6.3.3 余角和补角（课件）-2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦“余角和补角”核心内容，涵盖定义、性质、计算及邻补角、方位角等应用。课堂导入从三角尺角的度数入手，通过“两个锐角关系”问题引导，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接角的度数前期知识。 其亮点在于结构化呈现知识，突出易错点提示与经典题型模型，如余角补角性质推导培养推理意识，方程题型强化模型意识，方位角规范描述提升数学语言精确性。助力学生构建知识体系提升解题能力，教师可高效开展教学。

人教版数学7年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月2日 6.3.3 余角和补角 第六章几何图形初步 6.3.3 余角和补角 知识点总结（满分版） 一、余角、补角定义（必考基础） 1. 余角（互余） 定义：如果两个角的和等于 $$90^\circ$$（直角），就说这两个角互为余角，简称互余。 公式：若$$\angle1+\angle2=90^\circ$$，则$$\angle1$$与$$\angle2$$互余。 特点：两个角都是锐角。 2. 补角（互补） 定义：如果两个角的和等于 $$180^\circ$$（平角），就说这两个角互为补角，简称互补。 公式：若$$\angle1+\angle2=180^\circ$$，则$$\angle1$$与$$\angle2$$互补。 特点：可以是“锐+钝”、“直+直”。 3. 核心关键（超级易错） ⚠️ 互余、互补只看度数和，与位置、是否相邻无关！ 两个角不需要挨在一起、不需要有公共顶点，只要度数满足和为 $$90^\circ/180^\circ$$ 即可。 二、余角、补角计算公式（解方程必考） 设一个角为 $$x^\circ$$ ① 余角：$$(90-x)^\circ$$ ② 补角：$$(180-x)^\circ$$ ③ 补角比余角大90°（万能结论） 推导：$$(180-x)-(90-x)=90^\circ$$ ⭐ 任意一个锐角，补角永远比余角大90度（选择题秒杀）。 三、余角、补角性质（几何证明必背） 1. 余角性质 同角的余角相等：同一个角的两个余角相等。 等角的余角相等：相等的角的余角也相等。 2. 补角性质 同角的补角相等：同一个角的两个补角相等。 等角的补角相等：相等的角的补角也相等。 ⭐ 大题万能理由：直接写“同角（等角）的余角相等 / 同角（等角）的补角相等”。 四、邻补角（常考识图） 定义：两个角有公共顶点、一条公共边，另一边互为反向延长线，这样的两个角互为邻补角。 特点： ① 位置相邻；② 度数和为 $$180^\circ$$；③ 邻补角一定互补，互补不一定是邻补角。 五、经典方程题型（期末计算必考） 题型：已知一个角的补角是余角的几倍，求角度 例题：已知一个角的补角是它余角的4倍，求这个角。 解：设这个角为 $$x^\circ$$， 余角：$$90-x$$，补角：$$180-x$$ 列方程：$$180-x=4(90-x)$$ 解得：$$x=60$$ 答：这个角为 $$60^\circ$$。 六、直角模型（几何识图压轴） 若$$\angle AOB=90^\circ$$，内部有一条射线 $$OC$$， 则：$$\angle AOC+\angle BOC=90^\circ$$ ⭐ 直角拆分出的两个小角互余。 若A、O、B共线，$$\angle AOB=180^\circ$$， 则拆分出的两个相邻小角互为邻补角。 七、方位角（本节重难点、考试必考） 1. 方位角规则 以正南、正北为基准，不说正东正西！ 格式：北偏东、北偏西、南偏东、南偏西。 ⚠️ 禁止说“东偏北、西偏南”（考试扣分）。 2. 特殊方位 东北方向 = 北偏东$$45^\circ$$ 西北方向 = 北偏西$$45^\circ$$ 东南方向 = 南偏东$$45^\circ$$ 西南方向 = 南偏西$$45^\circ$$ 3. 方位角做题核心 画图找直角，利用互余、互补求角度。 八、高频易错点（扣分重灾区） 1. 误以为互余、互补需要两个角挨在一起（只看度数和）。 2. 余角补角公式写反：余90、补180，千万别混。 3. 方位角乱用“东偏北”，必须先南北、后东西。 4. 忽略：钝角没有余角，只有补角。 5. 分不清“邻补角”和“互补”：邻补角有位置要求，互补无位置要求。 6. 不会用“补角比余角大90°”秒杀结论，计算太慢。 九、速记口诀 和为九十叫互余，和为一百八互补； 无关位置只看数，同角等角性质牢； 补角永远大九十，钝角无余要记好； 方位先北后东西，看图算角稳不跑。 在具体的现实情境中，认识一个角的余角与补角，掌握余角和补角的性质. 进一步提高抽象概括能力，知识运用能力，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想. 体会观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用，培养数学推理的严谨性. 2026年6月2日星期二8时42分9秒 问题 这是我们常用的一副三角尺，三角尺中各个角的度数分别是多少？ 45° 90° 45° 30° 90° 60° 这两个三角尺中，每块都有一个角是90°， 那么另外两个锐角有什么关系呢？ 如图，∠1 +∠2 = 5 6 3 4 O A C B A B A C O O A B C 当∠AOB = 90° 时， ∠3 +∠4 = 当∠AOB = 180° 时， ∠5 +∠6 = 90°. 180°. ∠AOB 1 2 余角： 【知识要点】 如果两个角的和等于 90° (直角)，就说这两个角互为余角，简称这两个角互余. ∠3 与∠4 互余； ∠3 是∠4 的余角； ∠4 是∠3 的余角. 3 4 探究点1：余角和补角的概念 ∠3 与∠4 依然互余. 讨论1：此时∠3 与∠4 还互余吗？ 讨论2：钝角有余角吗？ 没有. 总结 角的数量关系与位置无关. 总结 只有锐角有余角. 3 4 探究点1：余角和补角的概念 几何语言： 因为∠3 与∠4 互余， 所以 ∠3 +∠4 = 90°， 或 ∠3 = 90°－∠4， 或 ∠4 = 90°－∠3. 因为∠3 +∠4 = 90°， 所以∠3 与∠4 互余. 互余定义 3 4 探究点1：余角和补角的概念 补角： 如果两个角的和等于 180° (平角)，就说这两个角互为补角，简称这两个角互补． 问题：如果两个角的和等于 180° (平角)，那么怎么描述这两个角的关系呢？ 1 2 追问：此时∠1 与∠2 还互补吗? 依然互补. 探究点1：余角和补角的概念 几何语言： 1 2 因为∠1 与∠2 互补， 所以 ∠1 +∠2 = 180°， 或 ∠1 = 180°－∠2， 或 ∠2 = 180°－∠1. 因为∠1 + ∠2 = 180°， 所以∠1 与∠2 互补. 互补定义 探究点1：余角和补角的概念 思考：能不能说单独的一个角是余角或补角呢? 不能. 余(补)角指的是两个角之间的数量关系，与位置无关，且它们是成对出现的，单独的一个角或两个以上的角不能称为余(补)角. 例1 若∠α = 35°，求∠α 的余角和补角的度数. 解：∠α 的余角为 90°－35° = 55°， ∠α 的补角为 180°－35° = 145°. 探究点1：余角和补角的概念 问题：∠1 与∠2，∠3 都互为余角，∠2 与∠3 的大小有什么关系？ 因为∠1 与∠2，∠3 都互为余角， 所以∠2 = 90°－∠1，∠3 = 90°－∠1. 所以∠2 = ∠3 . 余角的性质： 同角 (等角) 的余角相等． 【知识要点】 探究点2: 余角和补角的性质 解：因为∠AOB =∠COD = 90°， 例2 如图，∠AOB = ∠COD = 90°，∠1 = 23°， 求∠BOD 的度数. A B O C D 因为∠1 = 23°，所以∠2 = 23°. 所以∠2 = ∠1. 所以∠COB +∠1 =∠COB +∠2 = 90°. 探究点2: 余角和补角的性质 1 2 问题：类比探究，∠1 与∠2，∠3 都互为补角，∠2 与∠3 的大小有什么关系？ 因为∠1 与∠2，∠3 都互为补角， 所以∠2 = 180°－∠1，∠3 = 180°－∠1. 所以∠2 =∠3. 补角的性质： 【知识要点】 同角 (等角) 的补角相等. 探究点2: 余角和补角的性质 例3 如图，点 A，O，B 在同一条直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？ 解：因为点 A，O，B 在同一条直线上， 所以∠AOC 和∠BOC 互为补角． A O B C D E 补角的定义 探究点2: 余角和补角的性质 A O B C D E 又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC， 所以∠COD +∠COE = ∠AOC + ∠BOC = (∠AOC +∠BOC ) = 90° 所以∠COD 和∠COE 互为余角， 同理，∠AOD 和∠BOE，∠AOD 和∠COE，∠COD 和∠BOE 互为余角． 等式的性质 余角的定义 探究点2: 余角和补角的性质 1. 已知一个角比它的补角小 ，则这个角的度数为( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 16 2. 若 的余角为，则 的补角的度数是( ) C A. B. C. D. 【点拨】因为 的余角为，所以 ，所以 的补角为 . 返回 考试考法 17 3. 下列说法： ①锐角的补角一定是钝角； ②一个角的补角一定大于这个角； ③如果两个角是同一个角的余角，那么它们相等； ④若 ,则,, 互为补角. 其中正确的说法有( ) B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 考试考法 18 4. 如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中 的图形有( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 考试考法 19 5.如图，将一副三角板如图放置， ，则 _______ ____. 【点拨】因为 ， 所以 ，即 . 所以 . 返回 考试考法 20 6.［2025邢台期中］一位同学利 用如图所示的量角器,采用如图① 所示的方法测量锐角 的度 或 数，其中量角器有两条刻度线分别在射线， 上,则 的度数为____，另外一位同学用同样的方法，测量 的余角的度数，如图②所示，已知射线 所指 示的度数为 ，则射线 所指示的度数为___________. 返回 考试考法 21 7.如图，点，， 在同一条直线上， ， . 考试考法 22 （1）求 的度数. 【解】因为点，， 在同一条直线上, 所以 . 因为 ， 所以 . 又因为 ， 所以 . 所以 . 考试考法 （2）图中有哪几对角互为余角？ 【解】与， 与 ，与， 与 ,这4对角互为余角. 考试考法 24 （3）图中有哪几对角互为补角？ 【解】与，与,与 ， 与，与，与， 与 ,这7对角互为补角. 返回 考试考法 25 8. 若与互为余角，与 互为补角，则下列结论错误 的是( ) D A. B. C. D. 考试考法 26 【点拨】因为与互为余角，所以 因为 与互为补角，所以 ，②所以 ， 得 ，故A正确，D错误； ，得 ，故B正确； ，得 ，故C正确. 返回 考试考法 27 9. 如图，,, ，下列 判断：①射线是的平分线；是 的补角； ；的余角有和 .其中正确的 是( ) C A. ①③④ B. ①②③ C. ①②③④ D. ②③④ 考试考法 28 【点拨】因为 ，所以射线 是 的平分线，故①正确； 因为，且是 的补 角，所以是 的补角，故②正确；因为 ， 所以 ，所 以 . 因为 ，所以 考试考法 29 ，故③正确；因为 ， ，所 以 .又因为 ,所以 的余角 有和 ，故④正确.综上 分析可知，正确的有①②③④. 返回 考试考法 互余 互补 两角间的数量关系 对应图形 性质 1 2 1 2 ∠1 +∠2 = 90° 或∠1 = 90° -∠2 ∠1 +∠2 = 180° 或∠1 = 180° -∠2 同角或等角的 补角相等 同角或等角的 余角相等 课堂小结 $