第二十章 勾股定理 单元全优达标检测卷 2025-2026学年 人教版数学八年级下册

**基本信息** 本卷为初中数学勾股定理单元复习检测卷，90分钟100分，通过烟火晚会安全距离、森林火灾洒水等真实情境，梯度考查定理应用、逆定理及最短路径，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|直角三角形判定、勾股数规律|结合数轴与命题逆定理，基础巩固| |填空题|6/18|最短路径、折叠问题|圆柱蚂蚁爬行等情境，能力提升| |解答题|7/52|综合应用（如森林火灾洒水影响）|分层设计，融入跨学科真实问题，创新应用|

第二十章 勾股定理 单元全优达标检测卷 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．满足下列条件的 ，不是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 2．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（　　） A．121 B．120 C．90 D．不能确定 3． 甲、乙两人从同一地点出发，甲以的速度向北偏东方向直行，乙以的速度向南偏东方向直行，若他们同时出发，则后他们相距（　　） A．50m B．70m C．250m D．350m 4．如图，中，，线段的两个端点D、E分别在边上滑动，且，若点M、N分别是的中点，则的最小值为（　　） A．2 B．3 C． D．4 5．如图， 点 M 是线段的中点，于点C，于点 D， 连接．若则的长为（ ） A． B． C．3 D． 6．如图，在原点为的数轴上，作一个两直角边长分别是1和3，斜边为的直角三角形，点在点右边的数轴上，且，则点表示的实数是（　　） A．10 B．3.3 C． D． 7． 下列命题的逆命题成立的是（　　） A．全等三角形的对应角相等 B．同位角互补，两直线平行 C．对顶角相等 D．若三角形三边满足，则该三角形是直角三角形 8．若直角三角形的两直角边长为，，且满足，则该直角三角形的斜边上的高为（　　） A．5 B．4 C． D．2 9．如图，在等边中，，点为高上的一动点，以为边作等边，连接、，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C． D．3 10．如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数．某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（　　） a b c 3 4 5 8 6 10 15 8 17 24 10 26 … … … x 14 y A．67 B．34 C．98 D．73 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11． 已知Rt△ABC的两条直角边的长分别为5cm和12cm，则它斜边的长为　 　cm. 12．如图，在中，，，．以点为圆心、长为半径画弧，与交于点，再分别以点，为圆心、大于一半的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线分别交，于点，，则的长为　 　． 13．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是　 　． 14．如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，M、N分别是上的动点，则的最小值是 　 　． 15．如图，在中，，，，点是边上一点，将沿直线折叠，点的对应点为点，当平行于的一条边时，的长为　 　． 16．如图，在等边△ABC中，，点E在边BC上，点F在△ABC的角平分线CD上，，则的最小值是　 　． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．2025年1月1日，汕头市区春节烟火晚会精彩呈现，吸引了近万名市民共同感受“粤东之城，蛇年呈祥”的美好图景．如图，东海岸道路上有A、B两个出口，相距250米，在公路北面不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处，已知C与A的距离为150米，与B的距离为200米，在烟花燃放过程中，为了安全起见，燃放点C周围半径130米范围内不得进入． （1）烟花燃放点C距离公路的垂直距离为多少米？ （2）烟花燃放过程中，按照安全要求，A、B之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长． 18．如图，在中，，利用尺规以点为圆心，线段的长为半径作弧，交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交边于点． （1）求证：． （2）求的长． 19． 如图，每个小正方形的边长都为1. （1） 利用勾股定理求出线段长：　 　，　 　，　 　，　 　； （2） 求证：. 20．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大．随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，区域内是一片森林，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，且点与点，的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． （1）求的面积． （2）着火点能否受到洒水影响？为什么？ 21．如图，在中，，点位于上，过点作，为垂足，且． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 22．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2－DA2＝AC2． （1）求证：∠A＝90°； （2）若BC2＝56，AD∶BD＝3∶4，求AC的长． 23．已知，， （1）如图1，连接、，问与相等吗？并说明理由． （2）若将绕点O逆时针旋转，如图2，当点C恰好在边上时，请写出、、之间关系，并说明理由． （3）若绕点O旋转，当时，直线与直线交于点F，求的长． 答案 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．满足下列条件的 ，不是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：A、由 可得 ， ， ，故不是直角三角形，符合题意； B、由 ，可设 ， ， ，可得 ，是直角三角形，故不符合题意； C、由 ，即 可得符合勾股定理逆定理，所以是直角三角形，故不符合题意； D、由 及三角形内角和可得 ，是直角三角形，故不符合题意. 故答案为：A. 【分析】利用三角形的内角和定理找出三角形中最大角的度数，看最大角的度数是否等于90°，据此可对A，D作出判断；根据勾股定理的逆定理，三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形就是直角三角形，据此，可对C，B作出判断. 2．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（　　） A．121 B．120 C．90 D．不能确定 【答案】C 【解析】【解答】设直角三角形的另一条直角边为 k ，则斜边为 ，由勾股定理得 ，解之得 ，则其周长为 ， 故答案为：C． 【分析】能够运用代数式求解勾股定理产生的方程，并得出正确结论． 3． 甲、乙两人从同一地点出发，甲以的速度向北偏东方向直行，乙以的速度向南偏东方向直行，若他们同时出发，则后他们相距（　　） A．50m B．70m C．250m D．350m 【答案】C 【解析】【解答】解：根据题意得，甲和乙的路线的夹角为90°， 则S甲=40×5=200m，S乙=30×5=150m， ∴ S相距2=S甲2+S乙2，即S相距=250m， 故答案为：C. 【分析】根据路程=速度×时间和勾股定理，即可求得. 4．如图，中，，线段的两个端点D、E分别在边上滑动，且，若点M、N分别是的中点，则的最小值为（　　） A．2 B．3 C． D．4 【答案】B 【解析】【解答】解：如图，连接，则当C，M，N三点在同一条直线上时，取最小值， ∵，，，点M、N分别是的中点， ∴， ∴的最小值为． 故选：B 【分析】 连接CM、CN，则由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得CN=5、CM=2，显然当C、M、N三点共线时，MN最小． 5．如图， 点 M 是线段的中点，于点C，于点 D， 连接．若则的长为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【解析】【解答】解：延长交于点E， ∵ ∴ ∴， ∵点M是线段的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，AC=2 ∴， 在中， ， ∴， 故选：A． 【分析】延长交于点E，根据ASA证明：，得出，最后在中，利用勾股定理：求出DE，而DM是DE的一半. 6．如图，在原点为的数轴上，作一个两直角边长分别是1和3，斜边为的直角三角形，点在点右边的数轴上，且，则点表示的实数是（　　） A．10 B．3.3 C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：两直角边长分别是1和3，斜边为的直角三角形，， ， 点表示的实数为， 故答案为：D 【分析】本题考查实数与数轴．先利用勾股定理求出，再结合数轴可求出点表示的实数 ． 7． 下列命题的逆命题成立的是（　　） A．全等三角形的对应角相等 B．同位角互补，两直线平行 C．对顶角相等 D．若三角形三边满足，则该三角形是直角三角形 【答案】D 【解析】【解答】解：A、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，不成立，不符合题意； B、同位角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同位角互补，不成立，不符合题意； C、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，不成立，不符合题意； D、若三角形的三边满足a2+b2=c2，则该三角形是直角三角形的逆命题是直角三角形的三边满足a2+b2=c2，成立，符合题意. 故答案为：D. 【分析】分别写出四个命题的逆命题，然后分别根据对顶角的定义、全等三角形的判定、平行线的判定和勾股定理，对其逆命题进行判断即可解答． ​​​​​​ 8．若直角三角形的两直角边长为，，且满足，则该直角三角形的斜边上的高为（　　） A．5 B．4 C． D．2 【答案】C 【解析】【解答】解：∵， ∴，， ∴，， ∴ ∴， 由勾股定理得：斜边 ， 设该直角三角形的斜边上的高为h， ∴ 解得， 故答案为：C． 【分析】先利用算术平方根和绝对值的非负性求出a，b的值，然后利用勾股定理求出斜边的长度，再利用等面积法求解即可． 9．如图，在等边中，，点为高上的一动点，以为边作等边，连接、，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C． D．3 【答案】C 【解析】【解答】解：∵是等边三角形，， ，， ∵是等边三角形， ，， ， 在和中，， ∴ ∴， ∴的值为定值，点F一定在一条直线上运动， 作点D关于的对称点G，连接， 根据轴对称可知，， ∴， ∴当最小时，最小， ∵当G、F、B在同一直线上时，最小， ∴的最小值为线段的长， ， ， ∵， ∴是等边三角形， ，， ， ， ， ∴的最小值为，故C正确. 故选：C． 【分析】本题考查等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、轴对称求最短路径和勾股定理的综合运用，结合和均为等边三角形的性质，通过SAS证明，得出，确定点F的运动轨迹；利用轴对称的性质作点D关于的对称点G，将转化为，根据两点之间线段最短，当G、F、B三点共线时，取得最小值，即的长度；再结合已知条件判定为等边三角形，利用勾股定理求出的长，即为的最小值。 10．如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数．某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（　　） a b c 3 4 5 8 6 10 15 8 17 24 10 26 … … … x 14 y A．67 B．34 C．98 D．73 【答案】C 【解析】【解答】解：观察可知，b的通项是2n（n是从2开始的正整数） 则a=n2-1，c=n2+1 当b=14即n=7时，a=48 b=50 a+b=x+y=48+50=98 故答案为：C 【分析】观察找到每列数的规律即找到通项，勾股数的通项非常有代表性，应该记牢。 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11． 已知Rt△ABC的两条直角边的长分别为5cm和12cm，则它斜边的长为　 　cm. 【答案】13 【解析】【解答】解：∵Rt△ABC的两条直角边的长分别为5cm和12cm， ∴它斜边的长为： 故答案为：13. 【分析】利用勾股定理计算即可求解. 12．如图，在中，，，．以点为圆心、长为半径画弧，与交于点，再分别以点，为圆心、大于一半的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线分别交，于点，，则的长为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：根据题意得：，是线段的垂直平分线， 中，， ． 故答案为：． 【分析】根据尺规作图可得，垂直平分，然后利用勾股定理求出长，再根据解题即可． 13．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是　 　． 【答案】10 【解析】【解答】解：如图：作关于的对称点，连接，过点作于点，则即为最短距离， ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点B处， ∴，， ∴， 在中，， 故答案为：10． 【分析】作关于的对称点，连接，过点作于点，则即为最短距离，根据边之间的关系可得A'E，A'D，再根据勾股定理即可求出答案. 14．如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，M、N分别是上的动点，则的最小值是 　 　． 【答案】3 【解析】【解答】解：如图：在上取一点N'，使，连接，过点B作于点H， ∵平分， ∴是的对称轴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 在中，， ∴， ∵， ∴由勾股定理可得，即， ∴（负值已舍）， ∴的最小值是3． 故答案为：3． 【分析】如图：在上取一点N'，使，连接，过点B作于点H，根据两点之间线段最短和垂线段最短可得的最小值是，在Rt△ABH中，用勾股定理可求解. 15．如图，在中，，，，点是边上一点，将沿直线折叠，点的对应点为点，当平行于的一条边时，的长为　 　． 【答案】1或3 【解析】【解答】解：当时，如图所示： 根据折叠可知：，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得： ， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； 当时，如图所示： 根据折叠可知：， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上分析可知：或3． 故答案为：1或3． 【分析】分两种情况进行讨论：当时，当时，分别画出图形，利用三角形的面积公式和勾股定理求出结果即可． 16．如图，在等边△ABC中，，点E在边BC上，点F在△ABC的角平分线CD上，，则的最小值是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：如图：过点C作CG⊥AC，并截取CG=AC，连接EG，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，， ∵CD平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ， ， ， 当A、G、E三个点在同一直线上时，的和最小，即最小， 的值最小为：． 故答案为：． 【分析】 如图，过点C作CG⊥AC，并截取CG=AC，连接EG，由等边三角形三线合一知CD平分，则，则根据“SAS”证明，则，等量代换得，显然当A、G、E三点共线时，的最小值即AG的长，由勾股定理求出AG的值即可． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．2025年1月1日，汕头市区春节烟火晚会精彩呈现，吸引了近万名市民共同感受“粤东之城，蛇年呈祥”的美好图景．如图，东海岸道路上有A、B两个出口，相距250米，在公路北面不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处，已知C与A的距离为150米，与B的距离为200米，在烟花燃放过程中，为了安全起见，燃放点C周围半径130米范围内不得进入． （1）烟花燃放点C距离公路的垂直距离为多少米？ （2）烟花燃放过程中，按照安全要求，A、B之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长． 【答案】（1）解：由题意得米，米，米， 如图，过C作， ， ， 是直角三角形，且， ， ， 解得：（米）， 答：烟花燃放点C距离公路的垂直距离为120米 （2）解：按照安全要求，之间的公路需要暂时封锁，理由如下： 如图，由（1）可知，， 公路上存在两点E、F到的距离为130米，公路上之间到燃放点C的距离匀小于130米， 按照安全要求，A、B之间的公路段需要暂时封锁， 以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、， ，， ， 在中，， ， 即需要封锁的公路长为100米． 【解析】【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质及三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键； （1）过C作，由勾股定理得逆定理得是直角三角形，所以，利用等面积法求解即可. （2）过C作，以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、，因为，所以判断有危险，在Rt△CDF中，根据勾股定理求出，进而求出即可． 18．如图，在中，，利用尺规以点为圆心，线段的长为半径作弧，交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交边于点． （1）求证：． （2）求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接AD，BE，DE， ∴AB=AD，BE=DE， ∴点A、E在线段BD的垂直平分线上， ∴AE垂直平分BD， ∴AE⊥BC. （2）解：设BF=DF=x，则CF=BC-BF=6-x， ∵∠AFB=∠AFC=90°， ∴， 解得：， ∴， ∴. 【解析】【分析】（1）根据图形先求出AB=AD，BE=DE，再求出点A、E在线段BD的垂直平分线上，最后证明求解即可； （2）利用勾股定理求出，再解方程求出x的值，最后计算求解即可. 19． 如图，每个小正方形的边长都为1. （1） 利用勾股定理求出线段长：　 　，　 　，　 　，　 　； （2） 求证：. 【答案】（1）；；； （2）解： 连接 BD，如图所示： ，，， ， 是直角三角形. . 【解析】【解答】（1）解：根据勾股定理得，AB，AD，BC2，CD， 故答案为：；；2；； 【分析】（1）根据勾股定理结合题意直接计算即可求解； （2）连接BD，根据勾股定理得到，，，则，再根据勾股定理的逆定理即可求解。 20．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大．随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，区域内是一片森林，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，且点与点，的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． （1）求的面积． （2）着火点能否受到洒水影响？为什么？ 【答案】（1）解：∵，，， ∴， ∴∠ACB=90° ∴； 答：△ABC的面积为240000㎡. （2）解：如图，过点C作CD⊥AB于点D， ， ， ， 飞机中心周围以内可以受到洒水影响， 着火点C受洒水影响． 【解析】【分析】 本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，面积自等法，熟知勾股定理逆定理是解题关键． 勾股定理逆定理： 如果三角形的一条边的平方等于另两条边的平方和， 那么这个三角形是直角三角形。（1）根据勾股定理的逆定理可知：，即∠ACB=90°，再根据三角形面积计算公式：，代入数据可得：；由此可得出答案； （2）过点C作CD⊥AB于点D，根据三角形面积自等法可得： ，代入数据可求出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响． 21．如图，在中，，点位于上，过点作，为垂足，且． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴的长． 【解析】【分析】（）利用即可证明； （）设，由勾股定理得，由全等三角形的性质得，进而得，可用x表示出BE，然后在中根据勾股定理得到关于x的方程求解． 22．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2－DA2＝AC2． （1）求证：∠A＝90°； （2）若BC2＝56，AD∶BD＝3∶4，求AC的长． 【答案】（1）证明：连接CD． ∵ DE垂直平分BC ∴CD＝BD． ∵ BD2－DA2＝AC2， ∴ CD2－DA2＝AC2． ∴∠A＝90°． （2）解：∵ AD∶BD＝3∶4，∴设AD＝3x，BD＝4x． BD2－DA2＝AC2， ∵∠A＝90°，∴AC2＝7x2． ∴BC2＝AC2＋AB2＝56x2＝56， ∴x＝1． （负根舍去） ∴AC＝． 【解析】【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理的应用，勾股定理的应用.（1）连接CD，根据DE垂直平分BC，利用垂直平分线的性质可证明CD＝BD，再根据三角形为直角三角形，利用勾股定理可得推出CD2－DA2＝AC2，利用勾股定理的逆定理可证明结论； （2）根据AD∶BD＝3∶4，设AD＝3x，BD＝4x，据此可推出： 再利用勾股定理可列出方程56x2＝56，解方程可求出x的值，据此可求出AC的长度. （1）解：连接CD．∵ DE垂直平分BC ∴CD＝BD． ∵ BD2－DA2＝AC2， ∴ CD2－DA2＝AC2． ∴∠A＝90°． （2）解：∵ AD∶BD＝3∶4， ∴设AD＝3x，BD＝4x． BD2－DA2＝AC2， ∵∠A＝90°，∴AC2＝7x2． ∴BC2＝AC2＋AB2＝56x2＝56， ∴x＝1． （负根舍去） ∴AC＝． 23．已知，， （1）如图1，连接、，问与相等吗？并说明理由． （2）若将绕点O逆时针旋转，如图2，当点C恰好在边上时，请写出、、之间关系，并说明理由． （3）若绕点O旋转，当时，直线与直线交于点F，求的长． 【答案】（1）解：与相等； 理由如下： ， ， 即， 在和中 ， ； （2）解：结论： 理由如下： 如图：连接， ， ， 即 在和中 ， ，， ，，， ，， ， ， ， ； （3）解：如图：过点O作于点E， ，， ， ， ， 如图：当点F在的延长线上时， ，， ， ， ； 如图：当点F在线段上时， ，， ， ， ， ， ， 解得， ， 综上，的长为或． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $