第十九章二次根式 单元复习检测卷 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 2025-2026人教版八年级数学下第十九章二次根式单元复习检测卷，立足期末复习，覆盖二次根式核心知识，融合数学眼光、思维与语言，适配单元教学目标。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|二次根式意义、性质、最简根式|基础巩固，考查抽象能力与运算能力| |填空题|5/15|大小比较、化简、数轴表示|能力提升，体现几何直观与符号意识| |解答题|8/75|计算、代数式求值、实际应用（装修、社区广场）、规律探究、几何构造|创新应用，结合现实情境（如社区休闲角），发展模型意识与推理能力，适配期末综合检测需求|

2025-2026人教版八年级数学下期末复习核心突破篇 第十九章-----二次根式 单元复习检测卷(解析版) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．要使式子有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【详解】解：根据题意，得， 解得且， ∴的取值范围是且． 故选D 2．下列命题中正确的是（    ） A．一定是个二次根式 B．若a（）为有理数，则是它的算术平方根 C．化简的结果是 D．若二次根式有意义，则x的取值范围为 【答案】B 【详解】解：A．当时，是二次根式，当时，没有意义，原说法错误，故本选项不符合题意； B．若为有理数，则是它的算术平方根，原说法正确，故本选项符合题意； C．，原计算错误，故本选项不符合题意； D．要使有意义，则，即，原说法错误，故本选项不符合题意． 故选B 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的两个条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断即可得到答案． 【详解】解：选项A：，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故A不符合题意； 选项B：的被开方数是小数，可化为分数，即含分母，不是最简二次根式，故B不符合题意； 选项C：的被开方数含分母，不是最简二次根式，故C不符合题意； 选项D：满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式， 故D符合题意． 4．计算：的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：原式为同级运算，从左到右依次计算， ∵， ∴ 原式． 故选A 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则，分别计算各选项即可判断正误． 【详解】解：选项A：与不是同类二次根式，不能直接合并，故A错误； 选项B：，计算正确，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：，故D错误． 故选B 6．若，则代数式的值为（    ） A．2030 B．2022 C．2026 D．2018 【答案】D 【分析】先求出，再把所求式子变形为，据此代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选D 7．已知： ，比较m、 n 的大小（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】解：， ∵， ∴， ∴. 故选B 8．数学活动课上，小李要制作一个长为，宽为的长方形木框，若不考虑拼接，则木框的总长度和围成的面积分别为（    ） A．，4 B．，4 C．，4 D．4， 【答案】A 【分析】先明确木框总长度为长方形周长，再分别代入公式计算化简即可得到结果． 【详解】解：∵=， ∴ ． 故选A 9．已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式及二次根式的化简求值的知识．将二次三项式变形为的形式后，再整体代入已知条件即可得到答案． 【详解】解：，， ， 故选：B． 10．社区为了打造“便民休闲角”，计划将一块闲置空地改造成如图所示的集阅读区、健身区和绿植区的小型休闲广场．已知阅读区（正方形）和健身区（正方形）的面积分别为、，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用算术平方根求出正方形，正方形的边长，再利用线段的和差求解即可． 【详解】解：∵正方形的面积为，正方形的面积为 ∴正方形，正方形的边长分别为，， ∴． 故选C 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．比较大小：____．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】两个数均为正无理数，可利用平方法比较大小，两个正数中，平方较大的原数更大． 【详解】解：∵，， 又∵，且两个正数比较大小，平方大的数更大， ∴． 12．若，把化简成最简二次根式为______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． 13．若，则表示实数a的点会落在如图所示的数轴上的________段． 【答案】② 【分析】根据已知等式可得，再估算出，找到数轴的对应段数即可． 【详解】解：由条件可得， ∵， ∴表示实数a的点会落在如图所示的数轴上的②段． 14．若，则_____． 【答案】2026 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、绝对值的性质及二次根式的运算，熟练掌握根据被开方数非负确定字母取值范围并化简绝对值是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再依据绝对值的性质化简方程，通过移项、两边平方求出的表达式，最终计算出目标代数式的值． 【详解】解：由有意义，得， 所以． 代入方程得 ，即． 两边平方得， 所以． 因此， 故答案为：2026． 15．如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若阴影部分的周长和面积分别是和，则的值为__________． 【答案】27 【分析】设和的两个小正方形的边长为a，b，则，，根据题意可知，，，即，由完全平方公式求得即可． 【详解】解：设和的两个小正方形的边长为a，b，则，， 根据题意可知，，，即， 由得： ， ∴． 三、解答题（共8小题，共75分，写出必要的计算证明过程） 16．（8分）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先运算负整数指数幂，化简绝对值，运用二次根式的性质化简，再运算加减法，即可作答． （2）根据平方差公式以及完全平方公式进行展开，再运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 17．（8分）已知为实数，且满足． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)； (2)的平方根为． 【分析】（1）由二次根式有意义的条件，可得，，即可得的值； （2）由（1）得，结合已知可得，可得，即可得的平方根． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 18．(9分)已知，，分别求下列代数式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则求得，结合完全平方公式求解即可； （2）由已知得到，结合完全平方公式求解即可； （3）先由已知得到，，结合分式的加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∴． 19．（8分）某老师家装修、矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． (1)电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为，则电视背景壁纸需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）直接利用二次根式的加减运算法则计算可得； （2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则可得． 【详解】（1）解： ， 答：电视背景墙的周长为． （2）解： （元）， 答：整个电视背景壁纸需要花费元． 20．（8分）观察下列各式，再解答后面的问题． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)第4个等式是 ． (2)第（是正整数）个等式是 ． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干中3个等式的规律求解即可； （2）根据题干中3个等式的规律求解即可； （3）利用（2）中的等式规律求解． 【详解】（1）解：根据题意得，第4个等式是； （2）解：根据题意得，第（是正整数）个等式是； （3）解： ． 21．（9分）阅读与思考：阅读下列材料，完成相应的任务： 欧几里德数 一般地，给定单位长度，一个数如果可以借助图形构造出来，我们就称这个数为欧几里德数．例如，如图所示的方格图中，设每个小正方形的边长为单位．借助方格图，可以构造出线段，，分别表示正整数，，；也可以构造出线段表示正分数．事实上，所有的正有理数都是欧几里德数．    任务：如图，图，图所示的方格图中，每个小正方形的边长均为单位长度． (1)请在图中用两种方法构造线段表示正整数（该线段的端点均为格点）；           (2)小彬由材料中的结论出发展开联想，经过探究，发现正无理数，也是欧几里德数，可分别用图中两个三角形的边，表示． 其思考与作图方法如下： ，取网格中，且，连接，则． ，取网格中线段，，以点为圆心，长为半径作弧交网格线于点P，连接，且，则．   在图中借助网格和尺规，用两种方法构造三角形，使三角形的一边表示欧几里德数（保留作图痕迹，不写作法）． 在图中借助网格和尺规，用一种方法构造三角形，使三角形的一边表示欧几里德数（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②见解析． 【分析】本题考查了作图应用与设计作图，网格与勾股定理，无理数与勾股定理，解题的关键是学会利用勾股定理以及数形结合的思想解决问题． （）利用数形结合的思想解决问题即可； （）利用勾股定理，数形结合的思想解决问题即可； 利用勾股定理，数形结合的思想解决问题即可． 【详解】（1）解：如图， 由网格可知：，， ∴，即为所求； （2）解：如图， 由网格可知：，， ∴，即为所求； 如图， ∴，，， ∴，即为所求． 22．（12分）综合与实践 【问题情境】在数学课上，黄老师通过分组活动让同学们利用两个全等的含角的三角板进行拼图，并探究它们之间的关系．经测量，三角板斜边的长为． 【操作探究】 (1)如图1，逐梦组将三角板的边与三角板的边重合，得到的四边形．证明四边形是平行四边形． (2)如图2，追光组将三角板沿三角板的边平移一定距离时，得到四边形是矩形，且点在上，求三角板平移的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质，平行四边形的判定，矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理． （1）根据全等三角形的性质可得，由两组对边分别相等的四边形为平行四边形即可证明； （2）利用直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，由矩形的性质得到，设，则，利用勾股定理得到，建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：根据题意：， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：根据题意：， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 设，则， 在和中， ∵， ∴，即， 解得：， ∴三角板平移的距离． 23．（13分）综合探究 平移、旋转、轴对称是现实世界运动变化的三种常见形式，如图，直角三角形，． (1)尺规作图：作出直角三角形关于直线翻折后的图形，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F，分别延长、交于点M（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，试探究线段存在什么数量关系？请说明理由； (3)在（1）的条件下，当，时，将三角形沿着直线平移，当A、E、F为顶点的三角形是等腰三角形时，求出的长； (4)将直角三角形绕着点C逆时针旋转后点A的对应点为点，点B的对应点为点，若，且，求点到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)或或 (4) 【分析】本题主要考查基本作图，等腰三角形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）以点B为圆心，长为半径画弧，交以点A为圆心，长为半径的弧线于点F，延长交于点M即可； （2）设，，根据勾股定理及三角形等面积法求解即可得出结果； （3）令，则，得出，然后分三种情况分析：当时，当时，当时，即可求解； （4）延长交于点N，根据题意得出，，再由勾股定理确定，在证明，连接，根据，即可求出 即可． 【详解】（1）解：以点B为圆心，长为半径画弧，交以点A为圆心，长为半径的弧线于点F，延长交于点M，如图所示即为所作； （2）若，则是等腰直角三角形， 设， ∴， 根据题意得：， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即， ∵， ∴； （3）如图所示：令，则， ∵，， ∴，, 当点E在线段上时 ， 当点E在线段外时， ， 分四种情况：当时，且点E在线段上， 则， ∴，即； 当时，且点E在线段外， ，即 当时， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴即， 解得：，即， 当时， ∵， ∴， ∴ 点E、B重合（不符合题意）； 综上可得：或或； （4）如图所示，延长交于点N，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴即为点到的距离， ∵， 连接， ， 即， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026人教版八年级数学下期末复习核心突破篇 第十九章-----二次根式 单元复习检测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．要使式子有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 2．下列命题中正确的是（    ） A．一定是个二次根式 B．若a（）为有理数，则是它的算术平方根 C．化简的结果是 D．若二次根式有意义，则x的取值范围为 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．计算：的值为（   ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．若，则代数式的值为（    ） A．2030 B．2022 C．2026 D．2018 7．已知： ，比较m、 n 的大小（    ） A． B． C． D．无法确定 8．数学活动课上，小李要制作一个长为，宽为的长方形木框，若不考虑拼接，则木框的总长度和围成的面积分别为（    ） A．，4 B．，4 C．，4 D．4， 9．已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 10．社区为了打造“便民休闲角”，计划将一块闲置空地改造成如图所示的集阅读区、健身区和绿植区的小型休闲广场．已知阅读区（正方形）和健身区（正方形）的面积分别为、，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．比较大小：____．（填“”“”或“”） 12．若，把化简成最简二次根式为______． 13．若，则表示实数a的点会落在如图所示的数轴上的________段． 14．若，则_____． 15．如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若阴影部分的周长和面积分别是和，则的值为__________． 三、解答题（共8小题，共75分，写出必要的计算证明过程） 16．（8分）计算 (1) (2) 17．（8分）已知为实数，且满足． (1)求的值； (2)求的平方根． 18．(9分)已知，，分别求下列代数式的值． (1)； (2)； (3)． 19．（8分）某老师家装修、矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． (1)电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为，则电视背景壁纸需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 20．（8分）观察下列各式，再解答后面的问题． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)第4个等式是 ． (2)第（是正整数）个等式是 ． (3)计算：． 21．（9分）阅读与思考：阅读下列材料，完成相应的任务： 欧几里德数 一般地，给定单位长度，一个数如果可以借助图形构造出来，我们就称这个数为欧几里德数．例如，如图所示的方格图中，设每个小正方形的边长为单位．借助方格图，可以构造出线段，，分别表示正整数，，；也可以构造出线段表示正分数．事实上，所有的正有理数都是欧几里德数．    任务：如图，图，图所示的方格图中，每个小正方形的边长均为单位长度． (1)请在图中用两种方法构造线段表示正整数（该线段的端点均为格点）；           (2)小彬由材料中的结论出发展开联想，经过探究，发现正无理数，也是欧几里德数，可分别用图中两个三角形的边，表示． 其思考与作图方法如下： ，取网格中，且，连接，则． ，取网格中线段，，以点为圆心，长为半径作弧交网格线于点P，连接，且，则．   在图中借助网格和尺规，用两种方法构造三角形，使三角形的一边表示欧几里德数（保留作图痕迹，不写作法）． 在图中借助网格和尺规，用一种方法构造三角形，使三角形的一边表示欧几里德数（保留作图痕迹，不写作法）． 22．（12分）综合与实践 【问题情境】在数学课上，黄老师通过分组活动让同学们利用两个全等的含角的三角板进行拼图，并探究它们之间的关系．经测量，三角板斜边的长为． 【操作探究】 (1)如图1，逐梦组将三角板的边与三角板的边重合，得到的四边形．证明四边形是平行四边形． (2)如图2，追光组将三角板沿三角板的边平移一定距离时，得到四边形是矩形，且点在上，求三角板平移的距离． 23．（13分）综合探究 平移、旋转、轴对称是现实世界运动变化的三种常见形式，如图，直角三角形，． (1)尺规作图：作出直角三角形关于直线翻折后的图形，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F，分别延长、交于点M（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，试探究线段存在什么数量关系？请说明理由； (3)在（1）的条件下，当，时，将三角形沿着直线平移，当A、E、F为顶点的三角形是等腰三角形时，求出的长； (4)将直角三角形绕着点C逆时针旋转后点A的对应点为点，点B的对应点为点，若，且，求点到直线的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $