北京市中关村中学2026届高三考前学科调研数学试题

北京市中关村中学高三三模数学学科调研 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 如果复数为纯虚数，那么实数的值为. A. －2 B. 1 C. 2 D. 1或 －2 3. 若直线是圆的一条对称轴，则实数（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设是等差数列.下列结论中正确的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知直线l1：mx-y+m=0与直线l2：x+my-1=0的交点为Q，椭圆的焦点为F1，F2，则|QF1|+|QF2|的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 若直线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率满足（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数的一条对称轴为，，且函数在上具有单调性，则的最小值为 A. B. C. D. 10. 设数列的各项均为非零的整数，其前项和为.若为正偶数，均有，且，则的最小值为（ ） A. 0 B. 22 C. 26 D. 31 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 若角的终边过点,则__． 12. 抛物线的准线方程是_______ 13. 若，则的值为___________． 14. 已知点，点，点，点满足，其中，由所有点组成的线段为的长度为___________，的最大值为___________． 15. 若存在常数，使得函数对任意实数都有成立，且等号能取到，则称为的下托函数．以下说法正确的有___________． ①函数没有下托函数； ②函数有下托函数； ③函数有下托函数； ④函数的图象与轴有交点. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）判断△ABC的形状； （2）若，求的取值范围． 17. 如图，正方体的棱长为2，E为BC的中点.点在上.再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点M唯一确定，并解答问题. 条件①： 条件②：； 条件③：平面. （1）求证：为的中点； （2）求直线EM与平面所成角的大小，及点E到平面的距离. 18. 为了培养学生的应用能力和创新思维，提高学生的科学素养，某学校开展了人工智能课程.为了解该校学生对相关人工智能课程的兴趣程度，对学生进行了简单随机抽样，获得数据如下表： 非常感兴趣 一般感兴趣 不感兴趣 合计 小学 20人 40人 40人 100人 初中 50人 30人 20人 100人 合计 70人 70人 60人 200人 假设小学生和初中生每人对人工智能课程的兴趣程度互不影响. 用频率估计概率. （1）从该校初中生中随机抽取3名同学，估计这3名同学中至少有两名同学对课程都“非常感兴趣”的概率； （2）规定：每名“非常感兴趣”的学生记5分，每名“一般感兴趣”的学生记3分，每名“不感兴趣”的学生记1分. 根据学生的兴趣程度采用分层抽样的方式，按照学生人数比例先从样本中的小学生中抽取了10人，再从这10人中随机抽取2人．记为这2人的得分之和，求的分布列和数学期望； （3）记样本中的小学生中“非常感兴趣”、“一般感兴趣”、“不感兴趣”的频率依次为，其方差为；样本中的初中生中“非常感兴趣”、“一般感兴趣”、“不感兴趣”的频率依次为，其方差为；的方差为．写出的大小关系．结论不要求证明. 19. 设椭圆过点 ，且左焦点为 （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）当过点的动直线 与椭圆相交于两不同点 时，在线段上取点 ，满足，证明：点 总在某定直线上 20. 已知函数． （1）证明：不论取何值，曲线均存在一条固定的切线，并求出该切线方程； （2）若为函数的极小值点，求的取值范围； （3）曲线是否存在两个不同的点关于轴对称，若存在，请给出这两个点的坐标及此时的值，若不存在，请说明理由． 21. 已知为有穷数列．若对任意的,都有（规定）,则称具有性质．设． （1）判断数列是否具有性质？若具有性质,写出对应的集合; （2）若具有性质,证明:; （3）给定正整数,对所有具有性质的数列,求中元素个数的最小值． 北京市中关村中学高三三模数学学科调研 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】B 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】4 【14题答案】 【答案】 ①. ②. ## 【15题答案】 【答案】①③ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 【16题答案】 【答案】(1) △ABC为的直角三角形． (2) . 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）； 【18题答案】 【答案】（1） （2） 期望 （3） 【19题答案】 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）见解析 【20题答案】 【答案】（1）证明见解析；；（2）；（3）不存在；答案见解析． 【21题答案】 【答案】（1）不具有性质,具有性质, （2）证明见解析 （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $