10时，灰瓷砖有多少块？ （3）当白瓷砖拼成的正方形每边的块数为a时，灰瓷砖有多少块？ 【答案】（1）12；16；20；24 （2）44块 （3）（4a＋4）块 【分析】（1）观察前三个图形发现规律：白瓷砖拼成的正方形每边的块数每增加1块，那么灰瓷砖的块数增加4块；据此规律填表。 （2）（3）当白瓷砖拼成的正方形每边的块数为1时，灰瓷砖的块数为8，8＝4×2＝4×（1＋1）； 当白瓷砖拼成的正方形每边的块数为2时，灰瓷砖的块数为12，12＝4×3＝4×（2＋1）； 当白瓷砖拼成的正方形每边的块数为3时，灰瓷砖的块数为16，16＝4×4＝4×（3＋1）； …… 据此得出规律，灰瓷砖的块数是白瓷砖拼成的正方形每边的块数＋1的四倍。 【详解】（1）8＋4＝12（块） 12＋4＝16（块） 16＋4＝20（块） 20＋4＝24（块） 填表如下： 白瓷砖拼成的正方形每边的块数 1 2 3 4 5 … 灰瓷砖的块数 8 12 16 20 24 … （2）（10＋1）×4 ＝11×4 ＝44（块） 答：当白瓷砖拼成的正方形每边的块数为10时，灰瓷砖有44块。 （3）（a＋1）×4＝4a＋4（块） 答：当白瓷砖拼成的正方形每边的块数为a时，灰瓷砖有（4a＋4）块。 18．笑笑用小棒摆五边形（如下图），她惊喜地发现图形中蕴含着规律，于是她用表格记录规律。 （1）你看懂笑笑的想法了吗？请你把表格接着往下填。 （2）照这样摆，65根小棒可以摆多少个五边形？ 1 5 2 5＋4 3 4 …… …… 7 【答案】（1）5＋4×2；5＋4×3；5＋4×6； （2）16个 【分析】（1）观察可知，摆1个五边形需要5根小棒，摆2个五边形需要（5＋4×1）根小棒，摆3个五边形需要（5＋4×2）根小棒，摆4个五边形需要（5＋4×3）根小棒……每次增加4根小棒，摆7个五边形需要（5＋4×6）根小棒，由此填表； （2）由（1）可知，摆n个五边形需要[5＋4×（n－1）]根小棒，由此求出含有字母的式子值为65时n的值，据此解答。 【详解】（1）分析可知： 1 5 2 5＋4 3 5＋4×2 4 5＋4×3 …… …… 7 5＋4×6 （2）摆n个五边形需要小棒的数量：5＋4×（n－1） ＝5＋（4n－4×1） ＝5＋（4n－4） ＝5＋4n－4 ＝5－4＋4n ＝（1＋4n）根 1＋4n＝65 解：1＋4n－1＝65－1 4n＝64 4n÷4＝64÷4 n＝16 答：照这样摆，65根小棒可以摆16个五边形。 19．某网店销售服装，快递公司计费标准：全国区域内统一为2千克及以内收费a元，超过2千克的部分，每千克收费b元。（不足1千克的按1千克算） (1)若寄出重5千克的快递，用含有字母的式子表示需要支付快递费( )元。 (2)若该网店要寄出的1件快递重m千克（m为大于0的整数），当a＝12，b＝3时，需要支付快递费36元，这件快递重多少千克？ 【答案】(1)a＋3b/3b＋a (2)10千克 【分析】（1）若寄出重5千克的快递，5千克＞2千克，分两段计费：第一段，首重2千克，收费a元；第二段，超过2千克的部分为（5－2）千克，单价b元，根据“总价＝单价×数量”求出第二段的费用；最后把这两段的费用相加，即是一共需要支付的快递费。 （2）当a＝12，b＝3时，需要支付快递费36元，即寄快递重2千克及以内收费12元，超过2千克的部分，每千克收费3元，寄一件快递支付快递费36元，求这件快递重多少千克。 先用支付的快递费减去重2千克的收费，剩下的费用就是超过2千克部分的费用，单价3元，根据“数量＝总价÷单价”求出这部分的快递重量，再加上2千克，就是这件快递的重量。 【详解】（1）若寄出重5千克的快递需支付的快递费为：a＋（5－2）×b＝（a＋3b）元。 （2）当a＝12，b＝3时，需要支付快递费36元，即： （36－12）÷3＋2 ＝24÷3＋2 ＝8＋2 ＝10（千克） 答：这件快递重10千克。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $