第二十一章四边形 单元复习检测卷 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 本卷为2025-2026人教版八年级数学下四边形单元期末复习检测卷，以文化传承（如正八边形瓷盘、古代窗户）、科技实践（机器人行走、物流钢架）为情境，覆盖四边形性质与判定，突出数学抽象、几何直观及推理能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|正多边形内角和、平行四边形判定、矩形性质|结合文化（正八边形瓷盘）与科技情境（机器人行走），考查基础推理| |填空题|5/15|正多边形角度计算、中点连线、图形折叠|古代窗户设计、矩形旋转等情境，强化空间观念| |解答题|8/75|多边形综合、平行四边形证明、矩形折叠、正方形动态问题、四边形中位线探究|矩形折叠综合题（几何直观与运算）、中位线阅读探究（创新意识），体现分层与实践应用|

2025-2026人教版八年级数学下期末复习核心突破篇 第二十一章------四边形 单元复习检测卷（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：__________ 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．中国瓷器文化悠久，“China”一词就是源于中国瓷器的英文．如图，是一个正八边形形状的瓷盘，其中正八边形的内角和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据多边形的内角和公式，求解即可． 【详解】解：正八边形的内角和为，C选项符合题意． 2．科技馆为某机器人编制了一段程序，如果机器人在平地上按图所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为（    ） A．米 B．米 C．米 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据正多边形外角和等于即可求解． 【详解】解：由程序图知：机器人走过的图形为正多边形，且外角为， 故边数． 走过的路程米 故选：C． 【点睛】本题考查正多边形的外角，解题关键是熟知正多边形外角和等于． 3．如图，是的中线，延长至点，使，连接，．求证：四边形是平行四边形．下面是被打乱的证明步骤，则正确的顺序是（    ） ①四边形是平行四边形；    ②； ③是的中线；    ④ A．①②③④ B．②①④③ C．③②④① D．④②③① 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据是的中线得出，结合，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：③是的中线； ②； ④ ①四边形是平行四边形； 则正确的顺序为③②④① 故选：C． 4．如图，在矩形的外部有四个全等的直角三角形，分别为，，，，连接，交于点O，若，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设、交于点，连接，证明出四边形为平行四边形，得到，，推导出与的比，即得出与的比，即可解答与的比． 【详解】解：如图，设、交于点，连接，   ， ，， 由，得为等腰直角三角形， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形、平行四边形、三角形全等相关知识点的应用，同高三角形的面积比的应用是解题关键． 5．如图，在边长为a的正六边形中，点P从点A出发，沿向点F运动，连接，，M，N分别是，的中点，则在点P运动过程中，的长度（    ）    A．等于 B．大于 C．小于 D．与a的值无关 【答案】A 【分析】根据三角形中位线可进行求解． 【详解】解：∵点M，N分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查三角形中位线及正多边形的性质，熟练掌握三角形中位线是解题的关键． 6．如图，在矩形中，，P，Q分别为，上的点，，交于点M，已知与的面积差，若要求矩形的周长，则还需要知道以下哪条线段的长（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，先整理得，再结合图形得，因为已知与的面积差，则只需要知道的长，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则 ， 要求矩形的周长，求出即可， 现已知与的面积差， 则只需要知道的长． 故选：A． 7．北北和仑仑想在一个平行四边形中用直尺和圆规作出一个菱形． 北北的作法： 如图1，在中，以点为圆心，为半径作弧交边于点E，再以点D为圆心，为半径作弧交边于点F，连结，则得到的四边形是菱形． 仑仑的作法： 如图2，在中，以点D为圆心，为半径作弧交边于点G，再以点G为圆心，为半径作弧交边于点H，连结，则得到的四边形是菱形． 下列说法正确的是（   ） A．北北和仑仑的作法都正确 B．北北和仑仑的作法都错误 C．北北的作法正确，仑仑的作法错误 D．北北的作法错误，仑仑的作法正确 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由北北的作法得，结合一组邻边相等的平行四边形是菱形，得北北的作法正确，由仑仑的作法得，无法通过一组对边平行一组对边相等证明四边形是平行四边形，故仑仑的作法错误，即可作答． 【详解】解：由北北的作法得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故北北的作法正确； 由仑仑的作法得 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴无法证明四边形是平行四边形， ∴更无法证明四边形是菱形， 故仑仑的作法错误， 故选：C 8．我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以现在初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”那么要把变成“矩形”，需要增加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判断即可． 【详解】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴当时，变成“矩形”， 故选：A． 9．如图，长方形的长与宽比值为，将点B沿折叠与点G重合，将点C沿折叠与点H重合，则长方形的长与宽的比值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】设，则，根据折叠性质得出四边形为正方形，求出和的长，再根据第二次折叠求出，进而得出的长，最后计算长方形的长宽比． 【详解】解：设， 长方形的长与宽比值为， ， 由折叠可知， ，，， ， 四边形为正方形， ，， ∵长方形 ∴ ∴， ∴点共线， ∴， 同理可得，三点共线， 由折叠可得，， ∴ 长与宽的比值为． 10．如图 ，在边长为2的正方形中，点分别在边和上（均不与点重合），分别平分和．关于结论①，②，下列判断正确的是（    ） 结论①：点到的距离为2； 结论②：． A．结论①，②均正确 B．结论①，②均不正确 C．只有结论①正确 D．只有结论②正确 【答案】A 【分析】本题考查几何综合，涉及角平分线的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟记正方形性质、角平分线的性质、三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 过点作于点，如图所示，由角平分线的性质直接求证即可得到①正确；再由两个三角形全等的判定与性质得到、，数形结合表示出即可得到②正确． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 在正方形中，，， 平分，，， ， 故①正确； 分别平分和， ，， 在和中， ， ； 同理可证， ； ， 故②正确； 综上所述，结论①，②均正确， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．中国古代窗户的设计体现了深厚的文化和智慧，如图为一个正八边形窗户示意图，，分别为边，的中点．若连接，则的度数为_____． 【答案】 【分析】连接，得，根据等腰三角形的性质，得解答即可． 本题考查了正多边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：连接，根据正八边形， 得 ∵， ∴， 故答案为：． 12．如图，某物流仓库为了稳定结构，保障仓库的安全，计划在其顶部安装钢架结构（由线段，，，，组成），其中，立柱，E，F分别为，的中点，且顶角．若钢架的长为5m，则制作一个这样的钢架结构，需要的钢架总长度为________m． 【答案】35 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的定义及直角三角形斜边上的中线定义．根据题意得出为等腰三角形，再由得出为的垂直平分线，从而得到，，又由E，F分别为，的中点推出，分别为和斜边上的中线，从而可知，最终求得所需钢架的总长度． 【详解】解：∵， ∴为等腰三角形， 又∵，， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， 又∵E，F分别为，的中点， ∴，分别为和斜边上的中线， ∴， 又∵， ∴和均为等边三角形， ∴， ∵， ∴需要的钢架总长度为：． 故答案为：35． 13．数学课上，以小组为单位开展以“矩形”为主题的数学实践活动，并进行如下操作：将两个相同大小的矩形纸片和重叠放置，固定，将矩形纸片绕点顺时针旋转，如图，当点恰好落在的中点时停止，连接，若，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、所对的直角边等于斜边的一半等，熟练掌握各个知识点是解题的关键． 先利用矩形的性质得到边角的相等，再运用勾股定理求出的长度，然后通过所对的直角边等于斜边的一半逆推，推出，最后证明为等边三角形并使用性质解题即可． 【详解】解：∵相同大小的矩形纸片和，， ∴，， ∵点恰好落在的中点， ∴， ∵， ∴根据勾股定理，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴． 故答案为：． 14．如图，长和宽分别是4和2的两个全等矩形纸片重叠在一起，则四边形周长是___． 【答案】10 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 先证四边形是平行四边形，再证四边形是菱形，得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：如图，由题意得：矩形和矩形全等， ∴，，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形的面积， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴菱形的周长， 故答案为：10． 15．如图，M为正方形内一点，平分，连接，，过点作交延长线于点N，，将沿所在的直线平移得到，若，，连接，则的长为__________． 【答案】或/或 【分析】当点在线段上时，连接，，根据正方形的性质和勾股定理可求出，证明，得出，根据含角的直角三角形的性质得出，设，则，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理得出，解得，则，，，最后根据勾股定理求解即可；当点在线段延长线上时，同理可求即可． 【详解】解：当点在线段上时，连接，， ∵正方形中，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴； 当点在线段延长线上时，连接，， 同理可求， ∴， ∴； 综上：的长为或． 三、解答题（共8小题，共75分，写出必要的计算证明过程） 16．（8分）如图，小明从点O出发，前进3米后到达点A（米），向右转，再前进3米后到达点B（米），又向右转，……这样小明一直右转了n次刚好回到出发点O处． 根据以上信息，解答下列问题： (1)n的值为____________． (2)小明走出的这n边形的周长为____________米． (3)若一个正m边形的内角和比外角和多，求这个正m边形的每一个内角的度数． 【答案】(1)15 (2)45 (3) 【分析】（1）根据多边形的外角和等于，即可求解； （2）用多边形的边数乘以的长，即可求解； （3）根据多边形的内角和定理和外角和定理可得关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：． 故答案为：15 （2）解：由（1）得：这个n边形为十五边形， ∴这n边形的周长为（米）； 故答案为：45 （3）解：根据题意，得， 解得，                ∴这个正m边形的每一个内角的度数为． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理和外角和定理的应用，熟练掌握多边形的内角和定理和外角和定理是解题的关键． 17．（8分）如图，已知，交于点；    (1)求证：； (2)请写出四个面积等于面积一半的三角形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中线平分三角形面积等知识； （1）由两个平行条件可得四边形是平行四边形，且，进而可证明，得，问题即可解决； （2）由是中线得的面积等于面积一半；由得等底等高，则其面积相等，则得满足题意的四个三角形． 【详解】（1）证明：， ∴四边形是平行四边形，， ； ， ， ， ， ； （2）解：由是的中线，则的面积等于面积一半； 由，则等底等高，它们的面积也相等； 故面积都等于面积一半的三角形． 18．(7分)在学习了矩形的相关知识后，九年级（2）班的数学小组进行了更深入的研究，通过研究，他们有了新的发现．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，在矩形中，点E是边上的一点．利用直尺和圆规在下方作，与相交于点F（不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知：四边形是矩形，点E，F在上，且．求证：． 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ，， ∴ ∴．                         ∴ 又，， ∴． 【答案】(1)见解析 (2)，， 【分析】本题考查作图-基本作图，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据作一个角等于已知角的方法作出图形即可； （2）证明可得结论． 【详解】（1）解：图形如图所示： ； （2）证明：∵四边形是矩形， ∴， ． ∵， ，， ∴， ∴． ∴， 又，， ∴． 故答案为：，，． 19．（9分）矩形ABCD中，AB＝9，AD＝3，M、N分别是AB、CD上的点，将四边形MBCN沿MN折叠时，点B恰好落在D处，点C落在点E处，连接BN． (1)求证：四边形DMBN是菱形； (2)求线段AM之长； (3)求折痕MN之长． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3) 【分析】（1）根据折叠的性质可得BM=DM，DN=BN，∠DMN=∠BMN，再由四边形ABCD是矩形，可得AB∥CD，从而得到∠DNM=∠BMN，进而得到∠DNM=∠DMN，继而得到DM=DN，即可求证； （2）设AM=x，则DM=BM=AB-AM=9-x，在中，由勾股定理，即可求解； （3）连接BD，由勾股定理可得，再根据，即可求解． 【详解】（1）证明：根据题意得：BM=DM，DN=BN，∠DMN=∠BMN， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠DNM=∠BMN， ∴∠DNM=∠DMN， ∴DM=DN， ∴DM=BM=DN=BN， ∴四边形DMBN是菱形； （2）解：设AM=x，则DM=BM=AB-AM=9-x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°， 在中，， ∴，解得：x=4， 即AM=4； （3）解：如图，连接BD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°， 在中， AB＝9，AD＝3， ∴， 由（2）得：AM=4， ∴BM=5， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质是解题的关键． 20．（9分）如图，正方形的周长是40．点P是正方形对角线上一动点，过P点分别作、的垂线，垂足分别为E，F． (1)求证：四边形是矩形． (2)请你猜想与的数量关系，并给出证明． (3)在P点运动过程中，的长也随之变化，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据由三个角为直角的四边形为矩形，即可求证； （2）根据矩形的性质可得，再证明△ADP≌△ABP，即可求证； （3）根据可得的最小值，即的最小值，再由垂线段最短，可得当时，取得最小值，求出AC，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴ 又∵是正方形 ∴ ∴四边形四边形是矩形 （2）解：，证明如下： 连接， ∵四边形为矩形， ∴， 又∵四边形是正方形，P为上任意一点， ∴AD=AB，∠CAD=∠BAC=45°， ∵AP=AP， ∴△ADP≌△ABP， ∴， ∴； （3）解：由（2）得，则的最小值，即的最小值， 当时，取得最小值， ∵正方形ABCD的周长为40， ∴AD=CD=10 ∵AD=CD，∠ADC=90°， ， ∵， ∴ ∴的最小值是． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 21．（9分）阅读下面材料，完成相应的任务． 四边形的中位线我们学习过三角形的中位线，类似的，把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线． 如图1，在四边形中，点M，N分别是，的中点，则就是四边形的中位线．求四边形的中位线的长度，可以通过找中点，将其转化为三角形的中位线解决． 例：如图2，在四边形中，点E，F分别是，的中点．若，，，，求的长． 解：如图2，取的中点P，连接，． 点E、F分别是，的中点， ，，，．（依据） …… 任务： (1)上述材料中的依据是指：_______． (2)将材料中的解题过程补充完整． (3)如图3，在四边形中，点E，F分别是，的中点，，，，延长，交于点M，延长交于点N．求证：． 【答案】(1)三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半（或三角形的中位线定理） (2)5 (3)见解析 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理及逆定理等知识；熟练运用相关性质定理是正确解答此题的关键． （1）根据三角形的中位线定理即可解答； （2）由三角形中位线定理得，，，，根据平行线的性质可得出，进而可得．再由勾股定理即可得． （3）连接，取的中点H，连接，．根据三角形中位线定理得，，，．进而可得，．用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且．即可得结论． 【详解】（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半（或三角形的中位线定理） （2）解：如图2，取的中点P，连接，． 点E、F分别是，的中点， ，，，．（三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半） ，． ． ． 在中，由勾股定理，得． （3）证明：如图，连接，取的中点H，连接，． 点E，F分别是，的中点， ，，，． ，． ，，， 是直角三角形，且． ． ． 22．（12分）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“平行四边形的折叠”为主题开展数学活动． 问题情境： 已知中∠A为锐角，，点E、F分别是、边的中点，点G、H分别是、边上的点．分别沿和折叠，点A、C的对应点分别为点、．        (1)操作判断：如图（1），折叠后点与点B重合，点与点D重合． ①四边形________平行四边形（填“是”或“不是”）． ②当满足某个条件时，四边形能成为矩形．这个条件可以是________． (2)迁移探究：如图（2），若点，落在内部（含边界），连接，，若，则四边形是平行四边形吗？若是，请就图（2）进行证明；若不是，请说明理由． (3)拓展应用：在（2）的条件下，若，，且，则此时四边形的面积为________． 【答案】(1)①是；②∠A=45°（答案不唯一） (2)四边形是平行四边形，证明见解析 (3) 【分析】（1）①是；由折叠知，,，可证，可证，从而，命题得证；②∠A=45°（答案不唯一）；若，可证，得证四边形是矩形． （2）四边形是平行四边形．如图，连接GH．求证，得．结合折叠证得，，从而，于是，结论得证． （3）如图，，则点落在上，，可证为等边三角形，于是，中，根据勾股定理，，于是． 【详解】（1）解：①是； 由折叠知，, ∵中, ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形． ②∠A=45°（答案不唯一） 若，则 而四边形是平行四边形 ∴四边形是矩形．    （2）证明：四边形是平行四边形． 如图，连接GH．    ∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∵点E、F分别是、的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 由折叠可知，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （3）解：如图，，则点落在上，， 由折叠知，． ∴为等边三角形， ∴． 在中，根据勾股定理，． ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理；运用全等三角形判定线段相等、角相等是解题的关键． 23．（13分）综合与探究    主题：矩形的折叠的探究某数学学习小组用一张矩形纸片，如图，矩形中，足够长进行探究活动． 【动手操作】 操作一：在上有一点P，沿折叠，使点A落在； 操作二：射线交于M，过M作交于N． 【探究发现】 （1）写出与相等的一个角为 ， 与的数量有关系为 ； 【问题探究】 （2）如图，若点A与M重合，判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展应用】 （3）在折叠过程中若，求的值． 【答案】（1）（或）；相等；（2）为正方形，理由见解析；（3）的值为或 【分析】本题考查了矩形与折叠，长方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定及性质等知识，根据各项性质找到线段相等和角度相等关系，并通过相似三角形构建线段等量关系是解题的关键． （1）根据折叠的性质和矩形的性质可得，根据矩形的对边平行可得；证明，可得； （2）先证明四边形是矩形，再证明即可得出结论； （3）设，则，分点在线段上时和点M在线段上两种情况根据折叠的性质和勾股定理分别求出，的长即可． 【详解】解：（1）由折叠得，，， 或者：∵四边形是矩形， ∴，， ∴；， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：（或）；相等； （2）为正方形．理由如下： 当点与点M重合时，点P与点N重合． ∵，， ∴， 得：， 又为矩形， 故为正方形． （3）设，则， 情况一：当点在线段上时， 由折叠性质可知：， 由（1）可知：，即， 中，，得：， 故：． 情况二：当点M在线段上时， 由折叠性质可知：， 由（1）可知：，即， 中，，得：， 故：． 综上：的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026人教版八年级数学下期末复习核心突破篇 第二十一章------四边形 单元复习检测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：__________ 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．中国瓷器文化悠久，“China”一词就是源于中国瓷器的英文．如图，是一个正八边形形状的瓷盘，其中正八边形的内角和为（   ） A． B． C． D． 2．科技馆为某机器人编制了一段程序，如果机器人在平地上按图所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为（    ） A．米 B．米 C．米 D．不能确定 3．如图，是的中线，延长至点，使，连接，．求证：四边形是平行四边形．下面是被打乱的证明步骤，则正确的顺序是（    ） ①四边形是平行四边形；    ②； ③是的中线；    ④ A．①②③④ B．②①④③ C．③②④① D．④②③① 4．如图，在矩形的外部有四个全等的直角三角形，分别为，，，，连接，交于点O，若，则的值为（　　）    A． B． C． D． 5．如图，在边长为a的正六边形中，点P从点A出发，沿向点F运动，连接，，M，N分别是，的中点，则在点P运动过程中，的长度（    ）    A．等于 B．大于 C．小于 D．与a的值无关 6．如图，在矩形中，，P，Q分别为，上的点，，交于点M，已知与的面积差，若要求矩形的周长，则还需要知道以下哪条线段的长（   ） A． B． C． D． 7．北北和仑仑想在一个平行四边形中用直尺和圆规作出一个菱形． 北北的作法： 如图1，在中，以点为圆心，为半径作弧交边于点E，再以点D为圆心，为半径作弧交边于点F，连结，则得到的四边形是菱形． 仑仑的作法： 如图2，在中，以点D为圆心，为半径作弧交边于点G，再以点G为圆心，为半径作弧交边于点H，连结，则得到的四边形是菱形． 下列说法正确的是（   ） A．北北和仑仑的作法都正确 B．北北和仑仑的作法都错误 C．北北的作法正确，仑仑的作法错误 D．北北的作法错误，仑仑的作法正确 8．我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以现在初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”那么要把变成“矩形”，需要增加的条件是（   ） A． B． C． D． 9．如图，长方形的长与宽比值为，将点B沿折叠与点G重合，将点C沿折叠与点H重合，则长方形的长与宽的比值为（    ） A．2 B． C． D．3 10．如图 ，在边长为2的正方形中，点分别在边和上（均不与点重合），分别平分和．关于结论①，②，下列判断正确的是（    ） 结论①：点到的距离为2； 结论②：． A．结论①，②均正确 B．结论①，②均不正确 C．只有结论①正确 D．只有结论②正确 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．中国古代窗户的设计体现了深厚的文化和智慧，如图为一个正八边形窗户示意图，，分别为边，的中点．若连接，则的度数为_____． 12．如图，某物流仓库为了稳定结构，保障仓库的安全，计划在其顶部安装钢架结构（由线段，，，，组成），其中，立柱，E，F分别为，的中点，且顶角．若钢架的长为5m，则制作一个这样的钢架结构，需要的钢架总长度为________m． 13．数学课上，以小组为单位开展以“矩形”为主题的数学实践活动，并进行如下操作：将两个相同大小的矩形纸片和重叠放置，固定，将矩形纸片绕点顺时针旋转，如图，当点恰好落在的中点时停止，连接，若，则________． 14．如图，长和宽分别是4和2的两个全等矩形纸片重叠在一起，则四边形周长是___． 15．如图，M为正方形内一点，平分，连接，，过点作交延长线于点N，，将沿所在的直线平移得到，若，，连接，则的长为__________． 三、解答题（共8小题，共75分，写出必要的计算证明过程） 16．（8分）如图，小明从点O出发，前进3米后到达点A（米），向右转，再前进3米后到达点B（米），又向右转，……这样小明一直右转了n次刚好回到出发点O处． 根据以上信息，解答下列问题： (1)n的值为____________． (2)小明走出的这n边形的周长为____________米． (3)若一个正m边形的内角和比外角和多，求这个正m边形的每一个内角的度数． 17．（8分）如图，已知，交于点；    (1)求证：； (2)请写出四个面积等于面积一半的三角形． 18．(7分)在学习了矩形的相关知识后，九年级（2）班的数学小组进行了更深入的研究，通过研究，他们有了新的发现．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，在矩形中，点E是边上的一点．利用直尺和圆规在下方作，与相交于点F（不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知：四边形是矩形，点E，F在上，且．求证：． 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ，， ∴ ∴．                         ∴ 又，， ∴． 19．（9分）矩形ABCD中，AB＝9，AD＝3，M、N分别是AB、CD上的点，将四边形MBCN沿MN折叠时，点B恰好落在D处，点C落在点E处，连接BN． (1)求证：四边形DMBN是菱形； (2)求线段AM之长； (3)求折痕MN之长． 20．（9分）如图，正方形的周长是40．点P是正方形对角线上一动点，过P点分别作、的垂线，垂足分别为E，F． (1)求证：四边形是矩形． (2)请你猜想与的数量关系，并给出证明． (3)在P点运动过程中，的长也随之变化，求的最小值． 21．（9分）阅读下面材料，完成相应的任务． 四边形的中位线我们学习过三角形的中位线，类似的，把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线． 如图1，在四边形中，点M，N分别是，的中点，则就是四边形的中位线．求四边形的中位线的长度，可以通过找中点，将其转化为三角形的中位线解决． 例：如图2，在四边形中，点E，F分别是，的中点．若，，，，求的长． 解：如图2，取的中点P，连接，． 点E、F分别是，的中点， ，，，．（依据） …… 任务： (1)上述材料中的依据是指：_______． (2)将材料中的解题过程补充完整． (3)如图3，在四边形中，点E，F分别是，的中点，，，，延长，交于点M，延长交于点N．求证：． 22．（12分）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“平行四边形的折叠”为主题开展数学活动． 问题情境： 已知中∠A为锐角，，点E、F分别是、边的中点，点G、H分别是、边上的点．分别沿和折叠，点A、C的对应点分别为点、．        (1)操作判断：如图（1），折叠后点与点B重合，点与点D重合． ①四边形________平行四边形（填“是”或“不是”）． ②当满足某个条件时，四边形能成为矩形．这个条件可以是________． (2)迁移探究：如图（2），若点，落在内部（含边界），连接，，若，则四边形是平行四边形吗？若是，请就图（2）进行证明；若不是，请说明理由． (3)拓展应用：在（2）的条件下，若，，且，则此时四边形的面积为________． 23．（13分）综合与探究    主题：矩形的折叠的探究某数学学习小组用一张矩形纸片，如图，矩形中，足够长进行探究活动． 【动手操作】 操作一：在上有一点P，沿折叠，使点A落在； 操作二：射线交于M，过M作交于N． 【探究发现】 （1）写出与相等的一个角为 ， 与的数量有关系为 ； 【问题探究】 （2）如图，若点A与M重合，判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展应用】 （3）在折叠过程中若，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $