北京市第五十七中学2025-2026学年高三下学期考前自测数学试题

北京市第五十七中学2026届高三三模 数学试题 一、选择题，每题4分，共计40分。 1、已知集合M={xe Zg(x-1)≤0}，N={x∈Zx<2},则MUN=() A.⑦ B.(1,2) C.(-2,2] D.{-1,01,2} 2者网-以是藏，则 (A)a=1,b=-1 (B)a=-l,b=1 (C)a=l,b=1 (D)a=-1,b=-1 3.已知x,y∈R,且x+y>0,则 (A) 1+1>0 (B)x3+y3>0 (C)Ig(x+y)>0 (D)sin(x+y)>0 x y 4已知双曲线c:号-y 京京=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为R,5,P为C右支上 点.若C的一条浙近线方程为3x+4y=0,则。IFE引 IPEI-IPFI 5-3 (B) c)-号 D月 5、已知等差数列(an}与等比数列{bn}的首项均为-3，且a=1,a4=8b，则数列 {ab,} (A)有最大项，有最小项 (B)有最大项，无最小项 (C)无最大项，有最小项 (D)无最大项，无最小项 6.已知直线4：m-y+m=0与直线4：x+网侧-1=0的交点为Q,桶圆若+)2=1的 焦点为F,F,则№F+2F的取值范围是 A.[2,+oo) B.[2N3,+oo) C.[2,4] D.[2W5,41 7、设函数(x)的定义域为R,则“∫(x)是R上的增函数”是“任意 a>0y=f(x+a)-(x)无零点”的() (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 [2+3, X≤0， 8、若函数∫(x)= 的定义域和值域的交集为空集，则正数a的取值范 (x-2)2,0<x≤a 围是 (A)(0,] (B)(0,1) (C)(L,4) (D)(2,4) 试卷第1页，共4页 9、在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量浓度（单位：mol/L,记作 [H])和氢氧根离子的物质的量浓度（单位：mol/L,记作[OH])的乘积等于常数 10-4.已知pH值的定义为pH=-g[H],健康人体血液pH值在区间[7.35,7.45]内， 则健康人体血液中的O二]可以为()（参考数据：g2≈0,301，g3≈0.47） [H] A.5 B.7 C.9 D.10 10、已知f(x),g(x)分别为定义域为R的偶函数和奇函数，且∫(x)+g(x)=e,若关于 x的不等式2∫(x)-g(x)≥0在(0，ln2)上恒成立，则实数a的最大值是() 8.38 39 D. 0 9 9 9 二、填空题：每题5分，共计25分。 11、已知复数=-1-i,则2： ,其中复数z的虚部= 12、在(1-3x)”的展开式中，若二项式系数的和等于64，则n= 此时x2的 系数是 ·(用数字作答) 13、若点A(cos0,sin8)关于y轴对称点为B(cos(0+),sin(日+)》，写出的一个取值为_ - 14、已知点O是边长为4的正方形的中心，点P是正方形ABCD所在平面内一点， 1OP=1,若P=AB+uAD.(1)元的取值范围是：(2)当1+4取得最 大值时，|AP= x+ 2 15.已知函数f(x)= Cosx)Sr≤π给出下列四个结论 e4n+4a,x>元 ①若∫(x)有最小值，则a的取值范围是 ②当a>0时，若∫(x)=1无实根，则1的取值范围是[am,4a]U[4a+l,+oo): ®当a≤-2时，不等式/(x+2列>/+4)的解集为(-2,2)： ④当a≥1时，若存在x<x2,满足-1<(x)=∫(x)<0,则+x2>0其中所有正确 结论的序号为」 试卷第2页，共4页 三、解答题：共计6道题目，总分85分。 16.(本小题13分)在△ABC中，2 ccosA=2b-a (1)求∠C的大小： (2)若c=√5，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知， 使△ABC存在，求AC边上中线的长」 1 条件①：△ABC的面积为2√5：条件②：sinB-sinA=。:条件③：b2-2a2=2. 17、(本小题14分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥AB,PA=AB=1, AD=2,F是棱PA的中点，E在棱BC上，且EFII平面PCD. (I)求证：E是棱BC的中点： (Ⅱ)再从条件①，条件②中选择一个作为已知， 求平面EFD与平面PAB夹角的余弦值， 条件①：平面PAB⊥平面ABCD:条件②：PC=√6 18.(本小题13分)某公司运营慢充、快充、超级快充三种不同充电方式的电动汽车充电 桩（每个充电桩只支持一种充电方式），该公司为了解其运营的所有电动汽车充电桩的 使用情况，从中随机抽取1000个，记录并整理数据如下表： 日均使用情况 充电桩的个数 不超过5次 超过5次 充电方式 慢充 140 60 快充 200 400 超级快充 60 140 (1)从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取1个，估计该充电桩日均使用不超 过5次的概率： (2)假设该公司运营的每个慢充、快充、超级快充充电桩的日均维护费用分别为10元、 10元、30元.从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取2个，设X为抽取的2个 充电桩的日均维护费用之和，求X的分布列和数学期望E(X): (3)电动汽车充电桩按服务对象与开放属性分为公用充电桩和专用充电桩两种.已知该 公司运营的所有快充充电桩中，公用和专用充电桩数量之比为7：3.在日均使用不超过 5次的快充充电桩中，公用充电桩的占比为a:在日均使用超过5次的快充充电桩中， 公用充电桩的占比为0.75.试比较a与0.75的大小.（结论不要求证明） 试卷第3页，共4页 19、(C本小透15分)已知椭圆C号+茶=a>6>0)的左预点为-20，圆 O:x2+y2=1经过椭圆C的上、下顶点. (I)求椭圆C的方程和焦距： (IⅡ)已知P,Q分别是椭圆C和圆O上的动点(P,2不在坐标轴上)，且直线P2与x 轴平行，线段AP的垂直平分线与y轴交于点M,圆O在点2处的切线与y轴 交于点N.求线段MN长度的最小值 20、(本小题15分)已知函数/闭=-二+0-0e+. 2 (1)若a=1,求(x)在(1，f()》处的切线方程： (2)若a<-1,求∫(x)的单调区间： (3)若a<-1,且'(m)='(n)=0(m<n),证明：f(m)+f(n)>3. 21、(本小题15分)己知数列{an},{bn}的项数均为m(m>2),且 an,bn∈{l,2,,m以，{an},{bn}的前n项和分别为An,Bn,并规定A。=B。=0.对于 k∈{0，l,2,…,m},定义=max{川B,≤A,i∈{0,1,2，，m},其中，maxM表示数集M 中最大的数 (1)若a,=2,a2=1,a3=3,b=1,b2=3,b=3,求0，i,52,5的值： (2)若41≥b,且2r≤541+r-j=1,2,…,m-l,求n: (3)证明：存在p,4,S,1∈{0,1,2，…，m},满足p>9,S>1,使得A,+B,=A,+B,· 试卷第4页，共4页 北京市第五十七中学2026届高三三模 数学试题答案 一、选择题： 2 3 6 7 8 10 D C B C D B B D 二、填空题： 11、1+i -1 12、6 135 13、晋 14、眼，引， 1+22 15、②③④ 三、解答题： 16、【小问1详解】 由正弦定理0=b=C及2c0s4=2b-a, sinA sinB sinC 得2 sinCcosA=2sinB-sinA.① 2分 因为A+B+C=π， 所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC.② 4分 由①②得2 sinAcosC-sinA=0. 因为A∈(0，π)，所以sinA≠0. 所以cosC= Γ2 5分 因为C∈(0，)， 所c-号 6分 【小问2详解】 选①，△ABC的面积为2√5， 即5 abinC=2V5,即5 ab=2√5，解得ab=8, 因为c=V5,由余弦定理得cosC=+6-c 2ab 即Q2+b2-31 =二，解得a2+b2=11, 16 由基本不等式得a2+b2≥2ab,但11<2×8， 故此时三角形不存在，不能选①， 1 选条件②：sinB-sinA 2 由)知，B=元-3-2A=? 7分 所以sinB-sinA=sin cos4+sinA-sinA 2 8分 : 9分 所似（昏A小分 因4》，所u导4（引 所名即A=石 10分 6 6 所以△ABC是以AC为斜边的直角三角形. 因为c=√5， 11分 所以AC=B怎 -=2 sinC 12分 3 所以AC边上的中线的长为二AC=1. 13分 选条件③：b2-2a2=2. 由余弦定理得0+b-3-,即2+62-ab=3. 8分 2ab 2 设AC边上的中线长为d,由余弦定理得 d=d2+4-b2c0sc=a2+ .b2 ab b2a2+b2-3=1.13分 =a2+ 42 42 42 所以AC边上的中线的长为1. 17、解：(I)取PD中点G,连接FG,CG. G 因为F,G分别是PA,PD的中点.所以FG11AD. 因为EC11AD,所以EC1IFG,1分 所以四点E、C、G、F确定平面ECGF.2分 因为EFI1平面PCD,EFc平面ECGF，平面ECGF∩平面PCD=CG, 所以EF11CG, 4分 因为EC11FG,所以四边形ECGF是平行四边形，所以EC=FG, 因为FG=AD=BC,所以EC=BC,所以E是BC的中点. 6分 2 2 2 (Ⅱ)选条件①： 因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PAC平面PAB,PA⊥AB, 所以PA⊥平面ABCD. 因为ADc平面ABCD,所以PA⊥AD 8分 选条件②： 因为AC=V5,PC=V6,PA=1, 所以PC2=PA2+AC2,所以PA⊥AC. 因为PA⊥AB,PA⊥AC,AB,ACC平面ABCD,AB∩AC=A, 所以PA⊥平面ABCD. 因为ADC平面ABCD,所以PA⊥AD. 8分 则有AB,AD,AP两两垂直，建系如图 B0h0,F0,2,0,20,D=-1o,而=0,2 设平面DEF的一个法向量为 n=(xy,z),n⊥ED,n⊥FD, 10分 -x+y=0 ②0令x=1,则y=1,z=2 即n=(,1,4). 12分 平面PAB的一个法向量为m=(0,1,0). 则cos<m,n>= mn12 1mIn3√26 14分 由于平面EFD与平面PAB夹角为锐角，所以其余弦值为互 6 18、【小问1详解】 随机抽取1000个充电桩中，日均使用次数不超过5次的有：140+200+60=400个， 设事件A:“从该公司运营的所有电动车充电桩中随机抽取1个，估计该充电桩日均使用不 超过5次”， 则P(A)=10005 400_2 4分 【小问2详解】 设事件B:“从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取1个，其所需维护费用为10 元”， 张题意可得，P(B)=140+60+200+400=PEP 60+140_ 1000 1000 5 6分 随机变量X的所有可能取值有20、40、60， 7分 所以随机变量X的分布列如下表所示： X 20 40 60 1 25 25 故E(X)=20×16 +40x +60 2 2528 10分 【小问3详解】 快充充电桩共600个，公用和专用充电桩数量之比为7：3，故公用充电桩的个数为 =420, 600× 10 日均使用超过5次的快充充电桩的个数为400个，其中公用占比为0.75， 故公用充电桩的个数为400×0.75=300， 日均使用不超过5次的快充充电桩的个数为200个， 设公用占比为a,则公用充电桩的个数为200a, 由题意可得200a+300=420,解得a=0.6,故a<0.75.13分 19、解：(I)由题意，a=2,b=1, 所求精圆方程为号+少=1. 4 因为c=√a2-b=5, 所以焦距2c=2√3. 4分 (I)设Poo)K,%≠0)且至+好=1. 4 由题意，设Q(x,o)(x%≠0)且x+哈=1 因为A-2,0),所以线段AP的中点为西，二2，为)。 2’2 6分 又直线AP的斜率为kD=。 7分 x0+2 所以线段AP的中垂线的斜率为-。+2 8分 故线段AP的中垂线方程为y-白=-+2-，-子. 2y% 2 令x=0,得w=少++2-2-好+8-4 9分 2 2% 2y0 由草+后=1，可得后-4=4， 代入上式，得yM= 36= 3 2y0 2%, 10分 所以M0,-2o）: 因为直线Og的斜率为ko=， 所以圆0在点Q处的切线斜率为-立 11分 o 所以切线方程为y-%=-立x-x). 令x=0得w=为+￡+公1 yoYo Yo 所以NO,马). 12分 % 所以线段MN长度 14分 (当且仅当=引，即%=±5时等号成立) 1%2 所以线段MN长度的最小值为V. …15分 20、解：【详解①由a=山，所以了因)=+)归1-e412 所以k=f'()=1-e2, 2分 又01号 3分 所以鱼线)=因在/0处箭切线方程为y-(-》-1-e收-)， 即y=(-e)x+e. 4分 2 （2》由f=a+-a)e-,定义接为R, '(x)=a+(1-a)e*-e2=(e*+al-c*) 5分 令f'(x)=0得x=0或x2=ln(-a)(a<-l): 6分 因为a<-1,所以-a>1. 所以x2=ln(-a)>lnl=0, 列表： (-0,0) 0 (0,ln(-a) In(-a) (In(-a),+) '(x) 0 + 0 f(x) 递减 递增 递减 所以∫(x)的单调递增区间为(0，ln(-a),单调递减区间为(-o,0),(In(-a),+o) 9分 (3)因为f'(x)=(e+a1-e), 又a<-1,∫'(m)='(n)=0(m<n), 所以e,c"是方程x2-(1-a)x-a=0的两个根 依题意，有 [em+e"=1-a 10分 em.e"=-a 所以em"=-a,即m+n=ln(-a), 11分 所以/o)+r6)=m+0-e-学m+-a-受 =a(m+n)+(I-a)e+c" 2 =an(-a)+0-o'_(e+e'-2ce 2 -aln(-d)+(I-a)-(-a)-a-aIa(-a)+-a)-a.12 2 2 令g(a)=alh(-a+21-a°-a,则g'a=hn(-a)+a-l, 令h(a)=g'(a)=ln(-)+a-l,则(a)=+l. 因为a<-l,所以(a)=+1=a+1>0, 13分 所以g'(a)=ln(-a)+a-1在(-o,-l)上是增函数， 所以g(a<g'(-1)=-2<0,所以g(a)在(-o,-)为减函数，14分 所以g(a)>g(-l)=3,即f(m)+fn)>3. 15分 21(本小题15分) 【详解】(1)由题意可知：A=0,A,=2,A2=3,A=6,B。=0,B1=1,B2=4,B,=7, 当k=0时，则B。=。=0,B,>A。,i=1,2,3,故6=0： 当k=1时，则B。<A,B,<A,B,>A,i=2,3,故5=1： 当k=2时，则B≤A,i=0,1,B2>A,B>A,故5=1： 当k=3时，则B,≤A,i=0,1,2,B,>A3,故5=2： 综上所述：%=0，片=1,5=1,5=2. 4分 (2)由题意可知：r,≤m,且，∈N, 因为an21,bn21,则An2a,=1,Bn2b,=1,当且仅当n=1时，等号成立， 所以。=0，片=1， 又因为2r≤1+1，则1-2片-1，即m-m1≥m1-r-2之…之片-%=1， 可得1-之1， 反证：假设满足r,-,>1的最小正整数为1≤j≤m-1, 当i之j时，则，-y22:当i≤j-1时，则1-r=1, 则m=(m-m-1)+(m-1-m-2)+…+(5-r）。+6≥2(m-j)+j广=2m-j, 又因为1≤j≤m-1,则m≥2m-j≥2m-(m-1)=m+1>m, 假设不成立，故-=1， 即数列{n}是以首项为1，公差为1的等差数列，所以.=0+1×n=n,n∈N.9分 (3)(i)若A≥B.,构建Sn=A,-B,1≤n≤m,由题意可得：Sn≥0，且Sn为整数， 反证，假设存在正整数K,使得Sx≥m, 则A-B≥mAk-B1<0,可得b1=B1-Bn=(Ax-B)（Ax-B2>m, 这与b+1∈{L,2,,m}相矛盾，故对任意1≤n≤m,neN,均有S。sm-1. ①若存在正整数N,使得Sv=Av-B,=O,即A=B, 可取r=p=0,9=N,s=w,使得An+B=A+B: ②若不存在正整数N,使得Sw=0, 因为Sn∈{L,2m,m-1},且1≤n≤m, 所以必存在1≤X<Y≤m,使得Sx=Sy, 即Ax-B=Ay-B,,可得Ax+B,=Ay+B, 可取p=X,S=,9=Y,r=x,使得An+B=A,+B,: (i)若An<Bn,构建Sn=B-A,1≤n≤m,由题意可得：Sn≤0，且Sn为整数， 反证，假设存在正整数K,使得Sx≤-m, 则Bn-Ax≤-mB1-Ax>0,可得b1=B,1-Bn=(B1-AxB-Axm, 这与b+1∈{L,2,,m}相矛盾，故对任意1≤n≤m,n∈N,均有S。≥1-m. ①若存在正整数N,使得Sy=B.一A=0,即Av=B., 可取r=p=0,9=N,s=x,使得An+B=A,+B: ②若不存在正整数N,使得Sw=0, 因为Sn∈{-l,-2,,1-m,且1≤n≤m, 所以必存在1≤X<Y≤m,使得Sx=Sy, 即B-Ax=B,-Ay,可得Ax+B,=Ay+B, 可取p=X,s=5,9=Y,r=x,使得A,+B=An+B: 综上所述：存在0≤p<q≤m,0≤r<S≤m使得A,+B,=A,+B. 15分