6.3.3 余角和补角 教学课件 2025--2026学年人教版七年级数学上册

该初中数学课件围绕余角和补角的定义、性质及应用展开，通过观察一副三角尺中锐角和为90°导入，联系直角、平角旧知，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生自然过渡到新知识。 其亮点在于以生活实例培养数学眼光（几何直观），通过“思考-猜想-推理”问题链发展数学思维（推理意识），用符号语言和表格总结强化数学语言（符号意识）。如三角尺引入、余角性质推导、表格归纳锐角补角比余角大90°，助力学生理解概念，教师教学逻辑清晰，提升效率。

学科：数学（人教版） 年级：七年级 6.3.3 余角和补角 第六章 几何图形初步 新知引入 问题1：在一副三角尺中，每个三角尺都有一个角是直角，那么另外两个锐角的和有什么特点？ 45°＋45°＝90° 30°＋60°＝90° 另外两个锐角的和为90° 45° 90° 45° 90° 60° 30° 在一般地，如下图，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角 ( 简称这两个角互余 )，即其中一个角是另一个角的余角. 1 2 如图：∠1与∠2互为余角，也可以说∠1是∠2的余角，或者∠ 2 是∠ 1的余角. 余角是成对出现的，所以不能说某个角是余角. 新知讲解 新知讲解 如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角. 符号语言： ∵∠1+∠2=90º， ∴∠1与∠2互为余角. 反之也成立： ∵∠1与∠2互为余角， ∴∠1+∠2=90º. 新知讲解 1.图中给出的各角，哪些互为余角？ 15o 24o 66o 75o 46.2o 43.8o 针对训练 类似地，如下图，如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角. 补角是成对出现的，所以不能说某个角是补角. 如图：∠3与∠4互为补角，也可以说∠3是∠4的补角，或者∠ 4是∠ 3的补角。 4 3 新知讲解 新知讲解 如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角. 符号语言： ∵∠3+∠4=180º， ∴∠3与∠4互为补角. 反之也成立： ∵∠3与∠4互为补角， ∴∠3+∠4=180º. 新知讲解 1. 图中给出的各角，哪些互为补角？ 10o 30o 60o 80o 100o 120o 150o 170o 针对训练 新知讲解 ①无论是互补或互余，都是描述两个角之间的关系 ②互补或互余描述的是数量关系，与两个角位置无关 ∠α ∠α的余角 ∠α的补角 5° 32° 45° 77° 62°23′ x°(0＜x＜90) 27°37′ 117°37′ 85° 175° 58° 148° 45° 135° 103° 13° (90－x)° (180－x)° 观察可得结论：锐角的补角比它的余角大_____. 90° 针对训练 例1：若一个角的补角等于它的余角的 4 倍，求这个角的度数. 解：设这个角为 x°，则它的补角是 ( 180－x )°，余角是 ( 90－x )° . 根据题意，得 180－x = 4 ( 90－x ) . 解得 x = 60. 答：这个角的度数是 60 ° 典例分析 1. 一个角是70°39′，求它的余角和补角． 3. 一个角是钝角，它的一半是什么角？它的余角呢？补角呢？ 2. 一个角的补角是它的3倍，这个角是多少度？ 解：余角：90°-70°39′=19°21′ 补角：180°-70°39′=109°21′ 解： 设这个角为x°，则180°- x=3x， ∴ x=45° 解：它的一半是锐角；因为钝角大于90°，所以它没有余角；补角是锐角. 针对训练 针对练习 4.已知一个角的补角比这个角的余角的2倍大40°，求这个角的度数． 解：设这个角的度数为x. 依题意，得180°－x＝2（90°－x）＋40°. 解得x＝40°. 答：这个角的度数为40°. 针对训练 新知讲解 思考1：∠1与∠2，∠3都互为余角，∠2与∠3的大小有什么关系？ 2 1 3 新知讲解 新知讲解 思考1：∠1与∠2，∠3都互余，∠2与∠3的大小有什么关系？ 猜想： ∠2＝∠3 理由如下： ∵∠1与∠2, ∠3都互为余角， ∴∠2＝90º－∠1， ∠3＝90º－∠1， ∴∠2＝∠3. 同角的余角相等. 2 1 3 新知讲解 新知讲解 思考2：∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1＝∠3，那么∠2和∠4 相等吗？为什么？ 2 1 4 3 新知讲解 新知讲解 思考2：∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1＝∠3，那么∠2和∠4 相等吗？为什么？ 猜想： ∠2＝∠4 理由如下： ∵∠1与∠2互余，∠3与∠4互余， ∴∠2＝90º－∠1，∠4＝90º－∠3， ∵∠1＝∠3 ∴∠2＝∠4. 等角的余角相等. 2 1 4 3 新知讲解 余角的性质：同角（等角）的余角相等 新知讲解 思考3：如图，如果∠1与∠2，∠3都互补，那么∠2与∠3的大小有什么关系？ 解：∵∠1与∠2互为补角， ∴∠2＝ 180°－∠1， 又∠1与∠3互为补角， ∴∠3＝ 180°－∠1， ∴∠2=∠3. 同角的补角相等. 2 新知讲解 新知讲解 解：∵∠1与∠2互为补角， ∴∠2＝ 180°－∠1， 又∠3与∠4互为补角， ∴∠4＝ 180°－∠3， ∵∠1=∠3 ∴∠2=∠4. 思考4：已知：∠1与∠2互为补角，∠3与∠4互为补角，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？ 等角的补角相等. 新知讲解 补角的性质：同角（等角）的补角相等 归纳小结 类型 性质 数学语言 余角 补角 同角（等角） 的余角相等 同角（等角） 的补角相等 ①如果∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°， 那么∠2＝∠3. ②如果∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°， 且∠1＝∠3，那么∠2＝∠4. ①如果∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°， 那么∠2＝∠3. ②如果∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°， 且∠1＝∠3，那么∠2＝∠4. 归纳小结 例2　(1)若∠α＝26°，则∠α的余角是________，补角是________； (2)若∠1的补角是115°32′，则∠1的度数为________，∠1的余角为________； (3)若∠A的度数是37°24′，∠B的度数是52°36′，则∠A与∠B互为________． 64° 154° 64°28′ 25°32′ 余角 典例分析 当堂巩固 1．将一副三角尺按不同位置摆放，下列摆放方式中∠α与∠β一定互补的是（　　） C 针对训练 典型例题 例3 如图，点A、O、B 在同一条直线上，射线OD 和射线OE 分别平分∠AOC 和 ∠BOC，图中哪些角互为余角？ 分析：互为余角的两个角的和是90°，而已知条件中隐含互为补角的条件，再利用角平分线的条件，便可以发现互为余角的角. 典例分析 典型例题 解：因为点A，O，B在同一条直线上， 所以∠AOC和∠BOC互为补角. 又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC， 所以∠COD +∠COE＝∠AOC+∠BOC ＝(∠AOC+∠BOC ) ＝90°. 所以， ∠COD 和∠COE互为余角， 同理， ∠AOD 和∠BOE，∠AOD和∠COE ，∠COD 和∠BOE也互为余角. 双角平分线模型 典例分析 1.如图，O是直线MN上一点，OC平分∠AOM，且∠BOC＝90°，则OB是否平分∠AON？请说明理由． 解：OB平分∠AON.理由如下： 因为OC平分∠AOM，所以∠AOC＝∠COM. 因为O是直线MN上一点，所以∠MON＝180°. 所以∠COM＋∠BON＝∠MON－∠BOC＝180°－90°＝90°. 因为∠AOC＋∠AOB＝∠BOC＝90°，∠AOC＝∠COM， 所以∠AOB＝∠BON.所以OB平分∠AON. 针对训练 解： (2) ∠AOD与∠BOC互补．理由如下： 因为∠AOC和∠BOD都是直角， 所以∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC＝90°. 又∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD， 所以∠AOD＋∠BOC＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠BOC＝180°. 所以∠AOD与∠BOC互补． 2.如图，∠AOC和∠BOD都是直角． (1)图中与∠BOC互余的角有________和________． (2)∠AOD与∠BOC互补吗？为什么？ ∠AOB ∠COD 针对练习 双直角模型 针对训练 1.如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余. 2.如果两个角的和等于180 °（平角），就说这两个角互为补角，简称互补. 余角和补角 概念 课堂总结 1.同角（等角）的余角相等. 2.同角（等角）的补角相等. 性质 1．若∠A＝55°，则∠A的补角为（ ） A．35° B．45° C．115° D．125° 感受中考 D 2．如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝126°，则∠BOC的大小为（ ） A．36° B．44° C．54° D．63° 【解答】解：∵∠AOC＝90°，∠AOD＝126°， ∴∠COD＝∠AOD－∠AOC＝36°， ∵∠BOD＝90°， ∴∠BOC＝∠BOD－∠COD＝36°＝90°－36°＝54°． 故选：C． 感受中考 谢谢！ $