6.2.2 线段长短的比较与运算（课件）-2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦“线段长短的比较与运算”，涵盖比较方法、和差运算、中点及n等分点、尺规作图等核心知识点。通过比较同学身高的生活实例导入，类比引出线段比较方法，构建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，如从生活实例抽象线段比较方法培养抽象能力，通过中点定义的严谨性训练推理意识，用几何语言规范表达。设高频易错点和速记口诀，助学生高效掌握，教师可直接用于培优教学，提升课堂效率。

人教版数学7年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月2日 6.2.2 线段长短的比较与运算 第六章几何图形初步 6.2.2 线段长短的比较与运算 知识点总结（满分版） 一、线段长短的三种比较方法（必考基础） 1. 观察法 直接通过肉眼观察两条线段的长短，适合差距明显的线段，仅作粗略判断。 2. 叠合法（精准比较、考试首选） 操作方法：将两条线段的一个端点重合，另一个端点落在重合端点的同一侧，根据端点位置判断长短。 ① 端点重合对齐 → 两线段相等 ② 线段甲端点在乙内部 → 甲短于乙 ③ 线段甲端点在乙外部 → 甲长于乙 ⚠️ 注意：叠合法必须一端重合、同侧摆放，否则比较无效。 3. 度量法 用刻度尺分别测量出两条线段的长度，通过数值大小比较线段长短，数值大则线段长。 二、线段的和、差运算（计算核心） 在同一条直线上的线段，可直接进行加减运算。 1. 线段和模型 若点$$B$$在线段$$AC$$上，则：$$AC=AB+BC$$ 2. 线段差模型 若点$$B$$在线段$$AC$$上，则： $$AB=AC-BC$$，$$BC=AC-AB$$ 3. 多点共线通用规律 直线上多点排列，总长 = 分段之和，分段 = 总长 − 其余分段。 ⚠️ 关键：做题先判断点的位置（在线段上/在线段延长线上）。 三、线段的中点（高频核心考点） 1. 中点定义 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。 2. 中点三大公式（必背万能公式） 若点$$M$$是线段$$AB$$的中点，则满足： ① $$AM=BM$$ ② $$AM=BM=\frac{1}{2}AB$$ ③ $$AB=2AM=2BM$$ 3. 易错判定 若$$AM=BM$$，不能直接判定M是AB中点！ 必须加条件：点M在线段AB上，才是中点。若M在外侧，为等腰三角形顶点，不是中点。 四、线段n等分点（拓展考点） 三等分点：将线段分成三段相等的线段，有两个三等分点。 四等分点：将线段分成四段相等的线段，有三个四等分点。 通用：$$n$$等分点有$$n-1$$个分点，每段长度为原线段的$$\frac{1}{n}$$。 五、作图：尺规作一条线段等于已知线段 1. 作图步骤（标准满分步骤） ① 画一条射线； ② 用圆规量取已知线段的长度； ③ 在射线上截取对应长度，得到等长线段。 ⚠️ 注意：尺规作图保留作图痕迹，不可擦除圆弧。 六、线段计算两大经典题型（考试必考） 题型1：点在线段上（常规基础题） 已知：点$$C$$在线段$$AB$$上，$$AB=10\mathrm{cm}$$，$$AC=6\mathrm{cm}$$，求$$BC$$。 解：$$BC=AB-AC=10-6=4\mathrm{cm}$$ 题型2：点在延长线上（易错拔高题） 已知：线段$$AB=6\mathrm{cm}$$，点$$C$$在$$AB$$的延长线上，$$BC=2\mathrm{cm}$$，求$$AC$$。 解：$$AC=AB+BC=6+2=8\mathrm{cm}$$ 题型3：中点综合计算（压轴基础） 已知：$$AB=12\mathrm{cm}$$，$$M$$是$$AB$$中点，求$$AM$$。 解：$$AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\times12=6\mathrm{cm}$$ 七、双中点模型（期末高频压轴） 已知：点$$C$$在线段$$AB$$上，$$M$$为$$AC$$中点，$$N$$为$$BC$$中点。 结论：$$MN=\frac{1}{2}AB$$ 核心规律：线段中间任意一点，两段中点连线恒等于总长的一半。 八、高频易错点（扣分重灾区） 1. 未说明“点在线段上”，直接判定中点，逻辑错误。 2. 忽略点在延长线上的情况，漏解、少解。 3. 线段和差搞反，分不清总长与分段关系。 4. 三等分点、四等分点数量记错，公式用错。 5. 尺规作图不保留痕迹，考试扣分。 6. 叠合法比较线段，未做到“一端重合、同侧摆放”。 九、速记口诀 线段比较三方法，观察度量叠合法； 点在线段用和差，中点对半分上下； 若遇延长线加点，总长相加不抓瞎； 双中模型有结论，半长恒定稳拿分。 能借助直尺、圆规等工具作一条线段等于已知线段，比较两条线段的长短. 掌握线段比较的正确方法. 理解线段的中点定义，并能利用中点的性质进行简单的计算. 2026年6月2日星期二8时41分28秒 你们平时是如何比较两个同学的身高的？ 度量法 叠合法 1.56 m 1.5 m 你能类比这些方法比较两条线段的长短吗？ 小明 小华 因为 1.56＞1.5， 所以小明高于小华. 小明高于小华 问题1：你能比较下列线段的大小吗？ 度量法 4 cm 5 cm 类比身高比较的叠合法，那么线段如何使用此方法？ A B C D 探究点1：线段长短的比较 想一想：只有圆规和无刻度的直尺的情况下，那么线段如何使用叠合法？ A B C D 如何在线段 CD 上画出线段 AB， 并且一个端点重合，另一个端点要放在公共端点的同侧？ 已知线段 a，如何作一条线段 AB，使 AB = a？ 实际 本质 a 探究点1：线段长短的比较 总结 “尺规作图” 先用直尺画射线，再用圆规在射线上截取已知线段. a B 作一条线段等于已知线段 a A C 本质 探究点1：线段长短的比较 C D 1. 若点 A 与点 C 重合，点 B 落 在 C，D 之间，则 AB CD. (A) B ＜ 叠合法： C D A B B (A) 2. 若点 A 与点 C 重合，点 B 与 点 D ，则 AB = CD. 3. 若点 A 与点 C 重合，点 B 落 在 CD 的延长线上， 则 AB CD. 重合 ＞ B A B A C D (A) (B) 探究点1：线段长短的比较 议一议： 如图，从 A 地到 B 地有四条道路，除它们外能否再修一条从 A 地到 B 地的最短道路？如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短路线. • • A B 探究点2：有关线段的基本事实 【归纳总结】 经过比较，我们可以得到一个关于线段的基本事实： 两点的所有连线中，线段最短. 连接两点的线段的长度，叫作 这两点的距离. 简单说成：两点之间，线段最短. • • A B 探究点2：有关线段的基本事实 两点之间，线段最短 1. 如图，这是 A，B 两地之间的公路，在公路工程 改造计划时，为使 A，B 两地行程最短，应如何 设计线路？请在图中画出，并说明理由. . B A . 【试一试】 探究点2：有关线段的基本事实 在直线上画出线段 AB = a，再在 AB 的延长线上画线段 BC = b，线段 AC 就是 与 的和，记作 AC = . 如果在 AB 上画线段 BD = b，那么线段 AD 就是 与 的差，记作 AD = . A B C D a + b a - b a b b a b a + b a b a - b 探究点3：线段的和、差、倍、分 例1 如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于2a－b. a b 解：①在直线上作线段AB＝a； ②在线段AB的延长线上作线段 BC＝a，则线段AC＝2a； ③在线段AC上作线段CD＝b，则线段AD＝2a－b. a a A B C D b 探究点3：线段的和、差、倍、分 在一张纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端点重合，折痕与线段的交点处于线段的什么位置？ A B M 探究点3：线段的和、差、倍、分 A B M 如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段AM 与 BM，点 M 叫作线段 AB 的中点. 类似地，还有线段的三等分点、四等分点等. 线段的三等分点 线段的四等分点 探究点3：线段的和、差、倍、分 A a a M B M 是线段 AB 的中点. 几何语言：因为 M 是线段 AB 的中点， 所以 AM = BM = AB (或 AB = 2AM = 2BM). 反之也成立：因为 AM = BM = AB (或 AB = 2AM = 2BM)， 所以 M 是线段 AB 的中点. 探究点3：线段的和、差、倍、分 三等分点 如图，若点 M、N 是线段 AB 的三等分点， 则 AM = = = ，反过来也成立． MN NB AB 1 3 探究点3：线段的和、差、倍、分 四等分点 如图，若点 M、N、P 是线段 AB 的四等分点， 则 AM = = = = ，反过来也成立． MN NP AB 1 4 PB 例2 若 AB = 12 cm，点 C 是线段 AB 的中点，点 D 是线段 CB 的中点，问线段 AD 的长是多少? 解：因为 AB = 12 cm， 因为 C 是线段 AB 的中点， 因为 D 是线段 CB 的中点， 所以 AD = AC + CD = 6 + 3 = 9 (cm). A C B D 所以 AC = CB = AB = ×12 = 6 (cm). 所以 CD = CB = ×6 = 3 (cm). 探究点3：线段的和、差、倍、分 1. 如图，， 两点之间的距离指的是( ) C A. 线段 B. 线段与线段 的长度之和 C. 线段 的长度 D. 线段与线段 的长度之差 返回 考试考法 18 2. 如 图，生活中有下列两个现象：现 象1，建筑工人砌墙时，会在两个 墙脚的位置分别固定一根木杆， 然后拉一条直的参照线；现象2，把原来弯曲的河道改直， ， 两地间的河道长度变短.对于这两个现象的解释，正确 的是( ) 考试考法 19 A. 均用两点之间线段最短来解释 B. 均用两点确定一条直线来解释 C. 现象1用两点之间线段最短来 解释，现象2用两点确定一条直 线来解释 D. 现象1用两点确定一条直线来 解释，现象2用两点之间线段最 短来解释 √ 返回 考试考法 20 （第3题） 3. 如图，围绕在正方形四周的四条线段 ， ，， 中，长度最长的是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 21 4. ［2025温州期末］如图，延长线段至点 ，使 .若恰好为线段的中点，且 ，则线 段 的长度是( ) （第4题） B A. B. C. D. 考试考法 22 【点拨】因为点是线段的中点， ，所以 .因为， ， 所以，所以 . 返回 考试考法 5. ［2025杭州校级月考］如图，已知为线段的中点， 为线段的中点，现给出下列结论： ， ，， ，其中 正确的结论是( ) A A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ②③ 考试考法 24 【点拨】因为为线段的中点，为线段 的中点，所以 ， ，所以 ， ，故①②正确；因为 ，所以 ，故③正确；因为 ，所以 ，故④ 正确.故选A. 返回 考试考法 25 6.尺规作图：已知线段, ，按照下列要求作图（保留作图痕 迹，不写作法）. （1）作线段，使 ； 【解】如图①，线段 即为所求. 考试考法 26 （2）作线段，使 . 如图②，线段 即为所求. 返回 考试考法 27 7. ［2025济南槐荫区月考］如图，线段长为8，线段 长 为14，点， 分别是它们的中点，将它们的一端重合，放 置在同一条直线上，则， 两点间的距离为( ) D A. 6 B. 11 C. 6或22 D. 3或11 考试考法 28 【点拨】因为线段长为8，线段长为14，点, 分别是 它们的中点，所以 ， . 分两种情况： 如图①，当，或， 重合，且剩余两端点在重合点同 侧时， ； 考试考法 29 如图②,当，或， 重合，且剩余两端点在重合点两侧 时， . 所以， 两点间的距离为3或11.故选D. 返回 考试考法 8. ［2025成都武侯区月考］如图，已知线段上有两点 ， ，且，点，分别为， 的中点， ，，则 ( ) D A. 6 B. 4 C. D. 考试考法 31 【点拨】因为， ，所以 .因为，分别为 ， 的中点，所以 ， 所以 .故选D. 返回 考试考法 32 9. 如图，点在线段 的延长线上，且线段 ，第一次操作：分别取线段和的中点， ；第二 次操作：分别取线段和的中点， ；第三次操作：分别 取线段和的中点， ；…,连续这样操作10次，则每次的 两个中点所形成的所有线段之和 ( ) A A. B. C. D. 考试考法 33 线段长短的比较与运算 线段长短的比较 基本事实 线段的和差 度量法 叠合法 中点 两点间的距离 基本作图 课堂小结 $