四川省成都市树德中学2026届高考适应性考试数学试题

树德中学高2023级高考适应性考试数学试题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A B C C D B A ABD ABC ACD 12． 13．1 14． 15．【详解】（1）由题意，动圆圆心P到点的距离比其到直线的距离大1， 圆心P到点的距离等于它到直线的距离， 圆心P的轨迹E是以点为焦点，以直线为准线的抛物线， 设E的方程为（），则，，E的方程为． 5分 （2）当直线l斜率为0时，l与抛物线有且只有一个交点， 则可设直线l的方程为，，，联立， 得，，，， ，或，由题（舍去），则，l过定点． 8分 16．【详解】（1）由，， 则 所以． 5分 （2），，即， B为的内角，．故． ．则 4分 又，由余弦定理，得，即． 由均值不等式得：，即， 从而， 当且仅当时取等号，此时为等边三角形． 周长最大值：． 6分 17．【详解】（1）证明：，，，即， ，即，平面，平面， ，，又平面，平面， 平面； 5分 （2）底面，，底面，，，又， 以点D为原点，以，所在的直线为x，y轴，过点D作的平行线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示：令，则，，，，则， ，， 设平面的法向量为，， 令，则，，， 设平面的法向量为， ，令，则，，， 二面角的正弦值为，则余弦值为， 6分 又二面角为锐角，，解得，所以 4分 18．解：（1）， 则在上单减，上单增 所以的最小值为 4分 （2）（i） 因为在上单增，所以恒成立． 取，有，则 当，时， 因此的最大值为2 11分 （ii）由（i）可知对任意的恒成立， 则对任意，必有 ； …… ； ； 上述式子累加可得： 又因为，则 ． 因此 17分 19．解：（1）第4秒末质点回到原点，则必定向左移动2步，向右移动两步，故 第秒末质点回到原点，则必定向左移动n步，向右移动n步，故 4分 （2）（i）因在1秒末，质点会等可能地出现在，，，四点处，故在第2秒末可能运动到点，，，各两种情形，，，，各一种情形，有4种情形，共计16种情形，随机变量X表示的取值，故X的可能取值为0，2，4 对应的概率分别为：，， 故X的分布列为： X 0 2 4 P 期望为 10分 （ii）第秒末质点要回到原点，则必定向左移动k步，向右移动k步，向上移动步，向下移动步．设第秒末质点要回到原点的概率为，则 记第n秒末质点的位置为，定义，，则， 易知与取的概率均为． 又因为故或 则（或）（ 且） 又易知，P（且） 所以 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 树德中学高2023级高考适应性考试数学试题 一、选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1．已知全集，集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 3．已知复数z满足，则（ ） A． B． C． D． 4．若不等式的解集是，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 5．当直线（）与圆相交所得弦长最短时，实数m的值为（ ） A．1 B． C． D． 6．已知数列为正项等比数列，，则的值为（ ） A．10 B．16 C．15 D．11 7．已知F是双曲线（，）的右焦点，直线与双曲线C交于M，N两点，其中M在第一象限，，且，则双曲线C的离心率为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，则函数的零点个数为（ ） A．2 B．0 C．3 D．无穷 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中正确的是（ ） A．数据4，4，5，6，6，6，7，9，12，12，13的70%分位数是9 B．频率分布直方图中各个小矩形的面积和为1 C．分层随机抽样中每个个体入样的概率不相等 D．将总体划分为两层，其个体数分别为m，n，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差 10．已知数列的前n项和，则（ ） A．是公差为2的等差数列 B． C．数列是等差数列 D． 11．已知函数，其中常数．将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向上平移1个单位，得到函数的图象． A．若，则 B．若，，则 C．若在上单调递增，则 D．若，在区间上至少含有30个零点，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为_________． 13．展开式中只有第5项的二项式系数最大，则各项系数之和为_________． 14．将上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为6的一个圆台打磨成一个球，再将此球打磨成一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分）在直角坐标系中，动圆P与圆外切，且与直线相切，记P的轨迹为E． （1）（5分）求E的方程； （2）（8分）若直线l与E交于x轴异侧两点A，B，且．证明：l过定点 16．（本题满分15分）已知，，． （1）（5分）求函数的解析式及周期； （2）（10分）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 17．（本题满分15分）如图所示，在四棱锥中，，，． （1）（5分）若平面，证明：平面； （2）（10分）若底面，，二面角的正弦值为，求的长． 18．（本题满分17分）设函数，． （1）（4分）若，，求在上的最小值； （2）（13分）已知． （i）（7分）若在上单增，求的最大值； （ii）（6分）证明：对任意，． 19．（本题满分17分）在平面直角坐标系中，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每秒等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位． （1）（4分）若质点只能在x轴上移动，记第n秒末质点回到原点的概率为，求，； （2）（13分）从原点出发，每秒等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位． （i）（6分）设质点在第2秒末移动到点，记的取值为随机变量X，求X的分布列和数学期望； （ii）（7分）记第n秒末质点回到曲线上的概率为，求． 参考公式： 学科网（北京）股份有限公司 $