精品解析：安徽省淮北市第一中学等校2026届高三下学期5月最后一卷数学试题

高三数学 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰． 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若体积为的圆锥的高为1，则该圆锥的母线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设圆锥的底面半径为，则，解得， 故所求母线长为． 2. 已知平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，，故，故C正确． 3. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，， ， 则. 4. 已知一组数据：，，，…，的平均数为m，方差为，在这组数据中的任意位置插入数字m，则插入后这11个数的方差为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，，， 则加入后，平均数保持不变， 方差为． 5. 已知虚数z满足，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设复数，已知，从而， 解得，即. 6. 用笔从空间多面体的一个顶点出发，沿棱连续划线，要求笔尖不离开纸面（或模型表面）、不重复经过任何一条棱，最终停止在起点或任意其他顶点的过程称为“1笔”．则遍历一个正五棱柱的所有棱，至少需要（ ） A. 3笔 B. 4笔 C. 5笔 D. 6笔 【答案】C 【解析】 【详解】正五棱柱共10个顶点，每个顶点连3条棱，均为奇顶点， 根据欧拉笔画定理：连通图最少笔画数奇顶点数， 因此，至少需要5笔． 7. 已知抛物线C：的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于M，N两点．O为坐标原点，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设直线l：，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及弦长公式可得，进而求出O到直线l的距离，进而求解即可. 【详解】由题意，设直线l：， 联立，得， 设，，则，， 故，则， 所以直线l：，即， 则O到直线l的距离为， 所以的面积为. 8. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且A，B是函数的两个不同的零点．若，则的外接圆半径为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设可得 ，，进而得到，再根据两角和的余弦公式可得，可得，再根据正弦定理求解即可. 【详解】令，即 ， 则 ，， 在中，， 则 ， 因为，所以，故， 则， 因为，所以，则， 则的外接圆半径为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间中有两条不同的直线，，三个不同的平面α，β，γ，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，则 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，由，，则或，故A错误； 对于B，由，，则，而，则，故B正确； 对于C，由，，则， 而，，则，不一定平行，也可能异面或者相交，故C错误； 对于D，由，，，则，故D正确. 10. 已知定义域为R的函数的图象关于直线对称，且对任意的，恒有．若，则下列说法正确的是（ ） A. 的一个周期为3 B. 直线为的图象的一条对称轴 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题设易得，即可判断A；由直线是对称轴可得，进而得到，即可判断B；先根据周期性可得，再利用赋值法求解判断C；由易得，再求出，进而求解判断D. 【详解】依题意，，则， 即，故的周期，故A错误； 已知直线是对称轴，则， 而，则， 故为的图象的一条对称轴，故B正确； 由，则， 令，可得，则， 由，令，可得，故C正确； 由 ， 所以， 已知，而，则， 则，故D正确． 11. 已知双曲线C：的左、右顶点分别为，，离心率为，且过点．点在双曲线C上，线段与C的两条渐近线分别交于点A，B，O为坐标原点，的面积记为S，则（ ） A. C的实轴长为1 B. 不存在点M，使得 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由题设求出，进而求解判断即可；对于B，可得双曲线的渐近线方程为，先假设，推出矛盾，即可判断；对于C，分析可得，，进而判断即可；对于D，记 ， ，，根据两角和的正切公式化简可得 ，，而，进而判断即可. 【详解】对于A，由题意，，解得， 将代入中，得，解得，则， 故C的实轴长为，故A错误； 对于B，由于双曲线的渐近线方程为， 若，而，则 ，与题设矛盾， 因此，不存在点M，使得，故B正确； 对于C，由，，则直线：， 而双曲线的渐近线方程为，即， 联立得， 故 ， ， 即，，故，故C正确； 对于D，记 ， ，由条件，， 而，，则， 则 ，故， 所以， 则，而， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则向量在向量上的投影向量为______． 【答案】 【解析】 【详解】建系如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 则，，， 所以向量在向量上的投影向量为． 13. 某超市为了回馈消费者，现举行大额消费返现活动，规则如下：现有A、B两个不透明的盒子，其中A盒中放有2，5，7三张卡牌，B盒中放有4，10，14三张卡牌．现进行三轮抽取，每一轮从A、B两个盒子中各随机抽取1张卡牌，抽取的卡牌均不放回原盒中；每轮抽取中，若抽出的两张卡牌互质，则小明获得20元现金奖励，否则该轮无奖励．三轮抽取结束后，小明获得的返现奖励为40元的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用古典概型的概率计算方法求概率. 【详解】因为每次抽取抽到的数字都是等可能的，所以这是一个古典概型问题. 所有的基本事件有：，，， ，，，共6个. 能够获得返现奖励为40元的基本事件有：，，，共3个. 所以获得返现奖励为40元的概率为. 14. 已知，若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，设，则，然后利用函数的单调性分析出，将问题转换成在上有解，分离参数并构造函数，结合导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】设，则原方程化为在上有解； 令，则，那么，都在函数的图象上； 假设，因为单调递增，所以，即，与假设矛盾； 假设，因为单调递增，所以，即，与假设矛盾； 故，则在上有解，即在上有解， 令，则，解得， 则在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 所以，解得． 故实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙两人同时竞聘某公司的主播岗位，面试采取三场两胜制进行．假设甲每场面试获胜的概率为，且每场面试不存在平局的情况，每场面试的结果相互独立． （1）求乙最终获得主播岗位的概率； （2）面试结束时，记甲获胜的场数为随机变量X，求随机变量X的分布列以及数学期望． 【答案】（1） （2） X 0 1 2 【解析】 【分析】（1）由题意，分乙胜、乙胜两种情况求解即可； （2）由题意，X的所有可能取值为0，1，2，分别求出对应的概率，再根据数学期望的公式求解即可. 【小问1详解】 记面试结束的时候乙最终获得主播岗位为事件A，乙获胜分为两种情况： 乙胜（前两场乙连胜）：概率为， 乙胜（前两场一胜一负，第三场乙胜）：概率为， 则. 【小问2详解】 依题意，X的所有可能取值为0，1，2， ，， ； ∴X的分布列为 X 0 1 2 则． 16. 已知等差数列的前n项和为，其中，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求的值； （3）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2）63 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题设结合等差数列基本量计算可求得，进而求解即可； （2）先求得，再利用分组求和法求解即可； （3）分n为偶数和n为奇数两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 依题意，，解得， 故. 【小问2详解】 由 ， . 【小问3详解】 依题意，， 当n为偶数时，， 此时 ； 当n为奇数时，； 故. 17. 已知函数． （1）若曲线在处的切线l与y轴垂直，求的单调区间； （2）若函数在上不单调，求实数m的取值范围． 【答案】（1）的单调递增区间为，递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数导数的几何意义，由切线斜率求出导数值，进而求出参数，再根据函数导数与函数单调性的关系，求出函数单调区间； （2）根据函数的单调性，判定函数导数值的情况，构造函数，根据函数零点情况，求出参数范围. 【17题详解】 由题意得， 故，解得， 则， 令，则， 令，解得， 故当时，，即在上单减； 当时，，即在上单增； 故恒成立， 故当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以的单调递增区间为，递减区间为； 【18题详解】 由（1）知，， 在上不单调，即方程在上有变号解， 即在上有变号解，． 令，，则， 令，解得， 故当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 时，，，在上单调递增，不符合题意，舍去． 当时，，当，， 故实数m的取值范围为． 18. 如图所示的平面四边形，其中，，，． （1）求的值； （2）现将平面四边形沿进行翻折，使得点翻折至的位置，且． （ⅰ）求平面与平面所成角的余弦值； （ⅱ）依次过点，，，作四个相互平行的平面，使得任意两个相邻平面之间的距离均为，求的值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理解三角形即可. （2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，根据两点间距离公式得到坐标，求出平面、平面的法向量，根据面面角的向量求法求解即可. （ⅱ）由题意知，直线被这四个平面截得的三段线段长度相等，根据点到平面距离的向量求法求解即可. 【小问1详解】 在中，，，故， 故， 在中，，， 在中，， 由余弦定理得， ， 所以． 故. 【小问2详解】 （ⅰ）取中点， 以为坐标原点，，方向为，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，设， 由（1）可知，，，， 故，解得，，， 则，则，而， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，所以. 易知平面的一个法向量， 设平面与平面所成角为， 则. （ⅱ）因为四个平面相互平行且相邻间距均为，所以直线被这四个平面截得的三段线段长度相等． 即平面（过）必过靠近的三等分点，平面（过）必过靠近的三等分点． 同时，因为平面过点，平面过点，且，，平行等距， 由平行线分线段成比例可知，中间的平面必过线段的中点（即坐标原点）． 由（ⅰ）可知，，，， ， ， 平面经过点，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，所以， 因为平面过点且平行于， 所以相邻平面间的距离等于点到平面的距离，即． 同理可验证平面过和，且与平行，距离也为，故四个平面均满足． 因此相邻两个平面间的距离为． 19. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且椭圆C过点，直线的倾斜角为75°． （1）求椭圆C的方程； （2）过点P作两条不重合直线，，与椭圆C交于另一点A，与y轴交于点M；与椭圆C交于另一点B，与y轴交于点N． （ⅰ）若直线的斜率为2，求的面积； （ⅱ）若M，N关于坐标原点O对称，过点P作AB的垂线，垂足为Q，探究：是否存在定点R使得是定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）2；（ⅱ）存在， 【解析】 【分析】（1）先求出，再结合倾斜角与斜率的关系、斜率公式可得，再将点代入得，可求得，，进而求解即可； （2）（ⅰ）由题意可得直线，联立直线与椭圆方程可得，进而求解即可； （ⅱ）设直线AB方程是，联立直线与椭圆方程，由题意可得，结合韦达定理可得，可得直线AB过点，点Q在以PD为直径的圆上，进而求解即可． 【小问1详解】 由， 则，解得，即， 将点代入得，解得，， 故椭圆C的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）依题意，直线：，即， 联立， 得，解得（对应点P）或； 将代入直线方程得，故， 而直线与轴交点为， 故的面积. （ⅱ）依题意，直线AB存在斜率，设直线AB方程是， 联立，消去得， 则 ， 设，，则，， 直线PA：，令，得 ，同理 ， 依题意知，即 ， 则 ， 即 ， 则 ， 即 ， 整理得 ，即， 若，则直线AB过点，不合题意，舍去； 若，则直线AB过点， 令，则点Q在以PD为直径的圆上， 所以当R为PD的中点，即以PD为直径的圆的圆心时，等于圆的半径， 故存在定点，使得为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰． 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若体积为的圆锥的高为1，则该圆锥的母线长为（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知一组数据：，，，…，的平均数为m，方差为，在这组数据中的任意位置插入数字m，则插入后这11个数的方差为（ ） A. B. C. D. 5. 已知虚数z满足，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 6. 用笔从空间多面体的一个顶点出发，沿棱连续划线，要求笔尖不离开纸面（或模型表面）、不重复经过任何一条棱，最终停止在起点或任意其他顶点的过程称为“1笔”．则遍历一个正五棱柱的所有棱，至少需要（ ） A. 3笔 B. 4笔 C. 5笔 D. 6笔 7. 已知抛物线C：的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于M，N两点．O为坐标原点，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且A，B是函数的两个不同的零点．若，则的外接圆半径为（ ） A. B. 2 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间中有两条不同的直线，，三个不同的平面α，β，γ，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，则 10. 已知定义域为R的函数的图象关于直线对称，且对任意的，恒有．若，则下列说法正确的是（ ） A. 的一个周期为3 B. 直线为的图象的一条对称轴 C. D. 11. 已知双曲线C：的左、右顶点分别为，，离心率为，且过点．点在双曲线C上，线段与C的两条渐近线分别交于点A，B，O为坐标原点，的面积记为S，则（ ） A. C的实轴长为1 B. 不存在点M，使得 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则向量在向量上的投影向量为______． 13. 某超市为了回馈消费者，现举行大额消费返现活动，规则如下：现有A、B两个不透明的盒子，其中A盒中放有2，5，7三张卡牌，B盒中放有4，10，14三张卡牌．现进行三轮抽取，每一轮从A、B两个盒子中各随机抽取1张卡牌，抽取的卡牌均不放回原盒中；每轮抽取中，若抽出的两张卡牌互质，则小明获得20元现金奖励，否则该轮无奖励．三轮抽取结束后，小明获得的返现奖励为40元的概率为______． 14. 已知，若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙两人同时竞聘某公司的主播岗位，面试采取三场两胜制进行．假设甲每场面试获胜的概率为，且每场面试不存在平局的情况，每场面试的结果相互独立． （1）求乙最终获得主播岗位的概率； （2）面试结束时，记甲获胜的场数为随机变量X，求随机变量X的分布列以及数学期望． 16. 已知等差数列的前n项和为，其中，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求的值； （3）若，求数列的前n项和． 17. 已知函数． （1）若曲线在处的切线l与y轴垂直，求的单调区间； （2）若函数在上不单调，求实数m的取值范围． 18. 如图所示的平面四边形，其中，，，． （1）求的值； （2）现将平面四边形沿进行翻折，使得点翻折至的位置，且． （ⅰ）求平面与平面所成角的余弦值； （ⅱ）依次过点，，，作四个相互平行的平面，使得任意两个相邻平面之间的距离均为，求的值． 19. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且椭圆C过点，直线的倾斜角为75°． （1）求椭圆C的方程； （2）过点P作两条不重合直线，，与椭圆C交于另一点A，与y轴交于点M；与椭圆C交于另一点B，与y轴交于点N． （ⅰ）若直线的斜率为2，求的面积； （ⅱ）若M，N关于坐标原点O对称，过点P作AB的垂线，垂足为Q，探究：是否存在定点R使得是定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $