精品解析：安徽滁州市来安中学等校2025-2026学年高三年级下学期5月考前预测数学试题

2026届高三5月最后一卷 满分150分，时间120分钟.请在答题卡上作答. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在一个文艺比赛中，10位观众评委给同一名选手的打分依次为：82，84，80，93，85，87，89，88，91，88，这组数据的第80百分位数为（ ） A. 88 B. 89 C. 90 D. 91 3. 向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与圆相交于A，B两点，则（ ） A. B. C. D. 5. “方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台．如图，在一个盛满米的“方斗”容器中，，，若从中取出18.2kg米后，米的高度下降一半，则剩余米的质量为（ ） A. 6.1kg B. 9.1kg C. 12.2kg D. 13.65kg 6. 已知数列的通项公式为，若是数列的最大项，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正实数x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 中国的五岳是指在中国境内的五座名山，分别是东岳泰山，西岳华山，南岳衡山，北岳恒山，中岳嵩山.小明与其父母共人计划在五一假期出游，每人选一个地方，则下列说法正确的是（ ） A. 人选择的地点均不同的方法总数为 B. 人均不选泰山的方法总数为 C. 恰有人选同一个地方的方法总数为 D. 恰有人选华山的概率是 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点对称 D. 无零点 11. 在圆锥中，轴截面是边长为的等边三角形，是的中点.用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则下列说法正确的是（ ） A. 圆的面积为 B. 椭圆的长轴长为 C. 抛物线的焦点到准线的距离为 D. 双曲线的离心率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数与分别对应向量与，其中O为坐标原点，则________． 13. 已知，，且，则的最小值为________． 14. 已知函数及其导函数的定义域均为，且，当时，．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，正八面体的每个面都是正三角形，四边形是边长为2的正方形，是的中点． （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 16. 已知数列中，，，． （1）求证：数列为等比数列； （2）记，数列的前n项和为，求证：． 17. 已知抛物线：的焦点为，，是上不同的两点（其中在第一象限），点.当，关于轴对称，且时，． （1）求的方程； （2）已知为轴上一点（点与不重合），，是上不同的两点（其中在第一象限），且，若，，三点共线，，求证：轴． 18. 已知函数 ，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数有2个不同的零点，，且 ，求的取值范围． 19. 一盒子中共有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球，2个黑球．从盒子中一次随机取出两个球，如果取出的球是黑球，则将它放回盒子中；如果取出的球是红球，则红球不放回盒子中，另补相同数量的黑球放入盒子中．重复进行上述操作n次后，盒子中黑球的个数记为． （1）求随机变量的期望； （2）求随机变量的分布列； （3）求的表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三5月最后一卷 满分150分，时间120分钟.请在答题卡上作答. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全集与补集、交集的概念计算即可. 【详解】全集，集合，， 即全集，则， 所以． 2. 在一个文艺比赛中，10位观众评委给同一名选手的打分依次为：82，84，80，93，85，87，89，88，91，88，这组数据的第80百分位数为（ ） A. 88 B. 89 C. 90 D. 91 【答案】C 【解析】 【详解】将数据按照从小到大的顺序排列为80，82，84，85，87，88，88，89，91，93， 因为，则第80百分位数是第8个数字和第9个数字的平均数， 所以这组数据的第80百分位数为. 3. 向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】向量在向量上的投影向量为 ． 4. 已知直线与圆相交于A，B两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将圆的方程化为标准形式，确定圆心和半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到弦的距离，最后结合三角函数和二倍角公式求出圆心角的余弦值. 【详解】将圆的方程化为标准形式：， 则圆心为，半径为， 过作，垂足为， 则， 在中，， 所以． 5. “方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台．如图，在一个盛满米的“方斗”容器中，，，若从中取出18.2kg米后，米的高度下降一半，则剩余米的质量为（ ） A. 6.1kg B. 9.1kg C. 12.2kg D. 13.65kg 【答案】C 【解析】 【分析】假设从“方斗”中取出18.2kg米后，米的高度下降一半至平面处.分析出取出米的质量与剩余的米的质量之比为正四棱台和的体积之比，再根据棱台的体积公式分别求出两个棱台的体积即可得解. 【详解】从“方斗”中取出18.2kg米后，米的高度下降一半至平面处， 由题意可知正四棱台和的高相等，设为． 因为，，则， 可得，． 设剩余的米的质量为， 则，解得． 6. 已知数列的通项公式为，若是数列的最大项，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据数列的通项公式，结合为最大项得到关于的不等式组并结合确定的值. 【详解】由题意得，，又因为， 所以， 解得，又因为，所以． 7. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦函数最大值及条件求出，再利用正弦定理，结合锐角三角形条件求出范围. 【详解】在锐角中，由，得，则， 即，因此，且，，此时，即， ，由正弦定理得，， 所以的取值范围为. 8. 已知正实数x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】将条件等价转化为，构造函数证明，从而，求得取等号时的，，解出. 【详解】由题意得，，，， 则等价于． 设，则，则在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，当且仅当时等号成立． 由得，， 则， 又， 所以，即， 则． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 中国的五岳是指在中国境内的五座名山，分别是东岳泰山，西岳华山，南岳衡山，北岳恒山，中岳嵩山.小明与其父母共人计划在五一假期出游，每人选一个地方，则下列说法正确的是（ ） A. 人选择的地点均不同的方法总数为 B. 人均不选泰山的方法总数为 C. 恰有人选同一个地方的方法总数为 D. 恰有人选华山的概率是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用排列、组合计数问题，结合分步乘法计数原理及排除法逐项列式计算判断. 【详解】对于A，人选择的地点均不同的方法总数为，故A正确； 对于B，人均不选泰山的方法总数为，故B正确； 对于C，恰有人选同一个地方的方法总数为，故C错误； 对于D，恰有人选华山的方法数为，人所有的方法数为， 所以恰有人选华山的概率是，故D正确． 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点对称 D. 无零点 【答案】CD 【解析】 【分析】先根据函数性质的定义判断函数的周期，对称轴和对称中心，再通过换元法研究函数零点情况. 【详解】由题意得，的定义域为， 在A选项中，， 则不是的周期，故A错误， 在B选项中，若函数关于直线对称，需满足 ， ，， 则，所以的图像不关于直线对称，故B错误， 在C选项中，若函数关于点对称，需满足 ， ， ，  ，故C正确， 在D选项中，令，则，即， 令，，则，所以， 令，，又因为， 当时，或， 当时，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又因为，，，， 所以在上无零点，则无零点，故D正确． 11. 在圆锥中，轴截面是边长为的等边三角形，是的中点.用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则下列说法正确的是（ ） A. 圆的面积为 B. 椭圆的长轴长为 C. 抛物线的焦点到准线的距离为 D. 双曲线的离心率为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用平面几何知识可判断AB，建立直角坐标系分别求出抛物线和双曲线的方程可判断CD. 【详解】对于A，底面半径为，圆锥高．为的中点，所以截面圆的半径为底面圆的半径的， 即截面圆半径为，则圆的面积为，故A正确； 对于B，如图1，在圆锥的轴截面中，作于点，则，， 所以椭圆的长轴长，故B正确； 对于C，如图2，设抛物线与底面圆的一个交点为，以为原点，为轴，在平面中建立平面直角坐标系如图2， 则，，所以，设抛物线方程为，则，解得， 则抛物线的焦点到准线的距离为，故C正确； 对于D，如图3，在与平面垂直且过点的平面内，建立平面直角坐标系，坐标原点与点到底面的距离相等， 且在轴上，则，双曲线与底面圆的一个交点为， 设双曲线方程为，则，将代入双曲线方程得，解得，所以， 故双曲线的离心率为，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数与分别对应向量与，其中O为坐标原点，则________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，，则，则． 13. 已知，，且，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，， 所以， 当且仅当，，即时，等号成立． 14. 已知函数及其导函数的定义域均为，且，当时，．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】令，结合已知条件，证明为上的偶函数，在上单调递增，则等价于，即在上恒成立，结合单调性求解即可. 【详解】由，得. 令，则，故为上的偶函数． 因为当时，，所以在上单调递减，在上单调递增． 故等价于，即在上恒成立， 因为为偶函数，且在上单调递增，所以， 平方后化简得到，由一次函数性质得， 解得． 故实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，正八面体的每个面都是正三角形，四边形是边长为2的正方形，是的中点． （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离的向量求法求解即可. （2）求出平面与平面的法向量，利用二面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 连接，由题意得，平面，连接，交于点，则过点， 又平面，所以，， 因为四边形是正方形，所以，故两两垂直. 以点为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，，． 设平面的法向量为， 则，即，令，则，， 则平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为． 【小问2详解】 ，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，， 则平面的一个法向量为． 易得平面，则平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 16. 已知数列中，，，． （1）求证：数列为等比数列； （2）记，数列的前n项和为，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）整理可得，结合等比数列的定义分析证明； （2）由（1）可得，可得，结合等比数列求和公式分析证明. 【小问1详解】 因为，则，可得， 且，则， 所以数列是以2为首项，为公比的等比数列． 【小问2详解】 由（1）可得：，则， 可得． 当时，； 当时， ； 综上所述：． 17. 已知抛物线：的焦点为，，是上不同的两点（其中在第一象限），点.当，关于轴对称，且时，． （1）求的方程； （2）已知为轴上一点（点与不重合），，是上不同的两点（其中在第一象限），且，若，，三点共线，，求证：轴． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据，关于轴对称得到轴，结合得到点纵坐标，进而得到直线过焦点，结合勾股定理求解即可. （2）设直线，，与抛物线联立，取中点，求出，结合几何关系得到 ，进而得到，代入求得则，得到轴，即可得证. 【小问1详解】 因为，关于轴对称，，所以轴，且点纵坐标为. 令，则，解得，于是直线过焦点． 在 中，， ， 则，解得， 故的方程为． 【小问2详解】 由题意得，与轴不垂直， 不妨设直线，，，，， 联立，整理得，则， 所以，． 取中点，连接， 则，， 由，，得， 又，则 ，所以， 即，则， 因为，则， 则，则轴，即轴． 18. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数有2个不同的零点，，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （3）． 【解析】 【分析】（1）代入求导得切点处的函数值与导数值，用点斜式直接写出切线方程. （2）先求导，按正负分类讨论导数符号，进而确定函数单调区间. （3）先排除情况，易得一个零点，依据零点间距小于1分区间结合端点函数值与极值点位置，求出取值范围. 【小问1详解】 当时，，则， 又，. 因此曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 ． 当时， 恒成立，因此在上单调递减； 当时，令，得，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问3详解】 由（2）知，当时，在上单调递减，仅1个零点，不符合题意， 故． 当时， ． 令， ，则 ， 当，，单调递增；当，，单调递减， 所以 ． 要使有2个不同的零点，则，所以，即且． 注意到对任意，恒成立，则0为的一个零点，不妨设， 要使，则，且， 令，则，解得，所以． 当时，根据单调性可知，极小值点，且 ， 解得； 当时，根据单调性可知，极小值点，且 ， 解得， 综上，的取值范围是． 19. 一盒子中共有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球，2个黑球．从盒子中一次随机取出两个球，如果取出的球是黑球，则将它放回盒子中；如果取出的球是红球，则红球不放回盒子中，另补相同数量的黑球放入盒子中．重复进行上述操作n次后，盒子中黑球的个数记为． （1）求随机变量的期望； （2）求随机变量的分布列； （3）求的表达式． 【答案】（1） （2） 2 3 4 5 （3）．【解析】 【分析】(1) 分析得到的可能取值为2，3，4，并求出对应的概率，利用期望公式求出； (2) 分析得到的可能取值为2，3，4，5，并求出对应的概率，列出分布列； (3) 找到与的递推关系，转化为等比数列求通项公式，从而求出的表达式. 【小问1详解】 每次操作取出2个球，若取出2个黑球，则黑球和红球的数量保持不变；若取出1个黑球1个红球，则黑球数量加1，红球数量减1；若取出2个红球，则黑球数量加2，红球数量减2． 的可能取值为2，3，4， 则，，， 则． 【小问2详解】 操作2次后，的可能取值为2，3，4，5， 操作2次后，盒子中2个黑球，则2次操作均为取出2黑， 则， 盒子中3个黑球，则2次操作中，其中1次取出2黑，另1次取出1红1黑， 则， 盒子中4个黑球，则2次操作中，其中1次取出2红，另1次取出2黑，或2次均取出1红1黑， 则， 盒子中5个黑球，则2次操作中，其中1次取出2红，另1次取出1红1黑． 则， 所以的分布列为 2 3 4 5 【小问3详解】记执行上述操作次后，盒子中黑球的个数为， 设，， 则，， 则，， ， ， 所以 ， 所以． 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $